河北省宣化第一中学2025届数学高一下期末经典试题含解析

河北省宣化第一中学2025届数学高一下期末经典试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知β为锐角，角α的终边过点（3，4），sin（α+β）＝，则cosβ＝（）A． B． C． D．或2．已知基本单位向量，，则的值为（）A．1 B．5 C．7 D．253．设有直线和平面，则下列四个命题中，正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊂α，n⊂α，m∥β，l∥β，则α∥βC．若α⊥β，m⊂α，则m⊥β D．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α4．经过两条直线和的交点，且垂直于直线的直线方程为()A． B． C． D．5．向量，，若，则实数的值为A． B． C． D．6．在空间四边形中，，，，分别是，的中点，，则异面直线与所成角的大小为（）A． B． C． D．7．已知是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（）A． B．3 C．6 D．8．某单位职工老年人有30人，中年人有50人，青年人有20人，为了了解职工的建康状况，用分层抽样的方法从中抽取10人进行体检，则应抽查的老年人的人数为（）A．3 B．5 C．2 D．19．正方体中，的中点为，的中点为，则异面直线与所成的角是()A． B． C． D．10．若是第四象限角，则是（）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．若直线：与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是___________.12．已知等差数列，的前项和分别为，，若，则______.13．在中，为上的一点，且，是的中点，过点的直线，是直线上的动点，，则_________.14．已知数列满足，，则_______；_______.15．过点作圆的两条切线，切点分别为，则=.16．如果奇函数f（x）在[3,7]上是增函数且最小值是5，那么f（x）在[-7,-3]上是_________.①减函数且最小值是-5；②减函数且最大值是-5；③增函数且最小值是-5；④增函数且最大值是-5三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．某地区某农产品的销售量与年份有关，下表是近五年的部分统计数据：年份20102012201420162018销售量（吨）114115116116114用所给数据求年销售量（吨）与年份之间的回归直线方程，并根据所求出的直线方程预测该地区2019年该农产品的销售量.参考公式：.18．已知公差不为零的等差数列的前项和为，，且成等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)若，数列的前项和为，求.19．如图，在长方体中，，点为的中点．（1）求证：直线平面；（2）求证：平面平面；（3）求直线与平面的夹角．20．的内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．21．中，角的对边分别为，且.（I）求的值；（II）求的值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】

由题意利用任意角的三角函数的定义求得sinα和cosα，再利用同角三角函数的基本关系求得cos（α+β）的值，再利用两角差的余弦公式求得cosβ＝cos[（α+β）﹣α]的值．【详解】β为锐角，角α的终边过点（3，4），∴sinα，cosα，sin（α+β）sinα，∴α+β为钝角，∴cos（α+β），则cosβ＝cos[（α+β）﹣α]＝cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα••，故选B．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系、两角和差的余弦公式的应用，属于基础题．2、B【解析】

计算出向量的坐标，再利用向量的求模公式计算出的值.【详解】由题意可得，因此，，故选B.【点睛】本题考查向量模的计算，解题的关键就是求出向量的坐标，并利用坐标求出向量的模，考查运算求解能力，属于基础题.3、D【解析】

在A中，m与n相交、平行或异面；在B中，α与β相交或平行；在C中，m⊥β或m∥β或m与β相交；在D中，由直线与平面垂直的性质与判定定理可得m∥α．【详解】由直线m、n，和平面α、β，知：对于A，若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故A错误；对于B，若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β或α与β相交，故B错误；对于中，若α⊥β，α⊥β，m⊂α，则m⊥β或m∥β或m与β相交，故C错误；对于D，若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则由直线与平面垂直的性质与判定定理得m∥α，故D正确．故选D．【点睛】本题考查了命题真假的判断问题，考查了空间线线、线面、面面的位置关系的判定定理及推论的应用，体现符号语言与图形语言的相互转化，是中档题．4、D【解析】

首先求出两条直线的交点坐标，再根据垂直求出斜率，点斜式写方程即可.【详解】有题知：，解得：，交点.直线的斜率为，所求直线斜率为.所求直线为：，即.故选：D【点睛】本题主要考查如何求两条直线的交点坐标，同时考查了两条直线的位置关系，属于简单题.5、C【解析】

利用向量平行的坐标表示，即可求出．【详解】向量，，，即解得．故选．【点睛】本题主要考查向量平行的坐标表示．6、D【解析】

平移两条异面直线到相交，根据余弦定理求解.【详解】如图所示：设的中点为，连接，所以，则是所成的角或其补角，又根据余弦定理得：，所以，异面直线与所成角的为，故选D.【点睛】本题考查异面直线所成的角和余弦定理.注意异面直线所成的角的取值范围是.7、C【解析】

利用椭圆和双曲线的性质，用椭圆双曲线的焦距长轴长表示，再利用均值不等式得到答案.【详解】设椭圆长轴，双曲线实轴，由题意可知：，又，，两式相减，可得：，，.，，当且仅当时等立，的最小值为6，故选:C．【点睛】本题考查了椭圆双曲线的性质，用椭圆双曲线的焦距长轴长表示是解题的关键，意在考查学生的计算能力.8、A【解析】

先由题意确定抽样比，进而可求出结果.【详解】由题意该单位共有职工人，用分层抽样的方法从中抽取10人进行体检，抽样比为，所以应抽查的老年人的人数为.故选A【点睛】本题主要考查分层抽样，会由题意求抽样比即可，属于基础题型.9、D【解析】

首先根据得到异面直线与所成的角就是直线与所成角，再根据即可求出答案.【详解】由图知：取的中点，连接.因为，所以异面直线与所成的角就是直线与所成角.因为，所以，.因为，所以，.所以异面直线与所成的角为.故选：D【点睛】本题主要考查异面直线所成角，平移找角为解题的关键，属于简单题.10、C【解析】

利用象限角的表示即可求解.【详解】由是第四象限角，则，所以，所以是第三象限角.故选：C【点睛】本题考查了象限角的表示，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】若直线与直线的交点位于第一象限，如图所示：则两直线的交点应在线段上（不包含点）,当交点为时，直线的倾斜角为，当交点为时，斜率，直线的倾斜角为∴直线的倾斜角的取值范围是．故答案为12、【解析】

利用等差数列的性质以及等差数列奇数项之和与中间项的关系进行化简求解.【详解】因为是等差数列，所以，又因为为等差数列，所以，故．【点睛】（1）在等差数列中，若，则有；（2）在等差数列.13、【解析】

用表示出,由对应相等即可得出．【详解】因为，所以解得得．【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理，以及向量的三角形法则，平面上任意不共线的一组向量可以作为一组基底．14、【解析】

令代入可求得；方程两边取倒数，构造出等差数列，即可得答案.【详解】令，则；∵，∴数列为等差数列，∴，∴.故答案为：；.【点睛】本题考查数列的递推关系求通项，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意两边取倒数，构造新等差数列的方法.15、【解析】

如图，连接，在直角三角形中，所以，，，故.考点：1.直线与圆的位置关系；2.平面向量的数量积.16、④【解析】

由题意结合奇函数的对称性和所给函数的性质即可求得最终结果．【详解】奇函数的函数图象关于坐标原点中心对称，则若奇函数f（x）在区间[3，7]上是增函数且最小值为1，那么f（x）在区间[﹣7，﹣3]上是增函数且最大值为﹣1．故答案为：④．【点睛】本题考查了奇函数的性质，函数的对称性及其应用等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、；115.25吨【解析】

由表格中的数据先求出,再根据公式求得与的值,得到线性回归方程,取即可求得2019年该农产品销售量的预测值.【详解】由表中数据可得:,,∴,,∴所求回归直线方程为:,由此可以预测2019年该农产品的销售量为:吨.【点睛】本题考查线性回归方程的求法,考查计算能力,难度不大.18、(1)；（2）．【解析】试题分析：（1）利用等差等比基本公式，计算数列的通项公式；（2）利用裂项相消法求和.试题解析：(1)设公差为，因为，，成等数列，所以，即，解得，或(舍去)，所以.(2)由(1)知，所以，，所以.19、(1)见证明；(2)见证明；(3)【解析】

（1）连接，交于，则为中点，连接OP，可证明，从而可证明直线平面；（2）先证明AC⊥BD，，可得到平面，然后结合平面，可知平面平面；（3）连接，由（2）知，平面平面，可知即为与平面的夹角，求解即可.【详解】（1）证明：连接，交于，则为中点，连接OP，∵P为的中点，∴，∵OP⊂平面，⊄平面，∴平面；（2）证明：长方体中，，底面是正方形，则AC⊥BD，又⊥面，则．∵⊂平面，⊂平面，，∴平面．∵平面，∴平面平面；（3）解：连接，由（2）知，平面平面，∴即为与平面的夹角，在长方体中，∵，∴．在中，．∴直线与平面的夹角为．【点睛】本题考查了线面平行、面面垂直的证明，考查了线面角的求法，考查了学生的空间想象能力和计算求解能力，属于中档题.20、(1);(2).【解析】

(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B的三角方程，最后根据A,B,C均为三角形内角解得.(2)根据三角形面积公式，又根据正弦定理和得到关于的函数，由于是锐角三角形，所以利用三个内角都小于来计算的定义域，最后求解的值域.【详解】(1)根据题意，由正弦定理得，因为，故，消去得．，因为故或者，而根据题意，故不成立，所以，又因为，代入得，所以.(2)因为是锐角三角形，由（1）知，得到，故，解得.又应用正弦定理，，由三角形面积公式有：.又因,故，故.故的取值范围是【点睛】这道题考查了三角