2019届九年级数学下册 第二十七章 相似练习 新人教版

第二十七章相似

图形的相似

基础题

知识点1相似图形

1.下列各组图形相似的是(B)

2.下列各项中不是相似图形的是(C)

A.放大镜里看到的三角板与原来的三角板

B.同一张底片洗出的2寸相片和1寸相片

C.哈哈镜里看到的人像与真人像

D.课本里的中国地图和教室墙上挂的中国地图

知识点2成比例线段

3.下列各组线段成比例的是(D)

A.2cm,5cm,6cm,8cm

B.1cm,2cm,3cm,4cm

C.3cm,6cm,7cm,9cm

D.3cm,6cm,9cm,18cm

4.已知线段a,b,c,d成比例，且注=会，其中a=8cm,b=4cm,c=12cm,贝ljd=@cm.

5.在比例尺为1：200000的地图上，测得A,B两地间的图上距离为4.5cm,则A,B两地间的实际距离为9的地.

知识点3相似多边形

6.两个相似多边形一组对应边分别为3cm,4.5cm,那么它们的相似比为(A)

23

-氏-

32

A.

C49

--

9D.4

7.一个多边形的边长分别为2,3,4,5,6,另一个和它相似的多边形的最长边长为24,则这个多边形的最短边

长为(B)

A.6B.8

C.12D.10

8.(莆田中考)下列四组图形中，一定相似的是(D)

A.正方形与矩形

B.正方形与菱形

C.菱形与菱形

D.正五边形与正五边形

9.如图是两个相似四边形，己知数据如图所示，则乂=¥，a=80°.

10.如图，四边形ABCD的对角线相交于点0,A',B',C',D'分别是0A,OB,0C,0D的中点，判断四边形ABCD

与四边形A，B'C'D'是否相似，并说明理由.

解：四边形ABCD与四边形A'B'C'D'相似.

理由：：A',B'分别是OA,0B的中点，

：.K'B，〃AB,Bz=|AB.

A，1

・・・NOA'B'=ZOAB,2F

ADZ

『…

ZA'D'1

同理，ZOAD'=ZOAD,AD=-

,,,A'B'A'D'

・・・NB'A,D'=ZBAD,—^—=—77—.

ABAD

同理，NA'D‘Cf=ZADC,ND'C1B'=ZDCB,NC'B/A'=ZCBA,

A'B'A'D'D'C'B’C'

AB=AD=DC=BC'

・・・四边形ABCD与四边形A'B'C'D'相似.

中档题

11.用一个10倍的放大镜看一个15°的角，看到的角的度数为(C)

A.150°B.105°

C.15°D.无法确定大小

12.已知四条线段的长度分别为2,x—1,x+1,4,且它们是成比例线段，则x的值为(B)

A.2B.3

C.-3D.3或一3

13.如图，正五边形FGHMN与正五边形ABCDE相似，若AB：FG=2：3,则下列结论正确的是(B)

NFEA

A.2DE=3MNB.3DE=2MN

C.3ZA=2ZFD.2ZA=3ZF

14.(教材P28T5的变式)如图，DE〃BC,DE=3,BC=9,AD=1.5,AB=4.5,AE=1.4,AC=4.2.

(2)证明AADE与aABC相似.

AE1.4I

DE_3_]_

应=§=1

(2)VDE/7BC,

.•.ND=NB,ZE=ZC.

r,ADAEDE

XVZDAE=ZBAC,7n=左=记

ADALDL

.♦.△ADE与△ABC相似.

15.如图，G是正方形ABCD对角线AC上一点，作GELAD,GF1AB,垂足分别为点E,F.求证：四边形AFGE与四边

形ABCD相似.

证明：•••四边形ABCD是正方形，AC是对角线，

，NDAC=/BAC=45°.

又；GE_LAD,GF±AB,

；.EG=FG,且AE=EG,AF=FG.

.\AE=EG=FG=AF.

又：NEAF=90°,

四边形AFGE为正方形.

AFFGGEAE

•••■^=〒=左=二，且mNEAF=/DAB,ZAFG=ZABC,ZFGE=ZBCD,ZAEG=ZADC.

ABBCCDAD

四边形AFGE与四边形ABCD相似.

综合题

16.（教材P28T8的变式）如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN,矩形DMNC与矩形ABCD相似，已知AB=4.

⑴求AD的长；

（2）求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比.

解：⑴若设AD=x(x>0),贝!|DM/

•••矩形DMNC与矩形ABCD相似,.燃啮

即:=：.解得x=44（舍负）.

2

；.AD的长为

⑵矩形DMNC与矩形ABCD的相似比为

DC__4__亚

疝=丽=2-

27.2相似三角形

27.2.1相似三角形的判定

第1课时平行线分线段成比例

基础题

知识点1相似三角形的有关概念

1.如图所示，△ADEs^ACB,/AED=NB,那么下列比例式成立的是(A)

二

BC

ADAEDE

A—=—=—

ACABBC

B3

ABAC

「-A-D---A-C---D-E

AE-AB-BC

D竺」

ECBC

2.2知AABC和aA，B'C'相似,且AABC与AA'B，Cf的相似比为R”/△A'B'C与AABC的相似比为R2,则

Ri与R2的关系是(D)

A.RI=R2B.RIR2=-1

C.RI+R2=0D.RIR2=1

知识点2平行线分线段成比例定理及推论

3.如图，AB〃CD〃EF,则下列结论不正确的是(C)

ACBDACBD

A—=—B—=—

CEDFAEBF

BDACAEBF

r—=—n—=—

CEDFCEDF

*A卜心

Fb

AD2Ap

4-(兰州中考)如图，在ZWC中，DE//BC,若而下则萨(C)

1223

A,3B，5C，3D，5

A

A

B乙-----------AC

B02

5.(临沂中考)如图，已知AB〃CD,AD与BC相交于点0.若布=.，AD=10,则A0=4.

Ukz

6.如图，EG〃BC,GF〃CD,AE=3,EB=2,AF=6,求AD的值.

A

B

D

.AE_AG

解:VEG/7BC,•,EB=GC,

.AG_AF

VGF/7CD,…丽=而。

•备备即疗,

・・・FD=4.

・・・AD=AF+FD=10.

知识点3相似三角形判定的预备定理

7.（杭州中考）如图,在△ABC中，点D,E分别在边AB,AC上,DE〃BC,若BD=2AD,则（B）

AD1AE1

A—=­R—=一

AB2EC2

AD1DE1

=--

E-c-2-D.B-c-2

C

8.（自贡中考）如图，在AABC中，MN〃BC分别交AB,AC于点M,N.若AM=1,MB=2,BC=3,则MN的长为1.

C

9.如图，△ABC中，点D在BC上，EF〃BC,分别交AB,AC,AD于点E,F,G,图中共有几对相似三角形？分别是

哪几对？

解：共有3对相似三角形，分别是:

△AEG^AABD,AAGF^AADC,AAEF^AABC.

中档题

10.（天津中考）如图，在口ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F,则EF：FC等于（D）

A.3：2B.3：1

C.1：1D.1：2

11.(恩施中考)如图，在AABC中，DE/7BC,ZADE=ZEFC,AD：BD=5：3,CF=6,则DE的长为(C)

o

12.（南京中考）如图，AB,CD相交于点0,0C=2,0D=3,AC〃BD.EF是AODB的中位线，且EF=2,则AC的长为彳.

o

13.在AABC中，AB=6,AC=9,点D在边AB所在的直线上，且AD=2,过点D作DE〃BC交边AC所在的直线于点

E,贝UCE的长为6或12.

14.小明正在攀登一个如图所示的攀登架，DE和BC是两根互相平行的固定架，DE=10米，BC=18米，小明从底部

固定点B开始攀登，攀行8米，遇上第二个固定点D,小明再攀行多少米可到达这个攀登架的顶部A?

解：VDE//BC,

.,.△ABC^AADE.

•AD_DE

,,AB=BC)

AD10

即nnAD+8=1?'，AD=10,

答：小明再攀行10米可到达这个攀登架的顶部A.

15.如图，已知：AB=AD,AC=AE,FG〃DE.求证：/XABCsaAFG.

证明：：AB=AD,AC=AE,NBAC=/DAE,

AAABC^AADE.

ABC=DE,ZB=ZADE,ZC=ZAED.

VFG/7DE,

AAAFG^AADE.

AF_AG_FG

AD=AE=DE'

AFAGFG

^AB-AC-BC

又・・・NC=NAED=NG,

ZB=ZADE=ZF,

ZBAC=ZFAG,

AAABC^AAFG.

综合题

16.如图，AD〃EG〃BC,EG分别交AB,DB,AC于点E,F,G,已知AD=6,BC=10,AE=3,AB=5,求EG,FG的

长.

解：•・•在AABC中，EG〃BC,

AAAEG^AABC.

EG_AE

BC=AB,

口』G3

即元=i=6.

在ZkBAD中,EF〃AD,

12

~5

18

~5

第2课时相似三角形的判定定理1,2

基础题

知识点1三边成比例的两个三角形相似

1.有甲、乙两个三角形木框，甲三角形木框的三边长分别为1,平,乖,乙三角形木框的三边长分别为5,0

则甲、乙两个三角形(A)

A.一定相似B.一定不相似

C.不一定相似D.无法判断

2.已知AABC的三边长分别为6cm,7.5cm,9cm,4DEF的一边长为4cm,当4DEF的另两边长是下列哪一组数

据时，这两个三角形相似(C)

A.2cm,3cmB.4cm,5cm

C.5cm,6cmD.6cm,7cm

4.如图，在4ABC中，AB=25,BC=40,AC=20.在AADE中，AE=12,AD=15,DE=24,试判断这两个三角形是

否相似，并说明理由.

解：相似.

e工AC205AB255

AE123'AD153'

BC_40_5

DE=24=3，

・AC_AB_BC

**AE=AD=DE'

AAABC^AADE.

知识点2两边成比例且夹角相等的两个三角形相似

5.如图，在aABC与aADE中，ZBAC=ZD,要使aABC与aADE相似，还需满足下列条件中的(C)

ACABACBC

A—=—B—=—

ADAEADDE

ACABACBC

C—=一D—=—

ADDEADAE

6.如图,已知aABC,则下列4个三角形中,与ZXABC相似的是(C)

555

[5。

5

AB

D

7.在AABC和△△'B'C'中，若NB=NB',AB=6,BC=8,B，Cz=4,则当A，B'=a时，△ABCs/XA'B'C.

8.如图，已知AB・AD=AC•AE,ZB=30°,则NE=30°.

9.如图，已知正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC,Q是CD的中点，求证：△ADQs^QCP.

证明：设正方形的边长为4a,则AD=CD=BC=4a.

•・・Q是CD的中点，BP=3PC,

DQ=CQ=2a,PC=a.

.DQ_AD_2

**PC=CQ=r

又・・・ND=NC=90°,

.,.△ADQ^AQCP,

中档题

10.如图,在正方形网格上，若使△ABCs/iPBD,则点P应在处（C）

A.PiB.P2C.P3D.P4

11.如图,在等边AABC中，D,E分别在AC,AB±,且AD：AC=1：3,AE=BE,则有(B)

A.AAED^ABEDB.AAED^ACBDC.AAED^AABDD.ABAD^ABCD

12.（杭州中考）如图，在ZkABC中,点D,E分别在边AB,AC±,ZAED=ZB,射线AG分别交线段DE,BC于点F,

口ADDF

G,且

（1）求证：AADF^AACG；

/、#AD1_^AF,./士

屹）右配=5，求证的值.

解：(1)证明：VZAED=ZB,ZDAE=ZBAC,

AZADF=ZC.

dADDF

人,ACCG

AAADF^AACG.

(2)VAADF^AACG.

・AD_AF_J_

••正=启=,

13.如图，在aABC中，AB=AC=1,BC="^］，在AC边上截取AD=BC,连接BD.

⑴通过计算，判断AD?与AOCD的大小关系；

⑵求/ABD的度数.

解：(1)；AD=BC=烈三,

•.而=(写与=子.

VAC=1,

313工学

AAD2=AC•CD.

(2)VAD2=AC•CD,

2BCAC

ABC=AC•CD,oEnP—=—

VUDLz

lABAC

又・.・NC=NC,••.△ABCsZ\BDC..,•京=赤.

DUDC

又・.,AB=AC,・・・BD=BC=AD.

AZA=ZABD,ZABC=ZC=ZBDC.

设NA=NABD=x,则NBDC=NA+NABD=2x,

・・・ZABC=ZC=ZBDC=2x.

/.ZA+ZABC+ZC=x+2x+2x=180°.

解得x=36。.

ZABD=36°.

综合题

14.(武汉中考改编)如图，RtZSABC中，ZACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,动点P从点B出发，在BA边上以每

秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时

间为t秒(0<t<2),连接PQ.若以B,P,Q为顶点的三角形与aABC相似，求t的值.

解：由题意，得BP=5t,QC=4t,AB=10cm,BC=8cm.

①：NPBQ=NABC,

...若△BPQS/\BAC,则还需哈=整，

D/1DL

5t8—4t.

arI­z-.解得t=l；

HPT1UT=o

②・.・NPBQ=NCBA,

・•・若△BPQSABCA,则还需第=襄,

DCDA

5t8-4t/口32

即~8=]().解得1=五・

综上所述，当t=l或77时，以B,P,Q为顶点的三角形与AABC相似.

第3课时相似三角形的判定定理3

基础题

知识点1两角分别相等的两个三角形相似

1.有一个角为30°的两个直角三角形一定(B)

A.全等B.相似

C.既全等又相似D.无法确定

2.如图，在aABC中，ZACB=90°,CDLAB于点D,则下列说法中错误的是(C)

A.AACD-^ACBDB.AACD^AABC

C.ABCD^AABCD.ABCD^ABAC

3.如图，锐角AABC的边AB,AC上的高线CE,BF相交于点D,请写出图中的一对相似三角形答案不唯一，如：△

BDEs/XCDF,△ABFS/^ACE.(用相似符号连接)

4.已知aABC中，NA=40°，/B=75°,下图各三角形中与AABC相似的是AEFD,△«!(.

O

5.(毕节中考)如图，在AABC中，D为AB边上一点，且/BCD=NA,已知BC=2*,AB=3,则BD=9

6.如图，点D,E在BC上，且FD〃AB,FE〃AC.求证：△ABCs/\FDE.

证明：VFD/7AB,FE〃AC,

；./B=NFDE,ZC=ZFED.AAABC^AFDE.

7.如图，已知D,E分别是AABC的边AB,

AC上的点，ZA=35°,ZC=90°，ZAED=55°.求证:AD•AB=AE-AC.

BC

证明:VZA=35°,ZC=90°,

...NB=180°-ZA-ZC=180°一35°-90°=55°.

.*.ZB=ZAED=55O.

又；NA=NA,/.AABC^AAED.

ADAE

•••77=石，即HnAD-AB=AE•AC.

ACAD

知识点2斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似

8.在AABC和△ABG中，NA=NAi=90°,添加下列条件不能判定两个三角形相似的是（D）

AB_AC

A.ZB=ZBiB,而=蔽

处=此ABAC

[)---=---

ABlBCBCAC

9.一个直角三角形的一条直角边长和斜边长分别为8cm和15cm,另一个直角三角形的一条直角边长和斜边长分

45

别为6cm和7cm,这两个直角三角形是（填“是”或“不是"）相似三角形.

4-

10.itAABC^0AA,B'C'中，NC=NC'=90°,AC=12,AB=15,A'C'=8,则当A'B'=地时，Z\ABCs

△A，B/Cf.

中档题

11.（荆州中考）如图，点P在AABC的边AC上，要判断△ABPs/\ACB,添加一个条件，不正确的是（D）

A.ZABP=ZC

B.ZAPB=ZABC

八APAB

AB-AC

ABAC

I)—=—

BPCB

12.(毕节中考)如图，^ABC中，AE交BC于点D,ZC=ZE,AD：DE=3：5,AE=8,BD=4,则DC的长等于(A)

13.下列命题：①所有的等腰三角形都相似；②有一个角是50°的两个等腰三角形相似；③有一个角是60°的两

个等腰三角形相似；④有一个角是110°的两个等腰三角形相似；⑤所有的等腰直角三角形都相似.其中真命题是

③④⑤（填序号）.

14.（齐齐哈尔中考）经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等

腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”.如图，线段CD是

△ABC的“和谐分割线”，4ACD为等腰三角形，4CBD和相似，ZA=46°,则NACB的度数为113°或92°.

15.(天津中考改编)如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD=3,ZADE=60°,求AE的长.

解：:△ABC是边长为9的等边三角形,

/.ZB=ZC=60°,AB=BC=AC=9.

AZBAD+ZADB=120°.

VZADE=60°,

AZCDE+ZADB=120°.

・・・NBAD=NCDE.

又・・,NB=NC,

AAABD^ADCE.

ABBDon93

**DC=CE,9-3=CE*ACE=2-

・・・AE=9—2=7.

16.如图，已知NACB=NABD=90°,AB=，^AC=2,求AD的长为多少时，图中两直角三角形相似？

解：①若△ABCsaADB,

ERABAC

则需矿密

即虐=壬.*.AD=3.

AD事

②若△ABCS/\DAB,

则唬=带

综上所述，当AD=3或次点时，图中两直角三角形相似.

综合题

17.(滨州中考改编)如图，矩形ABCD中，AB=20,BC=10,点P为AB边上一动点，DP交AC于点Q.

(1)求证：△APQs^CDQ；

(2)P点从A点出发沿AB边以每秒1个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒.当t为何值时，DP±AC?

DC

解：(1)证明：・・•四边形ABCD是矩形,

AAB/7CD.

AZAPQ=ZCDQ.

又・・・NAQP=NCQD,

.,.△APQ^ACDQ.

(2)当t=5时，DP1AC.

理由：Vt=5,，AP=5.

eAP__5_

••丽=记

「DA10

人DC20'

.APDA

••矿正

又・・・NPAD=NADC=90°,

AAPAD^AADC.

:.ZADP=ZDCA.

VZADP+ZCDP=ZADC=90°,

AZDCA+ZCDP=90°.

.,.ZDQC=90°,即DP_LAC.

小专题(四)相似三角形的基本模型

模型1X字型及其变形

(1)如图1,对顶角的对边平行，则△ABOs^DCO；

(2)如图2,对顶角的对边不平行，且NOAB=/OCD,则△ABOs^CDO.

针对训练

1.(恩施中考)如图，在。ABCD中，AC与BD交于点0,E为0D的中点，连接AE并延长交DC于点F,则DF：FC等于

(D)

RE

2.(黔东南中考)将一副三角尺如图所示叠放在一起，则器的值是当.

EC6

3.如图，已知NADE=NACB,BD=8,CE=4,CF=2,求DF的长.

解：VZADE-ZACB,

/.1800-ZADE=180°-ZACB,即NBDF=NECF.

又：NBFD=/EFC,

.".△BDF^AECF.

BDDF08DF

，而=而‘即rl厂万•，DF=4.

模型2A字型及其变形

(1)如图1,公共角的对边平行，则△ADEs/\ABC；

⑵如图2,公共角的对边不平行，且有另一对角相等，则△ADES^ABC；

(3)如图3,公共角的对边不平行，两个三角形有一条公共边，且有另一对角相等，则△ACDsaABC.

图1图2图3

，针对训练K

4.如图，在锐角aABC中，点D,E分别在边AC,AB±,AGJ_BC于点G,AF_LDE于点F,NEAF=NGAC.求证：△

ADE^AABC.

证明：在AAEF和AACG中,

ZAFE=ZAGC=90°,

ZEAF=GAC,

AAAEF^AACG.

:.ZAEF=ZACG.

在AADE和AABC中，

NBAC为公共角，

ZAEF=ZACG,

.,.△ADE^AABC.

5.如图，AD与BC相交于E,点F在BD上，且AB〃EF〃CD,求证：白+*=£.

证明：VAB/7EF,

AADEF^ADAB.

.EF_DF

,•AB=DB-

又・.・EF〃CD,

AABEF^ABCD.

,EF_BF

>>CD=BD，

.更工旦二匹上如_型

•*AB+CD=DB+BD=BD

,—1_i,_—1——1

,*ABCD-EF'

模型3双垂型

直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即aACDs/\ABCs△0?[).

针对训练

6.如图，在RtZ\ABC中，CD±AB,D为垂足，且AD=3,AC=34，则斜边AB的长为(B)

A.3乖B.15

C.975D.3+3季

B

7.如图，Z\ABC中，NACB=90°,CD是斜边AB上的高，AD=9,BD=4,那么CD=g,AC=3、叵.

模型4M字型及其变形

⑴如图1,RtZXABD与RtZkBCE的斜边互相垂直,则有△ABDsaCEB；

(2)如图2,点B,C,E在同一条直线上，ZABC=ZACD,则再已知一组条件，可得△ABC与4DCE相似.

图2

针对训练

8.(江西中考)如图，正方形ABCD中，点E,F,G分别在AB,BC,CD上，且NEFG=90°.求证：△EBFsaFCG.

证明：•.•四边形ABCD为正方形,

.".ZB=ZC=90°.

.♦.NBEF+NBFE=90°.

VZEFG=90°,

.\ZBFE+ZCFG=90°.

.,•ZBEF=ZCFG.

.,.△EBF^AFCG.

9.如图，Z\ABC中，AC=6,AB=4,点D,A在直线BC同侧，且NACD=/ABC,CD=2,点E是线段BC延长线上的

动点，要使4DCE和aABC相似，求线段CE的长.

解：VZACE=ZACD+ZDCE=ZB+ZA,ZACD=ZB,.\ZDCE=ZA.

/A与/DCE是对应角.

.".△DCE和AABC相似有两种情况：

BAAC

①若△BACS/\ECD,则需满足左=左，

464

即an而，CE=鼻；

m乙o

BAAC

②若△BACS^DCE,则需满足方=左,

DCLE

口「46

HP~=—./.CE=3.

NCD

4

综上所述，CE的长为5或3.

O

10.如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且NBEF=90°.

(1)求证：△ABESADEF；

⑵若AB=4,延长EF交BC的延长线于点G,求BG的长.

解：（1）证明：•.•四边形ABCD为正方形，

.,.NA=/D=90°.

.*.ZABE+ZAEB=90o.

：/BEF=90°,；./AEB+/DEF=90°.

ZABE=NDEF.，AABE^ADEF.

（2）VAB=AD=4,E为AD的中点,

；.AE=DE=2.

由（1）知，AABE^ADEF,

ABAE42

・'DEDF，12DF,

ADF=1.ACF=3.

VED/7CG,

.'.△EDF^AGCF.

.EDDF21

，＜GC-CF,1GC-3,

・・・GC=6.

ABG=BC+GC=10.

小专题(五)利用三角形相似证明乘积式

一、直接法——三点定形法

“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法.具体做法有两种：一种是“横定”，即

看比例式上面两条线段和下面两条线段能否分别组成三角形；另一种是“竖定”，即看等号左右两边的两条线段能

否组成一个三角形.

【例1】如图，ZXABC中，/ACB=90°,AB的垂直平分线交AB于D,交AC于点E,交BC延长线于F.求证：CD2

=DE-DF.

【思路点拨】先将乘积式化成比例式为胎=白，然后不管是“横定”还是“竖定”都是4CDE和aCDF,则只需证

明这两个三角形相似即可.

证明：VZACB=90°,

・・・NF+NFEC=90°.

VDF1AB,

AZA+ZAED=90°.

VZAED=ZFEC,

AZA=ZF.

〈CD是RtZ\ABC斜边AB的中线，，CD=DA.

:.ZA=ZACD.AZACD=NF.

又・・，NCDE=NFDC,

.,.△CDE^AFDC.

CDDE.2

/.­=—.*.CD=DE•DF.

bl）DC

针对训练

L(黄冈中考)如图，AB是半圆0的直径，点P是BA延长线上一点，PC是。。的切线，切点为C,过点B作BDLPC

交PC的延长线于点D,连接BC,求证：

(1)ZPBC=ZCBD；

(2)BC2=AB•BD.

证明：（1）连接OC,「PC是。。的切线，

.\0CXPD.

XVBD1PC,，0C:〃BD.，/CBD=N0CB.

：OC=OB,AZOBC=ZOCB.

.\ZPBC=ZCBD.

⑵连接AC,；AB是半圆。的直径，

ZACB=90°ZACB=ZCDB.

又：NABC=/CBD,/.AACB^ACDB.

CBAB2

H即nBC2=AB•BD.

二、间接法

方法1等量过渡法(等线段代换法)

遇到“三点定形法”无法解决欲证的问题时，即如果线段比例式中的四条线段都在图形中的同一条直线上，不

能组成三角形，或四条线段虽然组成两个三角形，但这两个三角形并不相似，那就需要根据已知条件找到与比例式

中某条线段相等的一条线段来代替这条线段，如果没有，可考虑添加简单的辅助线，然后再应用“三点定形法”确

定相似三角形.

【例2】如图，AABC中，AD平分/BAC,AD的垂直平分线FE交BC的延长线于E.求证：DE2=BE-CE.

【思路点拨】观察图形发现，乘积式中的线段都在一条直线上，无法直接利用“三点定形法”找三角形，由条件

“EF是AD的垂直平分线”可知DE=AE,将乘积式中的DE换成AE,即可找出两个三角形AABE和AACE,则只需证

明这两个三角形相似即可.

证明：连接AE,

•••EF是AD的垂直平分线,

；.AE=DE,ZADE=ZDAE.

；AD平分NBAC,

AZBAD=ZDAC.

VZACE=ZADC+ZDAC,

ZBAE=ZDAE+ZBAD,

；./ACE=/BAE.

XVZAEC=ZBEA,

.,.△ACE^ABAE.

,AE_CE

•,BE=AE-

/.AE2=BE•CE,

即DE2=BE•CE.

针对训练

2.如图，在。0中，直径AB垂直弦CD于E,过点A作NDAF=NDAB,过点D作AF的垂线，垂足为F,交AB的延

长线于点P,连接CO并延长交。0于点G,连接EG.求证：

(DDF是的切线；

(2)0C2=0E•OP.

证明：（1）连接0D.

VOA=OD,

.\Z0AD=Z0DA.

VZDAF=ZDAB,

・・・NODA=NDAF.

A0D/7AF.

VDF±AF,

ADF10D.

・・・DF是。。的切线.

⑵在AODE和△OPD中，

VZ0DP=Z0ED=90°,ZD0P=ZE0D,

AAODE^AOPD.

ODOE八2八

B|JOD=OE•OP.

XV0C=0D,

A0C2=0E•OP.

方法2等比过渡法（等比代换法）

当用“三点定形法”不能确定三角形，同时也无等线段代换时，可以考虑用“等比代换法”，即考虑利用第三

组线段的比为比例式搭桥，也就是通过对已知条件或图形的深入分析，找到与求证的结论中某个比相等的比，并进

行代换，然后再用“三点定形法”来确定三角形.

[例3]如图，在4ABC中，ZBAC=90°,AD1BC,E是AC的中点，ED交AB的延长线于点F.求证：AB・AF=AC・DF.

【思路点拨】运用“竖定”的两个三角形AABC和aADF明显不相似，一个是直角三角形，一个是钝角三角形.由

条件“直角三角形斜边上的高”这一基本图形，可知△ABDs^CAD,即普=器所以利用黑这个桥梁，只需证明目

嗡即可.

证明：・・・ADJ_BC,E是AC的中点，

・・・DE=EC.

Z.ZEDC=ZC.

VZBAC=ZADC=90°,

.,.ZBAD+ZDAC=90°,ZDAC+ZC=90°.

・・・NBAD=NC.

♦:ZBDF=ZEDC,I.NBDF=ZBAD.

又・・・NF为公共角，

BDDF

AABDF^AADAF.**«7T=T7.

DAAF

■:ZADB=ZADC=90°,ZBAD=ZC,

-BDAB

・•A•△ABDsZ\CAD・・・・f=77.

ABDF「

靛=鼐，即AB•AF=AC•DF.

，针对训练

3.如图，ZSABC中，AB<AC,在AB,AC上分别截取BD=CE,DE,BC的延长线相交于点F,求证：AB•DF=AC•EF.

A

证明：过E作EM〃AB,交BC于点M,

则△EMCS2MBC.

,EM_EC

•*AB=AC,

・AB_EM

**AC=EC'

EFEM

同理可得△EMFs/XDBF,.•而=而

.EF_EM

又・・・BD=EC,…谛=丽・

.ABEF

…靛=5?即AB•DF=AC♦EF.

方法3等积过渡法（等积代换法）

用“三点定形法”无法确定三角形，又不能找到相等的线段或相等的比作代换，这时可考虑直接将乘积式换成

相等的乘积式.

【例4】如图，在AABC中，ZACB=90°,CD是斜边AB上的高，G是DC延长线上一点，过B作BEJ_AG,垂足为E,

交CD于点F.求证：CD2=DF•DG.

【思路点拨】由“CD是RtZXABC斜边AB上的高”这一基本模型可知CD?=AD・BD,只需证明AD•BD=DF-DG即可.

证明：VZACB=90°,CD是斜边AB上的高,

AZACD+ZBCD=ZBCD+ZCBD=90°.

・・・ZACD=ZCBD.

AAACD^ACBD.

.CD_AD

…丽=丽，BPCD2=AD•BD.

VBE1AG,.,.ZG+ZCFE=90°.

VZDBF+ZBFD=90°,/.ZG=ZDBF.

.,.△BDF^AGDA.

BDDF八

即niIAI)・BD=DF•DG.

vDDA

.\CD2=DF-DG.

针对训练

4.如图，已知CE是RtAABC的斜边AB上的高，BGLAP.求证：CE2-ED•EP.

证明：・・，CE是Rt/\ABC的斜边AB上的高,

AAACE^ACBE.

,CE_AE

••丽=丽’

即CE2=AE•BE.

VCE1AB,BG±AP,

・・・NEBD+NEDB=NP+NGDP=90°.

AZEBD=ZP.

AAAEP^ADEB.

.AE_EP

••丽=丽’

即AE•EB=ED•EP.

ACE2=ED•EP.

周周练(27.1-27.2.1)

(时间:45分钟满分：100分)

一、选择题(每小题4分，共32分)

1.(杭州中考)如图，已知直线a〃b〃c,直线m交直线a,b,c于点A,B,C,直线n交直线a,b,c于点D,E,

什AB1「PE,、

F,若丽=5,则而=(B)

11

--D1

3B.2±

2.下列两个图形一定相似的是(D)

A.任意两个等腰三角形

B.任意两个矩形

C.任意两个菱形

D.任意两个等边三角形

3.(哈尔滨中考)如图，在AABC中，D,E分别为AB,AC边上的点，DE/7BC,点F为BC边上一点，连接AF交DE

于点G,则下列结论中一定正确的是(C)

.ADAE「ACAE

A—=1B—=—

ABECGFBD

BDCE、AGAC

cr•而=I)—=—

AEAFEC

4.如图，在。ABCD中，EF/7AB,

.16

A-TB.8

C.10D.16

5.如图，在矩形ABCD中，E,F分别是CD,BC上的点，若NAEF=90°,则一定有(C)

A.AADE^AAEF

B.AECF^AAEF

C.AADE^AECF

D.AAEF^AABF

6.(安徽中考)如图，ZXABC中，AD是中线，BC=8,ZB=ZDAC,则线段AC的长为(B)

A.4B.4A/2

C.6D.473

7.如图，D是AABC的边AB上一点，下列条件：①NACD=/B；②AC，=AD•AB；③AB边上与点C距离相等的点D

有两个；④/B=/ACB,其中，一定使△ABCS/^ACD的有（B）

B.2个

C.3个D.4个

8.在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：

甲：将边长为3,4,5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1,则新三角形与原

三角形相似.

乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1,则新矩形与原矩形

不相似.

对于两人的观点，下列说法正确的是（A）

图1