新人教A版高中数学必修一分段函数及映射学案

第2课时分段函数及映射[学习目标]1.掌握简单的分段函数，并能简单应用.2.了解映射概念及它与函数的联系．[知识链接]1．函数的定义：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.2．作函数的图象通常分三步，即列表、描点、连线．[预习导引]1．分段函数在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．2．映射的概念映射的定义：设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．要点一分段函数求值例1已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≤－2，,x2＋2x，－2＜x＜2，,2x－1，x≥2.))(1)求f(－5)，f(－eq\r(3))，f[f(－eq\f(5,2))]的值；(2)若f(a)＝3，求实数a的值．解(1)由－5∈(－∞，－2]，－eq\r(3)∈(－2,2)，－eq\f(5,2)∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4，f(－eq\r(3))＝(－eq\r(3))2＋2(－eq\r(3))＝3－2eq\r(3).∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))＝－eq\f(5,2)＋1＝－eq\f(3,2)，而－2<－eq\f(3,2)<2，∴f[f(－eq\f(5,2))]＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))2＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝eq\f(9,4)－3＝－eq\f(3,4).(2)当a≤－2时，a＋1＝3，即a＝2＞－2，不合题意，舍去．当－2＜a＜2时，a2＋2a＝3，即a2＋2所以(a－1)(a＋3)＝0，得a＝1，或a＝－3.∵1∈(－2,2)，－3∉(－2,2)，∴a＝1符合题意．当a≥2时，2a－1＝3，即a综上可得，当f(a)＝3时，a＝1，或a＝2.规律方法1.分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求值．2．已知分段函数的函数值求相对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验分段解析式的适用范围；也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解．跟踪演练1已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,x＋1)，x<1，,\r(x－1)，x>1，))则f(2)等于()A．0B.eq\f(1,3)C．1D．2答案C解析f(2)＝eq\r(2－1)＝1.要点二分段函数的图象及应用例2已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－1≤x≤1，,1x＞1或x＜－1，))(1)画出f(x)的图象；(2)求f(x)的定义域和值域．解(1)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示．(2)由条件知，函数f(x)的定义域为R.由图象知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0,1]，当x＞1或x＜－1时，f(x)＝1，所以f(x)的值域为[0,1]．规律方法1.分段函数的解析式因其特点可以分成两个或两个以上的不同解析式，所以它的图象也由几部分构成，有的可以是光滑的曲线段，有的也可以是一些孤立的点或几段线段或射线，而分段函数的定义域与值域的最好求法也是“图象法”．2．对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数来画图象．3．画分段函数图象时还要注意端点是“实心点”还是“空心点”．跟踪演练2作出y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－7，x∈－∞，－2]，,2x－3，x∈－2，5]，,7，x∈5，＋∞))的图象，并求y的值域．解y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－7，x∈－∞，－2]，,2x－3，x∈－2，5]，,7，x∈5，＋∞.))值域为y∈[－7,7]．图象如下图．要点三映射的概念例3以下给出的对应是不是从集合A到集合B的映射？(1)集合A＝{P|P是数轴上的点}，集合B＝R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；(2)集合A＝{P|P是平面直角坐标系中的点}，集合B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；(3)集合A＝{x|x是三角形}，集合B＝{x|x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；(4)集合A＝{x|x是新华中学的班级}，集合B＝{x|x是新华中学的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生．解(1)按照建立数轴的方法可知，数轴上的任意一个点，都有唯一的实数与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到集合B的一个映射．(2)按照建立平面直角坐标系的方法可知，平面直角坐标系中的任意一个点，都有唯一的一个实数对与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到集合B的一个映射．(3)由于每一个三角形只有一个内切圆与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到集合B的一个映射．(4)新华中学的每一个班级里的学生都不止一个，即与一个班级对应的学生不止一个，所以这个对应f：A→B不是从集合A到集合B的一个映射．规律方法映射是一种特殊的对应，它具有：(1)方向性：映射是有次序的，一般地从A到B的映射与从B到A的映射是不同的；(2)唯一性：集合A中的任意一个元素在集合B中都有唯一元素关系，可以是：一对一，多对一，但不能一对多．跟踪演练3下列对应是从集合M到集合N的映射的是()①M＝N＝R，f：x→y＝eq\f(1,x)，x∈M，y∈N；②M＝N＝R，f：x→y＝x2，x∈M，y∈N；③M＝N＝R，f：x→y＝eq\f(1,|x|＋x)，x∈M，y∈N；④M＝N＝R，f：x→y＝x3，x∈M，y∈N.A．①②B．②③C．①④D．②④答案D解析对于①，集合M中的元素0在N中无元素与之对应，所以①不是映射．对于③，M中的元素0及负实数在N中没有元素与之对应，所以③不是映射．对于②④，M中的元素在N中都有唯一的元素与之对应，所以②④是映射．故选D.1．下列集合A到集合B的对应中，构成映射的是()答案D解析在A、B选项中，由于集合A中的元素2在集合B中没有对应的元素，故构不成映射，在C选项中，集合A中的元素1在集合B中的对应元素不唯一，故构不成映射，只有选项D符合映射的定义，故选D.2．函数y＝|x|的图象是()答案B解析∵y＝|x|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，x≥0，,－x，x＜0，))∴B选项正确．3．设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋1，x≤1,\f(2,x)，x>1))，则f(f(3))等于()A.eq\f(1,5)B．3C.eq\f(2,3)D.eq\f(13,9)答案D解析∵f(3)＝eq\f(2,3)，∴f(f(3))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＋1＝eq\f(13,9).4．设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x，x≤0，,x2，x＞0.))若f(α)＝4，则实数α等于()A．－4或－2B．－4或2C．－2或4D．－2或2答案B解析当α≤0时，f(α)＝－α＝4，∴α＝－4；当α＞0时，f(α)＝α2＝4，∴α＝2或－2(舍去)．5．某客运公司确定车票价格的方法是：如果行程不超过100千米，票价是每千米0.5元；如果超过100千米，超过部分按每千米0.4元定价，则客运票价y(元)与行程x(千米)之间的函数关系式是________．答案y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0.5x，0≤x≤100,10＋0.4x，x>100))解析由题意得，当0≤x≤100时，y＝0.5x；当x>100时y＝100×0.5＋(x－100)×0.4＝10＋0.4x.1.对映射的定义，应注意以下几点：(1)集合A和B必须是非空集合，它们可以是数集、点集，也可以是其他集合．(2)映射是一种特殊的对应，对应关系可以用图示或文字描述的方法来表达．2．理解分段函数应注意的问题：(1)分段函数是一个函数，其定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域”的并集．写定义域时，区间的端点需不重不漏．(2)求分段函数的函数值时，自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式．(3)研究分段函数时，应根据“先分后合”的原则，尤其是作分段函数的图象时，可先将各段的图象分别画出来，从而得到整个函数的图象．一、基础达标1．以下几个论断①从映射角度看，函数是其定义域到值域的映射；②函数y＝x－1，x∈Z且x∈(－3,3]的图象是一条线段；③分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集；④若D1，D2分别是分段函数的两个不同对应关系的值域，则D1∩D2＝∅.其中正确的论断有()A．0个B．1个C．2个D．3个答案C解析函数是特殊的映射，所以①正确；②中的定义域为{－2，－1,0,1,2,3}，它的图象是直线y＝x－1上的六个孤立的点；因此②不正确；由分段函数的概念可知③正确，④不正确．2．已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10，x<0，,10x，x≥0，))则f[f(－7)]的值为()A．100B．10C．－10D．－100答案A解析∵f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10，x<0，,10x，x≥0，))∴f(－7)＝10.f[f(－7)]＝f(10)＝10×10＝100.3．函数f(x)＝x＋eq\f(|x|,x)的图象是()答案C解析f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x>0，,x－1，x<0，))画出f(x)的图象可知选C.4．已知集合A中元素(x，y)在映射f下对应B中元素(x＋y，x－y)，则B中元素(4，－2)在A中对应的元素为()A．(1,3)B．(1,6)C．(2,4)D．(2,6)答案A解析由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝4，,x－y＝－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝3.))5．设f：x→ax－1为从集合A到B的映射，若f(2)＝3，则f(3)＝________.答案5解析由f(2)＝3，可知2a－1＝3，∴a∴f(3)＝3a6．函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋1x≥0，,2－x－2≤x＜0))的值域是________．答案[1，＋∞)解析当x≥0时，f(x)≥1，当－2≤x＜0时，2＜f(x)≤4，∴f(x)≥1或2＜f(x)≤4，即f(x)的值域为[1，＋∞)．7．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－4，0≤x≤2，,2x，x＞2.))(1)求f(2)，f[f(2)]的值；(2)若f(x0)＝8，求x0的值．解(1)∵0≤x≤2时，f(x)＝x2－4，∴f(2)＝22－4＝0，f[f(2)]＝f(0)＝02－4＝－4.(2)当0≤x0≤2时，由xeq\o\al(2,0)－4＝8，得x0＝±2eq\r(3)(舍去)；当x0＞2时，由2x0＝8，得x0＝4.∴x0＝4.二、能力提升8．已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－5，x≥6，,fx＋2，x＜6，))则f(3)为()A．2B．3C．4D．5答案A解析f(3)＝f(3＋2)＝f(5)，f(5)＝f(5＋2)＝f(7)，∴f(7)＝7－5＝2.故f(3)＝2.9．已知函数f(x)的图象是两条线段(如图所示，不含端点)，则f[feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))]等于()A．－eq\f(1,3)B.eq\f(1,3)C．－eq\f(2,3)D.eq\f(2,3)答案B解析由图可知，函数f(x)的解析式为f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1，0＜x＜1，,x＋1，－1＜x＜0，))∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝eq\f(1,3)－1＝－eq\f(2,3)，∴f[feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))]＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＝－eq\f(2,3)＋1＝eq\f(1,3).10．设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x2，x≤1，,x2＋x－2，x＞1，))则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,f2)))的值是________．答案eq\f(15,16)解析f(2)＝22＋2－2＝4，∴eq\f(1,f2)＝eq\f(1,4)，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,f2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2＝eq\f(15,16).11．已知函数y＝|x－1|＋|x＋2|.(1)作出函数的图象；(2)写出函数的定义域和值域．解(1)首先考虑去掉解析式中的绝对值符号，第一个绝对值的分段点x＝1，第二个绝对值的分段点x＝－2，这样数轴被分为三部分：(－∞，－2]，(－2,1]，(1，＋∞)，所以已知函数可写为分段函数形式：y＝|x－1|＋|x＋2|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x－1x≤－2，,3－2<x≤1，,2x＋1x>1.))在相应的x取值范围内，分别作出相应函数的图象，即为所求函数的图象，如图．(2)根据函数的图象可知：函数的定义域为R，值域为[3，＋∞)．三、探究与创新12．“水”这个曾经被人认为取之不尽，用