第四章　曲线运动 第23课时　圆周运动的临界极值问题　重难突破课

第23课时圆周运动的临界极值问题[重难突破课]题型一水平面内圆周运动的临界极值问题常见情境（1）水平转盘上的物体恰好不发生相对滑动的临界条件：物体与转盘之间的摩擦力恰好达到最大静摩擦力。（2）绳的拉力出现临界条件：绳恰好拉直（此时绳上无弹力）或绳上拉力恰好为最大承受力等。（3）物体间恰好分离的临界条件：物体间的弹力恰好为零解题思路（1）若题目中有“刚好”“恰好”“正好”等关键词，表明题述的过程存在临界状态。（2）若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等关键词，表明题述的过程存在着极值，这个极值点也往往是临界状态。（3）当确定了物体运动的临界状态或极值条件后，要分别针对不同的运动过程或现象，选择相对应的物理规律，然后再列方程求解【典例1】如图甲所示，在匀速转动的水平盘上，沿半径方向放着用轻质细线相连的质量相等的两个物体A和B，它们分居圆心两侧，与圆心距离分别为2r和3r，两物体与盘间的动摩擦因数相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。若初始时绳子恰好拉直但没有拉力，现增大转盘角速度让转盘做匀速圆周运动，但两物体还未发生相对滑动，这一过程A与B所受摩擦力f的大小与ω2的大小关系图像如图乙所示，下列关系式正确的是（）A.2ω22＝3ω12 B.C.2ω22＝5ω12 D.答案：D解析：由题意可知，因为物体A和B分居圆心两侧，与圆心距离分别为2r和3r，两个物体都没滑动之前，都受静摩擦力的作用，与ω2成正比，由于B物体到圆心的距离大，故B物体与转台间的摩擦力先达到最大静摩擦力，此后，摩擦力大小不变，此时根据牛顿第二定律得μmg＝m·3rω12，角速度达到ω1后绳子出现拉力，在角速度为ω2时，设绳子拉力为T，对B有T＋μmg＝m·3rω22，对A有T＝m·2rω22，解得ω21.【发生相对滑动时的临界问题】（多选）2022年2月7日，在首都体育馆举行的北京2022年冬奥会短道速滑项目男子1000米决赛中，我国选手任子威夺得冠军。如图1所示为短道速滑比赛场地的示意图（由直道和半圆形轨道构成），比赛场地周长约为111.12m，其中直道长度为28.85m，弯道内径为8m。如图2所示为运动员转弯瞬间的一幕。假设该比赛场地的冰面水平，运动员在弯道紧邻黑色标志块做匀速圆周运动，转弯时冰刀与冰面间的动摩擦因数为0.1，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，运动员的质量为50kg，运动员可看作质点，重力加速度g取10m/s2。下列说法正确的是（）A.运动员由直道进入弯道前要减速B.图2中的运动员在转弯时，冰面的支持力和重力的合力提供其做圆周运动所需的向心力C.运动员紧邻黑色标志块转弯时的最大速度为22m/sD.运动员紧邻黑色标志块转弯时的最大速度为2m/s解析：AC为了防止侧滑，运动员由直道进入弯道前要减速，故A正确；图2中的运动员在转弯时，由于该比赛场地的冰面水平，冰面的摩擦力提供其做圆周运动所需的向心力，故B错误；由最大静摩擦力提供向心力得μmg＝mv2r，解得运动员紧邻黑色标志块转弯时的最大速度为v＝μgr＝0.1×10×8m/s＝222.【物体间恰好分离的临界问题】（多选）如图所示，三角形为一光滑圆锥体的正视图，锥面与竖直方向的夹角为θ＝37°。一根长为l＝1m的细线一端系在圆锥体顶端，另一端系着一可视为质点的小球，小球在水平面内绕圆锥体的轴做匀速圆周运动，重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，不计空气阻力，则（）A.小球受重力、支持力、拉力和向心力B.小球可能只受拉力和重力C.当ω0＝522rad/s时D.当ω＝25rad/s时，小球受重力、支持力和拉力作用解析：BC向心力是效果力，不是小球实际受到的力；对小球受力分析，小球受重力、细线的拉力，小球可能受圆锥体的支持力，也可能不受圆锥体的支持力；转速较小时，小球紧贴圆锥面，则FTcosθ＋FNsinθ＝mg，FTsinθ－FNcosθ＝mω2lsinθ，随着转速的增加，FT增大，FN减小，当转速达到ω0时支持力为零，支持力恰好为零时有mgtanθ＝mω02lsinθ，解得ω0＝522rad/s，A错误，B、C正确；因25rad/s＞522rad/s，所以，当ω＝25rad/s时，3.【绳的弹力恰好有无的临界问题】如图所示，AC、BC两绳系一质量为m＝0.1kg的小球，AC绳长L＝2m，两绳的另一端分别固定于轴的A、B两处，两绳拉直时与竖直轴的夹角分别为30°和45°。小球在水平面内做匀速圆周运动时，若两绳中始终有张力，小球的角速度可能是（g＝10m/s2）（）A.2rad/s B.2.5rad/sC.3.5rad/s D.4rad/s解析：B当上绳绷紧、下绳恰好伸直但无张力时，小球受力如图甲所示，由牛顿第二定律得mgtan30°＝mω12r，又有r＝Lsin30°，解得ω1＝1033rad/s≈2.4rad/s，当下绳绷紧、上绳恰好伸直无张力时，小球受力如图乙所示，由牛顿第二定律得mgtan45°＝mω22r，解得ω2＝10rad/s≈3.2rad/s，故当2.4rad/s＜ω＜3.2rad/s时，两绳始终有张力，故B正确，题型二竖直面内圆周运动的临界极值问题两类模型轻“绳”模型轻“杆”模型情境图示轻“绳”模型轻“杆”模型弹力特征弹力只能向下或为0弹力可能向下，可能向上，也可能为0轻“绳”模型轻“杆”模型力学方程mg＋FT＝mvmg±FN＝mv临界特征FT＝0，即mg＝mv2r，得vv＝0，即FN＝0，此时FN＝mg2.解题思路考向1轻“绳”模型问题【典例2】如图所示，乘坐游乐园的翻滚过山车时，质量为m的人随车在竖直平面内旋转，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（）A.过山车在最高点时人处于倒坐状态，全靠保险带拉住，没有保险带，人就会掉下来B.人在最高点时对座位不可能产生大小为mg的压力C.人在最低点时对座位的压力等于mgD.人在最低点时对座位的压力大于mg答案：D解析：过山车在最高点时人处于倒坐状态，向心力是靠重力与座椅的支持力提供，速度越大支持力越大，所以没有保险带，人也不会掉下来，A错误；人在最高点时，由牛顿第二定律可得mg＋N＝mv2r，当速度为v＝2gr时，支持力为mg，由牛顿第三定律可得，人在最高点时对座位可以产生大小为mg的压力，B错误；人在最低点时，由牛顿第二定律可得N－mg＝mv2r，则人在最低点时对座位的压力大于mg，考向2轻“杆”模型【典例3】如图所示，质量为1.6kg、半径为0.5m的光滑细圆管用轻杆固定在竖直平面内，小球A和B（均可视为质点）的直径略小于细圆管的内径（内径远小于细圆管半径）。它们的质量分别为mA＝1kg、mB＝2kg。某时刻，小球A、B分别位于圆管最低点和最高点，且A的速度大小为vA＝3m/s，此时杆对圆管的弹力为零。则B球的速度大小vB为（取g＝10m/s2）（）A.2m/s B.4m/sC.6m/s D.8m/s答案：B解析：对A球，合外力提供向心力，设管对A的支持力为FA，由牛顿第二定律有FA－mAg＝mAvA2R，代入数据解得FA＝28N，由牛顿第三定律可得，A球对管的力竖直向下为28N，设B球对管的力为FB'，由管的受力平衡可得FB'＋28N＋m管g＝0，解得FB'＝－44N，负号表示和重力方向相反，由牛顿第三定律可得，管对B球的力FB为44N，方向竖直向下，对B球由牛顿第二定律有FB＋mBg＝mBvB2R，解得vB题型三斜面上圆周运动的临界极值问题1.题型简述：在斜面上做圆周运动的物体，因所受的控制因素不同，如静摩擦力控制、绳控制、杆控制等，物体的受力情况和所遵循的规律也不相同。2.解题关键——重力的分解和视图物体在斜面上做圆周运动时，设斜面的倾角为θ，重力垂直斜面的分力与物体受到的支持力相等，解决此类问题时，可以按以下操作，把问题简化。【典例4】如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴距离2.5m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止。物体与盘面间的动摩擦因数为32（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力），盘面与水平面的夹角为30°，g取10m/s2。则ω的最大值是（A.5rad/s B.3rad/sC.1.0rad/s D.0.5rad/s答案：C解析：由题意知临界条件为物体在圆盘最低点受到的摩擦力为最大静摩擦力，根据牛顿第二定律有，μmgcos30°－mgsin30°＝mrω2，解得ω＝1.0rad/s，C正确，A、B、D错误。如图所示，在倾角为α＝30°的光滑斜面上，有一根长为L＝0.8m的轻杆，一端固定在O点，另一端系一质量为m＝0.2kg的小球，沿斜面做圆周运动。g取10m/s2。若要小球能通过最高点A，则小球在最低点B的最小速度是（）A.4m/s B.210m/sC.25m/s D.22m/s解析：A小球受轻杆控制，在A点的最小速度为零，由动能定理得2mgLsinα＝12mvB2，可得vB＝4m/s题型一水平面内圆周运动的临界极值问题1.港珠澳大桥总长约55km，是世界上总体跨度最长、钢结构桥体最长、海底沉管隧道最长的跨海大桥。如图所示，该路段是港珠澳大桥的一段半径R＝150m的圆弧形弯道，总质量m＝1500kg的汽车通过该圆弧形弯道时以速度v＝72km/h做匀速圆周运动（汽车可视为质点，路面视为水平且不考虑车道的宽度）。已知路面与汽车轮胎间的最大静摩擦力为汽车所受重力的35，取重力加速度大小g＝10m/s2，则（A.汽车过该弯道时受到重力、支持力、摩擦力和向心力B.汽车过该弯道时所受径向静摩擦力大小为4000NC.汽车过该弯道时的向心加速度大小为3m/s2D.汽车能安全通过该弯道的最大速度为40m/s解析：B汽车过该弯道时受到重力、支持力和摩擦力作用，摩擦力提供其做圆周运动所需的向心力，选项A错误；汽车过该弯道时所受静摩擦力大小为f＝mv2R＝1500×202150N＝4000N，选项B正确；汽车过该弯道时的向心加速度大小为a＝v2R＝202150m/s2＝83m/s2，选项C错误；汽车能安全通过该弯道，速度最大时满足35mg＝2.有一竖直转轴以角速度ω匀速旋转，转轴上的A点有一长为l的细绳系有质量为m的小球。要使小球在随转轴匀速转动的同时又不离开光滑的水平面，重力加速度为g，则A点到水平面的高度h最大为（）A.gω2 B.ω2gC.ω2解析：A以小球为研究对象，小球受重力mg、水平面的支持力FN、绳子的拉力F的作用，在竖直方向所受合力为零，在水平方向所需向心力为mω2R，设绳子与竖直方向的夹角为θ，则有R＝htanθ，那么Fcosθ＋FN＝mg，Fsinθ＝mω2htanθ；当球即将离开水平面时，FN＝0，此时Fcosθ＝mg，Fsinθ＝mgtanθ＝mω2htanθ，可得h＝gω2，故题型二竖直平面内圆周运动的临界极值问题3.（多选）滚筒洗衣机静止于水平地面上，衣物随着滚筒一起在竖直平面内做高速匀速圆周运动，以达到脱水的效果，滚筒截面如图所示，A点为最高点，B点为最低点，CD为水平方向的直径，下列说法正确的有（）A.衣物运动到A点时处于超重状态B.衣物运动到B点时脱水效果最好C.衣物运动到C点或D点时，洗衣机对地面的摩擦力不为零D.衣物在B点时，洗衣机对地面的压力等于洗衣机的重力解析：BC衣物运动到最高点A点时，加速度方向竖直向下，处于失重状态，故A错误；衣物及衣物上的水运动到最低点B点时，加速度方向竖直向上，处于超重状态，对于衣物及衣物上的水，根据牛顿第二定律，在最低点有F－mg＝mv2r，解得F＝mg＋mv2r，根据牛顿第三定律可知，衣服对洗衣机的作用力的大小为F'＝mg＋mv2r，洗衣机对地面的压力等于洗衣机的重力加上衣服对洗衣机的作用力，所以洗衣机对地面的压力大于洗衣机的重力，水在B点受到衣物的附着力最大，而水和衣物的最大附着力相同，故衣物运动到最低点B点时脱水效果最好，故B正确，D错误；在衣物运动中，衣物运动到C点或D点时，洗衣机对衣物的水平作用力提供衣物做圆周运动需要的向心力，可知此时衣物对洗衣机在水平方向作用力最大，而洗衣机是静止的，可知地面对其的摩擦力最大，根据牛顿第三定律可知，衣物运动到C点或4.如图所示，一质量为m＝0.5kg的小球（可视为质点），用长为0.4m的轻绳拴着在竖直平面内做圆周运动，g＝10m/s2，下列说法不正确的是（）A.小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为2m/sB.当小球在最高点的速度为4m/s时，轻绳拉力为15NC.若轻绳能承受的最大张力为45N，小球的最大速度不能超过42m/sD.若轻绳能承受的最大张力为45N，小球的最大速度不能超过4m/s解析：D设小球通过最高点时的最小速度为v0，则根据牛顿第二定律有mg＝mv02R，解得v0＝2m/s，故A正确；当小球在最高点的速度为v1＝4m/s时，设轻绳拉力大小为FT，根据牛顿第二定律有FT＋mg＝mv12R，解得FT＝15N，故B正确；小球在轨迹最低点处速度最大，此时轻绳的拉力最大，根据牛顿第二定律有FTm－mg＝mvm2R，解得vm＝45.（多选）如图甲所示，某体操运动员用一只手抓住单杠，伸展身体，以单杠为轴做圆周运动。该运动员运动到最高点时，用力传感器测得他与单杠间弹力大小为F，用速度传感器记录他在最高点的速度大小为v，得到F-v2图像如图乙所示。g取10m/s2，则下列说法中正确的是（）A.该运动员的质量为65kgB.该运动员的重心到单杠的距离为0.9mC.当该运动员在最高点的速度为4m/s时，单杠对他的弹力方向向上D.当该运动员在最高点的速度为4m/s时，单杠对他的弹力方向向下解析：ABD对该运动员在最高点进行受力分析，当速度为零时，有F－mg＝0，结合题图乙解得质量m＝65kg，选项A正确；当F＝0时，由向心力公式可得mg＝mv2R，结合题图乙可解得R＝0.9m，故该运动员的重心到单杠的距离为0.9m，选项B正确；当该运动员在最高点的速度为4m/s时，假设拉力大小为F，方向竖直向下，由牛顿第二定律得mg＋F＝mv2R，代入解得F≈506N，方向竖直向下，假设成立，说明该运动员受单杠的拉力作用，方向竖直向下，选项题型三斜面上圆周运动的临界极值问题6.如图，有一倾斜的匀质圆盘（半径足够大），盘面与水平面的夹角为θ，绕过圆心并垂直于盘面的转轴以角速度ω匀速转动，有一物体（可视为质点）与盘面间的动摩擦因数为μ（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力），重力加速度为g。要使物体能与圆盘始终保持相对静止，则物体与转轴间最大距离为（）A.μgcosθωC.μcosθ－sinθ解析：C由题意易知临界条件是物体在圆盘上转到最低点时受到的静摩擦力最大，由牛顿第二定律得μmgcosθ－mgsinθ＝mω2r，解得r＝μcosθ－sinθω2g，故A、7.如图所示，长为l的轻杆两端各固定一个质量均为m的小球a、b，系统置于倾角为θ的光滑斜面上，且杆可绕位于中点O的转轴平行于斜面转动，当小球a位于最低点时给系统一初始角速度ω0，不计一切阻力，则（）A.在轻杆转过180°的过程中，角速度逐渐减小B.只有ω0大于某临界值，系统才能做完整的圆周运动C.轻杆受到转轴的力的大小始终为2mgsinθD.轻杆受到转轴的力的方向始终在变化解析：C由题意可知，在转动过程中，系统的重力势能不变，那么当系统有初始角速度时，系统的动能也不变，因此系统始终匀速转动，故A、B错误；选两球及杆作为系统，根据牛顿第二定律有F－2mgsinθ＝man＋m（－an），解得F＝2mgsinθ，而轻杆受到转轴的力的方向始终沿着斜面向上，故C正确，D错误。8.如图所示，叠放在水平转台上的物体A、B及物体C能随转台一起以角速度ω匀速转动，A、B、C的质量分别为3m、2m、m，A与B、B和C与转台间的动摩擦因数都为μ，A和B、C离转台中心的距离分别为r和1.5r。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，物体A、B、C均可视为质点，重力加速度为g，下列说法正确的是（）A.B对A的摩擦力一定为3μmgB.B对A的摩擦力一定为3mω2rC.转台的角速度需要满足ω≤μgD.若转台的角速度逐渐增大，最先滑动的是A物体解析：B由于物体A、B及物体C能随转台一起匀速转动，则三个物体受到的摩擦力均为静摩擦力，由静摩擦力提供向心力，则B对A的摩擦力一定为FfA＝3mω2r，又有0＜FfA≤Ffmax＝3μmg，由于角速度大小不确定，B对A的摩擦力不一定达到最大静摩擦力3μmg，A错误，B正确；若物体A达到最大静摩擦力，则3μmg＝3mω12r，解得ω1＝μgr，若转台对物体B的摩擦力达到最大静摩擦力，对A、B整体有5μmg＝5mω22r，解得ω2＝μgr，若转台对物体C的摩擦力达到最大静摩擦力，则μmg＝mω32×1.5r，解得ω3＝2μg3r，可知ω1＝ω2＞ω3，由于物体A、B及物体C均随转台一起匀速转动，则转台的角速度需要满足ω≤ω3＝2μg3r，该分析表明，当角速度逐渐增大时，9.如图所示，餐桌中心是一个半径为r＝1.5m的圆盘，圆盘可绕中心轴转动，餐桌其余部分不转动，近似认为圆盘与餐桌在同一水平面内且两者之间的间隙可忽略不计。已知放置在圆盘边缘的小物体与圆盘的动摩擦因数为μ1＝0.6，与餐桌的动摩擦因数为μ2＝0.225，餐桌离地高度为h＝0.8m。设小物体与圆盘以及餐桌之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10m/s2。（1）为使小物体不滑到餐桌上，圆盘的角速度ω的最大值为多少？（2）缓慢增大圆盘的角速度，小物体从圆盘上甩出，为使小物体不滑落到地面，餐桌半径R的最小值为多大？（3）若餐桌半径R'＝2r，则在圆盘角速度缓慢增大时，小物体从圆盘上被甩出后做平抛运动的水平位移为多少？答案：（1）2rad/s（2）2.5m（3）0.6m解析：（1）由题意可得，当小物体在圆盘上随圆盘一起转动时，圆盘对小物体的静摩擦力提供向心力，所以随着圆盘转速的增大，小物体受到的静摩擦力增大。当静摩擦力最大时，小物体即将滑动，此时圆盘的角速度达到最大，则Ffm＝μ1FN＝mrω2，FN＝mg两式联立可得ω＝μ1gr（2）由题意可得，