浙江省宁波市慈溪市2024-2025学年高一数学上学期10月检测试题含解析

Page15一、单项选择题：共8小题，每小题5分，满分40分．1.已知集合，下列说法正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解方程可求得集合，再依据元素和集合的关系即可求解.【详解】由得或，则集合，所以，，，.故选：B.2.命题“”，则p为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依据全称命题的否定形式求解.【详解】命题“”为全称命题，其否定为特称命题，即p：.故选：C3.下列命题中，正确的是A若，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，则【答案】D【解析】【分析】利用不等式的性质或反例可推断各选项正确与否.【详解】对于A，取，则，但，故A错；对于B，取，则，但，，故B错；对于C，取，则，但，，故C错；对于D，因为，故即，故D正确；综上，选D.【点睛】本题考查不等式的性质，属于基础题.4.使不等式成立的一个充分不必要条件是（）.A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】解出不等式，进而可推断出其一个充分不必要条件．【详解】解：不等式，，解得，故不等式的解集为：，则其一个充分不必要条件可以是，故选：．【点睛】本题考查充分不必要条件的推断，一般可依据如下规则推断：（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；（2）是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集；（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（4）是的既不充分又不必要条件，对的集合与对应集合互不包含．5.甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，假如两人步行速度、跑步速度均相同，则（）A.甲先到教室 B.乙先到教室C.两人同时到教室 D.谁先到教室不确定【答案】B【解析】【分析】比较走完路程所用时间大小来确定谁先到教室，故应把两人到教室的时间用所给的量表示出来，作差比较.【详解】解：设步行速度与跑步速度分别为，，则，总路程为，则甲用时间，乙用时间为，则.所以，故乙先到教室.故选：B.6.函数的值域为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】确定函数解析式，画出函数图像，依据图像得到答案.【详解】，画出函数图像，如图所示：依据图像知，函数值域为.故选：B7.已知函数满意对随意，都有成立，则a的范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题得函数在定义域上单调递增，列出不等式组得解.【详解】因为对随意都有，所以函数在定义域上单调递增，所以，解得，所以a的范围是故选：B8.若关于的不等式恰有个整数解，则实数的取值范围是（）A.或 B.或C.或 D.或【答案】B【解析】【分析】对不等式进行因式分解，依据题意得到，解不等式，然后结合题意分类探讨即可.【详解】∵不等式，即恰有2个整数解，∴，解得或.当时，不等式的解集为，易知，∴个整数解为，，∴，即，解得；当时，不等式的解集为，易知，∴个整数解为，，∴，即，解得.综上所述，实数的取值范围是-或.故选：B.【点睛】关键点睛：依据不等式解的状况得到不等式，运用分类探讨方法进行求解是解题的关键.二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分．9.设全集，集合，，则（）A. B.C. D.集合的真子集个数为8【答案】AC【解析】【分析】依据集合交集、补集、并集的定义，结合集合真子集个数公式逐一推断即可.【详解】因为全集，集合，，所以，，，因此选项A、C正确，选项B不正确，因为集合的元素共有3个，所以它的真子集个数为：，因此选项D不正确，故选：AC10.已知函数，则下列说法正确的是（）A.的定义域为B.的值域为C.在区间上单调递增D.的值为【答案】ACD【解析】【分析】变换得到，计算定义域和值域得到A正确，B错误，依据反比例函数单调性确定C正确，依据计算得到D正确，得到答案.【详解】，对选项A：函数的定义域满意，即，正确；对选项B：的值域为，错误；对选项C：在区间上单调递增，正确；对选项D：，，故，正确.故选：ACD11.已知关于x的不等式的解集是，则（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】由关于的不等式的解集是，则是一元二次方程的两根

．利用根与系数的关系等即可推断出结论．【详解】由关于x不等式的解集是，所以是一元二次方程的两根；所以，选项A正确；，选项B正确；所以，选项D正确．由，可得：是错误的，即选项C错误．故选：ABD．12.德国闻名数学家狄利克雷是解析数学的创始人，以其名字命名的函数称为狄利克雷函数，其解析式为，则下列关于狄利克雷函数的说法错误的是（）A.对随意实数，B.既不是奇函数又不是偶函数C.对于随意的实数，，D.若，则不等式的解集为【答案】BCD【解析】【分析】依据题意结合奇偶性、一元二次不等式解法逐项分析推断.【详解】若是有理数，则；若是无理数，则，故A正确；若是有理数，则也是有理数，此时；若是无理数，则也是无理数，此时；即为偶函数，故B错误；若是无理数，取，则是无理数，此时，，即，故C错误；若是有理数，则的解集为；若是有理数，，明显不成立，故D错误．故选：BCD．三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13.函数的定义域是______.【答案】且【解析】【分析】依据函数的解析式有意义，列出相应的不等式组，即可求解.【详解】由题意，函数有意义，则，解得且，所以函数的定义域为且.故答案为：且.14.已知，则x的值为__________．【答案】0或2【解析】【分析】依据，由，，，并利用集合的特性推断求解.【详解】因为，所以当时，集合为不成立；当时，集合为，成立；当时，解得（舍去）或，若，则集合为，成立.所以x的值为0或2故答案为：0或215.关于x的不等式的解集为，则实数a的取值范围为_________．【答案】【解析】【分析】分和两种状况，利用判别式法求解.【详解】解：当时，不等式可化为，无解，满意题意；当时，不等式化为，解得，不符合题意，舍去；当时，要使得不等式的解集为，则解得．综上，实数a的取值范围是．故答案为：16.设函数的最大值为M，最小值为m，则______．【答案】2【解析】【分析】变换，设，确定函数为奇函数，再依据函数奇偶性的性质计算得到答案.【详解】，设，则，函数为奇函数，，，.故答案为：2.四、解答题：本大题共6小题，共70分．17.已知集合，集合．（1）当时，求；（2）若，求实数m的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）确定，，再计算并集即可.（2）确定得到，解得答案.【小问1详解】，，故.【小问2详解】，则，故，解得，即.18.若不等式的解集是，（1）求的值；（2）求不等式的解集.【答案】（1）

（2）【解析】【分析】（1）由已知不等式的解集得到的两个实数根为和2，利用韦达定理即可求出的值；（2）代入的值，由一元二次不等式的求解即可得解．【小问1详解】依题意可得：的两个实数根为和2，由韦达定理得：，解得：；【小问2详解】由（1）不等式，即，解得：，故不等式的解集是．19.已知函数为幂函数，且为奇函数．（1）求m的值；（2）求函数在的值域．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依据幂函数得到或，再验证奇偶性得到答案.（2）确定，函数在上单调递增，计算最值得到值域.【小问1详解】函数为幂函数，则，解得或；当时，为奇函数，满意条件；当时，为偶函数，不满意条件，舍去.综上所述：.【小问2详解】，函数在上单调递增，故，，故值域为20.如图，某人安排用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为xm，宽为ym．（1）若菜园面积为72m2，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小？（2）若运用的篱笆总长度为30m，求的最小值．【答案】（1）菜园的长x为12m，宽y为6m时，可使所用篱笆总长最小（2）．【解析】【分析】（1）由已知可得xy＝72，而篱笆总长为x+2y．利用基本不等式x+2y≥2即可得出；（2）由已知得x+2y＝30，利用基本不等式（）•（x+2y）＝55+2，进而得出．【小问1详解】由已知可得xy＝72，而篱笆总长为x+2y．又∵x+2y≥224，当且仅当x＝2y，即x＝12，y＝6时等号成立．∴菜园的长x为12m，宽y为6m时，可使所用篱笆总长最小．【小问2详解】由已知得x+2y＝30，又∵（）•（x+2y）＝55+29，∴，当且仅当x＝y，即x＝10，y＝10时等号成立．∴的最小值是．21.已知f(x)＝，x∈(－2，2)．(1)推断f(x)的奇偶性并说明理由；(2)求证：函数f(x)在(－2，2)上是增函数；(3)若f(2＋a)＋f(1－2a)>0，求实数a的取值范围．【答案】(1)见解析：(2)见解析：(3)【解析】【详解】试题分析：（1）定义域关于原点对称，同时满意f(x)=-f(-x)，所以是奇函数．（2）由定义法证明函数的单调性，按假设，作差，变形，推断，下结论过程完成．（3）由奇函数，原不等式变形为f(2＋a)>－f(1－2a)＝f(2a－1)，再由函数单调性及定义域可知，解不等式组可解．试题解析：(1)解：∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．(2)证明：设x1，x2为区间(－2，2)上的随意两个值，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝，因为－2<x1<x2<2，所以x2－x1>0，x1x2－4<0，所以f(x1)－f(x2)<0，f(x1)<f(x2)，所以函数f(x)在(－2，2)上是增函数．(3)解：因为f(x)为奇函数，所以由f(2＋a)＋f(1－2a)>0得，f(2＋a)>－f(1－2a)＝f(2a－1)，因为函数f(x)在(－2，2)上是增函数，所以即故a∈.22.已知函数，．（1）若，求方程的解；（2）若方程有两解，求出实数a的取值范围；（3）若，记，试求函数在区间上最大值．【答案】（1）（2）（3）答案不唯一，详见解析【解析】【分析】（1）解方程得到答案.（2）确定，考虑，和三种状况，依据二次函数的性质得到答案.（3