新教材高中数学第1章空间向量与立体几何11空间向量及其运算11

1.1.2空间向量基本定理

13阑国嗣园底I(教师独具内容)

课程标准：1.了解共线向量，共面向量的意义，掌握它们的表示方法.2.理解共线向量基

本定理和共面向量定理,并能判断空间向量或空间点的共面问题.3.了解空间向量基本定理及

其意义.

学法指导：在运用空间向量基本定理时，首先选取空间基底，用它们表示指定向量时，

要结合图形，联想相关的公式和运算法则表示出与指定向量相接近的向量，再变形整理直至

符合目标.

教学重点：应用共线向量基本定理与共面向量定理解决共线问题与共面问题；空间向量

基本定理的应用.

教学难点：证明四点共面问题；应用空间向量基本定理解决问题.

核心概念掌握

HEXINGAINIANZHANGWO

rWj

对比平面向量基本定理，生活实际需要向三维空间发展，如美伊战争中，地面的坦克如

何瞄准空中的飞机，这样就推广到空间向量基本定理.

知识点一共线向量基本定理

如果aWO且6〃a,则存在唯一的实数X,使得b=。a.

知识点二共面向量定理

(1)如果两个向量a,6不共线，则向量a,b,c共面的充要条件是，存在画唯二的实

数对(x,,使102|c=xa+yb.

(2)判断空间中四点是否共面的方法：如果4B,，三点圆不共线,则点尸在平面46C

内的充要条件是，存在唯一的实数对(x,y),使淳=画遗土遴

知识点三空间向量基本定理

(1)如果空间中的三个向量a,b,c不共面，那么对空间中的任意一个向量p存在国

唯一的有序实数组(x,y,z),使得0=|'3可xa+yb+zc.特别地,当a,b,c不共面时，可

知xa+防+zc=0=103|x=y=z=0.表达式|Ql|xa+p6+zc一般称为向量a,b,c的线性组

合或线性表达式.

(2)如果三个向量a,b,c不共面，则它们的线性组合xa+劝+zc能生成所有的空间向

量.因此，空间中不共面的三个向量a,b,c组成的集合｛a,b,c｝,常称为空间向量的一

组1051基底.此时,a,b,c都称为用基向量;如果。=xa+yb+zc,则称xa+yb+zc为p

在基底应｛a,b,c｝下的分解式.

'新知1

1.共线向量基本定理的推论

如果1为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对于空间任一点。，点P

在直线/上的充要条件是存在实数t,满足等式=07+3.①

如图所示.

若在/上取/方=a,则①式可以化为了+〃方=(1—6)应+而&.②

可得如下结论：对于空间任意点。，若有。方=才应+(1—1)。下成立，则4B,C三点

共线.

这一结论可作为证明三点共线的常用方法.

2.对共面向量定理的理解

共面向量定理给出了空间平面的向量表示式，说明空间中任意一个平面都可以由一点及

两个不共线的平面向量表示出来，它既是判断三个向量是否共面的依据，又是已知共面条件

的另一种形式，可以借此将已知共面条件转化为向量式，以方便向量运算.另外，若存在有

序实数组(x,y,z)使得对于空间任意一点。和不共线的三点4B,C,有而+凝+

zOC,且x+y+z=l成立，则R4B,C四点共面.这一结论可作为判定空间中四个点共面

的常用方法.

3.对空间向量基本定理的理解

(1)空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底，所以基底的选择范围

很广，但在具体的题目或几何体中往往选择具有特殊关系的三个不共面向量作为基底.

注意：基底与基向量的区别，一个基底是由三个不共面的基向量组成的.

(2)建立基底的作用

将空间不同向量用同一组基向量表示，便于判断向量与向量之间的关系(如共线、共面

等).

温评价自测

1.判一判(正确的打“J”，错误的打“X”)

(1)向量a,b,c共面，即表示这三个向量的有向线段所在的直线共面.()

(2)若向量a,a不共线，则对于空间任意向量a,都有a=Xa+(3〃dR).()

(3)若@〃6,则存在唯一的实数/，使a=()

(4)对于三个不共面向量国,a-i,a?,,不存在实数组｛小，小，八｝使0=八1囱+儿母+

43a3.()

答案⑴X(2)X⑶X(4)X

2.做一做(请把正确的答案写在横线上)

(1)设以,。是平面内不共线的向量，已知诵uZei+Ae；,~CB=e^-VZei,~CD=2ei-e^,若

A,B,〃三点共线，则4=.

(2)已知4B,C三点不共线，。是平面力回外任一点，

12

若由游=三而+弓南+4应确定的一点P与4B,。三点共面，则［=

53------------

13

⑶在三棱锥力一腼中，若△腼是正三角形，£为其中心，则葩十万反-5应'一茄化简的

结果为.

9

答案⑴一8(2)-(3)0

核心素养,形成

HEXINSUYANGXINC3CHENG-

题型一共线向量

例1如图所示，在正方体力腼一力6G”中，£在4〃上，且止=2场，尸在对角线4。

上，且应:

求证：E,F,6三点共线.

［证明］连接见EB,设45=a,AD=b,AAi=c.

■:彘：=2诙,春=押

2—►—►2—►

A\E=-A\D\,A\F=—AxC.

35

A\E=^:AD=-zb,A\F=^^AC~AA\){AB+AD—AAi)=^a+^b~^c.

3355555

一一一24,22/2,、

EF=AiF—AiE=-a——b--c=-{a—-b—c).

515553

又EB=EA\+A\A-VAB=—c+a=a—~^b—c,

2

：.EF=vEB,：.E,F,6三点共线.

5

一［思推国府条成反思感悟］-------------------

1.判断向量共线的策略

(1)熟记共线向量的充要条件

①若a〃6,b¥0,则存在唯一实数A使。=乂戾

②若存在唯一实数3使a=A6,6W0,则a〃儿

⑵判断向量共线的关键：找到实数上

2.证明空间三点共线的三种思路

对于空间三点BA,6可通过证明下列结论来证明三点共线：

⑴存在实数1，使两=才历成立；

⑵对空间任一点。，有苏=应+”方16R)；

⑶对空间任一点。，有苏=才应+.通(x+y=l).

［跟踪训练1］如图所示，四边形48切，力婀都是平行四边形且不共面.M,"分别是

AC,多的中点.试判断方与威是否共线？

解'：M,"分别是〃；郎的中点，而四边形/8切，/庞尸都是平行四边形,

：.MN=Wl+AF+FN=^CAJf-AF+^FB.

又访三说+CE+EB+BN=—g2+CE-AF-^,

：.CE=CA+2AF-YFB=2(M+AF+F/^),

：.~CE=2MN.

：.CE//MN,即也与法共线.

题型二共面向量

例2已知4B,〃三点不共线，对于平面/胡外的任一点。，确定在下列各条件下，点

产是否与4B,〃一定共面？

⑴丽永=3苏一应I；

(2)市=4应一为一赢

［解］解法一：⑴原式可变形为苏=丽(而一物十(为一物=补潮+两即加=一

PA-PB.

由共面向量定理知P与4B,〃共面.

(2)原式可变形为正=2应+而一丽应一屈2而十或十法.

由共面向量定理可得户位于平面力阳内的充要条件可写成1三应+血+砺.

而此题推得加―2涝+切+法，；.尸与4B,〃不共面.

解法二：⑴原式可变形为应=3苏一而一次

；3+(—1)+(—1)=1,

:.B与P,A,〃共面，即产与4B,〃共面.

⑵市=4涝一应一次

V4+(-l)+(-l)=2^1,二户与4B,〃不共面.

一［思推国府未成反思感悟］-----------------

1.利用四点共面求参数

共面向量定理的实质是共面的四点中所形成的两个不共线的向量一定可以表示其他向

量，对于共面向量定理，不仅要会正用，也要能够逆用它求参数的值.

2.证明空间向量共面或四点共面的方法

(1)向量表示：设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若P=xa

+yb,则向量夕，a,6共面.

⑵若存在有序实数组(x,y,z)使得对于空间任一点。，有荔应+y应+z龙，且x+y

+z=l成立，则只A,B,。四点共面.

(3)用平面：寻找一个平面，设法证明这些向量与该平面平行.

［跟踪训练2］已知4B,C三点不共线，平面四C外一点。满足滁=(涝+(应+(应:

⑴判断函，MB,底三个向量是否共面；

(2)判断〃是否在平面ABC内.

解(1)要证明三个向量共面，只需证明存在实数x,y,使法=为市+藤

'：0A+0B+dc=3af,：.OA~OM=(OM~OB)+(OM-'oC)=W+CM,即加=丽4■酉仁一山一

MC,.•.向量而，MB,访英面.

(2)由⑴知向量说MB,应共面，而它们有共同的起点明且4B,。三点不共线，，必

A,B,。共面，即〃在平面/6。内.

题型三空间向量基本定理

例3如图所示，在平行六面体A?"一4B'CD'中，A~B=a,AD=b,M=c,P

是CA'的中点，〃是CD'的中点，N是C〃的中点，点0在CA'上，且&：QA'=4:1,

用基底｛a,b,c｝表示以下向量：

(l)JP；⑵/7；⑶/下；⑷力花

［解］连接/GAC,AD'.

WAP=^(A~C+AA>)=；(力6)=-1(a+Z?+c).

(2)//=3(4下+4万)=^(A~B+A~D+A~D+AA!)

=；(a+2b+c)='|a+6+'1c.

一1.—

&)AN=-{AC+AD')

=#(/了+2方+/F)+储方+2炉)］

1,———、1

=-{AB-\~2AD-\-2AA')=-a+b+c.

AQ=A~C+C~Q=A~C

5

=A~C+^(CA'+AAf)=当下+2疝

555

1,一—、4—114

=~(AB+AD)+7AA'=-a+-b+~c.

55555

一［思推耳皮条成反思感恃］-----------------

用基底表示向量的步骤

(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底.

(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边

形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果.

(3)下结论：利用空间向量的一个基底｛a,b,c｝可以表示出空间所有向量.表示要彻底,

结果中只能含有a,b,c,不能含有其他形式的向量.

［跟踪训练3］空间四边形/欧中，G,H分别是AABC,△幽的重心，设。才=a,OB

=b,OC=c,试用基底｛a,b,c｝表示向量。G及/〃

解如图，连接力G,〃并延长相交于〃所以，为理的中点，

————2—

O~G=O~A+A~G=O~AJt--A~D

2।21

=。才+g(。万一。7)=-0'A+耳X5(。方+。下)

=；H+：(6+C)=9+；6+：C.

。。。。。

——2—*2］―—］

\'AO=—a,OH=-OD=-^X-｛OB+OC)=g(6+c),

AH=AO+0H=—

oo

题型四利用空间向量基本定理求空间向量数量积

例4已知长方体/瓦)一48K2中，AB=AAr=2,AD=^,£为侧面/8的中心，尸为4〃

的中点.试计算：

⑴诙•丽；

⑵滋•疯

⑶赤l•m.

［解］如图，在长方体力及力一46心4中，设荔=a,AD=b,M=

则Ia|=|c|=2,

一1

-+6

⑴EIX=b'2=b-=42=16.

一

⑵赤•葩=2222

（a+C）=|C|-|a|=2-2=0.

⑶颐•FQ=

=；(—a+6+c)•像+f=—；|a/+3」=2.

一［思碓区皮条成反思感悟］-------------------

在几何体中求空间向量的数量积，首先要充分利用向量所在的图形，将各向量分解成已

知模和夹角的向量的组合形式；其次利用向量的数量积满足的运算律将数量积展开，转化为

已知模和夹角的向量的数量积；最后利用数量积的定义求解即可.注意利用几何体中的垂直

关系或者特殊角.

［跟踪训练4］如图所示，在三棱锥/一6切中，DA,DB,〃2两两垂直，且DB=DC,E

为〃7的中点，则崩•瓦等于()

答案A

解析：葩•丈军（恭+历•（DC-DS）=|（DB-DAA-DC-DA）•（DC-DS）=^（DB-2DA

+应）•（DC-D3）=^DB•DC-^-DA•DC+DA•DB+^-^DC-DB,又易知瓦«DC=Q,

DA-DC=0,DA-725=0,\DB\=\DC\,•6仁0.故选A.

题型五利用空间向量基本定理结合数量积求向量的夹角

例5已知烟，平面ABC,且△/勿是N8=90°的等腰直角三角形，口ABM,nBR&C

的对角线都分别相互垂直且相等，求〈嬴AC1）.

［解］设相=a.如图所示.

•.,眉尸或+茄1,~AC=ABA-~BC,

：.BAI•AC=（扇+茄J•（AB+BC）=BA•AB+BA•诙+法•花+曲.BC.

'：ABLBC,BBdAB,BB.LBC,

：.AB-~BC=Q,BB,•AB=Q,函•BC=0且就•AB=~a.：.BA,•AC=~a.

又就i•AC=I£4i|AC\cos<M,AO,

21

—a-

cos〈BAi,AC）2

又（BA,AOe[0°,180°],<M,AO=120°.

一［思惟口府未成反思感悟］-------------------

a,•h

利用cos〈a,b）力讦求向量夹角时，可结合共面向量定理和空间向量基本定理,

用分解向量法求a•b.

［跟踪训练5］已知空间四边形如欧各边及对角线长都相等，E,F分别为AB,3的中

点，求cos〈OE,BP).

解如图，设的=2OB=b,OC=c,且|司|=|引=|c|=1,易知/AOB=/BOC=/AOC

=~^~，则a•6=6•c=c•.因为必=5(a+b),BF=OF—OB=^OC—OB=^c

。乙乙乙乙乙

111

—6,|南=|游1=半,所以应•茄=〈(a+6)•倡_@=%c+%・c-方

2-a・-2---2-

乙乙、乙JT：4

所以cos〈血诙=正皿=4

\0E\\BF\

0

题型六利用空间向量基本定理结合向量数量积求距离

例6在正四面体力—为力中，棱长为a,M,"分别是棱/氏切上的点，且MB=2AM,CN

14

=严，求椒

［解］如图所示，|而=|花|=|茄|=a，把题中所用到的量都用向量诵，通，益成示,

于是跖荡+诙+承-］荔+（而一诵）+［（茄—而=一（法+］通+|元

又AD.AB=AB,AC=AC*AD=\AD\2COS60°

=||^|2=|a2,

•花+/

MN•MN=~^B+^AD+^AC\=-^AD•~AB-^AB

AC•Ab+^A/f=^a2-7a2—fa2+1a2+^a2+^a2=7：a.

yyyyyyyyy

一［思推国皮条成反思感悟］-------------------

利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选

择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的

两两之间的夹角以及它们的模，利用公式㈤=而二求解即可.

［跟踪训练6］平行四边形⑦中，/6=2/C=2且//切=90°,将它沿对角线4C折起,

使四与切成60°角，求点8,〃间的距离.

解如图，连接被由已知得力红缪，ACLAB,折叠后血与切所成角为60°,于是,

AC-CD=0,~BA•AC=0,

且(函,Cff)=60°或120°.

\BD\2=(^+AC+cb)2=B^+Ad+cif+2BA•AC+2AC-而+2加•^=22+12+22+

2X2X2cos(BA,而〉，

故应「=13或5,解得成|=标或或，

即属〃间的距离为行或乖.

随堂水平,达标

SUITANGSHUIPINGDABIAO

1.已知空间向量a,b,且葩=a+26,皮=-5a+6b,CD=la-2b,则一定共线的三点

是()

A.A,B,DB.A,B,C

C.B,C,DD.A,C,D

答案A

解析由已知可得恭=a+2b,防=反+而=2a+4A所以法=2适，即防，葩是共线向

量，所以4B,〃三点共线.

2.若｛8,6,会｝是空间的一组基底，又@=&+白+自，6=a+a—自，。=&一。+会,

d=a+2a+3自，d—xa-\-yb-\-zc,则x,y,z分别为（）

5151

--B--

A.2222

5151

--D--

c.2222

案A

解析xa+yb+zc=x(ei+62+02)+y(a+/一a)+z(ei—/+快)=(x+p+z)e+(x+

p—z)a+(x—y+z)&=8+2e+3e?,由空间向量基本定理，得

x+y+z=l,

1

।.5-

<x~\yz^—2,••x=5,y-2

—y+z=3,

3.（多选）已知弘4B,C四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子中能使｛肌4,

MB,〃下｝成为空间的一组基底的是（）

A.了+［。万下

/J4

B.MA=MB+M~C

C.0~M=0A+0~B+0~C

D.MA=2MB~MC

答案AC

解析对于A,因为所以荡，MB,血不共面，能构成空间的一组基底,

故A正确；对于C,因为1+1+1=3W1,所以加，MB,应不共面，能构成空间的一组基底,

故C正确；对于B,D,易知〃/，MB,〃下共面，不能构成空间的一组基底，故B,D错误.故

选AC.

4.如图，在长方体/瓜力一血SG2中，AD=AA,=\,AB=2,则花•~BC=,而•DB

D,c,

c

答案1T

解析由题意，得花•反'=（茄+茄+筋J•砺=茄•花+花•耘+筋i•耘=|茄「=

1.而•应=薪•~DB=（茄+筋J•（2一沏=AD•法+为1•~AB~~AD•AD-AAx•~AD=一|花/

=-1.

5.已知平行六面体4如『4B'C。，M是加'的中点，点G在对角线4C上且CG：

GA'=2：1,设茂Ha,~CB=b,CC1=c,试用基底｛a,b,c｝表示由，,~CM,~CG.

解如图，在平行六面体/反/一/B'CD'中,

CA=GB+BA=CB+Gb=a+b.

CA1*34=方+/7=3+C^=a+b+c.

>>>>A]-Aj

CM=CA+AM=CB+CD+-CC=a+Z?+-c.

f2f2

CG—~^CA'=w(a+6+c).

OJ

课后课时,精练

KEHOUKESHIJINGLIAN

A级：“四基”巩固训练

一、选择题

1.已知｛a,b,c｝是空间的一组基底，则下列向量可以与向量R=a+Z>,A=a-6构成

空间的另一组基底的是（）

A.aB.b

C.cD.a~\~2b

答案C

解析m,n与a,m,n与b,m,刀与a+26共面，故不能构成基底，故选C.

31]

2.已知4B,。三点不共线，对空间任意一点0,若碣彳应+g为+g应；则RA,B,

4oo

。四点（）

A.不共面B.共面

C.不一定共面D.无法判断是否共面

答案B

解析/日力+）（如+4而+]（如+力。=OA+^AB-V^AC,0P~0A=^

4oo4ooooo

葩+白就，.•.苏三/葩云:由共面向量定理，知P，A,B,。四点共面.

OOO

3.已知直三棱柱力成—481a的底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3,M,N分别为

4G,血的中点，^\AB•NM=()

A.2B.-2

C.4D.-^10

答案B

解析•.•亦=(篇i+J花，AJV=^AS+^AC,：.AB•W=AB•(AM-AN)=

1一

-AB-

2=-2.故选B.

4.已知两非零向量e”0,且以与a不共线，设a=Xa+〃伪（儿，〃GR,且不+么"#。），

则（）

A.a//e\

B.a//a

C.司与ei,0共面

D.以上三种情况均有可能

答案D

解析,.・Y+犷力。，.•.当〃=。时，AWO,此时，a=4a,.・・a〃ei,同理，当几=

0时，〃?0,此时，a=〃0，:.all孰、当4W0且时，司=4&+〃a,由共面向量

定理可知己与6,a共面，故选D.

5.（多选）设｛劣b,c｝是空间的一组基底，则下列结论正确的为（）

A.若己_16,b_Lc,则a_Lc

B.a,b,。两两共面，但a,b,。不可能共面

C.对空间任一向量夕，总存在有序实数组（x,y,z）,使夕=xa+pb+zc

D.｛a+b,b+c,c+a｝可以作为空间的一组基底

答案BCD

解析由｛a,b,c｝是空间的一组基底，可知，对于A,若a_L6,bLc,则a与。不一

定垂直，故A错误；对于B,由基底概念知a,b,。两两共面，但a,b,。不可能共面，故

B正确；对于C,对空间任一向量夕，总存在有序实数组（x,y,z）,使夕=xa+pb+zc,故C

正确；对于D,由a,b,。不共面，易知a+b,b-\-c,c+a不共面，故仿+6,b+c,c+a]

可以作为空间的一组基底，故D正确.故选BCD.

二、填空题

6.已知4B,。三点共线，则对空间任一点，存在三个不为0的实数入，m,n,使

OA~\~mOB~\-nOC—Q,那么几+1+〃的值为.

答案0

解析・・,2,B,。三点共线，・・・存在唯一实数A使瀛=疝?，即应一而=A（龙一游），・・・

(k-1)CM+OB—kOC—0,又入0A+nOC=0,令—k~1,m=l,n——k,则4+勿+〃

=0.

7.已知在正方体加力一中，点月为底面46C"的中心，b=^AB,c=

1一一旧

~^AD,AE=xa+yb+zc,则x—,y=,z=.

答案215

_————3

解析如图，AE=AAi+AiE=AAi+-(AB+A£))=2a+b+-c=xa+yb+zc.

3

所以x=2,y=l,z=~.

8.如图，已知棱长为1的正四面体O-ABC,边勿的中点为必自。作平面/8C的垂线

组与平面力比1交于点〃，与平面奶C交于点/,将应用涝，0B,应表示为.

答案亦=（而+]应亦

解析易知〃是正三角形力回的中心，所以帝=:（涝+为+击.又/在〃上，故存在

实数人满足应=八①，故应=[■（涝+应+应）=?（2为+应+诧）.因为/在平面物C内,

2AAA3r—1-1-1一

所以丁+彳+不=1，所以A=7，于是。/=彳如+彳阳+彳宓

ouu4444

三、解答题

9.如图，平行六面体/砥?一4旦G"中，〃分质所成的比为2：1"分面所成的比为1：2,

设A8=m,AD=n,AAi=t,试将仞俵示成0,n,t的关系式.

BC