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文档简介

第H^一章概率与统计

第1讲概率

考点展示考纲要求高考命题探究

(1)了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定

1.内容探究:(1)随机事件的概率主要考查频率与概

事件与概率性,了解概率的意义,了解频率与概率的区别.

率的关系,结合概率的性质考查互斥事件和对立事件

(2)了解两个互斥事件的概率加法公式.

的概率.(2)古典概型主要考查实际背景的可能事

(1)理解古典概型及其概率计算公式.件,通常与互斥事件、对立事件等知识相结合考查.

古典概型

(2)会计算一些随机事件所含的基本事件数及事(3)几何概型主要考查事件发生的概率与构成事件

件发生的概率.区域的长度、面积、体积有关的实际问题,注意数

形结合思想和逻辑思维能力.

(1)了解随机数的意义,能运用模拟方法估计

几何概型概率.2.形式探究:本讲内容在高考中多以选择题、填空题

形式出现.

(2)了解几何概型的意义.

1

ES考点-事件与概率

避拒基础点重难点

1事件的相关概念

(1)必然事件:在条件S下,一定会发生的事件.

(2)不可能事件:在条件S下,一定不会发生的事件.

(3)随机事件:在条件S下可能发生也可能不发生的事件.

2频率与概率

(1)事件的频率:在相同的条件S下重复〃次试验,观察某一事

件A是否出现,称〃次试验中事件A出现的次数”为事件A出现的

频数,称事件A出现的比例为(A)=詈为事件A出现的频率.

(2)概率的统计定义:在相同的条件下,大量重复进行同一试验

时,随机事件A发生的频率加A)=拳会在某个赏数附近摆动,则把这

个常数记作尸(A),称为事件A的概率,简称为A的概率.

3事件间的关系及运算

名称定义符号表示

如果事件A发生,则事件B一定发

包含关系生,这时称事件B包含事件A(或称33B(或

事件A包含于事件B)

若32A且A23,则事件A与事件B

相等事件A=5

相等

若某事件发生当且仅当事件A或事

并(和)事件件B发生,则称此事件为事件A与■8(或4+8)

事件5的并事件(或和事件)

若某事件发生当且仅当事件A发生

交(积)事件且事件B发生,则称此事件为事件AAn3(或AB)

与事件B的交事件(或积事件)

若4G8为不可能事件,则称事件A

互斥事件4G3=0

与事件B互斥

若AA3为不可能事件,AU3为必

对立事件然事件,那么称事件A与事件3互--

为对立事件

4概率的性质

(1)任何事件的概率都在0〜1之间,即OWP(A)WL必然事件的概

率为1,不可能事件的概率为0.

(2)当事件4与事件3互斥时,P(AU8)=P(A)+P(B).上述公式

称为互斥事件的概率加法公式.

(3)对立事件的概率之和为1,即若事件A与事件B对立,则P(A)

+P(B)=1.

注意点频率与概率的关系及并事件、互斥事件的理解

(1)频率在一定程度上可以反映事件发生的可能性的大小.因为

频率不是一个完全确定的数,随着试验次数的不同产生的频率也可能

不同,所以频率无法从根本上来刻画事件发生的可能性的大小.但从

大量的重复试验中发现,随着试验次数的增加,频率就稳定在某一固

定的值上,频率具有某种稳定性.

概率是一个常数,它是频率的科学抽象,当试验次数增加时,所

得的频率可近似地当作事件的概率.

(2)并(和)事件包含三种情况:①事件A发生,事件3不发生;②

事件A不发生,事件3发生;③事件A,8都发生.即事件A,3至

少有一个发生.

(3)互斥事件具体包括三种不同的情形:①事件A发生且事件B

不发生;②事件A不发生且事件3发生;③事件A与事件B都不发

生.

1.思维辨析

(1)事件发生的频率与概率是相同的.()

(2)随机事件和随机试验是一回事.()

(3)在大量重复试验中,概率是频率的稳定值.()

(4)两个事件的和事件是指两个事件至少有一个发生.()

答案(1)X(2)X(3)J(4)V

2.从装有红球和绿球的口袋内任取2球(已知口袋中的红球、绿

球数都大于2),那么互斥而不对立的两个事件是()

A.至少有一个是红球,至少有一个是绿球

B.恰有一个红球,恰有两个绿球

C.至少有一个红球,都是红球

D.至少有一个红球,都是绿球

答案B

解析选项A、C中两事件可以同时发生,故不是互斥事件;选

项B中两事件不可能同时发生,因此是互斥的,但两事件不对立;

选项D中的两事件是对立事件.故选B.

3.抛掷一粒骰子,观察掷出的点数,设事件4为出现奇数点,

事件3为出现2点,已知P(A)=S,则出现奇数点或2点的

概率之和为.

2

答案3

解析出现奇数点或2点的事件为AU8,

且A,3为互斥事件,:.P(AUB)=P(A)+P(B).

112

.,.P(4U8)=]+d=T

[考法综述]随机事件的概率、互斥事件、对立事件的概率

为高考常考内容,多与古典概型及独立事件进行综合考查.

典例根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为

0.5,购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.

(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率;

(2)求该地1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率.

[解]记A表示事件:该车主购买甲种保险;8表示事件:该车

主购买乙种保险但不购买甲种保险;C表示事件:该车主至少购买甲、

乙两种保险中的1种;。表示事件:该车主甲、乙两种保险都不购买.

(1)由题意得尸(4)=0.5,P(B)=0.3,又。=4UB,

所以P(Q=P(AUB)=P(A)+P(B)=0.5+0.3=0.8.

(2)因为D与C是对立事件,所以尸(。)=1一尸(0=1—0.8=02

【解题法】互斥与对立的关系及解决此类问题的方法

(1)互斥与对立的关系

①两个事件互斥未必对立,但对立一定互斥.

②只有事件A,B互斥时,才有公式尸(4U3)=尸(A)+P(3),否

则公式不成立.

(2)解决互斥与对立事件问题时的方法策略

①解决此类问题,首先应根据互斥事件和对立事件的定义分析出

是不是互斥事件或对立事件,再选择概率公式进行计算.

②求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法:

a.直接法:将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概

率的和,运用互斥事件的概率加法公式计算.

b.间接法:先求此事件的对立事件的概率,再用公式P(A)=1

—P(N)求解,即运用正难则反的数学思想.特别是“至多”“至少”

型问题,用间接法就显得较简便.

1.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,

则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为()

13

-

-

A.88

答案D

解析由题意知4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加

公益活动有24种情况,而4位同学都选周六有1种情况,4位同学都

选周日有1种情况,故周六、周日都有同学参加公益活动的概率为P

24-1-1147士…

―24-16-8,故选D-

2.袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,

2只黄球.从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为

答案I

解析4只球分别记为白、红、黄1、黄2,则从中一次摸出2只

球所有可能的情况有:白红、白黄1、白黄2、红黄1、红黄2、黄1

黄2,共6种情况,其中2只球颜色不同的有5种,故尸=看

3.现有某类病毒记作,n(mW7,〃W9)可以任意选取,则m,n

都取到奇数的概率为.

答案63

解析由题意知m的可能取值为1,2,3,…,7;〃的可能取值为

1,2,3…,9.由于是任取小,n:若加=1时,”可取1,2,3,…,9,共

9种情况;同理加取2,3,…,7时,〃也各有9种情况,故冽,”的

取值情况共有7X9=63种.若九〃都取奇数,则m的取值为1,3,5,7;

〃的取值为1,3,5,7,9,因此满足条件的情形有4X5=20种.故所求概

*420

率为0

4.A,B两组各有7位病人,他们服用某种药物后的康复时间(单

位:天)记录如下:

A组:10,11,12,13,14,15,16;

B组:12,13,15,16,17,14,Cl.

假设所有病人的康复时间相互独立.从A,B两组随机各选1人,

A组选出的人记为甲,B组选出的人记为乙.

(1)求甲的康复时间不少于14天的概率;

(2)如果”=25,求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率;

(3)当。为何值时,A,B两组病人康复时间的方差相等?(结论不

要求证明)

解设事件4为“甲是A组的第i个人”,

事件B•为“乙是B组的第z•个人”,=1,2,…,7.

由题意可知P(A»=P(8)=,i=l,2,…,7.

(1)由题意知,事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是

A组的第5人,或者第6人,或者第7人”,所以甲的康复时间不少

于14天的概率是

UAU

P(A56A7)=P(A5)+P(A6)+P(A7)=1.

(2)设事件。为“甲的康复时间比乙的康复时间长”.由题意知,

I

C=A4B1uA5B\UA6BuA7B1UA5B2uA(,B2uA7B2uA7B3uA6B6u

因此pg=P(A4BI)+P(A5BI)+P(A6B,)+P(A7BI)+尸(4&)+

P(A6B2)+P(A7B2)+P(A7B3)+尸(44)+P(A7B6)=WP(A4BI)=

10P(4)P(3i)=墙.

(3)。=11或<7=18.

魄考点二古典概型

■京基础点重难点

1基本事件

一次试验中可能出现的每一个结果称为一个基本事件.基本事件

有如下特点:

(1)任何两个基本事件都是互斥的;

(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.

2古典概型的概念及特点

我们将具有下面两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古

典概型:

(1)有限性,即在一次试验中,基本事件的个数是有限的;

(2)等可能性,即每个基本事件出现的可能性是相等的.

3古典概型的概率公式

4A包含的基本事件的个数

尸(A)一基本事件的总数.

尔》注意点如何判断一个试验为古典概型

(1)一个试验是否为古典概型,在于这个试验是否具有古典概型

的两个特征——有限性和等可能性.

(2)古典概型的概率计算结果与模型的选择无关.

小题快做:

1.思维辨析

(1)某袋中装有大小均匀的三个红球、两个黑球、一个白球,那

么每种颜色的球被摸到的可能性相同.()

(2)从一3,-2,-1,0,1,2中任取一数,取到的数小于0与不小

于0的可能性相同.()

(3)分别从3名男同学、4名女同学中各选一名作代表,那么每个

同学当选的可能性相同.()

(4)利用古典概型的概率公式求“在边长为2的正方形内任取一

点,这点到正方形中心距离小于或等于1”的概率.()

(5)从长为1的线段AB上任取一点C,求满足ACW;的概率是多

少”是古典概型.()

答案(1)X(2)V(3)X(4)X(5)X

2.下面关于古典概型的说法正确的是()

①我们所说的试验都是古典概型;②“在适宜条件下,种下一粒

种子观察它是否发芽”属于古典概型,其基本事件是“发芽与不发

芽”;③掷一枚硬币两次,出现“两个正面”“一正一反”“两个反

面”,这三个结果是等可能事件;④在古典概型中,如果事件A中基

本事件构成集合A,且4中的元素个数为小所有的基本事件构成集

合/,且/中元素个数为相,则事件4的概率为春

A.①②B.③④

C.②D.@

答案D

解析①错误.在一次试验中,可能出现的结果是有限个,并且

每个试验结果的可能性是均等的,这样的试验才是古典概型.②错

误.它不符合古典概型的定义中每个基本事件发生的可能性相等.③

错误.掷一枚硬币两次,出现“正、正”“正、反”“反、正”“反、

反”,这四个事件是等可能事件.④正确.由古典概型的概率公式可

知,该说法正确.

3.如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称

这3个数为一组勾股数.从1,2,345中任取3个不同的数,则这3个

数构成一组勾股数的概率为()

A-WB5

C—D—

J。20

答案C

解析从123,4,5中任取3个不同的数,有{1,2,3}、{1,2,4}、

{1,2,5}、{1,3,4}、{1,3,5}、{1,4,5}、{2,3,4}、{2,3,5}、{2,4,5}、{3,4,5}

共10个基本事件,其中这3个数能构成一组勾股数的只有{3,4,5},

,所求概率为七,故选C.

健法命题法解题法

方[考法综述]古典概型是概率知识的基础,常与互斥事件、

对立事件等知识相结合,以实际或数学其他领域的材料为背景考查,

难度容易或中等.

典例某校夏令营有3名男同学A,bC和3名女同学X,K

Z,其年级情况如下表:

一年级二年级三年级

男同学ABC

女同学XYZ

现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到

的可能性相同).

(1)用表中字母列举出所有可能的结果;

(2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和

1名女同学”,求事件M发生的概率.

[解]⑴从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结

果为{A,B},{A,C},{A,X},{A,Y},{A,Z},{B,C},{B,

X},{B,Y},{B,Z},{C,X},{C,Y},{C,Z},{X,Y},{X,

Z},{Y,Z},共15种.

(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的

所有可能结果为{A,Y},{A,Z},{B,X},{B,Z},{C,发生的概

262

率•

9【解题法】求古典概型概率的步骤

(1)反复阅读题目,收集题目中的各种信息,理解题意.

(2)判断试验是否为古典概型,并用字母表示所求事件.

(3)利用列举法求出总的基本事件的个数n及事件A中包含的基

本事件的个数m.

(4)计算事件A的概率P(A)=~.

健题对点题必刷题

1.已知5件产品中有2件次品,其余为合格品.现在从这5件

产品中任取2件,恰有一件次品的概率为()

A.0.4B.0.6

C.0.8D.1

答案B

解析设5件产品中合格品分别为AHA2,A3,2件次品分别为

Bi,B2,则从5件产品中任取2件的所有基本事件为:AIA2,AIA3,

A\B\,A\B2,42A3,A2B1,A2B2,A3B\,A3B2,B1B2,共10个,其中

恰有一件次品的所有基本事件为:AiBi,A2B1,A2B2,A3B1,

A3B2,共6个.故所求的概率为P=/=06

2.从正方形四个顶点及其中心这5个点中,任取2个点,则这

2个点的距离小于该正方形边长的概率为()

A.|B.|

C.|D.1

答案B

解析设正方形的四个顶点分别是4,B,C,D,中心为0,从

这5个点中,任取两个点的事件分别为A3,AC,AD,AO,BC,BD,

BO,CD,CO,DO,共有10种,其中只有顶点到中心。的距离小

于正方形的边长,分别是AO,BO,CO,DO,共有4种.故满足条

42

件的概率•故选B.

3.有一个奇数列,1,357,9,…,现在进行如下分组,第一组有

1个数为1,第二组有2个数为3、5,第三组有3个数为7、9、11,…,

依此类推,则从第十组中随机抽取一个数恰为3的倍数的概率为

()

A.]。

C.|D.|

答案B

解析将数列1,3,5,7,9…记为{斯},则前九组共有1+2+3+-

+9=45个奇数,故第十组中第一个数字为146=2X46—1=91,第十

组共有10个奇数,分别是91,93,95,97,99,101,103,105,107,109这10

3

个数字,其中为3的倍数的数有93,99,105三个,故所求概率为。=行.

4.甲乙两人一起去游泰山,他们约定,各自独立地从1到6号

景点中任选4个进行游览,每个景点参观1小时,则最后一小时他们

同在一个景点的概率是()

A,B1

A.36B.9

C,36D,6

答案D

解析最后一个景点甲有6种选法,乙有6种选法,共有36种,

他们选择相同的景点有6种,所以尸=9=看所以选D.

5.从分别写有123,4,5的五张卡片中任取两张,假设每张卡片

被取到的概率相等,且每张卡片上只有一个数字,则取到的两张卡片

上的数字之和为偶数的概率为()

416

A-5B25

13C2

C.T乙J?D.J7

答案D

解析从分别写有123,4,5的五张卡片中任取两张,总的情况为:

(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),

(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)共

20种情况.

两张卡片上的数字之和为偶数的有:(1,3),(1,5),(2,4),(3,1),

(3,5),(4,2),(5,1),(5,3)共8种情况.,从分别写有1,2,345的五张

Q7

卡片中任取两张,这两张卡片上的数字之和为偶数的概率尸=a=告

故选D.

6.从字母a,b,c,d,e中任取两个不同字母,则取到字母a

的概率为.

答案|2

解析基本事件总数有10个,即(a,h),(a,c),(a,d),(a,

e),(b,c),S,d),S,e),(c,d),(c,e),(d,e),其中含。的基

本事件有(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),共4个,故由古典概

42

型知所求事件的概率。=m=亍

7.从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘

积为6的概率是.

答案|

解析从123,6这4个数中随机地取2个数,不同的取法为{1,2},

{1,3},{1,6},{2,3},{2,6},{3,6}共6个基本事件,其中乘积为6

21

的有{1,6},{2,3}两个基本事件,因此所求事件的概率为夕=%=不

8.甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运

动服中选择1种,则他们选择相同颜色运动服的概率为.

答案|

解析甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的

运动服中选择1种的所有可能情况为(红,白),(白,红),(红,蓝),

(蓝,红),(白,蓝),(蓝,白),(红,红),(白,白),(蓝,蓝),共9

种,他们选择相同颜色运动服的所有可能情况为(红,红),(白,白),

,31

(蓝,蓝),共3种.故所求概率为P=d=Q.

yJ

I考点三几何概型

技基础点重难点

1几何概型的概念

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体

模成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称几何概型.

2几何概型的特点

(1)无限性,即试验中所有可能出现的基本事件有无限多个;

(2)等可能性,即每个基本事件发生的可能性相等.

3几何概型的概率计算公式

在几何概型中,事件A的概率的计算公式如下:

构成事件4的区域长度(面积或体积)

尸(A)一试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)・

市》注意点与长度、角度有关的几何概型怎样区分

(1)设线段/是线段L的一部分,向线段L上任投一点,点落在线

/的长唐

段/上的概率为尸=百葭

(2)当涉及射线的转动,如扇形中有关落点区域问题时,应以角

的大小作为区域度量来计算概率,且不可用线段代替,这是两种不同

的度量手段.

小题快做;

1.思维辨析

(1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.()

(2)相同环境下两次随机模拟得到的概率的估计值是相等

的.()

(3)几何概型中,每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内

随机地取一点,该区域中的每一点被取到的机会相等.()

(4)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图

形.()

答案(1)V(2)X(3)7(4)7

2.在区间[—3,5]上随机取一个数%,则%口1,3]的概率为()

A.lB.T

OJ

-1-2

C-4D5

答案C

解析记“%口1,3]”为事件4

3—1I

则由几何概型的计算公式可得P(A)=M百,

3.如图,在边长为。的正方形内有不规则图形0,向正方形内

随机撒豆子,若撒在图形。内和正方形内的豆子数分别为机,n,则

图形。面积的估计值为()

答案C

解析因为由题意知在正方形中随机投掷〃个点,则〃个点中有

m个点落入Q中,

所以不规则图形。的面积:正方形的面积=加:小

2

所以不规则图形。的面积=:X正方形的面积=念。2=等.

嬉话命题法解题法

为[考法综述]几何概型是高考的热点,考查与长度或面积有

关的几何概型的求法.特别是与平面几何、函数等知识结合的几何概

型是高考考查的重点内容,难度不大.

典例(1)已知一只蚂蚁在边长分别为5,12,13的三角形的边上

随机爬行,则其恰在离三个顶点的距离都大于1的地方的概率为

()

A.1B.|

(2)A,B,C是平面内不共线的三点,点尸在该平面内且有出+

—►-►

2PB+3PC=0,现将一粒黄豆随机撒在△ABC内,则这粒黄豆落在4

PBC内的概率为.

[解析](1)由题意可知,三角形的三条边长的和为5+12+13=

30,而蚂蚁要在离三个顶点的距离都大于1的地方爬行,则它爬行的

区域长度为3+10+11=24,根据几何概型的概率计算公式可得所求

概率为2益4卷4

—►—■►-►—►—■►—►—►-►

(2)由附+2尸B+3PC=00一A0+2(A3—AP)+3(AC-AP)=0,

一1-1一_、一]一

得AP=wAB+/AC,设C到AB的距离为d,如图所示,设AE=,4C,

所以SAPBC=[^1—1—|^AABC=|sAAfiC,所以所求概率为去

[答案](1)A(2)|

9【解题法】应用几何概型求概率的方法

建立相应的几何概型,将试验构成的总区域和所求事件构成的区

域转化为几何图形,并加以度量.

(1)一般地,一个连续变量可建立与长度有关的几何概型,只需

把这个变量放在坐标轴上即可.

(2)若一个随机事件需要用两个变量来描述,则可用这两个变量

的有序实数对来表示它的基本事件,然后利用平面直角坐标系就能顺

利地建立与面积有关的几何概型.

(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述,则可用这三个

变量组成的有序数组来表示基本事件,利用空间直角坐标系即可建立

与体积有关的几何概型.

';题对点题必刷题

L

X>2

1.在区间[0,1]上随机取两个数%,y,记0为事件+y\

的概率,〃2为事件“I%—的概率,〃3为事件的概率,

则()

A.pi<p2Vp3B.p2Vp3Vpi

C.〃3<P1<P2D.p3Vp2Vpi

答案B

解析],y£[O,l],事件表示的区域如图(1)中阴影

部分S,事件“|九一表示的区域如图(2)中阴影部分S2,事件

“孙表示的区域如图(3)中阴影部分S3.由图知,阴影部分的面积

S2Vs3<S1,正方形的面积为IX1=1.根据几何概型的概率计算公式,

可得

311__]_

十27r巳自―27r

DUI

2712兀

答案B

解析一IzIWl,「.((l,。)为圆心,1为半径的圆及其内部,该圆

的面积为兀易知直线)=%与圆(%—l>+y2=i相交于0(0,0),A(l,l)

两点,作图如下:

D[

LH

71I711

VZOMA=90°,...5阴影=不一/义1X1=^一

7T_J_

S阴影4211

故所求的概率P=

SQM兀427f

%W0,

3.由不等式组〈y与0,确定的平面区域记为01,不等式

、y-%—2W0

%+yW1,

组c确定的平面区域记为02,在乌中随机取一点,则该

(x+y^-2

点恰好在02内的概率为()

「37

C14D8

答案D

解析如图,由题意知平面区域。1的面积S0]=S/ww=;X2X2

=2.

/X_________________

/

/-]---------

<1

/

ZJ

。1与02的公共区域为阴影部分,面积Sa=SQ\—S&ABC=2-2

17

X1X2=4-

7

-

4

由几何概型得该点恰好落在。2内的概率“爵-7

2

6o.故选D.

4.如图,矩形ABCO中,点A在%轴上,点8的坐标为(1,0),

%+1,%20,

且点C与点D在函数/U)=一;%+1,%<0的图象上.若在矩形

ABC。内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于()

11

A6B4

C.gD2

答案B

解析依题意得,点C的坐标为(1,2),所以点。的坐标为(一2,2),

所以矩形ABCD的面积S矩形ABCD=3X2=6,阴影部分的面积S阴影=]

X3X1=1,根据几何概型的概率求解公式,得所求的概率P=g—■

3

21

=7=7,故选B.

。4

5.某校早上8:00开始上课,假设该校学生小张与小王在早上

7:30-7:50之间到校,且每人在该时间段的任何时刻到校是等可

能的,则小张比小王至少早5分钟到校的概率为.(用数字

作答)

9

答案32

解析设小张与小王的到校时间分别为7:00后第%分钟,第y

分钟,根据题意可画出图形,如图所示,则总事件所占的面积为(50

—30)2=400.小张比小王至少早5分钟到校表示的事件A={(x,y)|y

—x》5,30W%W50,30WyW50},如图中阴影部分所示,阴影部分所占

的面积为:1义15X15=爹?25,所以小张比小王至少早5分钟到校的概率

225

,~T9

为P(4)=

6.在棱长为2的正方体45CQ—431Goi中,点0为底面ABCD

的中心,在正方体内随机取一点P,则点P到点0

的距离大于1的概率为.

答案f

解析如图,与点。距离等于1的点的轨迹是一个半球面,其

1427r

体积为Vi=TXT7rX13=-7-.

事件“点尸与点。距离大于1的概率”对应的区域体积为23—苧,

根据几何概型概率公式得,点P与点0距离大于1的概率尸=

73——

~ir=x~n-

7.若在区间[—2,4]上随机地取一个数%,则满足|x|W3的概率为

答案I

解析由|x|W3,所以一3W%W3.所以在区间[—2,4]上随机地取一

个数居满足|%|W3的区间为[―2,3],故所求概率为:二]二1=|.

学霸错题警示古典概型中的基本事件理解错误

若将一枚质地均匀的骰子(一种各面上分别标有123,4,5,6个点

的正方体玩具)先后抛掷2次,则出现向上的点数之和为4的概率为

[错解]

2次的息数之和令到为2,3,4,.*7,

8,7,10,II,Z2,的从风本事件的个数方〃,2

♦W-汰备4讷事件灰/,3)(2,2)两湾,访汉

就卑盲关.

[错因分析]对等可能事件的概率求法中“基本事件”和“等

可能性”的概率理解不清楚,数错了基本事件的个数.

[正解]先后掷两次出现的点数记作(x,y),共有6义6=36个基

本事件,而向上点数和为4的基本事件有:(1,3),(2,2),(3,1)共3个.所

31

以所求概率为尸=五=万.

[答案].

[心得体会]

时间:50分钟

基础组

1.[枣强中学预测]4张卡片上分别写有数字1,2,3,4,从这4张卡

片中随机抽取2张,则取出的2张卡片上的数字之和为偶数的概率为

)

B.1

A-2

C.|

D4

答案B

解析因为从4张卡片中任取出2张共有6种情况,其中2张卡

片上数字之和为偶数的共有2种情况,所以2张数字之和为偶数的概

率为去

2.[冀州中学一轮检测]将一颗骰子抛掷两次,所得向上点数分

别为"2,n,则函数y=|m%3一依+i在",+8)上为增函数的概率是

15

-B-

A.26

3「2

C,4D,3

答案B

2

解析y=-jmx^—nx2—n.

令<=°得%=±"1,

.,.xi=%2=—是函数的两个极值点,

二.函数在+8上是增函数,则即〃W2m.

通过建立关于加,〃的坐标系可得出满足〃W2机的有30个,

2

由古典概型公式可得函数y二1aX3—心+1在[1,+8)上为增函

数的概率是尸=3今0=]5.故选B.

3。o

3.[武邑中学一轮检测]设A为圆周上一点,在圆周上等可能地任

取一点与A连接,则弦长超过半径啦倍的概率是()

A.lB.|

C3D5

答案B

解析作等腰直角三角形AOC和AMC,8为圆上任一点,则当

点8在2c上运动时,弦长

.MmC1

••一=圆的周长=5.故选故

4.[武邑中学月考]ABC。为长方形,A8=2,BC=1,0为AB

的中点.在长方形A8CQ内随机取一点,取到的点到0的距离大于1

的概率为()

_7171

C,8D,1-8

答案B

解析如图,根据几何概型概率公式得所求概率为尸=

5.[衡水中学热身]如图所示方格,在每一个方格中填入一个数

字,数字可以是1,2,3,4中的任何一个,允许重复.则填入A方格的

数字大于3方格的数字的概率为()

答案D

解析只考虑A,B两个方格的排法.不考虑大小,A,B两个

方格有4X4=16(种)排法.要使填入A方格的数字大于3方格的数字,

则从1,2,3,4中选2个数字,大的放入A格,小的放入8格,有(4,3),

(4,2),(4,1),(3,2),(3,1),(2,1),共6种,故填入A方格的数字大于

3方格的数字的概率为余=*选D.

100

6.[冀州中学期末]设p在[0,5]上随机地取值,则方程%2+px+(+

1=0有实数根的概率为.

3

答案5

解析一元二次方程有实数根即』=p2—4容++5+1)。一

5—23

2)20,解得pW—1或故所求概率为不一=亍

7.[衡水中学预测]从分别写有0,1,2,3,4的五张卡片中取出一张

卡片,记下数字后放回,再从中取出一张卡片.则两次取出的卡片上

的数字之和恰好等于4的概率是.

答案5

解析从0,1,2,3,4五张卡片中取出两张卡片的结果有25种,数

字之和恰好等于4的结果有(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0),所以数

字和恰好等于4的概率是P=g.

8.[枣强中学热身]现从甲、乙、丙3人中随机选派2人参加某

项活动,则甲被选中的概率为.

答案f2

解析从甲、乙、丙3人中随机选派2人,共有甲乙、甲丙、乙

丙三种选法,其中甲被选中有甲乙、甲丙两种选法,所以甲被选中的

2

概率为

9.[衡水中学猜题]某商场有奖销售中,购满100元商品得1张

奖券,多购多得.1000张奖券为一个开奖单位,设特等奖1个,一等

奖10个,二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事

件分别为A,B,C求:

⑴尸⑷,P(B),P(。;

(2)1张奖券的中奖概率;

(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.

解P(B)=iooo=而'P(O=1000=%

(2)因为事件A,B,。两两互斥,所以尸(AU3UO=P(A)+P(3)

+P0=iooo+155+而=ioo(y

故1张奖券的中奖概率为赢.

⑶尸(-A--口--3)=1—尸(A+,3)=1-f[再l+,高O=丽989•

故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为勰.

10.[衡水中学一轮检测]某超市为了解顾客的购物量及结算时间

等信息、,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关

数据,如下表所示.

一次1至5至9至13至17件及

购物量4件8件12件16件以上

顾客数

X3025y10

(人)

结算时间

11.522.53

(分钟/人)

已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.

⑴确定1,y的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值;

(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.(将频

率视为概率)

解(1)由已知得25+y+10=55,%+30=45,所以%=15,y—

20.

该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所收集的

100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单

随机样本,顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计,

其估计值为

1X15+1.5X30+2X25+2.5X20+3X10、人

-------------------面------------------:1.9(分钟).

(2)记A表示事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分

钟”,A,,A2,4分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分

钟”“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”“该顾客一次购物的

15330

结算时间为2分钟”.将频率视为概率得尸(4)=-=布,尸(42)=不市

■L1/171.UI/

=2尸(4)=叵」

10,人到1004-

因为A=AiUA2UA3,且AI,A2,4是互斥事件,所以P(A)=P(4

3317

UA2UA3)=尸(4)+尸(A*+尸(A3)=加+记+^=m-

7

故一位顾客一次购物的结

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