函数的对称性课件-2025届高三数学一轮复习

第二章函数的概念与性质第4课时函数的对称性考试要求能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论.会利用对称公式解决问题．链接教材夯基固本第4课时函数的对称性1．奇函数、偶函数的对称性(1)奇函数的图象关于____对称，偶函数的图象关于___对称．(2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线____对称；若函数y＝f(x＋a)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象的对称中心为点________．原点y轴x＝a(a，0)

(a，0)y轴x轴原点一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若函数y＝f(x－1)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称． (

)(2)若函数y＝f(x＋1)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称． (

)(3)若函数f(x)满足f(x－1)＝f(x＋1)，则f(x)的图象关于y轴对称． (

)(4)若函数f(x)满足f(1＋x)＝－f(1－x)，则f(x)的图象关于直线x＝1对称． (

)×√××二、教材经典衍生1．(人教A版必修第一册P85思考改编)函数f(x)＝x3＋x的图象关于(

)A．x轴对称B．y轴对称C．原点对称D．直线y＝x对称C

[因为f(x)＝x3＋x为奇函数，所以函数的图象关于原点对称．故选C.]

4．(人教A版必修第一册P87T13(1)改编)函数y＝f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数．已知f(x)＝mx3＋nx＋1.(1)若f(x)在[－6，6]上的最大值为M，最小值为N，则M＋N＝________；(2)若m＝1，n＝－3，则函数f(x)的对称中心为点________．2(0，1)

典例精研核心考点第4课时函数的对称性

(1)B

(2)ACD

[(1)函数y＝f(x＋1)是偶函数，

且在[0，＋∞)上单调递增，即函数y＝f(x＋1)的对称轴为y轴，又函数y＝f(x＋1)向右平移1个单位长度可得y＝f(x)，∴函数y＝f(x)的对称轴为直线x＝1，且在[1，＋∞)上单调递增，∴由f(2x)＞f(x＋2)得|2x－1|＞|x＋2－1|，解得x＜0或x＞2.故选B.(2)∵f(2＋x)＝f(2－x)，∴f(x)的图象关于直线x＝2对称，故A正确，B错误；∵函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，∴f(－x)＝f(x＋4)，又f(－x)＝f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，∴函数f(x)的周期为4，故C正确；∵f(x)的周期为4且为偶函数，∴y＝f(x＋4)为偶函数，故D正确．]

[跟进训练]1．(1)已知函数f(x)＝3|x－a|＋2，且满足f(5＋x)＝f(3－x)，则f(6)＝(

)A．29

B．11

C．3

D．5(2)已知函数g(x)＝x2－2x＋a(ex-1＋e－x+1)，则该函数图象的对称轴为直线x＝____．(1)B

(2)1

[(1)因为f(5＋x)＝f(3－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝4对称，而f(x)＝3|x－a|＋2的图象关于直线x＝a对称，所以a＝4，f(6)＝3|6-4|＋2＝11.故选B.(2)已知函数g(x)＝x2－2x＋a(ex-1＋e－x+1)，∵g(1＋x)－g(1－x)＝(1＋x)2－2(1＋x)＋a(e1+x-1＋e-1-x+1)－(1－x)2＋2(1－x)－a(e1-x-1＋e-1+x+1)＝x2－1＋a(ex＋e－x)－x2＋1－a(e－x＋ex)＝0，∴y＝g(x＋1)是一个偶函数．∴g(x)的图象关于直线x＝1轴对称.]1

(1)D

(2)BCD

[(1)因为f(2－x)＋f(x)＝－2，所以f(x)关于点(1，－1)对称，所以将f(x)向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数y＝f(x＋1)＋1，该函数的对称中心为点(0，0)，故y＝f(x＋1)＋1为奇函数．

[跟进训练]3．设函数y＝f(x)的图象与y＝3x＋m的图象关于直线y＝x对称，若f(3)＋f(9)＝1，实数m的值为________．1

[∵函数y