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文档简介
第H^一章概率与统计
第1讲概率
考点展示考纲要求高考命题探究
(1)了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定
1.内容探究:(1)随机事件的概率主要考查频率与概
事件与概率性,了解概率的意义,了解频率与概率的区别.
率的关系,结合概率的性质考查互斥事件和对立事件
(2)了解两个互斥事件的概率加法公式.
的概率.(2)古典概型主要考查实际背景的可能事
(1)理解古典概型及其概率计算公式.件,通常与互斥事件、对立事件等知识相结合考查.
古典概型
(2)会计算一些随机事件所含的基本事件数及事(3)几何概型主要考查事件发生的概率与构成事件
件发生的概率.区域的长度、面积、体积有关的实际问题,注意数
形结合思想和逻辑思维能力.
(1)了解随机数的意义,能运用模拟方法估计
几何概型概率.2.形式探究:本讲内容在高考中多以选择题、填空题
形式出现.
(2)了解几何概型的意义.
1
ES考点-事件与概率
避拒基础点重难点
1事件的相关概念
(1)必然事件:在条件S下,一定会发生的事件.
(2)不可能事件:在条件S下,一定不会发生的事件.
(3)随机事件:在条件S下可能发生也可能不发生的事件.
2频率与概率
(1)事件的频率:在相同的条件S下重复〃次试验,观察某一事
件A是否出现,称〃次试验中事件A出现的次数”为事件A出现的
频数,称事件A出现的比例为(A)=詈为事件A出现的频率.
(2)概率的统计定义:在相同的条件下,大量重复进行同一试验
时,随机事件A发生的频率加A)=拳会在某个赏数附近摆动,则把这
个常数记作尸(A),称为事件A的概率,简称为A的概率.
3事件间的关系及运算
名称定义符号表示
如果事件A发生,则事件B一定发
包含关系生,这时称事件B包含事件A(或称33B(或
事件A包含于事件B)
若32A且A23,则事件A与事件B
相等事件A=5
相等
若某事件发生当且仅当事件A或事
并(和)事件件B发生,则称此事件为事件A与■8(或4+8)
事件5的并事件(或和事件)
若某事件发生当且仅当事件A发生
交(积)事件且事件B发生,则称此事件为事件AAn3(或AB)
与事件B的交事件(或积事件)
若4G8为不可能事件,则称事件A
互斥事件4G3=0
与事件B互斥
若AA3为不可能事件,AU3为必
对立事件然事件,那么称事件A与事件3互--
为对立事件
4概率的性质
(1)任何事件的概率都在0〜1之间,即OWP(A)WL必然事件的概
率为1,不可能事件的概率为0.
(2)当事件4与事件3互斥时,P(AU8)=P(A)+P(B).上述公式
称为互斥事件的概率加法公式.
(3)对立事件的概率之和为1,即若事件A与事件B对立,则P(A)
+P(B)=1.
注意点频率与概率的关系及并事件、互斥事件的理解
(1)频率在一定程度上可以反映事件发生的可能性的大小.因为
频率不是一个完全确定的数,随着试验次数的不同产生的频率也可能
不同,所以频率无法从根本上来刻画事件发生的可能性的大小.但从
大量的重复试验中发现,随着试验次数的增加,频率就稳定在某一固
定的值上,频率具有某种稳定性.
概率是一个常数,它是频率的科学抽象,当试验次数增加时,所
得的频率可近似地当作事件的概率.
(2)并(和)事件包含三种情况:①事件A发生,事件3不发生;②
事件A不发生,事件3发生;③事件A,8都发生.即事件A,3至
少有一个发生.
(3)互斥事件具体包括三种不同的情形:①事件A发生且事件B
不发生;②事件A不发生且事件3发生;③事件A与事件B都不发
生.
1.思维辨析
(1)事件发生的频率与概率是相同的.()
(2)随机事件和随机试验是一回事.()
(3)在大量重复试验中,概率是频率的稳定值.()
(4)两个事件的和事件是指两个事件至少有一个发生.()
答案(1)X(2)X(3)J(4)V
2.从装有红球和绿球的口袋内任取2球(已知口袋中的红球、绿
球数都大于2),那么互斥而不对立的两个事件是()
A.至少有一个是红球,至少有一个是绿球
B.恰有一个红球,恰有两个绿球
C.至少有一个红球,都是红球
D.至少有一个红球,都是绿球
答案B
解析选项A、C中两事件可以同时发生,故不是互斥事件;选
项B中两事件不可能同时发生,因此是互斥的,但两事件不对立;
选项D中的两事件是对立事件.故选B.
3.抛掷一粒骰子,观察掷出的点数,设事件4为出现奇数点,
事件3为出现2点,已知P(A)=S,则出现奇数点或2点的
概率之和为.
2
答案3
解析出现奇数点或2点的事件为AU8,
且A,3为互斥事件,:.P(AUB)=P(A)+P(B).
112
.,.P(4U8)=]+d=T
[考法综述]随机事件的概率、互斥事件、对立事件的概率
为高考常考内容,多与古典概型及独立事件进行综合考查.
典例根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为
0.5,购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.
(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率;
(2)求该地1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率.
[解]记A表示事件:该车主购买甲种保险;8表示事件:该车
主购买乙种保险但不购买甲种保险;C表示事件:该车主至少购买甲、
乙两种保险中的1种;。表示事件:该车主甲、乙两种保险都不购买.
(1)由题意得尸(4)=0.5,P(B)=0.3,又。=4UB,
所以P(Q=P(AUB)=P(A)+P(B)=0.5+0.3=0.8.
(2)因为D与C是对立事件,所以尸(。)=1一尸(0=1—0.8=02
【解题法】互斥与对立的关系及解决此类问题的方法
(1)互斥与对立的关系
①两个事件互斥未必对立,但对立一定互斥.
②只有事件A,B互斥时,才有公式尸(4U3)=尸(A)+P(3),否
则公式不成立.
(2)解决互斥与对立事件问题时的方法策略
①解决此类问题,首先应根据互斥事件和对立事件的定义分析出
是不是互斥事件或对立事件,再选择概率公式进行计算.
②求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法:
a.直接法:将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概
率的和,运用互斥事件的概率加法公式计算.
b.间接法:先求此事件的对立事件的概率,再用公式P(A)=1
—P(N)求解,即运用正难则反的数学思想.特别是“至多”“至少”
型问题,用间接法就显得较简便.
1.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,
则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为()
13
-
-
A.88
飞
答案D
解析由题意知4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加
公益活动有24种情况,而4位同学都选周六有1种情况,4位同学都
选周日有1种情况,故周六、周日都有同学参加公益活动的概率为P
24-1-1147士…
―24-16-8,故选D-
2.袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,
2只黄球.从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为
答案I
解析4只球分别记为白、红、黄1、黄2,则从中一次摸出2只
球所有可能的情况有:白红、白黄1、白黄2、红黄1、红黄2、黄1
黄2,共6种情况,其中2只球颜色不同的有5种,故尸=看
3.现有某类病毒记作,n(mW7,〃W9)可以任意选取,则m,n
都取到奇数的概率为.
答案63
解析由题意知m的可能取值为1,2,3,…,7;〃的可能取值为
1,2,3…,9.由于是任取小,n:若加=1时,”可取1,2,3,…,9,共
9种情况;同理加取2,3,…,7时,〃也各有9种情况,故冽,”的
取值情况共有7X9=63种.若九〃都取奇数,则m的取值为1,3,5,7;
〃的取值为1,3,5,7,9,因此满足条件的情形有4X5=20种.故所求概
*420
率为0
4.A,B两组各有7位病人,他们服用某种药物后的康复时间(单
位:天)记录如下:
A组:10,11,12,13,14,15,16;
B组:12,13,15,16,17,14,Cl.
假设所有病人的康复时间相互独立.从A,B两组随机各选1人,
A组选出的人记为甲,B组选出的人记为乙.
(1)求甲的康复时间不少于14天的概率;
(2)如果”=25,求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率;
(3)当。为何值时,A,B两组病人康复时间的方差相等?(结论不
要求证明)
解设事件4为“甲是A组的第i个人”,
事件B•为“乙是B组的第z•个人”,=1,2,…,7.
由题意可知P(A»=P(8)=,i=l,2,…,7.
(1)由题意知,事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是
A组的第5人,或者第6人,或者第7人”,所以甲的康复时间不少
于14天的概率是
UAU
P(A56A7)=P(A5)+P(A6)+P(A7)=1.
(2)设事件。为“甲的康复时间比乙的康复时间长”.由题意知,
I
C=A4B1uA5B\UA6BuA7B1UA5B2uA(,B2uA7B2uA7B3uA6B6u
因此pg=P(A4BI)+P(A5BI)+P(A6B,)+P(A7BI)+尸(4&)+
P(A6B2)+P(A7B2)+P(A7B3)+尸(44)+P(A7B6)=WP(A4BI)=
10P(4)P(3i)=墙.
(3)。=11或<7=18.
魄考点二古典概型
■京基础点重难点
1基本事件
一次试验中可能出现的每一个结果称为一个基本事件.基本事件
有如下特点:
(1)任何两个基本事件都是互斥的;
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.
2古典概型的概念及特点
我们将具有下面两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古
典概型:
(1)有限性,即在一次试验中,基本事件的个数是有限的;
(2)等可能性,即每个基本事件出现的可能性是相等的.
3古典概型的概率公式
4A包含的基本事件的个数
尸(A)一基本事件的总数.
尔》注意点如何判断一个试验为古典概型
(1)一个试验是否为古典概型,在于这个试验是否具有古典概型
的两个特征——有限性和等可能性.
(2)古典概型的概率计算结果与模型的选择无关.
小题快做:
1.思维辨析
(1)某袋中装有大小均匀的三个红球、两个黑球、一个白球,那
么每种颜色的球被摸到的可能性相同.()
(2)从一3,-2,-1,0,1,2中任取一数,取到的数小于0与不小
于0的可能性相同.()
(3)分别从3名男同学、4名女同学中各选一名作代表,那么每个
同学当选的可能性相同.()
(4)利用古典概型的概率公式求“在边长为2的正方形内任取一
点,这点到正方形中心距离小于或等于1”的概率.()
(5)从长为1的线段AB上任取一点C,求满足ACW;的概率是多
少”是古典概型.()
答案(1)X(2)V(3)X(4)X(5)X
2.下面关于古典概型的说法正确的是()
①我们所说的试验都是古典概型;②“在适宜条件下,种下一粒
种子观察它是否发芽”属于古典概型,其基本事件是“发芽与不发
芽”;③掷一枚硬币两次,出现“两个正面”“一正一反”“两个反
面”,这三个结果是等可能事件;④在古典概型中,如果事件A中基
本事件构成集合A,且4中的元素个数为小所有的基本事件构成集
合/,且/中元素个数为相,则事件4的概率为春
A.①②B.③④
C.②D.@
答案D
解析①错误.在一次试验中,可能出现的结果是有限个,并且
每个试验结果的可能性是均等的,这样的试验才是古典概型.②错
误.它不符合古典概型的定义中每个基本事件发生的可能性相等.③
错误.掷一枚硬币两次,出现“正、正”“正、反”“反、正”“反、
反”,这四个事件是等可能事件.④正确.由古典概型的概率公式可
知,该说法正确.
3.如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称
这3个数为一组勾股数.从1,2,345中任取3个不同的数,则这3个
数构成一组勾股数的概率为()
A-WB5
C—D—
J。20
答案C
解析从123,4,5中任取3个不同的数,有{1,2,3}、{1,2,4}、
{1,2,5}、{1,3,4}、{1,3,5}、{1,4,5}、{2,3,4}、{2,3,5}、{2,4,5}、{3,4,5}
共10个基本事件,其中这3个数能构成一组勾股数的只有{3,4,5},
,所求概率为七,故选C.
健法命题法解题法
方[考法综述]古典概型是概率知识的基础,常与互斥事件、
对立事件等知识相结合,以实际或数学其他领域的材料为背景考查,
难度容易或中等.
典例某校夏令营有3名男同学A,bC和3名女同学X,K
Z,其年级情况如下表:
一年级二年级三年级
男同学ABC
女同学XYZ
现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到
的可能性相同).
(1)用表中字母列举出所有可能的结果;
(2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和
1名女同学”,求事件M发生的概率.
[解]⑴从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结
果为{A,B},{A,C},{A,X},{A,Y},{A,Z},{B,C},{B,
X},{B,Y},{B,Z},{C,X},{C,Y},{C,Z},{X,Y},{X,
Z},{Y,Z},共15种.
(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的
所有可能结果为{A,Y},{A,Z},{B,X},{B,Z},{C,发生的概
262
率•
9【解题法】求古典概型概率的步骤
(1)反复阅读题目,收集题目中的各种信息,理解题意.
(2)判断试验是否为古典概型,并用字母表示所求事件.
(3)利用列举法求出总的基本事件的个数n及事件A中包含的基
本事件的个数m.
(4)计算事件A的概率P(A)=~.
健题对点题必刷题
1.已知5件产品中有2件次品,其余为合格品.现在从这5件
产品中任取2件,恰有一件次品的概率为()
A.0.4B.0.6
C.0.8D.1
答案B
解析设5件产品中合格品分别为AHA2,A3,2件次品分别为
Bi,B2,则从5件产品中任取2件的所有基本事件为:AIA2,AIA3,
A\B\,A\B2,42A3,A2B1,A2B2,A3B\,A3B2,B1B2,共10个,其中
恰有一件次品的所有基本事件为:AiBi,A2B1,A2B2,A3B1,
A3B2,共6个.故所求的概率为P=/=06
2.从正方形四个顶点及其中心这5个点中,任取2个点,则这
2个点的距离小于该正方形边长的概率为()
A.|B.|
C.|D.1
答案B
解析设正方形的四个顶点分别是4,B,C,D,中心为0,从
这5个点中,任取两个点的事件分别为A3,AC,AD,AO,BC,BD,
BO,CD,CO,DO,共有10种,其中只有顶点到中心。的距离小
于正方形的边长,分别是AO,BO,CO,DO,共有4种.故满足条
42
件的概率•故选B.
3.有一个奇数列,1,357,9,…,现在进行如下分组,第一组有
1个数为1,第二组有2个数为3、5,第三组有3个数为7、9、11,…,
依此类推,则从第十组中随机抽取一个数恰为3的倍数的概率为
()
A.]。
C.|D.|
答案B
解析将数列1,3,5,7,9…记为{斯},则前九组共有1+2+3+-
+9=45个奇数,故第十组中第一个数字为146=2X46—1=91,第十
组共有10个奇数,分别是91,93,95,97,99,101,103,105,107,109这10
3
个数字,其中为3的倍数的数有93,99,105三个,故所求概率为。=行.
4.甲乙两人一起去游泰山,他们约定,各自独立地从1到6号
景点中任选4个进行游览,每个景点参观1小时,则最后一小时他们
同在一个景点的概率是()
A,B1
A.36B.9
C,36D,6
答案D
解析最后一个景点甲有6种选法,乙有6种选法,共有36种,
他们选择相同的景点有6种,所以尸=9=看所以选D.
5.从分别写有123,4,5的五张卡片中任取两张,假设每张卡片
被取到的概率相等,且每张卡片上只有一个数字,则取到的两张卡片
上的数字之和为偶数的概率为()
416
A-5B25
13C2
C.T乙J?D.J7
答案D
解析从分别写有123,4,5的五张卡片中任取两张,总的情况为:
(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),
(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)共
20种情况.
两张卡片上的数字之和为偶数的有:(1,3),(1,5),(2,4),(3,1),
(3,5),(4,2),(5,1),(5,3)共8种情况.,从分别写有1,2,345的五张
Q7
卡片中任取两张,这两张卡片上的数字之和为偶数的概率尸=a=告
故选D.
6.从字母a,b,c,d,e中任取两个不同字母,则取到字母a
的概率为.
答案|2
解析基本事件总数有10个,即(a,h),(a,c),(a,d),(a,
e),(b,c),S,d),S,e),(c,d),(c,e),(d,e),其中含。的基
本事件有(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),共4个,故由古典概
42
型知所求事件的概率。=m=亍
7.从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘
积为6的概率是.
答案|
解析从123,6这4个数中随机地取2个数,不同的取法为{1,2},
{1,3},{1,6},{2,3},{2,6},{3,6}共6个基本事件,其中乘积为6
21
的有{1,6},{2,3}两个基本事件,因此所求事件的概率为夕=%=不
8.甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运
动服中选择1种,则他们选择相同颜色运动服的概率为.
答案|
解析甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的
运动服中选择1种的所有可能情况为(红,白),(白,红),(红,蓝),
(蓝,红),(白,蓝),(蓝,白),(红,红),(白,白),(蓝,蓝),共9
种,他们选择相同颜色运动服的所有可能情况为(红,红),(白,白),
,31
(蓝,蓝),共3种.故所求概率为P=d=Q.
yJ
I考点三几何概型
技基础点重难点
1几何概型的概念
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体
模成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称几何概型.
2几何概型的特点
(1)无限性,即试验中所有可能出现的基本事件有无限多个;
(2)等可能性,即每个基本事件发生的可能性相等.
3几何概型的概率计算公式
在几何概型中,事件A的概率的计算公式如下:
构成事件4的区域长度(面积或体积)
尸(A)一试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)・
市》注意点与长度、角度有关的几何概型怎样区分
(1)设线段/是线段L的一部分,向线段L上任投一点,点落在线
/的长唐
段/上的概率为尸=百葭
(2)当涉及射线的转动,如扇形中有关落点区域问题时,应以角
的大小作为区域度量来计算概率,且不可用线段代替,这是两种不同
的度量手段.
小题快做;
1.思维辨析
(1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.()
(2)相同环境下两次随机模拟得到的概率的估计值是相等
的.()
(3)几何概型中,每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内
随机地取一点,该区域中的每一点被取到的机会相等.()
(4)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图
形.()
答案(1)V(2)X(3)7(4)7
2.在区间[—3,5]上随机取一个数%,则%口1,3]的概率为()
A.lB.T
OJ
-1-2
C-4D5
答案C
解析记“%口1,3]”为事件4
3—1I
则由几何概型的计算公式可得P(A)=M百,
3.如图,在边长为。的正方形内有不规则图形0,向正方形内
随机撒豆子,若撒在图形。内和正方形内的豆子数分别为机,n,则
图形。面积的估计值为()
答案C
解析因为由题意知在正方形中随机投掷〃个点,则〃个点中有
m个点落入Q中,
所以不规则图形。的面积:正方形的面积=加:小
2
所以不规则图形。的面积=:X正方形的面积=念。2=等.
嬉话命题法解题法
为[考法综述]几何概型是高考的热点,考查与长度或面积有
关的几何概型的求法.特别是与平面几何、函数等知识结合的几何概
型是高考考查的重点内容,难度不大.
典例(1)已知一只蚂蚁在边长分别为5,12,13的三角形的边上
随机爬行,则其恰在离三个顶点的距离都大于1的地方的概率为
()
A.1B.|
(2)A,B,C是平面内不共线的三点,点尸在该平面内且有出+
—►-►
2PB+3PC=0,现将一粒黄豆随机撒在△ABC内,则这粒黄豆落在4
PBC内的概率为.
[解析](1)由题意可知,三角形的三条边长的和为5+12+13=
30,而蚂蚁要在离三个顶点的距离都大于1的地方爬行,则它爬行的
区域长度为3+10+11=24,根据几何概型的概率计算公式可得所求
概率为2益4卷4
—►—■►-►—►—■►—►—►-►
(2)由附+2尸B+3PC=00一A0+2(A3—AP)+3(AC-AP)=0,
一1-1一_、一]一
得AP=wAB+/AC,设C到AB的距离为d,如图所示,设AE=,4C,
所以SAPBC=[^1—1—|^AABC=|sAAfiC,所以所求概率为去
[答案](1)A(2)|
9【解题法】应用几何概型求概率的方法
建立相应的几何概型,将试验构成的总区域和所求事件构成的区
域转化为几何图形,并加以度量.
(1)一般地,一个连续变量可建立与长度有关的几何概型,只需
把这个变量放在坐标轴上即可.
(2)若一个随机事件需要用两个变量来描述,则可用这两个变量
的有序实数对来表示它的基本事件,然后利用平面直角坐标系就能顺
利地建立与面积有关的几何概型.
(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述,则可用这三个
变量组成的有序数组来表示基本事件,利用空间直角坐标系即可建立
与体积有关的几何概型.
';题对点题必刷题
L
X>2
1.在区间[0,1]上随机取两个数%,y,记0为事件+y\
的概率,〃2为事件“I%—的概率,〃3为事件的概率,
则()
A.pi<p2Vp3B.p2Vp3Vpi
C.〃3<P1<P2D.p3Vp2Vpi
答案B
解析],y£[O,l],事件表示的区域如图(1)中阴影
部分S,事件“|九一表示的区域如图(2)中阴影部分S2,事件
“孙表示的区域如图(3)中阴影部分S3.由图知,阴影部分的面积
S2Vs3<S1,正方形的面积为IX1=1.根据几何概型的概率计算公式,
可得
311__]_
十27r巳自―27r
DUI
2712兀
答案B
解析一IzIWl,「.((l,。)为圆心,1为半径的圆及其内部,该圆
的面积为兀易知直线)=%与圆(%—l>+y2=i相交于0(0,0),A(l,l)
两点,作图如下:
D[
LH
71I711
VZOMA=90°,...5阴影=不一/义1X1=^一
7T_J_
S阴影4211
故所求的概率P=
SQM兀427f
%W0,
3.由不等式组〈y与0,确定的平面区域记为01,不等式
、y-%—2W0
%+yW1,
组c确定的平面区域记为02,在乌中随机取一点,则该
(x+y^-2
点恰好在02内的概率为()
「37
C14D8
答案D
解析如图,由题意知平面区域。1的面积S0]=S/ww=;X2X2
=2.
/X_________________
/
/-]---------
<1
/
ZJ
。1与02的公共区域为阴影部分,面积Sa=SQ\—S&ABC=2-2
17
X1X2=4-
7
-
4
由几何概型得该点恰好落在。2内的概率“爵-7
2
6o.故选D.
4.如图,矩形ABCO中,点A在%轴上,点8的坐标为(1,0),
%+1,%20,
且点C与点D在函数/U)=一;%+1,%<0的图象上.若在矩形
ABC。内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于()
11
A6B4
C.gD2
答案B
解析依题意得,点C的坐标为(1,2),所以点。的坐标为(一2,2),
所以矩形ABCD的面积S矩形ABCD=3X2=6,阴影部分的面积S阴影=]
X3X1=1,根据几何概型的概率求解公式,得所求的概率P=g—■
3
21
=7=7,故选B.
。4
5.某校早上8:00开始上课,假设该校学生小张与小王在早上
7:30-7:50之间到校,且每人在该时间段的任何时刻到校是等可
能的,则小张比小王至少早5分钟到校的概率为.(用数字
作答)
9
答案32
解析设小张与小王的到校时间分别为7:00后第%分钟,第y
分钟,根据题意可画出图形,如图所示,则总事件所占的面积为(50
—30)2=400.小张比小王至少早5分钟到校表示的事件A={(x,y)|y
—x》5,30W%W50,30WyW50},如图中阴影部分所示,阴影部分所占
的面积为:1义15X15=爹?25,所以小张比小王至少早5分钟到校的概率
225
,~T9
为P(4)=
6.在棱长为2的正方体45CQ—431Goi中,点0为底面ABCD
的中心,在正方体内随机取一点P,则点P到点0
的距离大于1的概率为.
答案f
解析如图,与点。距离等于1的点的轨迹是一个半球面,其
1427r
体积为Vi=TXT7rX13=-7-.
事件“点尸与点。距离大于1的概率”对应的区域体积为23—苧,
根据几何概型概率公式得,点P与点0距离大于1的概率尸=
73——
~ir=x~n-
7.若在区间[—2,4]上随机地取一个数%,则满足|x|W3的概率为
答案I
解析由|x|W3,所以一3W%W3.所以在区间[—2,4]上随机地取一
个数居满足|%|W3的区间为[―2,3],故所求概率为:二]二1=|.
学霸错题警示古典概型中的基本事件理解错误
若将一枚质地均匀的骰子(一种各面上分别标有123,4,5,6个点
的正方体玩具)先后抛掷2次,则出现向上的点数之和为4的概率为
[错解]
2次的息数之和令到为2,3,4,.*7,
8,7,10,II,Z2,的从风本事件的个数方〃,2
♦W-汰备4讷事件灰/,3)(2,2)两湾,访汉
就卑盲关.
[错因分析]对等可能事件的概率求法中“基本事件”和“等
可能性”的概率理解不清楚,数错了基本事件的个数.
[正解]先后掷两次出现的点数记作(x,y),共有6义6=36个基
本事件,而向上点数和为4的基本事件有:(1,3),(2,2),(3,1)共3个.所
31
以所求概率为尸=五=万.
[答案].
[心得体会]
时间:50分钟
基础组
1.[枣强中学预测]4张卡片上分别写有数字1,2,3,4,从这4张卡
片中随机抽取2张,则取出的2张卡片上的数字之和为偶数的概率为
)
B.1
A-2
C.|
D4
答案B
解析因为从4张卡片中任取出2张共有6种情况,其中2张卡
片上数字之和为偶数的共有2种情况,所以2张数字之和为偶数的概
率为去
2.[冀州中学一轮检测]将一颗骰子抛掷两次,所得向上点数分
别为"2,n,则函数y=|m%3一依+i在",+8)上为增函数的概率是
15
-B-
A.26
3「2
C,4D,3
答案B
2
解析y=-jmx^—nx2—n.
令<=°得%=±"1,
.,.xi=%2=—是函数的两个极值点,
二.函数在+8上是增函数,则即〃W2m.
通过建立关于加,〃的坐标系可得出满足〃W2机的有30个,
2
由古典概型公式可得函数y二1aX3—心+1在[1,+8)上为增函
数的概率是尸=3今0=]5.故选B.
3。o
3.[武邑中学一轮检测]设A为圆周上一点,在圆周上等可能地任
取一点与A连接,则弦长超过半径啦倍的概率是()
A.lB.|
C3D5
答案B
解析作等腰直角三角形AOC和AMC,8为圆上任一点,则当
点8在2c上运动时,弦长
.MmC1
••一=圆的周长=5.故选故
4.[武邑中学月考]ABC。为长方形,A8=2,BC=1,0为AB
的中点.在长方形A8CQ内随机取一点,取到的点到0的距离大于1
的概率为()
_7171
C,8D,1-8
答案B
解析如图,根据几何概型概率公式得所求概率为尸=
5.[衡水中学热身]如图所示方格,在每一个方格中填入一个数
字,数字可以是1,2,3,4中的任何一个,允许重复.则填入A方格的
数字大于3方格的数字的概率为()
答案D
解析只考虑A,B两个方格的排法.不考虑大小,A,B两个
方格有4X4=16(种)排法.要使填入A方格的数字大于3方格的数字,
则从1,2,3,4中选2个数字,大的放入A格,小的放入8格,有(4,3),
(4,2),(4,1),(3,2),(3,1),(2,1),共6种,故填入A方格的数字大于
3方格的数字的概率为余=*选D.
100
6.[冀州中学期末]设p在[0,5]上随机地取值,则方程%2+px+(+
1=0有实数根的概率为.
3
答案5
解析一元二次方程有实数根即』=p2—4容++5+1)。一
5—23
2)20,解得pW—1或故所求概率为不一=亍
7.[衡水中学预测]从分别写有0,1,2,3,4的五张卡片中取出一张
卡片,记下数字后放回,再从中取出一张卡片.则两次取出的卡片上
的数字之和恰好等于4的概率是.
答案5
解析从0,1,2,3,4五张卡片中取出两张卡片的结果有25种,数
字之和恰好等于4的结果有(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0),所以数
字和恰好等于4的概率是P=g.
8.[枣强中学热身]现从甲、乙、丙3人中随机选派2人参加某
项活动,则甲被选中的概率为.
答案f2
解析从甲、乙、丙3人中随机选派2人,共有甲乙、甲丙、乙
丙三种选法,其中甲被选中有甲乙、甲丙两种选法,所以甲被选中的
2
概率为
9.[衡水中学猜题]某商场有奖销售中,购满100元商品得1张
奖券,多购多得.1000张奖券为一个开奖单位,设特等奖1个,一等
奖10个,二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事
件分别为A,B,C求:
⑴尸⑷,P(B),P(。;
(2)1张奖券的中奖概率;
(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.
解P(B)=iooo=而'P(O=1000=%
(2)因为事件A,B,。两两互斥,所以尸(AU3UO=P(A)+P(3)
+P0=iooo+155+而=ioo(y
故1张奖券的中奖概率为赢.
⑶尸(-A--口--3)=1—尸(A+,3)=1-f[再l+,高O=丽989•
故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为勰.
10.[衡水中学一轮检测]某超市为了解顾客的购物量及结算时间
等信息、,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关
数据,如下表所示.
一次1至5至9至13至17件及
购物量4件8件12件16件以上
顾客数
X3025y10
(人)
结算时间
11.522.53
(分钟/人)
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.
⑴确定1,y的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值;
(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.(将频
率视为概率)
解(1)由已知得25+y+10=55,%+30=45,所以%=15,y—
20.
该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所收集的
100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单
随机样本,顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计,
其估计值为
1X15+1.5X30+2X25+2.5X20+3X10、人
-------------------面------------------:1.9(分钟).
(2)记A表示事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分
钟”,A,,A2,4分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分
钟”“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”“该顾客一次购物的
15330
结算时间为2分钟”.将频率视为概率得尸(4)=-=布,尸(42)=不市
■L1/171.UI/
=2尸(4)=叵」
10,人到1004-
因为A=AiUA2UA3,且AI,A2,4是互斥事件,所以P(A)=P(4
3317
UA2UA3)=尸(4)+尸(A*+尸(A3)=加+记+^=m-
7
故一位顾客一次购物的结
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