广东省广州市越秀区2022-2023学年高一下学期期末数学试题（教师版）

2022学年第二学期学业水平调研测试高一年级数学试卷本试卷共4页，22小题，全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名、座位号和考生号填写在答题卡相应的位置上.用2B铅笔将考生号、座位号填涂在答题卡相应位置上.2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔或涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数的实部是（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简，再根据复数的概念判断即可.【详解】因为，所以复数的实部是.故选：B2.已知向量，满足，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将平方结合平面向量数量积的运算律即可得解.【详解】因为，，，所以，即，即，即，解得.故选：A3.在中，，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】首先求出，再由诱导公式得到，利用两角和的正弦公式计算可得.【详解】因为，，所以，又，所以.故选：C4.为了得到函数的图象，只要把图象上所有的点（）A.向右平行移动个单位长度 B.向左平行移动个单位长度C.向右平行移动个单位长度 D.向左平行移动个单位长度【答案】A【解析】【分析】根据函数图象平移的性质即可求解.【详解】为了得到函数的图象，只要把图象上所有的点向右平行移动个单位长度，故选：A5.从3名男生和3名女生中任意抽取两人，设事件A=“抽到的两人都是男生”，事件B=“抽到1名男生与1名女生”，则（）A.在有放回简单随机抽样方式下，B.在不放回简单随机抽样方式下，C.在按性别等比例分层抽样方式下，D.在按性别等比例分层抽样方式下，【答案】D【解析】【分析】分别写出样本空间，利用古典概型的概率计算公式求解.【详解】记3名男生为，3名女生为.对于选项A，有放回简单随机抽样的样本空间为123abc1(1,1)(1,2)(1,3)(1,a)(1,b)(1,c)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,a)(2,b)(2,c)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,a)(3,b)(3,c)a(a,1)(a,2)(a,3)(a,a)(a,b)(a,c)b(b,1)(b,2)(b,3)(b,a)(b,b)(b,c)c(c,1)(c,2)(c,3)(c,a)(c,b)(c,c)共36个样本点，事件有9个样本点，所以，故选项A错误；对于选项B，不放回简单随机抽样的样本空间为123abc1×(1,2)(1,3)(1,a)(1,b)(1,c)2(2,1)×(23)(2,a)(2,b)(2,c)3(3,1)(3,2)×(3,a)(3,b)(3,c)a(a,1)(a,2)(a,3)×(a,b)(a,c)b(b,1)(b,2)(b,3)(b,a)×(b,c)c(c1)(c,2)(c,3)(c,a)(c,b)×共30个样本点，事件有18个样本点，所以，故选项B错误；对于选项C，在按性别等比例分层抽样方式下，从男生中抽取一人，从女生中抽取一人，所以，故选项C错误；对于选项D，在按性别等比例分层抽样方式下，先从男生中抽取一人，再从女生中抽取一人，其样本空间为，共有9个样本点，事件，所以，故选项D正确.故选：D.6.四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学各自的统计结果的数字特征，可以判断出一定没有出现点数6的是（）A.中位数为，众数为 B.平均数为，中位数为C.中位数为，极差为 D.平均数为，标准差为【答案】C【解析】【分析】利用特例说明A、B，利用标准差公式判断D，根据极差说明C中最大数不超过，即可判断.【详解】对于A：当掷骰子出现的结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，众数为3，所以A不可以判断；对于B：当掷骰子出现的结果为1，1，3，4，6时，满足平均数为3，中位数为3，可以出现点6，所以B不能判断；对于C：因为中位数为，极差为，则最大数不超过，故一定不会出现，故C正确；对于D，若平均数为，且出现点数为，则其余个数的和为，即均为，所以其标准差为，故D错误；故选：C．7.三棱锥中，，，.若，，则该三棱锥体积的最大值为（）A.3 B.4 C.6 D.12【答案】B【解析】【分析】依题意可得平面，即可得到，从而求出，再由，利用勾股定理及基本不等式求出面积最大值，最后根据锥体的体积公式计算可得.【详解】因为，，，平面，所以平面，平面，所以，则，所以，又，所以，，所以，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号.故选：B8.在四棱锥中，，，则下列结论中不成立的是（）A.平面内任意一条直线都不与平行B.平面内存在无数条直线与平面平行C.平面和平面的交线不与底面平行D.平面和平面的交线不与底面平行【答案】D【解析】【分析】利用反证法证明A、C，只需在平面内，与平面和平面的交线平行的所有直线（交线除外）均与平面平行，即可判断B，根据线面平行的判定定理与性质定理判断D.【详解】因为，，所以四边形为梯形，且、不平行，对于A：若平面内存在直线与平行，又平面，所以平面，又平面平面，平面，所以，与、不平行矛盾，所以平面内任意一条直线都不与平行，故A正确；对于B：因为平面和平面的一个交点为，故二者存在过点的一条交线，在平面内，与平面和平面的交线平行的所有直线（交线除外）均与平面平行，故B正确；对于C：若平面和平面的交线与底面平行，设平面和平面的交线为，则平面，因为平面平面，平面，所以，同理可得，所以，与、不平行矛盾，所以平面和平面的交线不与底面平行，故C正确；对于D：因为，平面，平面，所以平面设平面和平面的交线为，平面，所以，因为平面，平面，所以平面，故平面和平面的交线与底面平行，故D错误；故选：D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个小球，除标号外没有其他差异.采用不放回方式从中任意摸球两次.设事件“第一次摸出球的标号为2”，事件“第二次摸出球的标号为3”，事件“两次摸出球的标号之和为4”，事件“两次摸出球的标号之和为5”，则（）A.事件与互斥 B.事件与相互独立C.事件与互斥 D.事件与相互独立【答案】CD【解析】【分析】利用列举法列出所有可能结果，再根据互斥事件及相互独立事件的概念判断即可.【详解】设采用不放回方式从中任意摸球两次，每次摸出一个球，全部的基本事件有：，，，，，，，，，，，，共个，事件发生包含的基本事件有：，，有个，事件发生包含的基本事件有：，，有个，事件发生包含的基本事件：，有个，事件发生包含的基本事件：，，，有个，显然当出现时事件、同时发生，故事件与不互斥，故A错误；事件与不可能同时发生，即事件与互斥，故C正确；又，，，事件与不可能同时发生，即事件与互斥，则，故事件与不独立，故B错误；事件发生包含的基本事件：有个，所以，因为，所以与相互独立，故D正确；故选：CD.10.已知函数，则下列结论正确的是（）A.的最小正周期是B.的图象关于点对称C.的图象关于直线对称D.在区间上单调递增【答案】BCD【解析】【分析】根据正切函数的性质判断A、B、D，根据即可判断C.【详解】因为，所以的最小正周期，故A错误；，所以的图象关于点对称，故B正确；因，所以的图象关于直线对称，故C正确；若，则，因为在上单调递增，所以在区间上单调递增，故D正确；故选：BCD11.已知为虚数单位，则下列结论正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，，则D.若复数满足，则复数在复平面内对应的点所构成的图形面积为【答案】AC【解析】【分析】根据判断A，根据复数代数形式的除法运算化简，即可判断B，设、在复平面内对应的向量为、，根据向量数量积的运算律判断C，设根据复数的几何意义判断D.【详解】对于A：若，即，所以，故A正确；对于B：因为，所以，而，故B错误；对于C：设、在复平面内对应的向量为、，则且，所以，即，解得，所以，即，故C正确；对于D：设，由，即，所以，所以复数在复平面内对应的点在如图所示的圆环内（不含边界）圆心为坐标原点，半径分别为、，所以复数在复平面内对应的点所构成的图形面积为，故D错误；故选：AC12.在中，，将分别绕边，，所在直线旋转一周，形成的几何体的侧面积分别记为，，，体积分别记为，，，则（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】先分别求出将绕边、、旋转一周形成几何体的体积和侧面积，然后对四个选项逐一判断即可.【详解】将绕边（）所在的直线旋转一周形成的几何体是圆锥，其底面半径是，母线长为，高为，所以其体积，其侧面积；将绕边（）所在的直线旋转一周形成的几何体是圆锥，其底面半径是，母线长为，高为.所以其体积，其侧面积；将绕边（）所在的直线旋转一周形成的几何体是两个底面重合的圆锥，其底面半径是，母线长分别为和，高之和为.所以其体积，其侧面积.对于A：，当且仅当时取等号，故A正确；对于B：，故B正确；对于C：，而，所以，故C错误.对于D：，故D正确；故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是分别求出将绕边、、旋转一周形成的几何体的体积和侧面积.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量，，且，则在方向上的投影向量的坐标为______.【答案】【解析】【分析】首先求出的坐标，再根据向量垂直数量积为求出参数的值，再根据投影向量的定义计算可得.【详解】因为，，所以，又，所以，解得，所以，则，，所以在方向上的投影向量为.故答案为：14.某校为了解高中学生的身高情况，根据男、女学生所占的比例，采用样本量按比例分配的分层随机抽样分别抽取了男生100名和女生60名，测量他们的身高所得数据（单位：cm）如下：性别人数平均数方差男生10017218女生6016430根据以上数据，可计算出该校高中学生身高的总样本方差______.【答案】【解析】【分析】根据题意，由样本的方差和平均数的计算公式，计算可得答案．【详解】根据题意，在样本中，男生有人，女生有人，则其平均数，其方差，故答案为：．15.如图，在扇形中，半径，圆心角，矩形内接于扇形OPQ，其中点B，C都在弧PQ上，则矩形ABCD的面积的最大值为______.【答案】【解析】【分析】由题意连接，可得，过点B作的垂线，垂足为N,设，分别在和中求出线段，从而表示出，再由正弦函数的性质求出最大值.【详解】如图，连接，因为，所以，又因为矩形ABCD，，所以，从而可得，所以，，且，为等边三角形，，又因为矩形ABCD，，，过点B作的垂线，垂足为N,设，，，，在中，，，，，当，即时，矩形面积最大，且最大值为故答案为：16.已知四边形ABCD是正方形，将沿AC翻折到的位置，点G为的重心，点E在线段BC上，平面，.若，则______，直线GB与平面所成角的正切值为______.【答案】①.2②.3【解析】【分析】空1：延长交于点，由线面平行的性质，可得到，从而得到，进而得解；空2：取中点,找到平面，所以或其补角为直线GB与平面所成角，进而得解.【详解】如图所示：空1：延长交于点，连接，则为中点，如下图所示：因为平面，平面，平面平面，所以，因为点G为的重心，所以,所以.空2：取中点,连接，则,设正方形ABCD边长为2，因为，，所以，又则为中点，所以，中，,同理可得，，因为，所以，又，所以平面，则为在平面内的投影，所以或其补角为直线GB与平面所成角，中，，，故答案为：2；3.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出.某市政府为了减少水资源的浪费，计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价制度，即确定一个合理的居民生活用水量标准（单位：），使得用户月均用水量不超过的部分按平价收费，超过的部分按议价收费.通过随机抽样，获得了该市户居民生活月均用水量（单位：）的数据，整理得到如下的频率分布直方图.（1）求这户居民生活月均用水量在区间内的频率；（2）若该市政府希望的居民生活月均用水量不超过标准，试估计的值，并说明理由.【答案】（1）（2），理由见解析【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图计算可得；（2）根据第百分位数计算规则计算可得.【小问1详解】由频率分布直方图可知内的频率为.【小问2详解】因为，又，，则，依题意可得，解得.所以要使的居民生活月均用水量不超过标准，则居民生活用水量标准为.18.如图是函数在一个周期上的图象，点是函数图象与轴的交点，点，分别是函数图象的最低点与最高点，且.（1）求的最小正周期；（2）若，求的解析式.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依题意设，则，，即可表示，，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可；（2）由（1）求出，再由，代入利用诱导公式及和（差）角公式整理得到，即可求出，从而得解.【小问1详解】设的最小正周期为，依题意设，则，，所以，，所以，即，解得或（舍去）.【小问2详解】由（1）可得，解得，所以，又，即，即，所以，所以，解得，又，所以，所以.19.11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成平后，每球交换发球权，先多得分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两人进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立.在某局双方平后，乙先发球，两人又打了个球该局比赛结束.（1）求事件“”的概率；（2）求事件“且乙获胜”的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依题意甲连赢球或甲连输球，根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得；（2）依题意前个球中乙赢一个、输一个，而后乙连赢球，根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得.【小问1详解】依题意若，则甲连赢球或甲连输球，所以.【小问2详解】若且乙获胜，则在前个球中乙赢一个、输一个，而后乙连赢球，记且乙获胜为事件，所以.20.如图，在直三棱柱中，.（1）证明：平面平面；（2）若直线AC与平面所成的角为，二面角的大小为，试判断与的大小关系，并说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据直棱柱的性质以及题意，由面面垂直的判定定理即可证明结果；（2）过作垂直于点，根据（1）的结论，以及线面角的概念，可得是直线与平面所成的角；再根据二面角的概念易知是二面角的平面角，再在直角三角形中利用正弦公式，通过比值比较即可得到结果.【小问1详解】证明：在直三棱柱中，易知，又，，且两直线在平面内，所以平面，又平面，所以平面平面；【小问2详解】过作垂直于点，连接由（1）可知平面平面又平面平面，所以平面，垂足为，则是直线与平面所成的角，即，由（1）可知平面，所以，又，所以是二面角的平面角，即,在中，，在中，又，得，又,，所以.21.已知内角、、的对边分别为、、，且.（1）求；（2）若点在边上，且，，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等变换化简得出，求出的取值范围，即可求得角的值；（2）利用平面向量的线性运算可得出，利用平面向量数量积的运算性质结合余弦定理可得出关于、的方程组，即可解得的值.【小问1详解】解：因为，正弦定理可得，即，即，因为、，则，所以，，即，所以，，因为，所以，，故.【小问2详解】解：因为点在边上，且，，则，则，即，所以，，①由余弦定理可得，又因为，所以，，②联立①②可得.22.如图，在棱长为4的正方体中，为的