第二章　相互作用 第11课时　动态平衡和平衡中的临界极值问题　重难突破课

第11课时动态平衡和平衡中的临界极值问题[重难突破课]题型一动态平衡问题方法一解析法如果物体受到多个力的作用，可进行正交分解，利用解析法，建立平衡方程，找函数关系，根据自变量的变化确定因变量的变化，还可由数学知识求极值或者根据物理临界条件求极值。【典例1】如图，一昆虫悬挂在水平树枝下，其足的股节与基节间的夹角为θ，且六条足都处于相同的拉力下。若昆虫稍微伸直足，则足的股节部分受到的拉力（）A.增大 B.减小C.不变 D.先减小后增大答案：B解析：设昆虫的质量为m，每条股节部分受到的拉力均为T，则由力的平衡条件可得6Tsinθ＝mg，解得T＝mg6sinθ，而当昆虫稍微伸直足时，角θ变大，因此可知足的股节部分受到的拉力T将减小，故选方法二图解法物体受三个力作用而处于平衡状态，一个力恒定，另一个力的方向恒定时可用此法。由三角形中边长的变化知力的大小的变化，还可判断出极值。一般按照以下流程解题。【典例2】如图所示，半圆形框架竖直放置在粗糙的水平地面上，光滑的小球P在水平外力F的作用下处于静止状态，P与圆心O的连线与水平面的夹角为θ，将力F在竖直面内沿顺时针方向缓慢地转过90°，框架与小球始终保持静止状态。在此过程中下列说法正确的是（）A.地面对框架的摩擦力始终为零B.框架对小球的支持力先减小后增大C.拉力F的最小值为mgcosθD.框架对地面的压力先增大后减小答案：C解析：以小球为研究对象，受力分析如图所示，根据几何关系可知，当F顺时针转动至竖直向上之前，支持力逐渐减小，F先减小后增大，当F的方向沿圆的切线方向向上时，F最小，此时为F＝mgcosθ，故B错误，C正确；以框架与小球组成的整体为研究对象，整体受到重力、地面的支持力、地面的摩擦力以及力F的作用；由图可知，F在顺时针方向转动的过程中，F沿水平方向的分力逐渐减小，所以地面对框架的摩擦力始终在减小，故A错误；以框架与小球组成的整体为研究对象，整体受到重力、地面的支持力、地面的摩擦力以及力F的作用，由图可知，F在顺时针方向转动的过程中，F沿竖直方向的分力逐渐增大，所以地面对框架的支持力始终在减小，框架对地面的压力始终在减小，故D错误。方法三相似三角形法物体受三个力平衡，一个力恒定，另外两个力的方向同时变化，当所作“力的矢量三角形”与空间的某个“几何三角形”总相似时用此法。【典例3】如图所示，竖直墙壁O处用光滑铰链铰接一轻质杆的一端，杆的另一端固定小球（可以看成质点），轻绳的一端悬于P点，另一端与小球相连。已知轻质杆长度为R，轻绳的长度为L，且R＜L＜2R。A、B是墙上两点，且OA＝OB＝R。现将轻绳的上端点P沿墙壁缓慢下移至A点，此过程中轻绳对小球的拉力F1及轻质杆对小球的支持力F2的大小变化情况为（）A.F1和F2均增大B.F1保持不变，F2先增大后减小C.F1和F2均减小D.F1先减小后增大，F2保持不变答案：A解析：小球受重力、轻绳的拉力和轻杆的支持力，由于平衡，三个力可以构成矢量三角形，如图所示。根据平衡条件，该力的矢量三角形与几何三角形POC相似，则有GPO＝F1L＝F2R，解得F1＝LPOG，F2＝RPOG，当P点下移时，PO减小，L、R不变，故F1增大，题型二平衡中的临界极值问题1.临界问题：处于平衡状态的物体，当某物理量变化时会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等。临界问题常见的种类：①由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力；②绳子恰好绷紧，拉力FT＝0；③刚好离开接触面，支持力FN＝0。2.极值问题：在力的变化过程中出现的最大值和最小值问题。3.解答平衡中的临界极值问题的三种方法图解法根据平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值和最小值函数法通过对问题分析，根据平衡条件列出物理量之间的函数关系（画出函数图像），用数学方法求极值（如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值）极限法正确进行受力分析和变化过程分析，找到平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中寻找，不能在一个状态上研究临界问题，要把某个物理量推向极大或极小【典例4】如图所示，学校门口水平地面上有一质量为m的石墩，石墩与水平地面间的动摩擦因数为μ，工作人员用轻绳按图示方式匀速移动石墩时，两平行轻绳与水平面间的夹角均为θ，则下列说法正确的是（）A.轻绳的合拉力大小为μmgB.轻绳的合拉力大小为μmgC.减小夹角θ，轻绳的合拉力一定减小D.轻绳的合拉力最小时，地面对石墩的摩擦力也最小答案：B解析：石墩受力如图，设轻绳的合拉力大小为F，根据平衡条件，则Fcosθ＝Ff，Fsinθ＋FN＝mg，且Ff＝μFN，联立上式可知F＝μmgcosθ＋μsinθ，选项A错误，B正确；整理得F＝μmg1+μ2sin（θ＋β），其中tanβ＝1μ为定值，根据三角函数特点，减小θ，F并不一定减小，选项C错误；根据上述讨论，当θ＋β＝π2时，F最小，而摩擦力Ff＝Fcosθ＝μmgcosθcosθ＋μ1.【图解法】如图所示，一个重力为5N的砝码，用细线悬挂在O点，现在用力F拉砝码，使细线偏离竖直方向30°处于静止状态，此时所用拉力F的最小值为（）A.5.0N B.2.5NC.8.65N D.4.3N解析：B以砝码为研究对象，分析受力情况，其受重力G、细线的拉力FT和力F，由图看出，当F与细线垂直时F最小，由数学知识得F的最小值为F＝Gsin30°＝2.5N，故选项B正确。2.【极限法】小朋友在玩积木时，将两个相同的方形积木放在粗糙的水平地面上。将球形积木放在两方形积木之间，截面图如图所示，接触点分别为A、B。他发现当两方形积木之间的距离大到一定程度时，球形积木放上后两方形积木将发生滑动。已知球形积木的质量为方形积木质量的2倍，它们之间的摩擦忽略不计，球形积木的半径为R，两方形积木与地面之间的动摩擦因数均为0.5，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则球形积木放上后，要使两方形积木不发生滑动，两方形积木之间的最远距离为（）A.2R2C.2R D.3R解析：C以整体为研究对象进行分析，设一个方形积木的质量为m，地面对其的支持力为N，根据平衡条件可得2N＝4mg，则N＝2mg，当两方形积木的距离最远时，设OA和OB之间的夹角为2θ，此时方形积木与地面间的摩擦力达到最大，对球形积木受力分析，根据平衡条件可得2Fcosθ＝2mg，对其中一个方形积木受力分析，根据平衡条件可得Fsinθ＝μN，联立解得tanθ＝1，则θ＝45°，根据几何关系可得AB之间的距离为x＝2R，故C正确，A、B、D错误。3.【函数法】如图所示，质量为M的木楔倾角为θ，在水平面上保持静止，当将一质量为m的木块放在木楔斜面上时，它正好匀速下滑。如果用与木楔斜面成α角的力F拉着木块，木块能匀速上升，已知木楔在整个过程中始终静止。（1）当α为多大时，F有最小值，求此时α的大小及F的最小值；（2）当α＝θ时，木楔对水平面的摩擦力是多大？答案：（1）θmgsin2θ（2）12mgsin4解析：（1）木块在木楔斜面上匀速下滑时，有mgsinθ＝μmgcosθ，解得μ＝tanθ。木块在F作用下沿斜面向上匀速运动，有Fcosα＝mgsinθ＋Ff，Fsinα＋FN＝mgcosθ，又Ff＝μFN，解得F＝2mgsinθcosα＋则当α＝θ时，F有最小值，为Fmin＝mgsin2θ。（2）因为木块及木楔均处于平衡状态，整体受到地面的摩擦力等于F的水平分力，即Ff'＝Fcos（α＋θ），当α＝θ，即F取最小值mgsin2θ时，Ff'＝Fmincos2θ＝mgsin2θcos2θ＝12mgsin4θ题型一动态平衡问题1.如图所示，一只蜗牛沿着弧形菜叶从右向左缓慢爬行，下列说法正确的是（）A.菜叶对蜗牛的弹力大小一定不变B.菜叶对蜗牛的摩擦力大小先变小后变大C.蜗牛受到的合力先变小后变大D.菜叶对蜗牛的作用力大小不断变化解析：B蜗牛受重力、支持力、摩擦力，设坡角为α，根据平衡条件可得FN＝mgcosα，Ff＝mgsinα，由于坡角α先变小后变大，故支持力FN先增大后减小，静摩擦力先减小后增大，故A错误，B正确；蜗牛缓慢爬行，则受到的合力始终为零，选项C错误；菜叶对蜗牛的作用力是静摩擦力和支持力的合力，始终与重力平衡，一直不变，故D错误。2.（多选）2022年8月19日重庆发生森林火灾，灭火直升飞机沿水平方向匀速往返火场和取水区上空，其中贮水桶受到与运动方向相反、大小保持不变的水平风力F。已知贮水桶（包含水）的重力为G，贮水桶受到绳子的拉力为T，绳子与竖直方向的夹角为θ，如果贮水桶总保持与直升飞机相对静止，下列说法正确的是（）A.拉力T的大小可能等于水平风力F的大小B.F＝GtanθC.T与G的合力与F相同D.返回取水区的过程中，夹角θ比灭火前大解析：BD对贮水桶受力分析，如图，可知拉力T的大小T＝Fsinθ，F＝Gtanθ，所以拉力T的大小大于水平风力F的大小，故A错误，B正确；贮水桶保持与直升飞机相对静止，一起匀速运动，所以受平衡力，T与G的合力与F大小相等，方向相反，故C错误；返回取水区的过程中，贮水桶的重力减小，水平风力不变，由tanθ＝FG，可知夹角θ比灭火前大，3.如图所示，固定在竖直平面内的光滑圆环的最高点有一个光滑的小孔。质量为m的小球套在圆环上，一根细线的下端系着小球，上端穿过小孔用手拉住。现拉动细线，使小球沿圆环缓慢上移，在移动过程中，手对细线的拉力F和圆环对小球的弹力FN的大小变化情况是（）A.F不变，FN增大 B.F不变，FN减小C.F减小，FN不变 D.F增大，FN减小解析：C小球沿圆环缓慢上移可看成小球始终受力平衡，对小球进行受力分析，作出受力示意图如图所示，由图可知△OAB∽△G'FA，即GR＝FAB＝FNR，当A点上移时，半径不变，AB长度减小，故F减小，FN不变4.（多选）如图所示，静止在水平地面上的台秤上有一铁架台，小球用轻绳固定在铁架台的横杆上，现用始终与竖直方向成45°、斜向上的拉力F将小球由最低点缓慢拉至轻绳水平。已知在拉动过程中铁架台与台秤始终静止，下列说法正确的是（）A.拉力F一直增大B.轻绳的拉力先增大后减小C.台秤的示数先减小后增大D.台秤所受地面的摩擦力一直增大解析：AD对小球受力分析如图甲所示，由三角形定则和平衡条件可知，小球在上升的过程中，拉力F一直增大，轻绳的拉力先减小后增大，A正确，B错误；对铁架台和小球组成的系统受力分析如图乙所示，由平衡条件可知，F增大时，铁架台受台秤的支持力逐渐减小，摩擦力逐渐增大，由牛顿第三定律可知，台秤的示数逐渐减小，台秤所受地面的摩擦力一直增大，C错误，D正确。题型二平衡中的临界极值问题5.某位同学用筷子将质量分布均匀的小球夹起悬停在空中，如图所示，已知球心O与两根筷子在同一竖直面内，小球质量为0.2kg，筷子与竖直方向之间的夹角均为37°，筷子与小球表面间的动摩擦因数为0.875（最大静摩擦力等于滑动摩擦力），取重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。则每根筷子对小球的压力至少为（）A.5N B.7.5NC.10N D.12.5N解析：C筷子对小球的压力最小，且小球悬停在空中，此时小球有下滑的趋势，摩擦力为最大静摩擦力，沿筷子向上，小球受力平衡。在竖直方向上有2fcosθ－2Nsinθ＝mg，f＝μN，解得N＝mg2（μcosθ－sinθ）＝10N，6.如图所示，重力都为G的两个小球A和B用三段轻绳连接后悬挂在O点上，O、B间的轻绳长度是2l，A、B间的轻绳长度是l。将一个拉力F作用到小球B上，使三段轻绳都伸直，同时O、A间和A、B间的两段轻绳分别处于竖直和水平方向上，则拉力F的最小值为（）A.12G B.3C.G D.23解析：A对小球A受力分析可知，因O、A间轻绳竖直，则A、B间轻绳上的拉力为0。对小球B受力分析如图所示，则可知当F与O、B间轻绳垂直时F最小，Fmin＝Gsinθ，其中sinθ＝l2l＝12，则Fmin＝12G7.如图所示，用方向、大小均可变化的力F抵住靠墙的质量为m的物块，墙与物块之间的动摩擦因数为μ＝34，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，若要使物块不滑下，F的最小值为（A.35mg B.4C.34mg D.4解析：B根据平衡条件可知，所施加的力F的方向斜向上时有最小值，设力F的方向与水平方向之间的夹角为α，则有Fsinα＋f＝mg，f＝μFcosα，整理得F＝mgsinα＋μcosα＝mg1+μ2sin（α＋φ），由数学知识可知8.（多选）如图所示，质量为m＝5kg的物体放在水平面上，物体与水平面间的动摩擦因数μ＝33，g取10m/s2，当物体做匀速直线运动时，下列说法正确的是（A.牵引力F的最小值为25NB.牵引力F的最小值为253C.牵引力F为最小值时与水平面的夹角为45°D.牵引力F为最小值时与水平面的夹角为30°解析：AD物体受重力G、支持力N、摩擦力f和拉力F的共同作用，将拉力沿水平方向和竖直方向分解，如图所示。由共点力的平衡条件可知，在水平方向上有Fcosθ－μN＝0，在竖直方向上有Fsinθ＋N－G＝0，联立解得F＝μGcosθ＋μsinθ，设tanφ＝μ，则cosφ＝11+μ2，所以有F＝μGcos（θ－φ）·11+μ2，当cos（θ－φ）＝1，即θ－φ＝0时，F取到最小值Fmin＝μG1+μ2＝25N，9.（多选）如图所示，粗糙水平面上放着一横截面为14圆的柱状物体A，固定竖直挡板与A物体之间放着一横截面为圆的光滑柱体B。系统平衡时，A、B两物体的接触点恰为14圆弧的中点，已知B物体的质量为m，重力加速度为g，下列说法正确的是（A.竖直挡板与B物体间的弹力大小为mgB.A、B两物体之间的弹力大小为22C.若将A稍右移并固定，竖直挡板与B间的弹力将增大D.若将A稍右移并固定，A、B之间的弹力将减小解析：AC将14圆弧面看成是倾角不同的斜面组合而成，对物体B受力分析如图所示，由平衡条件可得N2cosθ＝mg，N1＝N2sinθ，解得N2＝mgcosθ，N1＝mgtanθ，当A、B两物体的接触点恰为14圆弧的中点时，θ＝45°，此时可得N1＝mg，N2＝2mg，故A正确，B错误；若将A稍右移并固定，则θ角增大，可知N1、N2均增大，故C10.如图所示，质量为1kg的小球A与质量未知的滑环B用绕过光滑定滑轮的不可伸长的轻绳连接，连接滑环B的绳与杆垂直并在同一竖直平面内。滑环B套在与竖直方向成θ＝53°的粗细均匀的固定杆上，滑环和杆间的动摩擦因数μ＝0.5，初始时滑环恰好不下滑，现对小球A施加一个水平力F，使小球A在水平力F的作用下沿着1/4圆弧轨迹缓慢上移，设滑环与杆间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力（sin53°＝0.8），下列说法正确的是（）A.绳子拉力保持不变B.滑环B的质量m＝0.5kgC.固定杆给滑环B的弹力方向垂直于杆向上D.滑环B受到的摩擦力逐渐变小解析：B对小球A施加一个水平力F，使小球A在水平力F的作用下沿着1/4圆弧轨迹缓慢上移，在圆周上任一位置时，根据平衡条件可得，绳的拉力为T＝m'gcosα，外力F为F＝m'gtanα，小球A沿着1/4圆弧轨迹缓慢上移，α增大，可知拉力T和外力F均增大，故A错误；初始时，绳的拉力在A点为T1＝m'g，初始时滑环恰好不下滑，对B由平衡条件得mgcos53°＝μN，T1＝N＋mgsin53°，解得m＝0.5kg，故B正确；由于绳的拉力增大，开始时T1＝N＋mgsinθ，由于拉力T1增大，则N垂直于杆向下且增大，故C错误；由于N增大，所以B保持静止，则f＝mgcosθ，可知摩擦力大小不变11.如图所示，一可视为质点的小球用两根不可伸长的轻质细线OA和OB连接后挂在天花板和墙上，AOM水平，OB倾斜，ON竖直，A、B、O、M、N各点在同一竖直平面内。现对小球施加一大小恒定、方向由OM逐渐变化至ON方向的力F，则此过程中，两细线上的拉力大小变化情况为（）A.细线OA上的拉力先增大后减小B.细线OA上的拉力一直减小C.细线OB上的拉