新教材苏教版高中数学必修第一册第1章集合 知识点考点重点难点归纳总结

第一章集合

1.1集合的概念与表示...................................................1

第1课时集合的概念...............................................1

第2课时集合的表示...............................................5

1.2子集、全集、补集...................................................9

第1课时子集、真子集.............................................9

第2课时全集、补集..............................................13

1.3交集、并集........................................................16

1.1集合的概念与表示

第1课时集合的概念

知识点1元素与集合的概念

(1)一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体组成一个集合.集

合中的每一个对象称为该集合的元素,简称元.

(2)集合中元素的特征：确定性、互异性、无序性.

昱装k假如在军训时教官喊“全体高个子同学集合"，你会去集合吗？

［提示】不去，不清楚自己是不是高个子.

提醒卜集合中的元素必须同时具备确定性、互异性、无序性.反过来一组对

象若不具备这三个特性中任何一个，则这组对象不能构成集合.集合中元素的三

个特性是判断一组对象能否构成集合的重要依据.

知识点2元素与集合

1.元素与集合的表示

(1)元素的表示：通常用小写拉丁字母a,b,c,…表示集合中的元素.

(2)集合的表示：通常用大写拉丁字母A,B,C,…表示集合.

2.元素与集合的关系

(1)属于(符号：且)，。是集合A中的元素，记作正A，读作“a属于A”.

(2)不属于(符号：学或e),a不是集合A中的元素，记作&_或〃WA,读

作%不属于A”.

知识点3常用数集及表示符号

非负整数集有理

名称正整数集整数集实数集

(自然数集)数集

符号NN*或N-ZQR

考点

□类型1集合的概念

【例1】(1)考察下列每组对象，能构成集合的是()

①中国各地的美丽乡村；

②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；

③不小于3的自然数；

④截止到2021年10月1日，参加一带一路的国家.

A.③④B.②③④

C.②③D.②④

⑵下列说法中，正确的有.(填序号)

①单词book的所有字母组成的集合的元素共有4个；

②集合M中有3个元素a,b,c,其中a,b,c是△ABC的三边长，则^

ABC不可能是等腰三角形；

③将小于10的自然数按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列分别

得到不同的两个集合.

(1)B(2)②[(1)①中“美丽”标准不明确，不符合确定性，②③④中的元

素标准明确，均可构成集合，故选B.

(2)①不正确.book的字母。有重复，共有3个不同字母，元素个数是3.

②正确.集合M中有3个元素a,b,c,所以a,b,c都不相等，它们构成

的三角形三边不相等，故不可能是等腰三角形.

③不正确.小于10的自然数不管按哪种顺序排列，里面的元素都是

0,123,4,5,6,7,8,9这10个数，集合是相同的，和元素的排列顺序无关.]

厂.......泼现规律.............................

一组对象能组成集合的标准是什么？

[提示】判断一组对象是否为集合的三依据：

(1)确定性：负责判断这组元素是否构成集合.

(2)互异性：负责判断构成集合的元素的个数.

(3)无序性：表示只要一个集合的元素确定，则这个集合也随之确定，与元

素之间的排列顺序无关.

口类型2元素与集合的关系

【例2】(1)下列所给关系正确的个数是()

①兀WR②小GR(3>>/6^Q④OWN*@|-2|ez

A.2B.3

C.4D.5

(2)已知集合A含有三个元素2,4,6,当aGA,有6则a的值为

(1)C(2)2或4[⑴①兀是无理数.•.兀WR故①正确，小是无理数

②正确是无理数.••班旺。，@0是自然数是非负整数，OWN,故④错误.|一

2|=2GZ正确.

(2)集合A含有三个元素2,4,6且当“GA,有6—a£A.

a=2GA,6—a=4©A,所以a=2或者a=4GA,6—a=2GA,所以a=4.综

上所述，a=2或4.]

厂........成思领悟.............................

判断元素与集合关系的2种方法

(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中

是否出现即可.

(2)推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合

中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征.

类型3集合中元素的特性及应用

【例3】已知集合A中含有两个元素1和4,若aeA,求实数。的值.

尝试与发现

若集合A中含有两个元素a,h,则a,方满足什么关系？若1GA,则元素1

与集合A中元素a,人存在怎样的关系？

［提示］a^b,a=1A,b=l.

［解］由题意可知，a=l或层=q.

（1）若a=l,则/=］,这与屋W1相矛盾，故qWL

（2）若/="，则。=。或。=1（舍去）.又当。=。时，4中含有元素1和0满

足集合中元素的互异性，符合题意.

综上可知，实数a的值为0.

［母题探究］

1.（变条件）本例若去掉条件，其他条件不变，求实数a的取值范

围.

［解］由集合中元素的互异性可知/wi,即。工±1.

2.（变条件）已知集合A含有两个元素a和若1GA,求a的值.

［解］若1WA,则a=l或/=1,即々=±1.

当a=l时，集合A有重复元素，所以aWl.

当a=-l时，集合A含有两个元素1,-1,符合集合中元素的互异性.

所以a=-1.

厂.......成思领悟.........................

由集合中元素的特性求解字母取值（范围）的步骤

第2课时集合的表示

知识点1集合的表示方法

表示方法定义一般形式

将集合的元素一一列举出来,并置于

列举法{a\,。2,…，an,…}

花括号“1)”内

将集合的所有元素都具有的性质(满

描述法

足的条件)表示出来

Venn用一个封闭曲线围成的平面区域的

图法内部表示一个集合

思考(1)中国的五岳组成的集合中的元素是什么？怎样列举出来？

(2)不等式工一2<1的解集中的元素有什么共同特征？

［提示］(1)中的元素为泰山、华山、衡山、恒山、嵩山.

(2)元素的共同特征为xGR,且x<3.

提醒跟列举法通常适用于元素个数有限的集合.若集合中的元素有无限个，

但有一定的规律性也可用列举法.描述法通常适用于元素个数较多而元素的排列

又不呈现明显规律的集合或者根本就不能一一列举的集合.

知识点2集合的分类

(1)集合的分类

有限集含有有限个元素的集合

无限集含有无限个元素的集合

空集不含任何元素的集合,记作g

(2)集合相等

如果两个集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素，B中的元

素也都是A的元素)，那么称这两个集合相等.

考点

类型1用列举法表示集合

【例1】用列举法表示下列集合：

(1)不大于10的非负偶数组成的集合A.

(2)小于8的质数组成的集合B.

(3)方程/一工一2=0的实根组成的集合C.

［解］⑴不大于10的非负偶数有0,2,4,6,8,10.

所以A={0,2,4。,8,10}.

(2)小于8的质数有2,3,5,7,所以8={2,3,5,7}.

(3)方程/一无一2=0的实根为2,-1,

所以C={2,-1}.

厂....思领悟.......................

用列举法表示集合的3个步骤

(1)求出集合的元素；

(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；

(3)用花括号括起来.

提醒：二元方程组的解集，函数图象上的点构成的集合都是点的集合，一定

要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，”隔开.如{(2,3),(5,-1)}.

11类型2用描述法表示集合

【例2】用描述法表示下列集合：

(1)正偶数集；

(2)被3除余2的正整数集合；

(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合.

［解］(1)偶数可用式子x=2〃，〃GZ表示，但此题要求为正偶数，故限定及

GN*,所以正偶数集可表示为{x|x=2〃，/?GN*}.

(2)设被3除余2的数为x,则x=3〃+2,/?ez,但元素为正整数，故〃WN,

所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x=3〃+2,z?GN}.

(3)坐标轴上的点(x,y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0,即孙=0,故

平面直角坐标系中坐标轴上的点的集合可表示为{(x,y)|xy=0}.

厂....成思领悟......................

利用描述法表示集合应关注4点

(1)写清楚该集合代表元素的符号.例如，集合{x£R|x<l}不能写成{x<l}.

(2)所有描述的内容都要写在花括号内.例如，{xGZ|x=2Z},后ez,这种表

达方式就不符合要求，需将ZWZ也写进花括号内，即(xWZ|x=2攵，攵WZ}.

(3)不能出现未被说明的字母.

(4)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不

写.例如，方程f—2x+l=0的实数解集可表示为{xeR*—2x+l=0},也可

写成{x*—2x+1=0}.

□类型3集合表示法的综合应用

【例3】集合4=3收一8x+16=0},若集合A中只有一个元素，求实数

人的值组成的集合.

［解］(1)当攵=0时，方程点2—8x+16=0变为-8%+16=0,解得x=2,满

足题意；

(2)当ZW0时，要使集合人二出心一口十脩:。}中只有一个元素，则方程依2

—8x+16=0有两个相等的实数根，所以/=64—64攵=0,解得％=1,此时集合

A={4},满足题意.

综上所述，攵=0或后=1,故实数攵的值组成的集合为{0,1}.

［母题探究］

1.本例若将条件“只有一个元素”改为“有两个元素”，其他条件不变，

求实数%的值组成的集合.

［解］由题意可知，方程依2—8x+16=0有两个不等实根，

故上W0,且/=64—64攵＞0,即Ml,且女W0.

所以实数左组成的集合为{川攵＜1,且ZWO}.

2.本例若将条件“只有一个元素”改为“至少有一个元素”，其他条件不

变，求实数上的取值范围.

［解］由题意可知，方程依2—8x+16=0至少有一个实数根.

①当々=0时，由一8x+16=0得x=2,符合题意；

②当攵工0时，要使方程自2—8X+16=0至少有一个实数根，则/=64—

64左20,即ZW1,且kWO.

综合①②可知，实数％的取值范围为{如IW1}.

厂......•成思领悟•.......................

(1)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的

关键，如例3集合A中的元素就是所给方程的根，由此便把集合的元素个数问

题转化为方程的根的个数问题.

(2)在学习过程中要注意数学素养的培养，如本例中用到了等价转化思想和

分类讨论的思想.

类型4集合相等

【例4】(1)集合A={x|1一尤=O,xGN}与8={0,1}相等集合.(填

“是”或“不是”)

(2)若集合A={1,a+b,a},集合B=[o,且A=B,则。=,

b~.

[思路点拨](1)解出集合A,并判断与8是否相等；

(2)找到相等的对应情况，解方程组即可.

(1)是(2)—11[(l)x3-x=x(x2-l)=0,

.♦.x=±l或x=0.又x£N,.*.A={O,1}=B.

(2)由题意知，aWO,故a+/?=O,：.b=~a.

b

.•.一=-1,，〃=-1,h=[.]

厂....成思领悟••............................

已知集合相等求参数，关键是根据集合相等的定义，建立关于参数的方程

(组)，求解时还要注意集合中元素的互异性.

1.2子集、全集、补集

第1课时子集、真子集

知识点1子集的概念及其性质

⑴子集

如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若adA,

定义

则。金8),那么集合A称为集合8的子集

符号表示A.仇或B^A)

读法集合A包含于集合8(或集合B包含集合A)

图示

⑵子集的性三质

①ACA,即任何一个集合是它本身的子集.

②即空集是任何集合的子集.

③若AC8,BNC,则ACC,即子集具备传递性.

(3)集合相等

若且则A=R

青虹1.(1)任何两个集合之间是否一定有包含关系？

(2)符号“G”与“包”有何不同?

［提示］(1)不一定，如集合A=［1,2｝与8=｛3,4｝这两个集合之间没有包含关

系.

(2)符号“W”表示元素与集合间的关系；而表示集合与集合之间的

关系.

巽醒.不能把“AGB”理解为“A是8中部分元素组成的集合”因为集合A

可能是空集，也可能是集合A

知识点2真子集的概念与性质

(1)真子集的概念

如果AU8,并且那么集合A称为集合B的真子集，记为A一或B",

读作“A真包含于8”或“8真包含A”.

(2)性质

①。是任一非空集合的真子集.

②若A屋8,B&C,则A二C

思考2.{0}与0相等吗？

［提示］不相等.{0}表示一个集合，且集合中有且仅有一个元素0;而。表

示空集，其不含有任何元素，故{0}#0

考点

口类型1确定集合的子集、真子集

【例1】设A={x［(f-写出集合A的子集与真子集.

［解］由(f-16)(f+5X+4)=0,得(X-4)(X+1)(X+4)2=0,

解方程得犬=-4,或x=-1或x=4,

故集合A={-4,-1,4).

由0个元素构成的子集为：。；

由1个元素构成的子集为：{-4},{-1},{4};

由2个元素构成的子集为：{—4,—1},(-4,4},{—1,4);

由3个元素构成的子集为：{—4,—1,4);

故集合A的子集为：。，{-4},{一1},{4},{-4,-1},{-4,4},{-1,4},

{-4,-1,4}共8个子集.

其子集为:。，{-4},{一1},{4},{-4,-1},{-4,4},{-1,4}共7个.

「..•••・•••・一””、

确定子集、真子集的关键点是什么？有什么规律？

［提示］1.有限集的子集的确定问题，求解关键有三点：

(1)确定所求集合；

(2)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出，一般按元素从少到多的

顺序逐个写出满足条件的集合；

(3)注意两个特殊的集合，即空集和集合本身.

2.与子集、真子集个数有关的三个结论

假设集合A中含有〃个元素，则有：

(1)A的子集的个数为2"个；

(2)A的真子集的个数为2"—1个；

(3)A的非空真子集的个数为2"-2个.

类型2集合关系的判断

［例2］指出下列各对集合之间的关系：

(1)A={-1,1}»B={九GN*=1}；

(2)A={-1,1}»B={(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)}；

(3)P={x|x=3〃-1,〃WZ},Q={X|JC=3〃+2,〃WZ}；

(4)A={X|A是等边三角形},B={x|x是三角形};

(5)A={x|-l<x<4),B={x\x-5<0}.

［解］(1)用列举法表示集合3={1},故

(2)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是实数对，故A与B之间无

包含关系.

(3)：尸表示3的整数倍少1的数构成的数集，。表示3的整数倍多2的数构

成的数集，

:.P=Q.

(4)等边三角形是三边相等的三角形，故A至8.

(5)集合8={4r<5},用数轴表示集合A,B,如图所示，由图可发现A&8.

5—

—

0^

■■■>

O2345X

厂.......成思领悟.......................

判断集合关系的方法

(1)观察法：一一列举观察.

(2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利

用集合元素的特征判断关系.

(3)数形结合法：利用数轴或Venn图.

提醒：若A=B和A区3同时成立，则AWB更能准确表达集合A,8之间的

关系.

类型3集合之间的包含关系

【例3】已知集合A={x|—2WJCW5},8={x［m+lWxW2/w—l}.

若求实数机的取值范围？

尝试与发现

集合8中的元素有何特点？可能为空集吗？机满足什么条件时5=0.

［提示］集合3中的元素不确定，随〃z的变化而变化.B可能为空集.

当zn+\>2m—1时8=0.

［解］(1)当3=0时，

由〃?+l>2m—1,得m<2.

⑵当时，如图所示.

-2m+12m-15

(〃z+12—2,m+1>—2,

{2m—1<5,2m—1^5,

l2m—1力机+1{2m—11,

解这两个不等式组，得2<mW3.

综上可得，加的取值范围是{〃?|mW3}.

［母题探究］

1.若本例条件"A={x|-2WxW5}”改为“A={x|-2vxv5}”，其他条件不

变，求机的取值范围.

［解］(1)当5=0时，由m+1>2加-1,得加<2.

(2)当时，如图所示，

m+1>—2,m>-3,

2m-1<5,m<3,即2^m<39

{，n+1W2〃z—1,{m^2,

综上可得，加的取值范围是{m\m<3}.

2.若本例条件改为“AC3”，其他条件不变，求用的取值范围.

［解］当AG8时,如图所示，此时82。.

m+1-252m-1x

2m—1>///+1,m>2,

〃t+1W-2,3,/•771不存在.

{2根一125,{m23,

即不存在实数〃2使A&A

厂.......成思领悟............................

1.对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)

时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答.

2.两个易错点

(1)当3cA时，应分3=0和3#。两种情况讨论；

(2)列不等关系式时，应注意等号是否成立.

第2课时全集、补集

知识点1补集

(1)定义：设AUS,由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A

的补集，记为[朗(读作"A在S中的补集”).

(2)符号表示

[.,sA=且居A).

(4)补集的性质

①[w=S，②[sS=2，③[s([sA)=A.

知识点2全集

如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的直直元素，那么就称这个集合为

全集，全集通常记作u.

思考「两个不同的集合A、8在同一个全集U中的补集可能相等吗？

［提示】不可能相等.因为集合A、8是两个不同的集合.所以必定存在元

素在集合A的补集中，但不在集合8的补集中.

提醒"补集符号［sA有三层含义：

(1)A是S的一个子集，即A=S；

(2)［以表示一个集合，且［&4=S；

(3)［9是S中所有不属于A的元素构成的集合.

考点

□类型1全集与补集

【例1】(1)已知全集U,集合4={1,3,5,7},(必={2,4,6}，08={1,4,6},

则集合B=.

(2)已知全集U={却<5},集合A={x|—3Wx<5},则［以=.

(1)［2,3,5,7}(2){小<-3或x=5}［(1)A={1,3,5,7},〔以={2,4,6},

/.U={1,2,3,4,5,6,7}.又［{1,4,6},

.\B={2,3,5,7).

(2)将集合U和集合A分别表示在数轴上，如图所示.

由补集定义可得［uA={x|x<—3或x=5}.］

「........侬现规律............一'>

常见补集的求解方法是什么？

［提示］常见补集的求解方法有：

(1)列举求解.适用于全集U和集合A可以列举的简单集合.

(2)画数轴求解.适用于全集U和集合A是不等式的解集.

(3)利用Venn图求解.

□类型2补集与子集的综合应用

【例2】已知全集U=R,集合A={x|-2WxW5},5={血+1WxW2a一

1}且求实数。的取值范围.

［思路点拨］首先应对B是否为空集进行讨论，得出然后再利用

加得关于a的不等式求解即可.

［解］若8=0,则。+1>2。一1,所以a<2.

此时［uB=R,所以ACluB;

若3W0,则a+lW2a-l,即a22,

此时：w?={x|x<a+1,或x>2a—1},

由于AGCUB,如图，

-I25aL+1J2a-Z1工

则a+l>5,所以a>4,

所以实数a的取值范围为a<2或a>4.

［母题探究］

(变条件)若将本例中的“A=［uB"改为“3=［以"，求实数a的取值范围.

［解］［uA={x|x<—2或x>5}.

因为何必,

当。+1>2。-1,即a<2时，B=0,BQ［uA.

当a+lW2a-l,即心2时,B手。.

所以2a—1<—2或a+l>5,

即a>4,

综上，a的取值范围为a<2或a〉4.

厂.....应思领悟••............................

1.解决此类问题应注意以下几点

(1)空集作为特殊情况，不能忽略；

(2)数形结合方法更加直观易懂，尽量使用；

(3)端点值能否取到，应注意分析.

2.U是由集合A与［uA的全体元素所构成，对于某一个元素a,与a

中恰好只有一个成立，即集合中的元素具有确定性.

1.3交集、并集

知识点1交集

1.交集的概念

(1)文字语言：一般地，由所有属于集合4且属于集合5的元素构成的集合,

称为A与B的交集，记作an3(读作“A交B”).

(2)符号语言：/InB=｛x\x^A,

(3)Venn图

cm)®®®

①②③

2.交集的性质

(1)AAB=BQA；(2)AABOA；(3)AnB^B；(4)AnA=A；(5)AA0=0；(6)AA(［

uA)=。；(7)ACU=A(其中U为全集).

1.AA8是把A与8的部分元素组合在一起吗？

［提示］是把公共元素组合在一起，而不是部分.

昱红2.集合”=｛直线｝与集合N=｛圆｝有没有交集？

［提示］有.根据交集的概念可知MCN=0.

思考13.若AA8=CCB,则必有A=C吗？

［提示］若AnB=CCB,则可能有4=。，也可能不相等.

避醒k(l)AnB是一个集合，由A与8的所有公共元素组成，而非部分元素

组成.

(2)两集合A与B没有公共元素时，不能说集合A与B没有交集，而是ACB

=0.

知识点2并集

(1)文字语言：一般地，由所有属于集合A或者属于集合5的元素构成的集

合，称为A与8的并集，记作AU3(读作“A并8”).

(2)符号语言：AUB=［x\x^A,

(3)Venn图

①②③

(3)并集的性质

@AUB=BUA；②A/AUB；®BQAUB；

④AUA=A；⑤AU0=A；⑥AU([uA)=U；⑦AUU=U(其中。为全集).

周考k4.AU8是把A和B的所有元素组合在一起吗？

[提示]不是，因为A和8可能有公共元素，每个公共元素只能算一个元素.

思卷k5.两个集合并集中的元素个数一定比两个集合元素个数之和大吗？

[提示]当两个集合有公共元素时，在并集中只能算作一个.故这种说法不

正确.

知识点3区间的概念

(1)设a,b^R,且a<",规定：

[a,=(a,b)=lx\a<v<b},

[a,b)={x\a^：x<b},(a,b]={x\a<x^：b},

(a,+0°)={xk><7),(—°°,h)=[x\x<b},

+°°)=R.

la,bl，(a,b)分别叫作闭区间、开区间；

fa,/?),(a,心叫作半开半闭区间;

生上叫作相应区间的端点.

(2)区间的数轴表示

区间表示数轴表示

[a,b]4----------

(a,b)ati

[a,b)a1i

(a,b]ati

[a,+0°)T------------x

(a9+0°)2i

考点

□类型1交集概念及其应用

【例1】(1)设集合4="|一1或光忘2},8=*|0忘8W4},则4门8等于()

A.{x|0WxW2}B.{x|l〈xW2}

C.{x|0WxW4}D.{x|l《W4}

(2)已知集合4={x|x=3〃+2,〃GN},B={6,8,10,12,14),则集合AH8中元

素的个数为()

A.5B.4

C.3D.2

(1)A(2)D[⑴B={x|0WxW4},如图，

-1024工

故AC8={x[0«}.

(2)V8=3X2+2,14=3X4+2,

.•.8GA,14GA,

.*.AnB={8,14},故选D.]

]......•成思领悟•...................

1.求以列举法给出的两集合的交集时，可直接寻找其公共元素，但需注意

不可遗漏.

2.求以描述法给出的两集合的交集时，可先化简集合，再确定两集合的公

共元素(区间)，有必要时可借助于数轴或Vfenn图解决.

3.已知集合的交集求参数问题要利用交集中元素的特殊性(公有性)列方程

或不等式(组)来解决，而且，有些题目还应注意验证得出的结论是否符合集合元

素的