河南省郑州市二七区2023-2024学年八年级下学期期末数学试卷

2023-2024学年河南省郑州市二七区八年级（下）期末数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的．1．（3分）对称性揭示了自然的秩序与和谐，是数学之美的体现．在数学活动课中，同学们利用画图工具绘制出下列图形，其中是中心对称图形的是（）A．三叶玫瑰线 B．笛卡尔心形线 C．蝴蝶曲线 D．四叶玫瑰线2．（3分）一个不等式组的解集在数轴上的表示如图，则这个不等式组的解集是（）A．﹣1＜x＜3 B．﹣1＜x≤3 C．﹣1≤x＜3 D．﹣1≤x≤33．（3分）下列从左到右的变形，属于因式分解的是（）A．（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2 B．m2n+8n＝n（m2+8） C．12xy2＝2x•6y2 D．x2﹣4x+2＝x（x﹣4）+24．（3分）正十边形的外角和的度数为（）A．1440° B．720° C．360° D．180°5．（3分）生活中，我们所见到的地面、墙面、服装面料等，常常是由一种或几种性质相同的图形拼接而成的．像这样的用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．如果只用一种几何图形镶嵌整个地面，下列哪一种不能单独镶嵌成一个平面图形（）A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形6．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，则AC＝（）A．2 B． C． D．7．（3分）如图，三个村庄A、B、C构成△ABC，供奶站须到三个村庄的距离都相等，则供奶站应建在（）A．三条边的垂直平分线的交点 B．三个角的角平分线的交点 C．三角形三条高的交点 D．三角形三条中线的交点8．（3分）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象如图所示，则不等式kx+b≤0的解集是（）A．x≤2 B．x＜2 C．x≥2 D．x＞29．（3分）先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法．已知五个正数的和等于1，用反证法证明：这五个正数中至少有一个大于或等于，先要假设这五个正数（）A．都大于 B．都小于 C．没有一个小于 D．没有一个大于10．（3分）如图，E，F分别是平行四边形ABCD的边AB，CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若S△APD＝a，S△BQC＝b，S▱ABCD＝c，则阴影部分的面积为（）A．a+b B． C．c﹣2a﹣b D．2a+b二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）在平行四边形ABCD中，∠A＝130°，则∠C的度数为．12．（3分）如图，A，B两地被池塘隔开，小明先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，若MN的长为16米，则A，B两地间的距离是米．13．（3分）不等式组的所有整数解的和为．14．（3分）若方程有增根，则a的值是．15．（3分）如图，在矩形ABCD中，M为CD的中点，连接AM、BM，分别取AM、BM的中点P、Q，以P、Q为顶点作第二个矩形PSRQ，使S、R在AB上．在矩形PSRQ中，重复以上的步骤继续画图……若AM⊥MB，矩形ABCD的周长为30，则第n个矩形的边长分别是，．三、解答题（本大题共7个小题，共75分）16．（9分）《名校课堂》上有这样一道题：“先化简，再求值：，然后从﹣1、0、1、2中选取一个作为x的值代入求值．”下面是甲、乙两同学的部分运算过程：甲同学：解：原式＝[+]•；乙同学：解：原式＝•+•；（1）甲同学解法的依据是，乙同学解法的依据是；（填序号）①分式的基本性质；②等式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律．（2）请选择一种解法，写出完整的解答过程．17．（8分）如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．（1）在网格图中画出△CDE先向右平移3个单位，再向上平移4个单位长度后的△C1D1E1．（2）画出格点△CDE绕点E顺时针旋转90°后的△C2D2E2．18．（11分）如图所示，△ABC是等边三角形，D点是AC的中点，延长BC到E，使CE＝CD．（1）求∠E的度数？（2）用尺规作图的方法，过D点作DM⊥BE，垂足为M．（不写作法，保留作图痕迹）（3）求证：BM＝EM．19．（11分）端午节，吃粽子是中国的传统习俗．万隆商场预测今年端午节期间某品牌的粽子能够畅销．根据预测，此品牌粽子每千克节前的进价比节后多2元，节前用240元购进此品牌粽子的数量与节后用200元购进的数量相同．根据以上信息，解答下列问题：（1）节后此品牌粽子每千克的进价是多少元？（2）如果该商场在节前和节后共购进此品牌粽子400千克，且总费用不超过4600元，并按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进此品牌粽子多少千克获得的利润最大？最大利润是多少？20．（10分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠C，连接BD，∠ADB＝90°，AD＝6cm，BD＝8cm，动点P从点A出发，沿线段AB匀速运动，同时动点Q从点C出发，沿线段CD匀速运动．当P，Q其中一点到达顶点，另一点也停止运动．设运动的时间为ts．（1）求证：四边形ABCD为平行四边形．（2）若点P的运动速度为4cm/s，点Q的运动速度为2cm/s，当四边形PBCQ为平行四边形时，求t的值．21．（14分）【阅读理解】我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而比较两个数或代数式的大小一般要进行转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．其依据是不等式（或等式）的性质：若x﹣y＞0，则x＞y；若x﹣y＝0，则x＝y；若x﹣y＜0，则x＜y．例：已知M＝a2﹣ab．N＝ab﹣b2．其中a≠b，求证：M＞N．证明：M﹣N＝a2﹣ab﹣ab+b2＝（a﹣b）2，因为a≠b，所以（a﹣b）2＞0，故M＞N．【新知理解】（1）比较大小：2x﹣2x2．（填“＞”，“＝”，“＜”）【问题解决】（2）甲、乙两个平行四边形，其底和高如图所示（a＞0），其面积分别为S1，S2，请比较S1，S2的大小关系．【拓展应用】（3）小亮和小莹同去一家水果店购买苹果，两人均购买了两次，两次购买苹果的单价不同，两人的购货方式也不同．小亮每次购买1千克，小莹每次花10元钱购买．设两人第一次购买苹果的单价均为m元/千克，第二次购买苹果的单价均为n元/千克（m，n是正数，且m≠n），试分析小莹和小亮谁的购货方式更合算？22．（12分）问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图1，已知△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°将△ABC从图1的位置开始绕点A逆时针旋转，得到△ADE（点D，E分别是点B，C的对应点），旋转角为α（0°＜α＜100°），设线段AD与BC相交于点M，线段DE分别交BC，AC于点O，N．特例分析：（1）如图2，当旋转到AD⊥BC时，旋转角α的度数为；探究规律：（2）如图3，在△ABC绕点A逆时针旋转过程中，“求真”小组的同学发现线段AM始终等于线段AN，请你证明这一结论．拓展延伸：（3）当△DOM是等腰三角形时，求旋转角α的度数．

2023-2024学年河南省郑州市二七区八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的．1．【分析】把一个图形绕某一点旋转180°后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．【解答】解：选项A、B、C都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，故选：D．2．【分析】根据在数轴上表示不等式解集的方法进行解答即可．【解答】解：∵﹣1处是实心圆点且折线向右，3处是空心圆点且折线向左，∴﹣1≤x＜3．故选：C．3．【分析】根据因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，可得答案．【解答】解：A、是整式的乘法，故此选项不符合题意；B、把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项符合题意；C、不是因式分解，故此选项不符合题意；D、没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项不符合题意；故选：B．4．【分析】根据多边形的外角和等于360°解答．【解答】解：正十边形的外角和的度数为360°．故选：C．5．【分析】正多边形镶嵌有三个条件限制：①边长相等；②顶点公共；③在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°．判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能．【解答】解：A选项，等边三角形的内角为60°，360°÷60°＝6（个），所以6个等边三角形可以在一个顶点处实现内角之和等于360°，不符合题意；B选项，正方形的内角为90°，360°÷90°＝4（个），所以4个正方形可以在一个顶点处实现内角之和等于360°，不符合题意；C选项，正五边形的内角为108°，360÷108°＝3，所以正五边形不能在一个顶点处实现内角之和等于360°，符合题意；D选项，正六边形的内角为120°，360°÷120°＝3（个），所以3个正六边形可以在一个顶点处实现内角之和等于360°，不符合题意；故选：C．6．【分析】根据直角三角形30°角所对的直角边是斜边的一半，再利用勾股定理即可求解．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，∵BC＝AB，∴AB＝2，∴AC＝＝＝，故选：B．7．【分析】到三个村的距离相等，即到三角形三个顶点的距离相等，在三角形中，只有三边垂直平分线的交点到各顶点距离相等．【解答】解：∵在三角形中，只有三边垂直平分线的交点到各顶点距离相等，∴广场应建在三条边的垂直平分线的交点处．故选：A．8．【分析】观察函数图象得可求解．【解答】解：由图象可得：当x≤2时，kx+b≤0，所以不等式kx+b≤0的解集为x≤2，故选：A．9．【分析】在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，找出至少有一个大于或等于的反面，得到答案．【解答】解：已知五个正数的和等于1，用反证法证明这五个正数中至少有一个大于或等于，先要假设这五个正数都小于，故选：B．10．【分析】根据平行四边形的面积与三角形的面积公式可得三角形EDC的面积，连接E、F两点，由三角形的面积公式我们可以推出S△EFQ＝S△BCQ，S△EFD＝S△ADF，所以S△EFG＝S△BCQ，S△EFP＝S△ADP，因此可以推出四边形EPFQ的面积就是S△APD+S△BQC．再根据面积差可得答案．【解答】解：连接E、F两点，过点E作EM⊥DC于点M，∵S△DEC＝，S▱ABCD＝DC•EM＝c，∴S△DEC＝c，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴△EFC的FC边上的高与△BCF的FC边上的高相等，∴S△EFC＝S△BCF，∴S△EFQ＝S△BCQ，同理：S△EFD＝S△ADF，∴S△EFP＝S△ADP，∵S△APD＝a，S△BQC＝b，∴S四边形EPFQ＝a+b，故阴影部分的面积为＝S△DEC﹣S四边形EPFQ＝c﹣a﹣b．故选：B．二、填空题（每小题3分，共15分）11．【分析】根据平行四边形的对角相等即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠C＝∠A＝130°．故答案为：130°．12．【分析】根据三角形中位线定理即可得到结论．【解答】解：∵点M，N是AC，BC的中点，∴MN是△ABC的中位线，∴AB＝2MN＝2×16＝32（米），答：A，B两地间的距离是32米，故答案为：32．13．【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，进而求解即可．【解答】解：，解不等式①得，x≥﹣3，解不等式②得，x≤2，∴不等式组的解集为：﹣3≤x≤2．∴所有整数解为﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，∴﹣3+（﹣2）+（﹣1）+0+1+2＝﹣3．故答案为：﹣3．14．【分析】首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到x﹣3＝0，据此求出x的值，代入整式方程求出a的值即可．【解答】解：去分母，得：a＝x﹣3+3，由分式方程有增根，得到x﹣3＝0，即x＝3，把x＝3代入整式方程，可得：a＝3．故答案为：3．15．【分析】根据四边形ABCD是矩形，M为CD的中点，AM⊥MB，可得AM＝BM，即可证明AD＝MD＝CD，进而可求出矩形的边长为CD＝10，AD＝5，再根据P、Q分别是AM、BM的中点，可得矩形PSRQ的长和宽之比为2：1，可得第二个矩形的边长为PQ＝5，宽为，第三个矩形的边长为10×（）2和5×（）2，进而可得第n个矩形的边长．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠D＝∠C＝90°∵M为CD的中点，∴DM＝CM，∴△ADM≌△BCM（SAS），∴AM＝BM，∵AM⊥MB，∴△ABM是等腰直角三角形，∴∠MAB＝∠MBA＝45°，∴∠DAM＝∠CBM＝45°，∴∠DAM＝∠DMA，∴AD＝MD＝CD，∵矩形ABCD的周长为30，∴CD＝10，AD＝5，∵P、Q分别是AM、BM的中点，∴矩形PSRQ的长和宽之比为2：1，在△ABM中，PQ＝5，则宽为，同理可得：第三个矩形的边长为10×（）2和5×（）2，则可得：第n个矩形的边长分别是10×（）n﹣1，5×（）n﹣1．故答案为：10×（）n﹣1，5×（）n﹣1．三、解答题（本大题共7个小题，共75分）16．【分析】（1）根据乘法分配律，以及分式的基本性质进行计算，即可解答；（2）若选择甲同学的解法：先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答；若选择乙同学的解法：先利用乘法分配律计算分式的乘法，再算加减，即可解答．【解答】解：（1）甲同学解法的依据是分式的基本性质，乙同学解法的依据是乘法分配律，故答案为：②；③；（2）若选择甲同学的解法：若选择甲同学的解法：＝[＝＝2x；若选择乙同学的解法：＝＝＝x﹣1+x+1＝2x．17．【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出C，D，E的对应点C1，D1，E1即可；（2）利用旋转变换的性质分别作出C，D，E的对应点C2，D2，E2即可．【解答】解：（1）如图，△C1D1E1即为所求；（2）如图，△C2D2E2即为所求．18．【分析】（1）根据等边三角形的性质和三角形的外角的性质进行求解；（2）根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法进行求作；（3）根据等腰三角形的三线合一进行证明．【解答】（1）解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝∠ABC＝60°，又CD＝CE，∠ACB为△DCE的外角，∴∠E＝∠CDE＝30°；（2）如图所示：（3）证明：∵△ABC是等边三角形，D是AC中点，∴∠DBC＝∠ABD＝30°，又∠E＝30°，∴∠DBC＝∠E，∴BD＝ED，又DM⊥BE，∴BM＝EM．19．【分析】（1）设该商场节后此品牌粽子的进价是x元，则节前此品牌粽子的进价是（x+2）元，根据节前用240元购进此品牌粽子的数量与节后用200元购进的数量相同．列出分式方程，解方程即可；（2）设该商场节前购进m千克此品牌粽子，则节后购进（400﹣m）千克此品牌粽子，根据总费用不超过4600元，列出一元一次不等式，解得m≤300，再设总利润为w元，由题意列出w与m的函数关系式，然后由一次函数的性质即可得出结论．【解答】解：（1）设节后此品牌粽子的进价是x元，则节前此品牌粽子的进价是（x+2）元，由题意得：＝，解得：x＝10，经检验，x＝10是原分式方程的解，且符合题意，答：节后每千克此品牌粽子的进价是10元；（2）设该商场节前购进m千克此品牌粽子，则节后购进（400﹣m）千克此品牌粽子，由题意得：（10+2）m+10（400﹣m）≤4600，解得：m≤300，设总利润为w元，由题意得：w＝（20﹣12）m+（16﹣10）（400﹣m）＝2m+2400，∵2＞0，∴w随着m的增大而增大，∴当m＝300时，w取得最大值＝2×300+2400＝3000，答：该商场节前购进此品牌粽子300千克获得利润最大，最大利润是3000元．20．【分析】（1）证明AB∥CD，再由平行四边形的判定即可得出结论；（2）由勾股定理得AB＝10cm，再由平行四边形的性质得PB＝CQ，即可解决问题．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠A+∠ABC＝180°，∵∠A＝∠C，∴∠C+∠ABC＝180°，∴AB∥CD，∴四边形ABCD为平行四边形；（2）解：∵∠ADB＝90°，AD＝6cm，BD＝8cm，∴AB＝＝＝10（cm），∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝10cm，AD＝BC＝6cm，由题意可知，AP＝4tcm，CQ＝2tcm，当四边形PBCQ是平行四边形时，点P在线段BA上时，此时0＜t≤2.5，BP＝AB﹣AP＝（10﹣4t）cm，∴PB＝CQ，即10﹣4t＝2t解得：t＝，即t的值为．21．【分析】（1）作差即可作出判断；（2）分别求出S1，S2，然后作差，根据a是正数即可做出判断；（3）先求出两人购物的平均单价，利用作差法可求解．【解答】解：（1）∵x2﹣（2x﹣2）＝x2﹣2x+1+1＝（x﹣1）2+1＞0，∴2x﹣2＜x2，故答案为：＜；（2）∵S1＝（a+3）（a+4）＝a2+7a+12，S2＝（a+2）（a+7）＝a2+9a+14，∴S2﹣S1＝a2+9a+1