新教材高中数学第2章平面解析几何单元质量测评新人教B版选择性必修第一册

第二章单元质量测评

时间：120分钟满分：150分

一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的)

1.若直线(2*2+〃-3)%+(好一4)"一4*+1=0与直线2入-37—5=0平行，则A值为

()

1-91

A.-5或1B.一鼻或1

O

9

C.D.1

8

答案C

解析因为两直线平行，所以有2(2—〃)+3(242+衣-3)=0,即8如+«—9=0,解得女

99

=-6或4=1.检验知4=1时不成立，故A=-g

OO

22

2.“1〈欣3”是“方程上彳+―=1表示椭圆”的()

ni—\3—加

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案B

解析当m=2时，方程上7+-=1为f+/=l,该方程表示圆，即充分性不成立.若

m-1a-m

f/zz-l>0,

22

方程=4+廿-=1表示椭圆，则｛3—勿>0,解得1〈成3且而W2,即必要性成立.故

m-13—7

[7―1H3一如

选B.

22

3.以9一三=-1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为(

)

答案D

解析题中的方程可化为缶—彳=1,...该双曲线的焦点为(0,±4),顶点为(0,

1.4q

22

±2^3).从而椭圆方程中，a=4,c=24，.•"=2.•.•焦点在y轴上，,椭圆方程为9+得=

1.故选D.

22

4.已知椭圆上+?=1的焦距等于2,则实数勿的值为()

m4

A.5B.8

C.16D.3或5

答案D

解析若椭圆的焦点在x轴上，则由已知得2=26解得必=5；若椭圆的焦点在y

轴上，则由已知得2=2亚=嬴解得加=3.综上，知所求实数0的值为3或5.

5.过点(3,1)作圆5—1)2+/=1的两条切线，切点分别为4,B,则直线18的方程为

()

A.2x+y—3=0B.2x—y—3=0

C.4%-y-3=0D.4%+y-3=0

答案A

1—01

解析设C(3,1),圆心0(1,0),根据直线与圆相切的性质知力从LOC,7=-,

5—1/

：.kM=-2,根据圆与直线的方程可知一个切点为(1,1),•••直线的方程由点斜式可得y

—1=—2(x—1),即2x+y—3=0.故选A.

5

6.设椭圆G的离心率为石，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线G上的点到椭圆G的

两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线G的标准方程为()

x2y2x2y2

A-超一1=1B.逐一不=1

x2y2x2y2

C.g一不=1D.透—森=1

答案A

Q.5

解析对于椭圆G,,••长轴长2al=26,.•・d=13,又其离心率e\=——**•ci=5.由

a\13

题意知曲线G为双曲线，且与椭圆C同焦点，Q=5,又2/=8,・,.4=4,髭=4五一发=

X2V2

3.又焦点在x轴上，故曲线G的标准方程为不一$=1.故选A.

殳2

7.已知产为双曲线之一£=1(。>6>0)上一点，R,K为其焦点，若NF、PA=60°,则S

ab

△川杯2等于()

C.乎|炉一alD.坐la'+bl

答案A

解析：|所|一|况|=±2a,且4c'I附『十|班『一2|小।.|K|COS60。=（|两I

-\PF2\y+\PF,\•\PF2\,：.\PFX\•\PF,\=4c~4a=4尻5△M/V2=1

|丹;I•|松|sin60°.故选A.

8.过点M（—2,0）的直线？与椭圆f+2/=2交于R,8两点，线段在8的中点为P,设

直线/的斜率为左（尢#0）,直线勿3的斜率为左，则L4的值等于（）

A.2B.-2

11

---

2D.2

答案D

解析设入y=4（x+2）,将尸&（x+2）代入f+2/=2,得（1+2居）f+8居x+8居一2

,.、l।—4必、2k\yb—01

=0,设中点户（xo,为），则施=[乂）=左（照+2）=[:・k?=---^=-:・k\k?

1十必1.十2%XQ—0ZAi

=~2,

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多

项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得。分）

9.下列说法正确的是（）

XV

A.截距相等的直线都可以用方程一+/=1表示

aQ

B.方程x+必y-2=0EdR）能表示平行于y轴的直线

C.经过点尸（1,1）,倾斜角为。的直线方程为y—l=tan

D.经过两点尸1（%,%）,P-AX-2,㈤的直线方程为（於一万）（X—XI）一（及一XI）（y-yi）=0

答案BD

解析对于A,若直线过原点，横纵截距都为零，则不能用方程'+2=1表示，所以不正

aa

确；对于B,当必=0时，平行于y轴的直线方程形式为x=2,所以正确；对于C,若直线的

倾斜角为90°,则该直线的斜率不存在，不能用y—l=tan9（x—1）表示，所以不正确；对

于D,设点P（x,y）是经过两点A（x”a）,Pz（x?,次）的直线上的任意一点，根据片白〃4河

得（必一必）（x—汨）一（在一为）（y—乃）=0,所以正确.故选BD.

10.已知直线J：ax—y+b=Q,圆环｛x—a）'+（y+Z?）2=aJ+Z?2,则/与M在同一平面

直角坐标系中的图形可能是（）

答案BC

解析圆M的圆心为(a,—6),且过原点，可排除A；B项中由直线/可知，a>0,从0,

圆心(a,—6)在第一象限，满足条件；C项中由直线，可知a<0,力0,...圆心(a,-6)在

第三象限，满足条件；D项中由直线/可知a〈0,从0,...圆心(a,—6)在第二象限，与图形

不符.故选BC.

11.已知双曲线C过点(3,镜)且渐近线为y=±半x,则下列结论正确的是()

A.双曲线。的方程为卷一/=1

B.双曲线C的离心率为十

C.曲线y=eA-2-l经过双曲线，的一个焦点

D.直线x—镜y-1=0与双曲线C有两个公共点

答案AC

解析对于A,由已知y=±*x,可得从而设所求双曲线的方程为，/一/=

力，又由双曲线。过点(3,小)可得《X3一(也产=4，即4=1,故A正确；对于B,由双

曲线。的方程可知a={5,b=l,c=2,从而双曲线。的离心率e=£=j-=逑，故B错误;

Va弋33

对于C,因为双曲线C的右焦点坐标为(2,0),满足y=ei—1,故C正确；对于D,联立

卜一派y—1=0,

L22整理，得/一2筐/+2=0,由4=(2g)2—4*2=0,知直线与双曲

Lj

线。只有一个交点，故D错误.故选AC.

12.已知点尸是抛物线/=2pxS>0)的焦点，AB,切是经过点尸的弦且4?，如，46的

斜率为衣，且%>0,C,/两点在x轴上方.则下列结论中一定成立的是()

A，11可+I徵|=诟

B.若|明•团=%?,则仁当

C.0A•应=应1•0D

D.四边形4曲面积的最小值为16/

答案AC

解析因为45的斜率为kABVCD,所以购=一右设爪布，必)，8(如㈤，的方

.、(y=2p>,

程为y="("一2，由j—灯可得+2)x+；扁7?=0,

在无关，同理，oc-宓=一也，故应•鬲应'•ob,故c正确；若|朋•|跖|=察，由1+习

=为恁+?为+及)+/得%~然2—="+£=%'解得幺=/，故B错误；因

为AB1CD,所以四边形4皈的面积品1»的=1明•\CD\=\-2Pk.+1-2p(l+A2)=

/ZK

2»『=2pg+++2)N8上当且仅当好=*,即仁1时，等号成立，故D错误.故

选AC.

三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上)

13.过点41,-1),6(—1,1)且圆心在直线x+y—2=0上的圆的方程是.

答案(%-l)2+(y-l)2=4

解析易求得46的中点为(0,0),直线46的斜率为一1,从而线段4?的垂直平分线为直

线尸方根据圆的几何性质，知这条直线应该过圆心，将它与直线x+y-2=0联立得到圆

心(1,1),所以半径「=2,故圆的方程为(x—l)2+(y—1)2=4.

14.抛物线产=一步上的点到直线4x+3y-8=0的距离的最小值是.

4

答案可

O

解析设与直线4x+3y—8=0平行且与抛物线尸一V相切的直线方程为4叶37+%=

\y=­x,4

0,由《।,得3x‘一4x一加=0,由4=0得力=一三，所以直线4x+3y—8=0

〔4x+3y+〃=0,3

4

-8+才4

4

与直线4x+3y—可=0的距离而乔二§为抛物线尸—X上的点到直线4x+3y—8=0的距

•J

离的最小值.

15.设圆（xTy+a+S）=人7〉。）上有且仅有两个点到直线4*一3/一2=0的距离等

于1,则圆的半径r的取值范围是.

答案4VY6

解析注意到圆心C（3,一5）到已知直线的距离为上午3J:5-2=5,结合图

0+-3-

形可知有两个极端情形：

其一是如图所示的小圆，半径为4；

其二是如图所示的大圆，其半径为6,故4<r<6.

22

16.如图，F、,用分别为双曲线C：，一方=l（a>。，杨0）的左、右焦点，且阴用=2,若

双曲线。的右支上存在点R使得掰，行，设直线用与y轴交于点4且△4阳的内切圆

半径为则I阳+1序|一|4*=,双曲线。的离心率为.

答案12

解析因为如，阴，且△/阳的内切圆半径为/所以“+制一|肪1=1,所以

+2a+|川一|加|=1,所以|4K|一1"；|=l—2a,由图形的对称性，可知=所

以.又I内£|=2,所以2c=2,即。=1,所以双曲线。的离心率6=-=2.

Z3,

四、解答题(本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分10分)已知抛物线C经过点(3,6)且焦点在x轴上.

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)直线7：尸而一3过抛物线C的焦点尸且与抛物线C交于4,8两点,求48两点间

的距离.

解(IL..抛物线C经过点(3,6)且焦点在x轴上，

.•.设抛物线C的标准方程为/=2px(p>0),

.".62=2X3p,.,.p=6.

•••/=12x.故抛物线C的标准方程为/=12x.

(2)由(1)知A3,0),代入直线1的方程得k=\.

直线/的方程为y=x—3,联立方程0'

l/=12x,

消去y得V—18x+9=0.

设4(小，yi),6(及，㈤，则M+X2=18.

过焦点凡，|/8|=为+热+6=24.

18.(本小题满分12分)已知点/(m+1,2—蛆)，M(3,1),圆G(x—1)'+(y—2)~=

4.

(1)求过点尸的圆C的切线方程；

(2)求过点M的圆。的切线方程，并求出切线长.

解由题意得圆心为以1,2),半径r=2.

(1)V(^2+1-1)2+(2-^/2-2)2=4,

...点。在圆C上.

又品守肃二；=一1，；•切线的斜率k=-£=1.

，过点尸的圆C的切线方程是

y—(2—的="—(*+1),

即x-y+l-2y[2=0.

(2)：(3—1尸+(1—2尸=5>4,.•.点"在圆C外部.

当过点"的直线的斜率不存在时，直线方程为x=3,即x—3=0.

又点C(l,2)到直线x—3=0的距离d=3—l=2=r,所以直线x—3=0是圆的切线.

当切线的斜率存在时，设切线方程为了-1=%5—3),

即4x—y+1—3〃=0,

4—2+1-34____

则圆心。到切线的距离d=o

邓申='=2

3

解得A=[

3

切线方程为y—l=[（x—3）,即3x—4y—5=0.

综上可得，过点M的圆C的切线方程为A~3=0或3%-4y-5=0.

•••|MC\=73-]2+—22=4,

过点"的圆一的切线长为引比/―/=存7=1.

22

19.（本小题满分12分）如图所示，椭圆送+A1的左、右焦点分别为£,&一条直

线,经过片与椭圆交于46两点，

（1）求肥的周长；

（2）若直线/的倾斜角为45°,求△/昵的面积.

,V2

解由椭圆的方程生+《=1知，a=4,b=3,

169

；・c=yja—if=木.

⑴XABF?的周长为|明+1为|+|%|

=（|"；|+/川）+（|仍I+|期|）=4a=4X4=16.

（2）由c=小知内（一娟，0）,4（小，0）,

又左=121145°=1,.•.直线/的方程为x—y+巾=0.

1x—y+巾=0,

设4（x”m）,8（如必），则由彳9+产

消去x整理，得25/-18小尸81=0,

.,应I81

・・力+%=一^一，力度=一幅•

；・I必_乃I=\y\+yi2-4/ij2

=4臂）”碟=甯，

125J

:.S/XAB&*\RA\•|必一4|=Jx2小义§^=7彳

乙乙乙0乙。

20.(本小题满分12分)如图，已知抛物线a岁=4%过点以0,2)任作一直线与C相交

于46两点，过点8作y轴的平行线与直线4。相交于点。(。为坐标原点).

(1)证明：动点〃在定直线上；

(2)作C的任意一条切线/(不含x轴)，与直线y=2相交于点川，与(1)中的定直线相交

于点M证明：I磔-一M；『为定值，并求此定值.

解(1)证明：依题意可设46方程为y=4x+2,

代入*=4y,得六=4(4*+2),即/一44才一8=0.

设4(不，％),6(x2,㈤，则有汨及=一8,

直线4。的方程为了=旦人直线被的方程为x=&

X\

联立直线4。和劭的方程，

解得交点〃的坐标为(如臂).

注意到XIA2=-8及#=4八，

则有绊=里至=手=一2,

因此点。在定直线y=-2(xWO)上.

(2)依题意，知切线，的斜率存在且不等于0,设切线/的方程为尸ax+6(aW0),代入

f=4y得f=4(ax+t)),

即x-4ax—4b—0,

由4=0得(4a)2+166=0,化简整理得方=一次

故切线1的方程可写为尸ax一次

分别令y=2,y=-2得小，鹿的坐标分别为

4+&2ya,—2）,

贝！II恻I'—I郴|2=0_,2+42_t+,2=8,

即|腑『一|恻『为定值8.

21.（本小题满分12分）已知中心在原点的双曲线，的右焦点为（2,0）,右顶点为（十，

0）.

（1）求双曲线，的方程；

（2）若直线7：尸％x+镜与双曲线C恒有两个不同的交点4和B,且瓦•施>2,其中0

为原点，求力的取值范围.

22

解⑴设双曲线，的方程为当一方=1（a>0,垃0）,

由已知得@=/,c=2.

又因为才所以炉=1,

V2

故双曲线。的方程为5一7=1.

O

2

（2）将尸LY+筐代入微■—_/=1得

（1一342）9一6出筋一9=0,

由直线/与双曲线交于不同的两点得

J1-3AV0,

1.4=-62+361-3A2=36>0,

即如#（且底1.①

设A（同，%），B〈XB,㈤，则

6/A-9

f

XA~T~X/）=_2kx」xj尸］g犬，

由力•OB＞2得入园+为力〉2,

而筋短+为%=用弱+(立+也)(―+也)

=(A2+1)XAXf/+y[2k(XA+x/f)+2

/2।\-9,r6y[ik,3A2+7

=a+1)Xr^+0X++2=^7p

于是鼾＞2,即亲耳＞。，

解此不等式得?如<3.②

由①②得〈〈底1.

0