湖北省鄂州市吴都中学2025届高一下数学期末学业质量监测试题含解析

湖北省鄂州市吴都中学2025届高一下数学期末学业质量监测试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．名小学生的身高（单位：cm）分成了甲、乙两组数据，甲组：115，122，105，111，109；乙组：125，132，115，121，119.两组数据中相等的数字特征是()A．中位数、极差 B．平均数、方差C．方差、极差 D．极差、平均数2．若点，关于直线l对称，则l的方程为（）A． B．C． D．3．在中，，则一定是（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等边三角形 D．等腰直角三角形4．函数的图象如图所示，则y的表达式为（）A． B．C． D．5．设，是定义在上的两个周期函数，的周期为，的周期为，且是奇函数．当时，，，其中．若在区间上，函数有个不同的零点，则的取值范围是（）A． B． C． D．6．如图，圆的半径为1，是圆上的定点，是圆上的动点，角的始边为射线，终边为射线，过点作直线的垂线，垂足为，将点到直线的距离表示成的函数，则在上的图象大致为（）A． B．C． D．7．在数列中，已知，，则该数列前2019项的和（）A．2019 B．2020 C．4038 D．40408．函数的定义域为（）A． B． C． D．9．下列四个函数中，既是上的增函数，又是以为周期的偶函数的是（）A． B． C． D．10．若，则的最小值为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．设，且，则的取值范围是______.12．已知等比数列、、、满足，，，则的取值范围为__________．13．若实数满足，则取值范围是____________。14．利用直线与圆的有关知识求函数的最小值为_______.15．已知直线平分圆的周长，则实数________．16．正六棱柱各棱长均为，则一动点从出发沿表面移动到时的最短路程为__________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．某校全体教师年龄的频率分布表如表1所示，其中男教师年龄的频率分布直方图如图2所示.已知该校年龄在岁以下的教师中，男女教师的人数相等.表1：(1)求图2中的值；(2)若按性别分层抽样，随机抽取16人参加技能比赛活动，求男女教师抽取的人数；(3)若从年龄在的教师中随机抽取2人，参加重阳节活动，求至少有1名女教师的概率.18．已知等差数列an满足a3=5，a6=a4（1）求数列an，b（2）设cn=anbn219．如图，某地三角工厂分别位于边长为2的正方形的两个顶点及中点处.为处理这三角工厂的污水，在该正方形区域内（含边界）与等距的点处建一个污水处理厂，并铺设三条排污管道，记辅设管道总长为千米.（1）按下列要求建立函数关系式：（i）设，将表示成的函数；（ii）设，将表示成的函数；（2）请你选用一个函数关系，确定污水厂位置，使铺设管道总长最短.20．已知f（α）=，其中α≠kπ（k∈Z）．（1）化简f（α）；（2）若f（+β）=-，β是第四象限的角，求sin（2β+）的值．21．在平面直角坐标系中，的顶点、，边上的高线所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为.（1）求点B到直线的距离；（2）求的面积.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】

将甲、乙两组数据的极差、平均数、中位数、方差全部算出来，并进行比较，可得出答案．【详解】甲组数据由小到大排列依次为：、、、、，极差为，平均数为中位数为，方差为，乙组数据由小到大排列依次为：、、、、，极差为，平均数为中位数为，方差为，因此，两组数据相等的是极差和方差，故选C．【点睛】本题考查样本的数字特征，理解极差、平均数、中位数、方差的定义并利用相关公式进行计算是解本题的关键，考查计算能力，属于基础题．2、A【解析】

根据A，B关于直线l对称，直线l经过AB中点且直线l和AB垂直，可得l的方程.【详解】由题意可知AB中点坐标是，，因为A，B关于直线l对称，所以直线l经过AB中点且直线l和AB垂直，所以直线l的斜率为，所以直线l的方程为，即，故选：A.【点睛】本题考查直线位置关系的应用，垂直关系利用斜率之积为求解，属于简单题.3、B【解析】

利用余弦定理、三角形面积公式、正弦定理，求得和，通过等式消去，求得的两个值，再判断三角形的形状.【详解】，又，，，又，，又，，，，，，解得：或，一定是直角三角形.【点睛】本题在求解过程中对存在两组解，要注意解答的完整性与严谨性，综合两种情况，再对的形状作出判断.4、B【解析】

根据图像最大值和最小值可得，根据最大值和最小值的所对应的的值，可得周期，然后由，得到，代入点，结合的范围，得到答案.【详解】根据图像可得，，即，根据，得，所以，代入，得，所以，，所以，又因，所以得，所以得到，故选B.【点睛】本题考查根据函数图像求正弦型函数的解析式，属于简单题.5、B【解析】

根据题意可知，函数和在上的图象有个不同的交点，作出两函数图象，即可数形结合求出．【详解】作出两函数的图象，如图所示：由图可知，函数和在上的图象有个不同的交点，故函数和在上的图象有个不同的交点，才可以满足题意．所以，圆心到直线的距离为，解得，因为两点连线斜率为，所以，．故选：B．【点睛】本题主要考查了分段函数的图象应用，函数性质的应用，函数的零点个数与两函数图象之间的交点个数关系的应用，意在考查学生的转化能力和数形结合能力，属于中档题．6、B【解析】

计算函数的表达式，对比图像得到答案.【详解】根据题意知：到直线的距离为：对应图像为B故答案选B【点睛】本题考查了三角函数的应用，意在考查学生的应用能力.7、A【解析】

根据条件判断出为等差数列，利用等差数列的性质得到和之间的关系，得到答案.【详解】为等差数列【点睛】本题考查等差中项，等差数列的基本性质，属于简单题.8、C【解析】要使函数有意义，需使，即，所以故选C9、C【解析】

本题首先可确定四个选项中的函数的周期性以及在区间上的单调性、奇偶性，然后根据题意即可得出结果．【详解】A项：函数周期为，在上是增函数,奇函数；B项：函数周期为，在上是减函数，偶函数；C项：函数周期为，在上是增函数，偶函数；D项：函数周期为，在上是减函数，偶函数；综上所述，故选C．【点睛】本题考查三角函数的周期性以及单调性，能否熟练的掌握正弦函数以及余弦函数的图像性质是解决本题的关键，考查推理能力，是简单题．10、D【解析】

根据对数运算可求得且，，利用基本不等式可求得最小值.【详解】由得：且，（当且仅当时取等号）本题正确选项：【点睛】本题考查利用基本不等式求解和的最小值的问题，关键是能够利用对数运算得到积的定值，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

通过可求得x的取值范围，接着利用反正弦函数的定义可得的取值范围.【详解】，，即.由反正弦函数的定义可得，即的取值范围为.故答案为：.【点睛】本题主要考查余弦函数的定义域和值域，反正弦函数的定义，属于基础题.12、【解析】

设等比数列、、、的公比为，由和计算出的取值范围，再由可得出的取值范围.【详解】设等比数列、、、的公比为，，，，所以，，，.所以，，故答案为：.【点睛】本题考查等比数列通项公式及其性质，解题的关键就是利用已知条件求出公比的取值范围，考查运算求解能力，属于中等题.13、；【解析】

利用三角换元，设，；利用辅助角公式将化为，根据三角函数值域求得结果.【详解】可设，，本题正确结果：【点睛】本题考查利用三角换元法求解取值范围的问题，关键是能够将问题转化为三角函数值域的求解问题.14、【解析】

令得，转化为z==，再利用圆心到直线距离求最值即可【详解】令，则故转化为z==，表示上半个圆上的点到直线的距离的最小值的5倍，即故答案为3【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，考查数形结合思想，是中档题15、1【解析】

由题得圆心在直线上，解方程即得解.【详解】由题得圆心（1，a）在直线上，所以.故答案为1【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.16、【解析】

根据可能走的路径，将所给的正六棱柱展开，利用平面几何知识求解比较.【详解】将所给的正六棱柱下图(2)表面按图(1)展开.，，，故从A沿正侧面和上表面到D1的路程最短为故答案为：.【点睛】本题主要考查了空间几何体展形图的应用，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）见解析；（3）【解析】

由男教师年龄的频率分布直方图总面积为1求得答案；由男教师年龄在的频率可计算出男教师人数，从而女教师人数也可求得，于是通过分层抽样的比例关系即可得到答案;年龄在的教师中，男教师为(人)，则女教师为1人,从而可计算出基本事件的概率.【详解】(1)由男教师年龄的频率分布直方图得解得(2)该校年龄在岁以下的男女教师人数相等，且共14人，年龄在岁以下的男教师共7人由(1)知，男教师年龄在的频率为男教师共有(人)，女教师共有(人)按性别分层抽样，随机抽取16人参加技能比赛活动，则男教师抽取的人数为(人)，女教师抽取的人数为人(3)年龄在的教师中，男教师为(人)，则女教师为1人从年龄在的教师中随机抽取2人，共有10种可能情形其中至少有1名女教师的有4种情形故所求概率为【点睛】本题主要考查频率分布直方图，分层抽样，古典概率的计算，意在考查学生的计算能力和分析能力，难度不大.18、（1）an=2n-1，【解析】

（1）利用等差数列、等比数列的通项公式即可求得；（2）由（1）知，cn=anbn2【详解】（1）设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为因为a6=a4+4所以an由b3b5又显然b4必与b2同号，所以所以q2=b所以bn（2）由（1）知，cn则Tn12①-②，得1=1+1-所以Tn【点睛】用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.19、（1）（i）（，其中）.（ii).（2）污水厂设在与直线距离处【解析】

（1）（i）设的中点为，则，，，，由此可得关于的函数；（ii）由题意，则，，由此可得关于的函数；（2）设，，则，然后利用基本不等式求最值．【详解】解：（1）（i）设中点，则，，，，∴（，其中）；（ii），，；（2）设，，则，，当，即时，取最小值，∴污水厂设在与直线距离处时，铺设管道总长最短，最短长度为千米．【点睛】本题主要考查根据实际问题选择函数模型，训练了利用换元法及基本不等式求最值，属于中档题．20、(1)(2)【解析】

（1）直接利用三角函数的诱导公式，化简运算，即可求解；（2）由，得，进一步求得，得到sin2与cos2，再由sin（2+）展开两角和的正弦求解．【详解】（1）由题意，可得=；（2）由f（+）==-，得sin．又β是第四象限的角，∴cos=．∴sin2，cos2．∴sin（2+）=sin2cos+cos2sin=．【点睛】本题主要考查了三角函数