数学文化习题集

数学文化专项习题集

110题

一、数学文化与阅读..........................................................2

二、数学文化与函数..........................................................6

三、数学文化与数列..........................................................8

四、数学文化与新定义.......................................................14

五、数学文化与三角函数.....................................................17

六、数学文化与立体几何.....................................................20

七、数学文化与概率统计.....................................................27

八、数学文化与排列组合.....................................................32

九、数学文化与解析几何.....................................................33

一、数学文化与阅读

例1.在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》（1261年）一书中，用如图1所示的三角

形，解释二项和的乘方规律.在欧洲直到1623年以后，法国数学家布莱士•帕斯卡的著作（1655

年）介绍了这个三角形.近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国,所以有些书上称这是“中国

三角形”（Chinesetriangle）.17世纪德国数学家莱布尼茨发现了“莱布尼茨三角形”如图2.在杨

辉三角中相邻两行满足关系式:CZ+CL1=C技;，其中n是行数,rGN.请类比上式，在莱布尼

茨三角形中相邻两行满足的关系式是.

22

222

363

2J_J_1

14n124

12I1.L,L±1

,*52030205

15：061051W3344表।

-11_________11]

cSc-a,•••a?-acticsCLG!CLC

图1图2

例2.在数学中，泰勒级数用无限项连加式——级数来表示一个函数，包括正弦，余弦，正

切三角函数等等，其中泰勒级数是以于1715年发表了泰勒公式的英国数学家布鲁克•泰勒

SirBrookTaylor）的名字来命名的.1715年，泰勒提出了一个常用的方法来构建这一系列

级数并适用于所有函数，这就是后来被人们所熟知的泰勒级数，并建立了如下指数函数公

_urS'X"X°X,X,x，甘）*

式：e=2,—=--1----1----1----1---1>其中xeR，neN，«!=lx2x3x4x---x«>

M〃！0!1!2!3!n\

例如：0!=l.1!=1-2!=2，3!=6•试用上述公式估计；的近似值为（精确到。001）

e-

（）

A.1.601B.1.642C.1.648D.1.647

恻3.“克拉茨猜想”又称“3〃+i猜想”，是德国数学家洛萨・克拉茨在1950年世界数学家大会

上公布的一个猜想:任给一个正整数〃，如果〃是偶数，就将它减半；如果”是奇数，就将

它乘3加1,不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到1.已知正整数〃经过7

次运算后首次得到1,则N的所有不同取值的集合为.

例4.大约在20世纪30年代，世界上许多国家都流传着这样一个题目：任取一个正整数

〃，如果它是偶数，则除以2；如果它是奇数，则将它乘以3加1,这样反复运算，最后结

果必然是1.这个题目在东方被称为“角谷猜想”，世界一流的大数学家都被其卷入其中，用

尽了各种方法，甚至动用了最先进的电子计算机，验算到对700亿以内的自然数上述结论

均为正确的，但却给不出一般性的证明.例如取”=13,则要想算出结果1，共需要经过的

运算步数是（）

A.9B.10C.11D.12

例5.中国古代用算筹来进行记数，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示），表示一

个多位数时，像阿拉伯记数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需

要纵横相间，其中个位、百位、方位……用纵式表示，十位、千位、十万位……用横式表

示，则56846可用算筹表示为（）

123456789

IIIinmimuTHH而纵式

___===姿上工横式

中国古代的算筹数码

-lllll±¥IIIITB-lllll±¥^T

c.^TlllllXD-lllll±¥llll±

例6.用“算筹”表示数是我国古代计数方法之一，计数形式有纵式和横式两种，如图1所示.

金元时期的数学家李冶在《测圆海镜》中记载：用“天元术”列方程，就是用算筹来表示方

程中各项的系数.所谓“天元术”，即是一种用数学符号列方程的方法，“立天元一为某某“，

意即“设x为某某”.如图2所示的天元式表示方程+•—F=09其中死,

4,…，a］，a表示方程各项的系数，均为筹算数码，在常数项旁边记一“太”字或在一

次项旁边记一“元”字，“太”或“元”向上每层减少一次累，向下每层增加一次暴.

纵式：IIIIIIIllimilTT¥w

横式：一=三三=_L=1==

123456789

图1

a«太a”_

兀

或…

为

ai

为

图2图3

试根据上述数学史料，判断图3天元式表示的方程是（）

A-x2+286x4-1743=0B-x4+27x2+84x+163=0

C-1743X2+286X+1=0D-163X4+84X3+27X+1=0

例7.分形几何是美籍法国数学家芒德勃罗在20世纪70年代创立的一门数学新分支，其中

的“谢尔宾斯基”图形的作法是:先作一个正三角形，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各

边的中点为顶点的三角形），然后在剩下的每个小正三角形中又挖去一个“中心三角形”.按上

述方法无限连续地作下去直到无穷，最终所得的极限图形称为“谢尔宾斯基”图形（如图所

示），按上述操作7次后，“谢尔宾斯基”图形中的小正三角形的个数为（）

A.35B.36C.37D.38

例8.“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、

庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫

做“十二地支”.“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了

干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅…癸酉，甲戌、乙亥、丙子…癸未，甲

申、乙酉、丙戌…癸巳，…，共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽.2019

年是“干支纪年法”中的己亥年，那么2026年是“干支纪年法”中的

A.甲辰年B.乙巳年C.丙午年D.丁未年

例9.《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴

素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法.我们用近

代术语解释为：把阳爻"一”当作数字“1”，把阴爻“一当作数字“0”，则八封所代表的数

表示如下：

卦名符号表示的二进制数表示的十进制数

坤——0000

艮—0011

坎0102

巽三0113

依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号为“二二”，其表示的十进制数是（）

A.33B.34C.36D.35

例10.中国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即

“结绳计数如图，一位古人在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录捕鱼

条数，由图可知，这位古人共捕鱼（）

A.89条B.113条C.324条D.445条

二、数学文化与函数

例11.中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”.如图所示的太

极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化、对称

统-的形式美、和谐美.定义：图象能够将圆。的周长和面积同时等分I

成两部分的函数称为圆o的一个“太极函数”，给出下列命题：W•y

①对于任意一个圆o,其“太极函数”有无数个；

②函数yu）=ln（『+m加+1）可以是某个圆的“太极函数”;

③正弦函数y=sinx可以同时是无数个圆的“太极函数”；

④函数y=/U）是“太极函数''的充要条件为函数y=/U）的图象是中心对称图形.

其中正确的命题为（）

A.①③B.①@④C.②③D.①④

例12.天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（〃力又名依

巴谷）在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数

值越大，它的光就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学

家普森（M.R.Pogson）又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念.天体的明暗程度可以用星等

或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足肛-〃4=2.5（怆区-但£）.其中星等为网的星的亮

度为g（i=1,2）.已知“心宿二”的星等是1.00.“天津四”的星等是1.25.“心宿二”的亮度是“天

津四”的「倍，则与r最接近的是（当卜|较小时，1OZ1+2.3X+2.7/）

A.1.24B.1.25C.1.26D.1.27

例13.我们经常听到这样一种说法：一张纸经过一定次数对折之后厚度能超过地月距离.但

实际上，因为纸张本身有厚度，我们并不能将纸张无限次对折，当我们的厚度超过纸张的

长边时，便不能继续对折了，一张长边为w,厚度为x的矩形纸张沿两个方向不断对折，

则经过两次对折，长边变为工卬，厚度变为4r在理想情况下，对折次数w有下列关系：

2

/?<—log,--（注：1g2ao.3），根据以上信息，一张长为21c”?，厚度为0.05/w”的纸最多

3~x

能对折一次.

例14.如图所示，九连环是中国的一种古老的智力游戏，它环环相扣，趣味无穷.它主要

由九个圆环及框架组成，每个圆环都连有一个直杆，各直杆在后一个圆环内穿过，九个直

杆的另一端用平板或者圆环相对固定，圆环在框架上可以解下或者套上.九连环游戏按某

种规则将九个环全部从框架上解下或者全部套上.将第〃个圆环解下最少需要移动的次数

记为/(〃)(〃49且〃€乂‘)，已知"1)=1，/(2)=1，且通过该规则可得

/(n)=/(/J-l)+2/(n-2)+l,则解下第5个圆环最少需要移动的次数为()

A.7B.16C.19D.21

例15.秦九韶算法是中国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法.秦九韶算法

是一种将一元〃次多项式的求值问题转化为"个一次式的算法.其大大简化了计算过程，即

使在现代，利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法.用秦九韶

算法计算当x=0.6时函数/(力=/+2/+3/+4的值时，需要进行加法运算的次数及函

数值分别为()

A.3,5.6426B.4,5.6426

C.3,5.6416D.4,5.6416

三、数学文化与数列

例16.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺.莞生一

日，长一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.问几何日而长等？”意思是：“今有蒲草第1天

长高3尺，莞草第1天长高1尺.以后，蒲草每天长高前一天的一半，莞草每天长高前一

天的2倍.问第几天蒲草和莞草的高度相同？”根据上述的已知条件，可求得第

天时，蒲草和莞草的高度相同.（结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：怆3%

0.4771,lg2M）.3010）.

例17.腾讯公司推出了下表所示的QQ在线等级制度，设等级为"级需要的天数为

N*），

等级等级图标需要天数等级等级图标需要天数

1会5777

2128&&96

3仆仆仆2112&&&192

4&3216320

5&会45321152

660482496

则等级为50级需要的天数/=

例18.我国古代数学名著《孙子算经》载有一道数学问题：“今有物不知其数，三三数之剩

二，五五数之剩二，七七数之剩二.问物几何?”这里的几何指多少的意思.翻译成数学语言就

是：求正整数N，使N除以3余2,除以5余2.根据这一数学思想，今有由小到大排列的

所有正整数数列｛七｝、｛4｝,｛凡｝满足被3除余2,%=2，也｝满足被5除余2,

伪=2，把数列｛«„｝与｛bn｝相同的项从小到大组成一个新数列，记为｛q,｝,则下列说法正确

的是（)

AB

-Q=4+a-c6=a2b,c.Q1=a46D.a,+2/>2=c4

例19.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不

为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还意思为有

一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一

半，走了六天恰好到达目的地，请问第二天比第四天多走了（）

A.96里B.72里C.48里D.24里

例20.《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊

蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分

日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为

（）

A.一尺五寸B.二尺五寸C.三尺五寸D.四尺五寸

例21.古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成

正三角形的数，如1,3,6,10,15,.…我国宋元时期数学家朱世杰在（四元玉鉴》中所

记载的“垛积术”，其中的"落一形‘’堆垛就是每层为“三角形数”的三角锥的堆垛（如图所

不,顶上一层1个球，下一层3个球,再下一层6个球，…）.若一“落一形”三角锥垛有10

层,则该堆垛总共球的个数为（

三角锥垛

A.55B.220C.285D.385

州22.造纸术是我国古代四大发明之一.纸张的规格是指纸张制成后，经过修整切边，裁成

一定的尺寸.现在我国采用国际标准，规定以AO、A1、…、A1O；BO、BI、…、B1O等

标记来表示纸张的幅面规格.复印纸幅面规格只采用A系列和B系列，其中A系列的幅面

规格为：①A0规格的纸张的幅宽（以x表示）和长度（以y表示）的比例关系为

x:y=l:0；②将AO纸张沿长度方向对开成两等分，便成为A1规格-A1纸张沿长度方向

对开成两等分，便成为A2规格，…，如此对开至A8规格•现有AO、Al、A2、…、A8纸

各一张.若A4纸的面积为624cM,则这9张纸的面积之和等于加2.

的23.《周髀算经》中有这样一个问题，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊

蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若

冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则冬至的日影子

长为.

例24.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，书中有一道题为：今有出门望见九堤，

堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各几

何？若记堤与枝的个数分别为见”，现有一个等差数列{2},其前”项和为S“，且

a2=m'$6="'贝U4=（）

A.84B.159C.234D.243

例25.在进行1+2+3+…+100的求和运算时，德国大数学家高斯提出了倒序相加法的原

理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高

斯算法.已知数列而不，则4+生+...+《,，+刈6=（）

A.‘+504B.里+504

24

C./72+504D.2/77+504

例26.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二

人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、

乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问

五人各得多少钱？“（“钱”是古代的一种重量单位）.这个问题中，甲所得为.

例27.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算

经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五

五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？现有这样一个相关的问题：将1到2020这2020个

自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则

该数列各项之和为（）

A.56383B.57171C.59189D.61242

例28.《张邱建算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著.书中有如下问题：“今有马行

转迟，次日减半，疾七日，行七百里.问日行几何？”其意思是：“现有一匹马，行走的速度

逐渐变慢，每天走的里程是前一天的一半，连续行走7天，共走700里路，问每天走的里数

为多少？’'则该马第4天走的里数为（）

128700560044800

A.历B.历C.⑵口.127

例29.在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷

吃苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样.马吃了

牛的一半，羊吃了马的一半.”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，牛、

马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食（1斗=10升），三

畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同.马吃的青苗是牛的一半，羊吃的

青苗是马的一半.问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？（）

&2550100R252550「100200400n50100200

757'714'7'77"7'77'7‘7

例30.《张丘建算经》是公元5世纪中国古代内容丰富的数学著作，书中卷上第二十三

问：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈.问半月积几何？'‘其意思为

“有个女子织布，每天比前一天多织相同量的布，第一天织五尺，一个月（按30天计）共织

布9匹3丈.问：前半个月（按15天计）共织多少布？"已知1匹=4丈，1丈=10尺，可估

算出前半个月一共织的布约有（）

A.195尺B.133尺C.130尺D.135尺

例31.《张丘建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道题为：“今有女善织，日益功疾

（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30

天计）共织390尺布”，则第30天织布（）

A.7尺B.14尺C.21尺D.28尺

例32.朱世杰是历史上伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有

如下一段话：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人.”

其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出

的人数比前一天多7人.”该段话中的1864人全部派遣到位需要的天数为（）

例33.我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气

辱（gui）长损益相同（辱是按照日影测定时刻的仪器，辱长即为所测量影子的长度）.二十四个

节气及号长变化如图所示，相邻两个节气辱长的变化量相同，周而复始.若冬至暑长一丈三

尺五寸，夏至号长一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则夏至之后的那个节气（小暑）

唇长是（）

，芒种\

冬至270：；90夏至

大雪

24120

\小雪u大的

A.五寸B.二尺五寸C.三尺五寸D.四尺五寸

倒34.“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现.数列中的一系列数字常被

人们称之为神奇数.具体数列为1,1,2,3,5,8…，即从该数列的第三项数字开始，每

个数字等于前两个相邻数字之和.已知数列｛an｝为“斐波那契”数列，5“为数列｛aJ的前n

项和，若则§2.8=_（用M表示）

例35.“斐波那契”数列是由十三世纪意大利数学家斐波那契发现的.数列中的一系列数字常

被人们称为神奇数.具体数列为：1,1,2,3,5,8,13,…，即从该数列的第三项开始，每个数字

都等于前两个相邻数字之和.已知数列｛〃”｝为“斐波那契”数列，S,为数列｛斯｝的前n项和，

若。2021="?，则52019=(

A.2mC.m~\-1D.m—1

例36.大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传

统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数

量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是

0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,…，则此数列的第20项为（）

A.220B.200C.180D.162

例37.《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊食人苗.苗主责之粟五斗.羊主曰：“我羊

食半马，，.马主日：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何.其意思是：今有牛、马、羊吃

了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿五斗粟.羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半马

主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”若按此比例偿还，牛、马、羊的主人各应赔偿多

少粟？在这个问题中，牛主人比羊主人多赔偿（）

A.乎斗粟B.孚斗粟

C与斗粟D.当斗粟

例38.《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题:“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，

大鼠日一尺,小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何?”题意是:有两只老

鼠从墙的两边打洞穿墙,大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍;小老鼠第一天也进一尺,以后每

天减半，问几天两只老鼠能相遇,相遇时各自打了多少尺的墙.如果墙足够厚$为前〃天两只

老鼠打洞长度之和，则5„=尺.

例39.如图所示是毕达哥拉斯的生长程序:正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形

边上再连接正方形，如此继续，若共得到4095个正方形，设初始正方形的边长为日，则最小正

方形的边长为

四、数学文化与新定义

例40.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数

加）=1'"为有理数'称为狄利克雷函数，则关于函数段）有以下四个命题：

（0/为无理数

须＞））=1；

②函数人尤）是偶函数；

③任意一个非零有理数T於+7）=/（x）对任意xdR恒成立；

他¥在三个点4（犷危|））,8（也危2））,（?（右危3））,使得44区为等边三角形.

其中真命题的个数是（）

A.4B.3C.2D.I

例41.规定记号“A”表示一•种运算，即。△匕=/石+a+6,a,%GR.若1定=3,则函数危）

=k\x的值域是.

例42.定义一种运算“※”，对于任意"GN*均满足以下运算性质：（1）2X2017=1；⑵（2〃

+2）派2017=（2"）※2017+3.则2018X2017=.

例43.定义：若数列{的}对任意的正整数〃，都有|a“+i|+%|=d（d为常数）,则称{““}为“绝对

和数列“，d叫作"绝对公和”.在“绝对和数列‘‘{%}中，0=2,“绝对公和”为3,则其前2019

项的和$2019的最小值为（）

A.-3022B.3022C.-3025D.3035

例44.设集合4={-1,0,1},集合B={0』,2,3},定义A*B={（x,加GACB,yGAUB},则

A*B中元素的个数是（）

A.7B.10C.25D.52

例45.中国古代数学名草《周髀算经》曾记载有“勾股各自乘，并而开方除之“，用符号表

示为/+62=c2（a,6,cwN*），我们把小〃，c叫做勾股数.下列给出几组勾股数:3,4,5；

5,12,13；7,24,25；9,40,41,以此类推，可猜测第5组股数的三个数依次是.

的46.设P,Q为两个非空实数集合，定义集合P3Q={z|z=aM,a&P,h&Q},若P=

{-1,0,1}.Q={-2,2},则集合P®Q中元素的个数是（）

A.2B.3C.4D.5

例47.设向量a与6的夹角为仇定义a与人的“向量积”："匕是一个向量，它的模|"例=

|a|-|ft|-sin6,若a=(—小,—1),b=(l,巾),则|axb|=()

A.y/3B.2C.2小D.4

例48.如果把四个面都是直角三角形的四面体称为“三节棍体”，那么从长方体八个顶点中

任取四个顶点，则这四个顶点是“三节棍体”的四个顶点的概率为.

例49.中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家、天文学家张隧

(法号：一行)为编制《大衍历》发明了一种近似计算的方法一二次插值算法(又称一行

算法，牛顿也创造了此算法，但是比我国张隧晚了上千年)：函数y=/(x)在x=x/

x=x2＜》=%3(为＜々＜与)处的函数值分别为y=，y2=/(x,)＞%=/(%3)则在区

间［斗,匕］上/(x)可以用二次函数来近似代替：/(x)=y,+^l(x-xl)+fc2(x-xl)(x-x2).其

中匕=上二区，&二"，&=若令为=(),x,=-.匕=万，请依据上述算

XX

工2一再X3-X23~\~2

法，估算sin包是()

5

A.3B.3C.11D.少

5252525

例50.设函数/)=%一区,其中㈤表示不超过，的最大整数,如［-1.2］=-2,［1.2］=1,

口］=1.将函数危)在区间(02)上零点的个数记为相，函数/w与g)=一1的图象的交点个数

记为几,则定积分£g(x)cU=

例51.若计算由曲线y=5及直线》=1和x轴所围成的曲边三角形的面积时，可将区间

等分为若干个小区间，并以直代曲得到若干个窄边矩形，其面积表示为而•©«=

1,2,3,•••).当区间［0,1］被无限细分时，这些窄边矩形的面积之和将趋近于曲边三角形的面

积，且面积S=/也dx类比曲边三角形面积的求法，计算曲线)，=5及直线x=l和x轴所

围成的曲边三角形绕x轴旋转360。所成旋转体的体积，则体积V可以表示为()

A.rlir\fxdxB.fl7t(yfx)2dxC.C}x\［xdxD.C］97i(y［x)2dx

JoJo

例52.已知无为实数，［幻表示不超过实数x的最大整数，则函数＜x)=x—㈤在R上为()

A.奇函数B.偶函数C.增函数D.周期函数

例53.我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利

用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A(—2,3)且法向量为〃=(4,-1)的直线(点法式)

方程为4X(x+2)+(-l)X(y-3)=0,化简得以一)，+11=0.类比以上方法，在空间直角坐

标系中，经过点8(123)且法向量为,”=(—1,—2,1)的平面(点法式)方程为.

五、数学文化与三角函数

例54.第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的.如

图，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如果小正方形

的面积为1，大正方形的面积为25,直角三角形中较大的锐角为仇那么tan(e+3=

例55.秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有己知三边求三角形面

积的方法：“以小斜累并大斜累减中斜寨，余半之，自乘于上以小斜幕乘大斜累减上，余四

约之，为实一为从隔，开平方得积.”如果把以上这段文字写成公式就是

S=-a2c2-(a2+c2~b2］，其中a也c•是口/WC的内角的对边为.若

rL12川

sinC=2sinAcos且〃+c2=2，则口A8C面积S的最大值为-

例56.“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书

画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号.如图是折扇的示意图，A

为03的中点，若在整个扇形区域内随机取一点，则此点取自扇面(扇环)部分的概率是

()

0

A.1B.1C.-D.9

4248

例57.《九章算术》是我国古代著名数学经典.其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，

其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问

径凡何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口

深一寸，锯道长一尺•问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在

墙体中，截面图如图所示（阴影部分为镶嵌在墙体内的部分）.已知弦48=1尺，弓形高

8=1寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为（）（注：1丈=10尺=100寸，/。3.14，

sin22.5°»—）

13

A.600立方寸B.610立方寸C.620立方寸D.633立方寸

例58.赵爽是我国古代数学家大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了

“勾股圆方图”，亦称"赵爽弦图“（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加

上中间的一个小正方形组成）类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等

的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设而=2而+

若£）尸=24尸，则可以推出/1+〃=.

例59.干支纪年历法（农历），是屹立于世界民族之林的科学历法之一，与国际公历历法

并存.黄帝时期，就有了使用六十花甲子的干支纪年历法.干支是天干和地支的总称，把

干支顺序相配正好六十为一周期，周而复始，循环记录.甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、

辛、壬、癸十个符号叫天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二个

符号叫地支.受此周期律的启发，可以求得函数/Q）=sing+cos3x的最小正周期为

（）

A-15万B.12万C.6兀D.3万

例6（）.我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边长求三角形的面积的“三斜求积”

公式：设△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则AABC的面积S=

一若a2sinC=4sinA,（a+c）2^n+b2,则用“三斜求积”公式求得

/XABC的面积为（）

A币B.2C.3D.^6

例61.公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图方法，发

现了“黄金分割”."黄金分割”是工艺美术、建筑、摄影等许多艺术门类中审美的要素之一，

它表现了恰到好处的和谐，其比值为与LO.618,这一比值也可以表示为〃?=2sin18。.若m2

〃则（）

+=4,AJ2COS呼227°-1=11

A.1B.2C.4D.8

俐62.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中“方田”章给出了计算弧田面积

时所用的经验公式，即弧田面积=gx（弦x矢+矢2）.弧田（如图）由圆弧和其所对弦围成，公

式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”指圆弧顶到弦的距离（等于半径长与圆心到弦的距离之差），

现有圆心角为号，半径为6米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积是平方

米.（结果保留根号）

方、数学文化与立体几何

例63.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时，用一个圆台形的天池

盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中积水深九

寸，则平地降雨量是（）

（注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸;③台体的体积公式

上+JS上S下+S。/）

A.2寸B.3寸C.4寸D.5寸

例64.足球被誉为“世界第一运动”，它是全球体育界最具影响力的单项体育运动，足球的

表面可看成是由正二十面体用平面截角的方法形成的，即用如图1所示的正二十面体，从

每个顶点的棱边的1处将其顶角截去，截去20个顶角后剩下的如图2所示的结构就是足球

3

的表面结构.已知正二十面体是由20个边长为3的正三角形围成的封闭几何体，则如图2

所示的几何体中所有棱边数为.

图1卸

例65.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正

方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体

是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一

个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长

为1.则该半正多面体共有一个面，其棱长为一.

图1图2

例66.学生到工厂劳动实践，利用3。打印技术制作模型，如图，该模型为长方体

A5CQ-A4GR，挖去四棱锥O-EEG〃后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E,

F,G,H,分别为所在棱的中点，AB=BC=6cm,e=457,3。打印所用原料密度

为0.9g/cm3,不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为—g.

俐67.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的

有系统的数学典籍，其中记载有求“困盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六

成一,该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高〃，计算其体积V的近似公式—

36

它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率乃近似取为3,那么，近似公式丫。=乙外相当于将

75

圆锥体积公式中的,近似取为（）

A22D25厂157D.空

A.—D.—C.---

7850113

例68.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有仓，广

三丈，袤四丈五尺，容粟一万斛，问高几何？’‘其意思为：“今有一个长方体的粮仓，宽3丈，

长4丈5尺，可装粟一万斛.问该粮仓的高是多少？己知1斛粟的体积为2.7立方尺，1丈

为10尺，则该粮仓的外接球的表面积是（）

A.丝生平方丈B.&平方丈C.生平方丈D.照平方丈

4444

例69.如图是古希腊数学家阿基米德用平衡法求球的体积所用的图形.此图由正方形

ABCD、半径为r的圆及等腰直角三角形构成，其中圆内切于正方形，等腰三角形的直角顶

点与4）的中点N重合，斜边在直线上.己知S为3C的中点，现将该图形绕直线NS旋

转一周，则阴影部分旋转后形成的几何体积为（）

A.2+D.

33

例70.古希腊数学家阿基米德构造了一个“圆柱容器”的几何体：在圆柱容器里放一个球，使

该球四周碰壁，且与上，下底面相切，则在该几何体中，圆柱的体积与球的体积之比为（）

24