第十五章　热学 第76课时　气体状态变化的三类常见模型　重难突破课

第76课时气体状态变化的三类常见模型[重难突破课]题型一液柱类模型此类模型一般以液柱为研究对象分析受力、列平衡方程求解，要注意：（1）液体因重力产生的压强为p＝ρgh（其中h为液体的竖直高度）；（2）不要漏掉大气压强，同时又要尽可能平衡掉某些大气的压力；（3）有时可直接应用连通器原理——连通器内静止的液体，同一液体在同一水平面上各处压强相等；（4）当液体为水银时，可灵活应用压强单位“cmHg”，使计算过程简捷。考法一单一气体问题【典例1】如图所示，一端封闭粗细均匀的U形导热玻璃管竖直放置，封闭端空气柱的长度L＝50cm，管两侧水银面的高度差为h＝19cm，大气压强恒为76cmHg。T＝t＋273K。（1）若初始环境温度为27℃，给封闭气体缓慢加热，当管两侧水银面齐平时，求封闭气体的温度；（2）若保持环境温度27℃不变，缓慢向开口端注入水银，当管两侧水银面平齐时，求注入水银柱的长度x。答案：（1）203℃（2）44cm解析：（1）封闭气体初状态的压强p1＝p0－ph＝（76－19）cmHg＝57cmHg设玻璃管的横截面积为S，体积V1＝LS＝50S温度T1＝（273＋27）K＝300K封闭气体末状态压强p2＝p0＝76cmHg体积V2＝L＋h2S＝50+19对封闭气体，由理想气体的状态方程得p1V1代入数据解得T2＝476K，即温度为203℃。（2）设当管两侧水银齐平时空气柱的长度为H，对气体，由玻意耳定律得p1V1＝p2HS代入数据解得H＝37.5cm注入水银柱的长度x＝2（L－H）＋h＝2×（50－37.5）cm＋19cm＝44cm。考法二关联气体问题【典例2】（2023·全国乙卷33题）如图，竖直放置的封闭玻璃管由管径不同、长度均为20cm的A、B两段细管组成，A管的内径是B管的2倍，B管在上方。管内空气被一段水银柱隔开，水银柱在两管中的长度均为10cm。现将玻璃管倒置使A管在上方，平衡后，A管内的空气柱长度改变1cm。求B管在上方时，玻璃管内两部分气体的压强。（气体温度保持不变，以cmHg为压强单位）答案：54.36cmHg74.36cmHg解析：B管在上方时，设B管中气体的压强为pB，长度lB＝10cm则A管中气体的压强为pA＝pB＋20cmHg，长度lA＝10cm倒置后，A管在上方，设A管中气体的压强为pA'，A管内空气柱长度lA'＝11cm已知A管的内径是B管的2倍，则水银柱长度为h＝9cm＋14cm＝23cm则B管中气体压强为pB'＝pA'＋23cmHgB管内空气柱长度lB'＝40cm－11cm－23cm＝6cm对A管中气体，由玻意耳定律有pAlASA＝pA'lA'SA对B管中气体，由玻意耳定律有pBlBSB＝pB'lB'SB联立解得pB＝54.36cmHgpA＝pB＋20cmHg＝74.36cmHg。题型二活塞类模型1.解答此类模型问题的一般思路（1）确定研究对象研究对象分两类：①热学研究对象（一定质量的理想气体）；②力学研究对象（汽缸、活塞或某系统）。（2）分析物理过程①对热学研究对象分析清楚初、末状态及状态变化过程，依据气体实验定律列出方程；②对力学研究对象要正确地进行受力分析，依据力学规律列出方程。（3）挖掘题目的隐含条件，如几何关系等，列出辅助方程。（4）多个方程联立求解，注意检验求解结果的合理性。2.对于两个或多个汽缸封闭着几部分气体，并且汽缸之间相互关联的问题：解答时应分别研究各部分气体，找出它们各自遵循的规律，并写出相应的方程，还要写出各部分气体之间压强或体积的关系式，最后联立求解。考法一单一气体问题【典例3】（2023·湖北高考13题）如图所示，竖直放置在水平桌面上的左右两汽缸粗细均匀，内壁光滑，横截面积分别为S、2S，由体积可忽略的细管在底部连通。两汽缸中各有一轻质活塞将一定质量的理想气体封闭，左侧汽缸底部与活塞用轻质细弹簧相连。初始时，两汽缸内封闭气柱的高度均为H，弹簧长度恰好为原长。现往右侧活塞上表面缓慢添加一定质量的沙子，直至右侧活塞下降13H，左侧活塞上升12H。已知大气压强为p0，重力加速度大小为g，汽缸足够长，汽缸内气体温度始终不变，（1）最终汽缸内气体的压强；（2）弹簧的劲度系数和添加的沙子质量。答案：（1）1817p0（2）2p解析：（1）对汽缸中的气体，初状态p1＝p0，V1＝HS＋2HS＝3HS；设最终状态气体压强为p2，体积V2＝H＋H2S＋2SH－由玻意耳定律有p1V1＝p2V2，解得p2＝1817p0（2）对左侧活塞受力分析有p0S＋k·12H＝p2S解得弹簧的劲度系数k＝2p对右侧活塞受力分析有p0·2S＋mg＝p2·2S，解得添加的沙子质量m＝2p考法二关联气体问题【典例4】（2022·河北高考15题）水平放置的气体阻尼器模型截面如图所示，汽缸中间有一固定隔板，将汽缸内一定质量的某种理想气体分为两部分，“H”形连杆活塞的刚性连杆从隔板中央圆孔穿过，连杆与隔板之间密封良好。设汽缸内、外压强均为大气压强p0。活塞面积为S，隔板两侧气体体积均为SL0，各接触面光滑。连杆的截面积忽略不计。现将整个装置缓慢旋转至竖直方向，稳定后，上部气体的体积为原来的12，设整个过程温度保持不变，求（1）此时上、下部分气体的压强；（2）“H”形连杆活塞的质量（重力加速度大小为g）。答案：（1）2p023p0（2）解析：（1）旋转前后，上部分气体发生等温变化，根据玻意耳定律可知p0·SL0＝p1·12SL解得旋转后上部分气体压强为p1＝2p0旋转前后，下部分气体发生等温变化，下部分气体体积增大为12SL0＋SL0＝32SL0，则p0·SL0＝p2·3解得旋转后下部分气体压强为p2＝23p0（2）对“H”形连杆活塞整体受力分析，活塞的重力mg竖直向下，上部分气体对活塞的作用力竖直向上，下部分气体对活塞的作用力竖直向下，大气压力上下部分抵消，根据平衡条件可知p1S＝mg＋p2S解得活塞的质量为m＝4p题型三变质量模型考法一充气问题在充气（打气）过程中，容器内的气体的质量是增大的，属于变质量问题，如果将充进容器内的气体和容器内的原有气体整体作为研究对象时，这些气体的质量是一定的，这样即可将“变质量”的问题转化为“定质量”问题。【典例5】如图所示为学校配备消毒用的喷壶。喷壶的储气室内有压强为p0、体积为V0的气体。闭合阀门K，按压压杆A向储气室充气，每次充入压强为p0、体积为ΔV＝110V0的气体，多次充气后储气室内压强为1.5p0。打开阀门K，消毒液从喷嘴处喷出。假设充气过程储气室容积不变，气体温度不变，气体可视为理想气体。则按压压杆的次数是（A.5次 B.7次C.10次 D.15次答案：A解析：设按压压杆的次数为n，根据题意，由玻意耳定律可得p0V0＋n10V0＝1.5p0V0，代入数据解得n＝5，故A正确，考法二抽气问题在抽气过程中，容器内气体的质量是减小的，属于变质量问题，如果选择每次抽出的气体和剩余气体整体作为研究对象，这些气体的质量是一定的，即可把“变质量”问题转化为“定质量”问题。类似的还有漏气问题和气体分装问题，解题思路都是把“变质量”问题转化为“定质量”问题。【典例6】（2023·湖南高考13题）汽车刹车助力装置能有效为驾驶员踩刹车省力。如图，刹车助力装置可简化为助力气室和抽气气室等部分构成，连杆AB与助力活塞固定为一体，驾驶员踩刹车时，在连杆AB上施加水平力推动液压泵实现刹车。助力气室与抽气气室用细管连接，通过抽气降低助力气室压强，利用大气压与助力气室的压强差实现刹车助力。每次抽气时，K1打开，K2闭合，抽气活塞在外力作用下从抽气气室最下端向上运动，助力气室中的气体充满抽气气室，达到两气室压强相等；然后，K1闭合，K2打开，抽气活塞向下运动，抽气气室中的全部气体从K2排出，完成一次抽气过程。已知助力气室容积为V0，初始压强等于外部大气压强p0，助力活塞横截面积为S，抽气气室的容积为V1。假设抽气过程中，助力活塞保持不动，气体可视为理想气体，温度保持不变。（1）求第1次抽气之后助力气室内的压强p1；（2）第n次抽气后，求该刹车助力装置为驾驶员省力的大小ΔF。答案：（1）V0V0＋V1p0（解析：（1）第1次抽气过程，助力气室的气体发生等温变化，由玻意耳定律有p0V0＝p1（V0＋V1）解得p1＝V0V0（2）第2次抽气过程，有p1V0＝p2（V0＋V1）解得p2＝V0V故第n次抽气后，助力气室内的压强为pn＝V0V故第n次抽气后，驾驶员省力的大小ΔF＝（p0－pn）S解得ΔF＝1－V0V题型一液柱类模型1.如图所示，高为16cm的两相同玻璃管竖直放置，下端连通，左管上端封闭，右管上端开口。右管中有高为4cm的水银柱封闭了一部分气体，水银柱上表面离管口的距离为10cm。管底水平连接段的体积可忽略，大气压强p0＝76cmHg。若从右侧端口缓慢注入水银（与原水银柱之间无气隙），恰好使水银柱下端到达右管底部，整个过程中，管内气体的温度不变，则该过程中注入右管中水银柱的高度为（）A.6cm B.8cmC.10cm D.12cm解析：C开始时左管气体压强p＝p0＋ph＝80cmHg，水银柱恰好到底部时，根据等温过程方程p（2L－14cm）＝p'L，可得p'＝90cmHg，再根据压强关系p'＝p0＋ph'，可得h'＝14cm，则应注入右管中水银柱的高度为10cm，故选C。2.如图所示，一粗细均匀的“山”形管竖直放置，A管上端封闭，B管上端与大气相通，C管内装有带柄的活塞，活塞下方直接与水银接触。A管上方用水银封有长度L＝10cm的空气柱，温度t1＝27℃；B管水银面比A管中高出h＝4cm。已知大气压强p0＝76cmHg。为了使A、B管中的水银面等高，可以用以下两种方法：（1）固定C管中的活塞，改变A管中气体的温度，使A、B管中的水银面等高，求此时A管中气体的热力学温度T2；（2）在温度不变的条件下，向上抽动活塞，使A、B管中的水银面等高，求活塞上移的距离ΔL。（结果保留一位小数）答案：（1）228K（2）5.1cm解析：（1）设“山”形管的横截面积为S，对A部分气体，初态有p1＝p0＋ph＝76cmHg＋4cmHg＝80cmHg末态有p2＝76cmHg气柱长度为L＝10cm，L'＝8cm根据理想气体状态方程p1V故有p1LS解得T2＝228K。（2）由于T不变，对A部分气体根据玻意耳定律可得p1V1＝p3V3即有p1LS＝p0L3S解得L3≈10.53cm所以C管中水银长度的增加量为ΔL＝4cm＋0.53cm＋0.53cm≈5.1cm即活塞上移的距离为5.1cm。题型二活塞类模型3.如图所示，一定质量的理想气体用质量可忽略的活塞封闭在导热性能良好的质量m＝1kg的汽缸中，活塞的密封性良好，用劲度系数为k＝200N/m轻弹簧将活塞与天花板连接。汽缸置于水平桌面上，开始时弹簧刚好处于原长。已知活塞与汽缸底部的间距为L＝0.1m，活塞的横截面积为S＝0.01m2，外界环境的压强为p0＝1.0×105Pa，温度为T0＝300K，忽略一切摩擦，重力加速度g＝10m/s2。缓慢降低环境温度，则当汽缸刚好要离开水平桌面时环境温度为（）A.125.0K B.148.5KC.297.0K D.248.5K解析：B当汽缸刚好要离开水平桌面时，弹簧的弹力为mg，则mg＝kx，解得弹簧伸长量为x＝mgk＝1×10200m＝0.05m，则当汽缸刚好要离开水平桌面时，活塞与汽缸底部的间距为L1＝L－x＝0.05m，当汽缸刚好要离开水平桌面时，汽缸内气体压强为p1＝p0－mgS＝1.0×105Pa－1×100.01Pa＝0.99×105Pa，对汽缸内气体由理想气体状态方程得p0LS4.（2022·全国乙卷33题）如图，一竖直放置的汽缸由两个粗细不同的圆柱形筒组成，汽缸中活塞Ⅰ和活塞Ⅱ之间封闭有一定量的理想气体，两活塞用一轻质弹簧连接，汽缸连接处有小卡销，活塞Ⅱ不能通过连接处。活塞Ⅰ、Ⅱ的质量分别为2m、m，面积分别为2S、S，弹簧原长为l。初始时系统处于平衡状态，此时弹簧的伸长量为0.1l，活塞Ⅰ、Ⅱ到汽缸连接处的距离相等，两活塞间气体的温度为T0。已知活塞外大气压强为p0，忽略活塞与缸壁间的摩擦，汽缸无漏气，不计弹簧的体积。（1）求弹簧的劲度系数；（2）缓慢加热两活塞间的气体，求当活塞Ⅱ刚运动到汽缸连接处时，活塞间气体的压强和温度。答案：（1）40mgl（2）p0＋3mgS解析：（1）设初始状态汽缸内气体的压强为p1，对两活塞整体有p0·2S＋p1·S＋3mg＝p0·S＋p1·2S对活塞Ⅱ有k·0.1l＋p0·S＝p1·S＋mg解得k＝40mg（2）设活塞Ⅱ刚到汽缸连接处时内部气体压强为p2，对两活塞整体有p0·2S＋p2·S＋3mg＝p0·S＋p2·2S解得p2＝p1＝p0＋3对活塞Ⅱ有k·x＋p0·S＝p2·S＋mg活塞Ⅱ运动到汽缸连接处气体体积为V2＝2（l＋x）S初始时气体的体积V1＝0.55lS＋0.55l·2S＝1.65lS由盖－吕萨克定律有V1T解得T2＝43T0题型三变质量模型5.（2021·山东高考4题）血压仪由加压气囊、臂带，压强计等构成，如图所示。加压气囊可将外界空气充入臂带，压强计示数为臂带内气体的压强高于大气压强的数值，充气前臂带内气体压强为大气压强，体积为V；每次挤压气囊都能将60cm3的外界空气充入臂带中，经5次充气后，臂带内气体体积变为5V，压强计示数为150mmHg。已知大气压强等于750mmHg，气体温度不变。忽略细管和压强计内的气体体积。则V等于（）A.30cm3 B.40cm3C.50cm3 D.60cm3解析：D根据玻意耳定律可知p0V＋5p0V0＝p1×5V，已知p0＝750mmHg，V0＝60cm3，p1＝750mmHg＋150mmHg＝900mmHg，代入数据整理得V＝60cm3，故选D。6.如图所示，容积为5L的氧气袋广泛用于野外病人急救。若原来是真空的容积为5L的氧气袋是由医用钢瓶内的氧气分装的，已知医用钢瓶容积为10L，贮有压强为3.6×106Pa的氧气，充气后的氧气袋中氧气压强都是1.2×106Pa，设充气过程不漏气，环境温度不变。求：（1）一个医用钢瓶最多可分装多少个氧气袋；（2）病人用后，氧气袋内气压降至1.0×106Pa，用去的氧气质量与原来气体总质量之比（结果可以用分数表示）。答案：（1）4（2）1解析：（1）选取钢瓶内氧气整体作为研究对象，钢瓶内氧气体积V1＝10L，p1＝3.6×106Pa分装n个氧气袋，V2＝（V1＋n×5L），p2＝1.2×106Pa分装过程是等温变化，根据玻意耳定律p1V1＝p2V2解得n＝4。（2）选取氧气袋内p2＝1.2×106Pa的氧气整体作为研究对象，设气压降至p3＝1.0×106Pa时氧气的体积为V，用气过程是等温变化，根据玻意耳定律得p2V0＝p3V解得V＝65V用去气体的体积为ΔV＝65V0－V0＝15所以用去气体的质量与原来气体总质量之比为Δmm＝ρΔVρV7.如图所示，气窑是以可燃性气体为能源对陶瓷泥坯进行升温烧结的一种设备。某次烧制前，封闭在窑内的气体压强为p0，温度为室温。为避免窑内气压过高，窑上有一个单向排气阀，当窑内气压达到2p0时，窑内气体温度为327℃，单向排气阀开始排气。开始排