综合训练（8）大题训练-2022届高三数学二轮复习

2022届高三数学二轮复习大题训练（综合训练（8））1．如图，中，角，，的对边分别为，，，且．（1）求角的大小；（2）已知，若为外接圆劣弧上一点，求的最大值．2．为了研究注射某种抗病毒疫苗后是否产生抗体与某项指标值的相关性，研究人员从某地区10万人中随机抽取了200人，对其注射疫苗后的该项指标值进行测量，按，，，，，，，，，分组，得到该项指标值频率分布直方图如图所示．同时发现这200人中有120人在体内产生了抗体，其中该项指标值不小于60的有80人．（1）填写下面的列联表，判断是否有的把握认为“注射疫苗后产生抗体与指标值不小于60有关”．指标值小于60指标值不小于60合计有抗体没有抗体合计（2）以注射疫苗后产生抗体的频率作为注射疫苗后产生抗体的概率，若从该地区注射疫苗的人群中随机抽取4人，求产生抗体的人数的分布列及期望．附：，其中．0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.8283．已知单调递增的等比数列，满足，且是，的等差中项．（1）求数列的通项公式；（2）若，，对任意正整数，总有成立，试求实数的取值范围．4．如图，三棱柱的底面是等边三角形，平面平面，，，，为的中点．（1）求证：平面；（2）试问线段是否存在点，使得二面角的平面角的余弦值为，若存在，请计算的值；若不存在，请说明理由．5．已知为坐标原点，点，，过动点作直线的垂线，垂足为点，，记的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）若，，，均在上，直线，的交点为，，，求四边形面积的最小值．6．已知函数，，．（1）若存在唯一的零点，求的取值范围；（2）若有两个不同的解，，求证：．2022届高三数学二轮复习大题训练（综合训练（8））1．如图，中，角，，的对边分别为，，，且．（1）求角的大小；（2）已知，若为外接圆劣弧上一点，求的最大值．【解答】（1）由，整理得，，由余弦定理得，，由为三角形内角得；（2）由圆内角四边形性质可得，，设，则，在中，由正弦定理得，所以，，所以，当时，取得最大值．2．为了研究注射某种抗病毒疫苗后是否产生抗体与某项指标值的相关性，研究人员从某地区10万人中随机抽取了200人，对其注射疫苗后的该项指标值进行测量，按，，，，，，，，，分组，得到该项指标值频率分布直方图如图所示．同时发现这200人中有120人在体内产生了抗体，其中该项指标值不小于60的有80人．（1）填写下面的列联表，判断是否有的把握认为“注射疫苗后产生抗体与指标值不小于60有关”．指标值小于60指标值不小于60合计有抗体没有抗体合计（2）以注射疫苗后产生抗体的频率作为注射疫苗后产生抗体的概率，若从该地区注射疫苗的人群中随机抽取4人，求产生抗体的人数的分布列及期望．附：，其中．0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【解答】（1）由该项指标值频率分布直方图，可得该项指标值不小于60的人共有，填写下面的列联表，指标值小于60指标值不小于60合计有抗体4080120没有抗体404080合计80120200，有的把握认为“注射疫苗后产生抗体与指标值不小于60有关”．（2）以注射疫苗后产生抗体的频率作为注射疫苗后产生抗体的概率，则概率．若从该地区注射疫苗的人群中随机抽取4人，产生抗体的人数的可能取值为0，1，2，3，4，则，，，1，2，3，4，，同理可得：，，，，的分布列，01234则的数学期望．3．已知单调递增的等比数列，满足，且是，的等差中项．（1）求数列的通项公式；（2）若，，对任意正整数，总有成立，试求实数的取值范围．【解答】（1）设等比数列的首项为，公比为．依题意是，的等差中项，有，代入，得．．，解之得或，，又单调递增，，，；（2）∵，①②①②得，，由，即对任意正整数恒成立，．对任意正整数，恒成立．，．即的取值范围是，．4．如图，三棱柱的底面是等边三角形，平面平面，，，，为的中点．（1）求证：平面；（2）试问线段是否存在点，使得二面角的平面角的余弦值为，若存在，请计算的值；若不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：是等边三角形，是的中点，，平面平面，平面平面，，平面，平面，，，，平面．（2）存在线段的中点满足题意．理由如下：面，，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则，0，，，，，，0，，，0，，，，，设，，，其中，，则，平面的一个法向量，0，，设平面的法向量，，，则，取，则，0，，由题意得，，解得，线段上存在点，使得二面角的平面角的余弦值为，．5．已知为坐标原点，点，，过动点作直线的垂线，垂足为点，，记的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）若，，，均在上，直线，的交点为，，，求四边形面积的最小值．【解答】（1）设，则，所以，，所以，所以的轨迹的方程为：．（2）由题知直线，斜率必存在，且不为0，设，，，，，，，，设，代入抛物线方程中得：，整理得，，所以，，因为，设，代入抛物线方程中得：，整理得：，，所以，，所以四边形的面积为：，当且仅当，即时等号成立，此时四边形的面积最小，最小值为2，综上，四边形的面积最小值为2．6．已知函数，，．（1）若存在唯一的零点，求的取值范围；（2）若有两个不同的解，，求证：．【解答】（1）∵的定义域为，，当时，，单调递减，当时，，（1），所以存在唯一的零点，符合题意；当时，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以在处取得极大值也是最大值，最大值为（a），若存在唯一的零点，则（a），解得．综上可得：的取值范围是，．（2）证明：令，，①当时，恒成立，所以在上为增函数，不符合题意；