第十二章　电磁感应 第64课时　电磁感应中的电路和图像问题　重难突破课

第64课时电磁感应中的电路和图像问题[重难突破课]题型一电磁感应中的电路问题1.电磁感应电路中的“等效电源”做切割磁感线运动的那部分导体或磁通量发生变化的回路相当于电源。（1）电动势①大小：E＝Blv或E＝nΔΦ②正负极：用右手定则或楞次定律判断，感应电流流出的一端为电源正极。（2）等效内阻：“等效电源”对应的那部分电路的阻值为等效内阻。2.分析电磁感应电路问题的基本思路3.电磁感应中电路问题的关系图考法一动生电动势的电路问题【典例1】（多选）如图甲所示，发光竹蜻蜓是一种常见的儿童玩具，它在飞起时能够持续发光。某同学对竹蜻蜓的电路做如下简化：如图乙所示，半径为L的导电圆环绕垂直于圆环平面、通过圆心O的金属轴O1O2以角速度ω逆时针匀速转动（俯视）。圆环上接有电阻均为r的三根金属辐条OP、OQ、OR，辐条互成120°角。在圆环左半部分张角也为120°角的范围内（两条虚线之间）分布着垂直圆环平面向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场，在转轴O1O2与圆环的边缘之间通过电刷M、N与一个LED灯相连。假设LED灯电阻为r，其他电阻不计，从辐条OP进入磁场开始计时。在辐条OP转过磁场区域的过程中，下列说法中正确的是（）A.O、P两端电压为14BL2B.通过LED灯的电流为BC.整个装置消耗的电能为πD.增大磁感应强度可以使LED灯发光时更亮答案：BCD解析：辐条OP进入磁场匀速转动时有E＝BL·ωL2，在电路中OP相当于内阻为r的电源，另外两根金属辐条和LED灯并联，故电路的总电阻R＝4r3，OP两端的电压为电源的路端电压U＝ER·r3＝BL2ω8，流过LED灯的电流是I＝Ur＝BL2ω8r，故A错误，B正确；整个装置消耗的电能W＝Q＝E2Rt＝E24r3·13·2πω＝πωB2L48r考法二感生电动势的电路问题【典例2】（2022·全国甲卷16题）三个用同样的细导线做成的刚性闭合线框，正方形线框的边长与圆线框的直径相等，圆线框的半径与正六边形线框的边长相等，如图所示。把它们放入磁感应强度随时间线性变化的同一匀强磁场中，线框所在平面均与磁场方向垂直，正方形、圆形和正六边形线框中感应电流的大小分别为I1、I2和I3。则（）A.I1＜I3＜I2 B.I1＞I3＞I2C.I1＝I2＞I3 D.I1＝I2＝I3答案：C解析：设线框的面积为S，周长为L，导线的截面积为S'，由法拉第电磁感应定律可知，线框中感应电动势E＝ΔΦΔt＝ΔBΔtS，而线框的总电阻R＝ρLS'，所以线框中感应电流I＝ER＝SS'ΔBρLΔt，由于三个线框处于同一线性变化的磁场中，且绕制三个线框的导线相同，设正方形线框的边长为l，则三个线框的面积分别为S1＝l2，S2＝π4l2，S3＝338l2，三个线框的周长分别为L1＝4l，L2＝πl，L3＝3l，则I1∶考法三感应电荷量的计算【典例3】如图，导体轨道OPQS固定，其中PQS是半圆弧，Q为半圆弧的中点，O为圆心。轨道的电阻忽略不计。OM是有一定电阻、可绕O转动的金属杆，M端位于PQS上，OM与轨道接触良好。空间存在与轨道所在平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为B。现使OM从OQ位置以恒定的角速度逆时针转到OS位置并固定（过程Ⅰ）；再使磁感应强度的大小以一定的变化率从B增加到B'（过程Ⅱ）。在过程Ⅰ、Ⅱ中，流过OM的电荷量相等，则B'B等于（A.54 B.32C.74答案：B解析：在过程Ⅰ中，根据法拉第电磁感应定律，有E1＝ΔΦ1Δt1＝B12πr2－14πr2Δt1，根据闭合电路欧姆定律，有I1＝E1R，且q1＝I1Δt1；在过程Ⅱ中，有E2＝ΔΦ2Δt2＝（B'－B）12πr【解题技法】计算感应电荷量的公式：q＝n在电磁感应过程中，只要闭合回路中产生感应电流，则在时间Δt内通过导体横截面的电荷量q＝IΔt＝ER总Δt＝nΔΦR总ΔtΔt＝注意：感应电荷量的大小由线圈匝数n、磁通量的变化量ΔΦ、回路的总电阻R总共同决定，与时间Δt无关。题型二电磁感应中的图像问题解答电磁感应中的图像问题的四个关键图像类型（1）随时间变化的图像：如B-t图像、Φ-t图像、E-t图像、I-t图像、F-t图像等。（2）随位移变化的图像：如E-x图像、I-x图像等问题类型（1）根据电磁感应过程选择图像。（2）根据图像分析电磁感应过程。（3）电磁感应中的图像转换常用规律判断方向右手定则、楞次定律、左手定则、安培定则等计算大小切割公式、法拉第电磁感应定律、闭合电路的欧姆定律及其他有关规律常用方法排除法定性地分析电磁感应过程中物理量的变化趋势（增大还是减小）、变化快慢（均匀变化还是非均匀变化），特别是分析物理量的正负，以排除错误的选项函数法根据题目所给条件定量地写出两个物理量之间的函数关系，然后由函数关系对图像进行分析和判断考法一根据电磁感应过程选择图像【典例4】（多选）（2022·河北高考8题）如图，两光滑导轨水平放置在竖直向下的匀强磁场中，一根导轨位于x轴上，另一根由ab、bc、cd三段直导轨组成，其中bc段与x轴平行，导轨左端接入一电阻R。导轨上一金属棒MN沿x轴正向以速度v0保持匀速运动，t＝0时刻通过坐标原点O，金属棒始终与x轴垂直。设运动过程中通过电阻的电流强度为i，金属棒受到安培力的大小为F，金属棒克服安培力做功的功率为P，电阻两端的电压为U，导轨与金属棒接触良好，忽略导轨与金属棒的电阻。下列图像可能正确的是（）答案：AC解析：当金属棒从O点向右运动L时，即在0～Lv0时间内，在某时刻金属棒切割磁感线的长度l＝l0＋v0ttanθ（θ为ab与ad的夹角），则根据E＝Blv0，得i＝Blv0R＝Bv0R（l0＋v0ttanθ），可知回路电流均匀增加；安培力F＝B2l2v0R＝B2v0R（l0＋v0ttanθ）2，则F-t关系为抛物线，但是不过原点；安培力做功的功率P＝Fv0＝B2l2v02R＝B2v02R（l0＋v0ttanθ）2，则P-t关系为抛物线，但是不过原点；电阻两端的电压等于金属棒产生的感应电动势，即U＝E＝Blv0＝Bv0（l0＋v0ttanθ），即图像是不过原点的直线；根据以上分析，可大致排除B、D选项。当在Lv0～2Lv0时间内，金属棒切割磁感线的长度不变，感应电动势E不变，感应电流i不变，安培力F大小不变，安培力的功率P不变，电阻两端电压U保持不变；同理可判断，在2Lv0～3Lv0时间内，金属棒切割磁感线长度逐渐减小，金属棒切割磁感线的感应电动势E均匀减小考法二根据图像分析电磁感应过程【典例5】（多选）如图甲所示，一质量为m、边长为L、电阻为R的单匝正方形导线框abcd放在绝缘的光滑水平面上，空间中存在一方向竖直向下的单边界匀强磁场，线框有一半在磁场内，其ad边与磁场边界平行。t＝0时刻起，磁场的磁感应强度随时间按如图乙所示规律均匀减小，线框运动的v-t图像如图丙所示，图丙中倾斜虚线为过O点速度图线的切线，t2时刻起速度图线与t轴平行。则（）A.线框中的感应电流沿顺时针方向B.磁感应强度的变化率为2C.t3时刻，线框的热功率为0D.0～t2时间内，通过线框截面的电荷量为m答案：AB解析：由题图乙可知方向竖直向下的磁感应强度减小，则穿过线框的磁通量减小，根据楞次定律可知，线框中电流沿顺时针方向，故选项A正确；根据左手定则可判断线框受到向左的安培力作用，向左加速进入磁场，在t＝0时刻感应电动势大小E0＝nΔΦΔt＝L22·ΔBΔt，由牛顿第二定律得B0E0RL＝ma0，由题图丙可知在t＝0时刻线框的加速度a0＝v0t1，联立解得ΔBΔt＝2mv0RB0t1L3，故选项B正确；由题图丙可知，t2时刻之后，线框速度恒定，说明线框已经全部进入磁场，此后虽然线框中有感应电流，但各边安培力相互抵消，所以线框做匀速直线运动，在t3时刻有E3＝L2·ΔBΔt，线框的热功率P3＝E32R，联立可得P3＝4m2v02RB02L2t12，故选项C错误；0～t2时间内，对线框由动量定理得考法三电磁感应图像的转换【典例6】图甲是同种规格的电阻丝制成的闭合线圈，其中有垂直于线圈平面的匀强磁场，图乙为线圈中的磁感应强度B（取垂直线圈平面向里为正方向）随时间t变化的关系图像。则下列关于线圈中的感应电动势E、感应电流i、磁通量Φ及线圈bc边所受的安培力F随时间变化的关系图像中正确的是（取顺时针方向为感应电流与感应电动势的正方向，水平向左为安培力的正方向）（）答案：D解析：由图乙可知，0～1s内，磁感应强度B增大，线圈所包围区域中的磁通量Φ增大，由楞次定律可知，感应电流沿逆时针方向，为负值；1～2s内，磁通量不变，无感应电流；2～3s内，磁感应强度B的方向垂直纸面向里，B减小，Φ减小，由楞次定律可知，感应电流沿顺时针方向，为正值；3～4s内，B的方向垂直纸面向外，B增大，Φ增大，由楞次定律可知，感应电流沿顺时针方向，感应电流为正值，A、B、C错误。由左手定则可知，在0～1s内，bc边受到的安培力方向水平向左，是正值，根据F＝IlB，可知安培力均匀增加，1～2s内无感应电流，bc边不受安培力，2～3s，安培力方向水平向右，是负值且逐渐减小，3～4s，安培力方向水平向左，是正值且逐渐变大，D正确。题型一电磁感应中的电路问题1.如图所示是两个相互连接的金属圆环，小金属环的电阻是大金属环电阻的二分之一，匀强磁场垂直穿过大金属环所在区域，当磁感应强度随时间均匀变化时，在大环内产生的感应电动势为E，则a、b两点间的电势差为（）A.12E B.1C.23E D.解析：Ba、b两点间的电势差等于路端电压，而小环电阻占电路总电阻的13，故a、b两点间的电势差为U＝13E，选项2.水平桌面上放置着两个用同一根均匀金属丝制成的单匝线圈1和线圈2，半径分别为2R和R（俯视图如图1所示）。竖直方向有匀强磁场，磁感应强度随时间变化的关系如图2所示。线圈中的感应电动势、电流、电功率分别用E、I、P表示，不考虑两个线圈间的影响，下列关系正确的是（）A.E1∶E2＝4∶1，I1∶I2＝2∶1B.E1∶E2＝4∶1，P1∶P2＝2∶1C.E1∶E2＝2∶1，P1∶P2＝8∶1D.P1∶P2＝4∶1，I1∶I2＝1∶1解析：A由题意可得，两线圈的长度之比为L1L2＝2π×2R2πR＝21，两线圈围成的面积之比为S1S2＝π（2R）2πR2＝41，由法拉第电磁感应定律E＝nΔΦΔt＝nΔBΔtS，由图2可知，线圈中感应电动势之比为E1E2＝S1S2＝41，由闭合电路欧姆定律得I＝ER总，由电阻定律得R总＝ρ3.如图所示，固定在水平面上且半径为r的金属圆环内存在方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场。长为l的金属棒，一端与圆环接触良好，另一端固定在竖直导电转轴OO'上，金属棒随轴以角速度ω匀速转动。在圆环的A点和电刷间接有阻值为R的电阻和电容为C、板间距为d的平行板电容器，有一带电微粒在电容器极板间处于静止状态。已知重力加速度为g，不计其他电阻和摩擦，下列说法正确的是（）A.金属棒产生的电动势为12Bl2B.微粒的电荷量与质量之比为2C.电阻消耗的电功率为πD.电容器所带的电荷量为CBr2ω解析：B金属棒产生的电动势E＝Br·12ωr＝12Br2ω，故A错误；金属棒电阻不计，故电容器两极板间的电压等于金属棒产生的电动势，微粒所受的重力与其受到的电场力大小相等，有qEd＝mg，可得qm＝2gdBr2ω，故B正确；电阻消耗的电功率P＝E2R＝B2r4ω24R，题型二电磁感应中的图像问题4.在竖直向上的匀强磁场中，水平放置一个不变形的单匝金属圆线圈，线圈所围的面积为0.1m2，线圈电阻为1Ω。规定线圈中感应电流I的正方向从上往下看是顺时针方向，如图甲所示。磁场的磁感应强度B随时间t的变化规律如图乙所示。以下说法正确的是（）A.在0～2s时间内，I的最大值为0.02AB.在3～5s时间内，I的大小越来越小C.前2s内，通过线圈某横截面的总电荷量为0.01CD.第3s内，线圈的发热功率最大解析：C0～2s时间内，t＝0时刻磁感应强度变化率最大，感应电流最大，I＝ER＝ΔB·SΔtR＝0.01A，A错误；3～5s时间内电流大小不变，B错误；前2s内通过线圈的电荷量q＝ΔΦR＝ΔB·SR＝0.01C，C正确；第5.如图所示，将一均匀导线围成一圆心角为90°的扇形导线框OMN，圆弧MN的圆心为O点，将O点置于直角坐标系的原点，其中第二和第四象限存在垂直纸面向里的匀强磁场，其磁感应强度大小为B，第三象限存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为2B。t＝0时刻，让导线框从图示位置开始以O点为圆心沿逆时针方向做匀速圆周运动，规定电流方向ONM为正，在下面四幅图中能够正确表示电流i与时间t关系的是（）解析：C在0～t0时间内，线框沿逆时针方向从题图所示位置开始（t＝0）转过90°的过程中，产生的感应电动势为E1＝12BωR2，由闭合电路的欧姆定律得，回路中的电流为I1＝E1r＝BR2ω2r，根据楞次定律判断可知，线框中感应电流方向为逆时针方向（沿ONM方向）。在t0～2t0时间内，线框进入第三象限的过程中，回路中的电流方向为顺时针方向（沿OMN方向），回路中产生的感应电动势为E2＝12Bω·R2＋12·2BωR2＝32BωR2＝3E1，感应电流为I2＝3I1。在2t0～3t0时间内，线框进入第四象限的过程中，回路中的电流方向为逆时针方向（沿ONM方向），回路中产生的感应电动势为E3＝12Bω·R2＋12·2Bω·R2＝32BωR2＝3E1，感应电流为I3＝3I1。在3t0～4t0时间内，线框出第四象限的过程中，回路中的电流方向为顺时针方向（沿OMN方向），回路中产生的感应电动势为E4＝12BωR2，回路电流为6.（多选）如图甲所示，三角形线圈abc水平放置，在线圈所处区域存在一变化的磁场，其变化规律如图乙所示。线圈在外力作用下处于静止状态，规定垂直于线圈平面向下的磁场方向为正方向，垂直ab边斜向下的受力方向为正方向，线圈中感应电流沿abca方向为正，则线圈内电流及ab边所受安培力随时间的变化规律是（）解析：AD根据法拉第电磁感应定律有E＝ΔΦΔt＝ΔBΔtS，根据楞次定律可得感应电流的方向，又线圈中感应电流沿abca方向为正，结合题图乙可得，1～2s电流为零，0～1s、2～3s、3～5s电流大小恒定，且0～1s、2～3s电流方向为正，3～5s电流方向为负，故A正确，B错误；根据安培力的公式F＝ILB，因为每段时间电流大小恒定，磁场均匀变化，可得安培力也是均匀变化，根据左手定则可判断出ab边所受安培力的方向，7.（多选）如图，由某种粗细均匀、总电阻为3R的金属条制成的矩形线框abcd，固定在水平面内且处于方向竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场中。一接入电路的、电阻为R的导体棒PQ，在水平拉力作用下沿ab、dc以速度v匀速滑动，滑动过程中PQ始终与ab垂直，且与线框接触良好，不计摩擦。在PQ从靠近ad处向bc滑动的过程中（）A.PQ中电流先增大后减小B.PQ两端电压先增大后减小C.PQ上拉力的功率先减小后增大D.线框消耗的电功率先减小后增大解析：BC设PQ左侧电路的电阻为Rx，则右侧电路的电阻为3R－Rx，所以外电路的总电阻为R外＝Rx（3R－Rx）3R，可知外电路电阻先增大后减小，再根据闭合电路的欧姆定律可得PQ中电流I＝ER＋R外，可知PQ中电流先减小后增大，PQ两端电压U＝E－Ir先增大后减小，故A错误，B正确；由于PQ做匀速运动，拉力等于安培力，即F＝IlB，拉力的功率P＝IlBv，可知PQ上拉力的功率先减小后增大，故C正确；外电路的总电阻R外＝Rx（3R－Rx）3R，当Rx＝8.（多选）如图甲所示，正方形线圈abcd内有垂直于线圈的匀强磁场，已知线圈匝数n＝10，边长ab＝1m，线圈总电阻r＝1Ω，线圈内磁感应强度随时间的变化关系如图乙所示。设图示的磁场方向与感应电流方向为正方向，则下列有关线圈的电动势e、感应电流i、焦耳热Q以及ab边的安培力F（取向下为正方向）随时间t的变化图像正确的是（）解析：CD0～1s内产生的感应电动势为e1＝nSΔBΔt＝2V，方向为逆时针（负值），同理1～5s内产生的感应电动势为e2＝1V，方向为顺时针，A错误；0～1s内的感应电流大小为i1＝e1r＝2A，方向为逆时针（负值），同理1～5s内的感应电流大小为i2＝1A，方向为顺时针（正值），B错误；ab边受到的安培力大小为F＝nBiL，可知0～1s内0≤F≤4N，方向向下，1～3s内0≤F≤2N，方向向上，3～5s内0≤F≤2N，方向向下，C正确；线圈产生的焦耳热为Q＝eit，0～1s内产生的热量为4J，9.（多选）一种带有闪烁灯的自行车后轮结构如图所示，车轮与轮轴之间均匀地连接4根金属条，每根金属条中间都串接一个小灯，每个小灯阻值恒为R＝0.3Ω，金属条与车轮金属边框构成闭合回路，车轮半径r＝0.4m，轮轴半径可以忽略。车架上固定一个强磁铁，可形成圆心角θ＝60°的扇形匀强磁场区域，磁感应强度B＝2.0T，方向如图所示，若自行车正常前进时，后轮顺时针转动的角速度恒为ω＝10rad/s，不计其他电阻和车轮厚度，下列说法正确的是（）A.金属条ab进入磁场时，a端电势高于b端电势B.金属条ab进入磁场时，a、b间的电压为0.4VC.运动过程中流经小灯的电流方向一直不变D.自行车正常前进时，4