历年高数复习题

一、选择题(本大题5小题，每小题4分，共20分)

1.设直线4:2二？y+2_z-4x-y=6,

J则与/2的夹角为【].

'1-2~~T2y+z-3,

717171n

(A)—；(B)-；(C)(D)

2346

2.函数z=xeA在点尸(1,0)出沿从尸(1,0)到0(2,?1)方向的方向导数为[].

1

f。0,

.^sin----7,

3.函数.f(x,y)=,x'+y在(0,0)点[].

0,f+y2=Q

(4)偏导数连续；(而偏导数不存在；(。偏导数存在但不可微；(。)可微但偏导数不连续。

4.积分£dx^x^y2-x2dy-[].

(A)—(B)—(C)——(D)—。

341224

5.设?是由/+/+22=1所围成的区域，则三重积分“/*小=[].

二、填空题(本大题5小题，每小题4分，共20分)

1.过点(0,2,4)且与两平面x+2z=1和y-3z=2都平行的直线方程是

X2+>,2+Z24,-,

2.设r：,则[「叶/=

Z=6,

誓”的解为产

3.满足微分方程初值问题《

,此力=1

4设Z=如(1+V+/),则dz[(]2)=

三、(9分)求微分方程y〃+4y=xcosx的通解.

四、(9分)求函数/。»)=与，在闭区域1上的最大值和最小值。.

五、(9分)某物体的边界由曲面2=幺+丁和平面z=0,M=a,|y|=。围成，其密度函数为？=/+9，求该物体

的质量.

,x+v+/?=0,,,

六、(9分)设直线在平面？上，而平面？与曲面z=W+y2相切于(1,?2,5),求。*的

x+ay—z—3=0,

值。.

七、(9分)计算曲面积分jj(x+y+z)3办应+(x+y+z)36fedr+(x+y+z)3dxzfy

其中?为由圆锥面f+)，2=z?与上半球面d+/+z2=R2(R>0)围成曲面的外侧.

八、(8分)设函数Q(x,y)在平面上具有一阶连续偏导数，第二类曲线积分工2盯公+Q(x,y)力与路径无

关，且对任意3有，O)2孙祈+Q(x,y)办=J)办'，求Q(x,y).

九、(6分)设当X>-1时，可微函数/(无)满足

f'M+f(x)-一^「/。)出=0,/(0>.

x+1J0

1.求广(X)；

2.证明：当xNO时，f(x)>ex.

xy—2z—412

答案一、LB；2.A；3.D：4.C；5.D.二、1.—=-——=----；2.dz=-dx+-dy3.

-23133

y=tan(e'+j-1)；4.力号；

4〃=03

j211112

三、y=C]Cos2x+Gsin2x+3XCOsx+—sinx.四、fmaK=—,7m布=一万.五、石,六、a=?5,匕

=?2.

91-

七、g(2—>/2)乃/?‘.八、Q(x,y)=x2+2y-\.

高数试题2009.7

一、选择题(本大题4小题，每小题4分，共16分)

1.函数z=/(x,y)在(x。,为)处可微的充分条件是[]

(A)f(x,y)在点(后,%)处连续;

(B)/(x,y)在点(Xo，%)处存在偏导数；

(C)JimLAz-fx(x0,y0)Ar-fy(x0,y0)Ax]=0,2=而标语存；

(D)lim------------------------------=0.

0fop

2.圆心在原点半径分别为R和「的(R〉r)的两个圆所围成的均匀圆环形薄板(面密度为〃)关于原点的转动惯

量为[],

(A)0(R4-/)；(B)；壁(R4-r4)；

(C)!空(尸-/)；(D)!空(我4-/).

46

3.微分方程y"-57+6y=xe2x+e3x的特解形式为()

(A)y*=x(ax+h)e2'+cx(?x；(B)y*=ae2'+b(x+c)e3'；

(C)y*=(ax+b)e2x+ce3x；(D)y*=(ax+b)e2x+cxe"x

4.设Q是由球面f+y2+z2=q2伍＞0)所围成的闭区域，则川K+V+z?4=]

c

(A)g〃。4；(B)4%a4；(C)兀a，；(D)

二、填空题(本题共6小题，每小题4分，共计24分)

1.已知同=3,忖=26,=72,则。为=

2.函数/(x,y)=x2一肛+V在点(1,1)处的梯度为

3.已知曲线「为连接(1,1,1)和(2,2,2)两点的直线段，则曲线积分J(x+2y+3z)/=

r

4.由曲面z=4-3(f+/)与曲面2=/+V所围立体的体积为.

5.设Z为平面＞会+：=1在第一卦限中的部分，则”(z+2x+gy)dS=

6.以y】=cos2x,y2=sin2x为特解的常系数齐次线性微分方程为.

三、计算下列各题(本题共5小题，每小题6分，共计30分)

1.求点《(1,1,1)到直线一j—=\一=一3一的距离.

X=0

2.已知一平面通过球面f+丁+22=4(工？2)，？22)的中心，且垂直于直线，求(1)该平面的方程；

j+z=0

(2)该平面与球面的交线在xOy平面上的投影。

3.设函数/具有二阶连续的偏导数，〃=/(xy,x+y)求“”.

dxdy

4.计算二重积分其中。是由两条抛物线y=4,y=f所围成的闭区域.

D

(1+xT)v"=2xv'

5求解微分方程的初值问题：\V.

[y(0)=l，V(0)=3

四、(8分)计算积分/=(x2cosa+y-cos/3+z1cosy)dS,?是抛物线z=W+/被z=4割下的有限部分的

x

下侧,cos?cos?,cos?是?上各点法线方向余弦.

五、(8分)设/.(X)为连续可微函数，且/⑴=2,对任一闭曲线L有![4_?必+/(幻力=0。求曲线积分

,4^ydx+/(幻6的值.其中L是圆周(x-2)2+(y—29=4上由A(2,0)经。(4,2)到8(2,4)的一段弧.

六、(8分)经过点P(2,l,；)作一平面，使该平面在第一卦限内与3个坐标面所围成的四面体的体积最小，求该平面

方程.

七、(6分)设函数/(x)在口，+?)上连续，由曲线y=/(x),直线x=l,x=r(r＞1)与x轴所围成平面图形绕x轴旋

转一周形成旋转体的体积为

V(r)=1[r2/W-/(l)b

又己知/(2)=4，求/(X).

9

答案一、l.D；2.B；3.A；4.C.二、1.?30；2.(1,1)；3.973；4.2?；5.4761；6.y??+4y=0.

一「仄(厂+2;/-4x+16y=06.

二、1.3,3；2.?y+z=0,<；3.力+为+。+》游2+启；4.二；5.y=/+3x+1.

[z=0.55

四、—4.五、68,六、—l~"+z=l.七y——■~r-.

3631+x3

高数试题2010.7

一、选择题(本大题4小题，每小题4分，共16分)

1.函数/*,月=(》2+；/—2%)2在闭区域(工一1)2+/？]上的最小值为[J

(A)0；(B)l；(C)2；(D)3«

2.设函数/(x,y)连续，则二次积分。yj：/(x,y)dx=[].

(A)dy^f(x,y)dx；(B)/(y,x)dx；(C)f(x,y)dy；(D)f(x,y)dy.

3.设C为平面x+y+z=l与三个坐标面所围成的闭区域，则川*(x+y+z)du=[]

n

1111

(A)-；(B)-；(C)—；(D)—.

oo1224

4.设y,,»是二阶线性方程>>?+P(x)y?+Q(x)y=0的两个解，那么y=Ctyt+C2y2(G,C2是任意常数)是该方程

通解的充分必要条件是[].

(A)=。；⑻>|'%+%。尸。；©凹，-%'%=。；①)％'>2一%’》尸0.

二、填空题(本题共5小题，每小题4分，共计20分)

1.已知日|=后，"与B的夹角为C,则|,+B|=

4

2.设?是由曲面z=Jl-x2-/与z=0围成的立体,则?的形心坐标为

3.设曲线「为连接(1,1,1)和(2,3,4)两点的直线段，则曲线积分J「(x+y+z)tfc=

4.设?为锥面z：，。7被平面z=1截下的有限部分，则曲面积分。zdS=.

f(X)

5.若方程/?+)32=?28$2^有一个特解丫=/。)，且/(0)=0,则lim^--=_________.

2。X

三、计算下列各题(本题共5小题，每小题7分，共计30分)

1.求过点加(—3,2,5)且与两平面乂-42=3和r7-52=1的交线垂直的平面方程.

2.求函数«=？+3yz在点(1,1,1)处沿椭球面<+2y2+3?=6在该点的外法线方向的方向导数。

3.计算二重积分JJydxdy,其中。是由y=x-4与丁=微所围成的闭区域.

D

1—X

4.如果y=/(x)满足Ay=i-----Ax+o(Ax),且/'⑴=1,求/(x).

\l2x-x2

5.若？(x)连续，且满足方程Mx)=e*+J；砂⑺力一可；以/)力，(1)写出与该方程等价的二阶微分方程初值

问题；⑵求？(X).

四、(8分)一质点在力尸=(炉-y)：一(x+sin?y)］的作用下，由点。(0,0)沿上半圆y=Jzx-F移到点

4(1,1),求力户所作的功.

五、(8分)计算曲而积分目xzdydz+yzJzJx+xydxdj,其中?是由抛物面32=幺+|和球面z=j4-x?-

所围成立体的表面外侧.

六、(8分)设函数/(x,y)有二阶连续偏导数，满足二=0,且存在一元函数〃(")，使〃x,y)=〃(也2+,2),

dxdy

求f®y).

七、(5分)设F(x,y)二63)，),/2(乂》))是(沏,死)某邻域内定义的向量函数，定义

为(fi(x,y),/2Uy))的模，如果

||F(x0+Ar,孔+Ay)-F(x0,y0)-(AAx+CAr+DAy)||=o(J"+△)」),其中A,8,C,O是与?x,?y无

关而仅与沏，为有关，o(J©'+Ay2)是JA?+Ay2的高阶无穷小，则称尸8y)在(沏,先)点可微，记为

22

设F(x,y)=(arctan:,^x+y),求dF(x,y)|(11)。

3__2

答案一、LA；2.C；3.B；4.D.二、1.君；2.-；3.6714；4.一也兀;5.?2.

83

三、1.4x+3y+z+l=0;2.;3.18;4.,2x—X2;5..

V14

71941

四、----1—sin2.五、—71.六、一G(x9+y-9)+C.

6427222

七、(-Ax+Ay,Ax+Ay).

一、选择题

1.设/(x,y)=G+y4,则函数在原点偏导数存在的情况是[].

<A)£(0,0),月(0,0)都存在(B)£'(0,0)不存在，/：(0,0)存在

(Of；(0,0)存在，火(0,0)不存在(D)/；(0,0),(0,0)都不存在

ARC

2.设平面？的法向量为五=(A,8,0,直线人的方向向量为工=O,",p),则一=一=一是平面？与直线£

mnp

的垂直的［］.

(A)充要条件；(B)充分条件；(C)必要条件；(D)无关条件.

3.设？是球面/+/+22=川，则下列结果正确的是[].

(A)H(x+y+z)2dS=0；(B)目

SE3

(C)^(x2+y2+z2)^5=0；(D)爪Y+y+z2Ms=4成4

4.

5.设曲线L:/(x,y)=l(/(x,y)具有一阶连续偏导数)，过第II象限内的点用和第IV象限内的点N,T为

L上从点”到点N的一段弧，则下列小于零的是[].

(A)1/(x,y)dx<B)[rf(x,y)dy

<C)[rf(x,y)ds(D)£/；(%,y)dx+/；(x,y)dy

二、填空题

1.设|2|=g,|B|=1,(aj)=-,则B在。—B上的投影为

6

2.交换积分次序丁时二J/(x,y)dy为[办'/。，力办

3.设正向闭曲线£的方程为|x|+|y|=l,则f---1----ds=

“x|+1y|+2

Qzdz

5.设函数z=z(x,y)由方程x-az=°(y-Z?z)所确定，其中。(“)有连续导数，则。一+h一=

oxoy

三、计算题

d2z

1.设z=/(〃,x,y),u=xey,其中/具有二阶连续偏导数，求

dxdy

,lx+2z=l

2.求曲面Z=9V+y2的与直线<垂直的切平面。

」+2z=2

3.计算二重积分“Jy—xdxdy其中D是由直线y=x,y=1,x=()所围成的平面区域.

D

4.求0(%-丁)4>必+。一2)4次氏+(2-》)公力，？是抛物面2=》2+/被平面z=1截下的有限部分，法向

量与Z轴正向成锐角。

xy"-y'=2^,

5.求解初值问题<

y⑴=l,y'⑴=2,

四、设球体占有闭区域^：/+卜2+22<22,它在内部各点处的密度大小等于该点到坐标原点的距离的平

方，求球体对于Z轴的转动惯量。

五、(8分)求抛物面z=/+>2与平面X+y+Z=l的交线(椭圆)到原点的最长距离和最短距离.

f2

六、5.设/(x)是非负连续函数，且计算曲线积分

\Lxdy-{y+e'}dx,式中L为沿y=/(x)从点。(0,0)到A(2,0)的曲线段.

七、求y"-3y+2y=sin%的通解.

1.B,2.A,3.D,4.C,5.B.

1.2,2.2.于(x,y)dx,

三、「豕=-'蔽

2.2x+2y—z=2。

五、曲线到原点的最长距离和最短距离分别为

六、3一e

r2v

七、y=C1e+C2eH----cosxd-----sinx

i.设？a)为任意一个x的可微函数，为任意一个)，的可微函数，若已知££中之£,则产区)，)是[

dxdydxdy

(A)f(x,y)+?(x)；(B)/(x,y)+?(y)；

(C)/(x,y)+?{x)+?(y)；(D)/(x,y)+?(x)?(y).

2.在曲线x=f,y=?F,z=户的所有切线中，与平面x+2y+z=4平行的切线[].

(A)只有1条；(B)只有2条；(C)至少3条；(D)不存在。

3.设/(x,y)是连续函数，。是由y=/y=0,x=1所围的区域，且/(x,y)满足恒等式

则f(x,y)=[].

(A)xy+1；(B)xy+—;(Oxy+：;(D)xy+、。

二、填空题

1.过点(3,?1,?4)且与y轴相交，又与平面y+2z=0平行的直线方程为.

fl^llx-x222f2-x

2.交换积分次序/办(/(x,y)dy+j岗，/(x,y)dy为.

3.设L为圆周x=acost,y=asinf(0?f?2?),则£(x2+y2)3ds=.

4.

三、计算下列各题

1.已知〃=/Q2—y2,e*+),其中/具有二阶连续偏导数，求生，史L。

dxdxdy

2.计算川*(2x—3y+z)dn,?是半球面z=-V一/和旋转抛物面z=f/围成的立体。

a

3.求平行于平面6x+y+6z+5=0,而与三坐标面所构成的四面体体积为一个单位的平面方程。

dy

4.求解初值问题《出一’.

“0=%，

5.求JJ(x+y+z)dS,式中?是平面y+z=5被柱面f+9=25所截得的有限部分。

四、(8分)计算积分/=JJx^dydz+y2dzdx+zdxdy,?是柱面x2+y2=a2KQ?z?h部分外侧。

2

五、(8分)在抛物线Z：z=》2+y+1上求一点用。(飞，儿"。)(%o20,%>0,^„+4W1)使Z在

2

Mo处的切平面与柱面y=71-X及三个坐标面在第一卦限的立体体积最大。

六、(8分)已知Z,是第一象限中从点(0,0)沿圆周f+)2=2x到点(2,0),再沿圆周d+y2=4到点(0,2)的曲线

段。计算曲线积分/=£3/》公+*3+x-2y)<fy。

七、(8分)

八、(6分)设有一半径为R的球体，&是此球的表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到Po距离成

正比(比例常数k>0),求球体对于Pa的转动惯量。

答案：~*、1.D；2.B；3.D；A

二、1.==2.fdy.二3.2?/；4.-

38-4JoF-后八人2

三、1.解望=2货'+产"'，

OX

卓=-2诉+”力。

办

2.解川>(8-学+3)d=川zdv

QQ

12n(•1;也-r2

=J。呵产L加z

=2^£—r[(2-r2)-r4]dr

3.解JJ(x+y+z)dS=jj(x+5)dS

=jj(x+5)Jl+(-1)2.办

x2+y2^25

=125岳

4.解设所求平面方程为6x+y+6z=£>,则

1。1=6

故所求平面方程为6x+y+6z=6或6x+y+6z=?6。

5.

四、解设?i：z=0(d+y2?d)下侧;

?1：z=/z(f+y2?〃2)上侧

五、解过点的切平面方程为

2xo(x-XQ)+2yo(y--(z-4)=0

即2%%+2%尸2=蜉+¥-1

立体的体积为

v=■|(/+%)-?(片+y()-1)-

V/=---x=O,V/=---y=O,

•X)32，o'为32'uo

44

故所求的点为(丁,丁)。

3434

六、解补充匕：为二0,y从2到0,由乙和〃围成的平面区域记为。，由格林公式

8

七、解由题设%>4+1,若㈣4=0,则交错级数Z(—1)%,收敛，与题设矛盾，故

"T8M=I

lima=l(/>0).

〃一>8n

「_i_Yi

由根值法，有lim?-----=——<1,

28琳1+4,11+/

故级数收敛。

八、解以4点为坐标原点，球心在z轴上建立坐标系，则球面方程为f+y+z2=2Rz.

转动惯量为

高数试题2013.07

一、选择题

1.设〃=(4，4，,生)，b=(bx，by,b),则。//人的充要条件是[].

(A)a、=b*,%=b,q=b.(B)axbx+aYby+a.b.=0;

(C)4L=4=生；(D)a+a+a.=b+b+b..

?7

b,bybz

2.设f(x,y)=旧+J，则函数/(x,y)在原点(0,0)处[].

(A涟续且£(0,0)/'(0,0)存在；(B)连续且《'(0,0)/'(0,0)不存在;

(C)不连续且/;(0,0),/：(0,0)存在；(D)不连续且/;(0,0),£'(0,0)不存在。

3.设?是球面2：/+9+22=心所围成的闭区域，则下列结果正确的是[].

(A)j]J(x+y+z)2小=0：(B)jjj(x2+y2+z2)dv=—乃A，；

QQ3

(C)JjJ(x+y+z)du=0；(D)j>(x2+y2+z2MS=4^/?2o

4.微分方程y?+y=sinx的一个特解的形式为[]

(A)Arsinx；(B)Acosx+Bsinx；(C)Arcosx+Bsinx；(D)Arcosx+Brsinx。

5.设/(")连续可微，旦J：f(〃)d“=kR0,其中L为圆周y=上从原点到点(2,0)的部分，则

L/(/+y2)(xdx+必)=[]

(A)0；(B)-；(C)k；(A)2k.

2

二、填空题

1.函数z=/(x,y)由方程2sin(x+2y—3z)=%+2y—3z所确定，则dz=.

2.交换积分次序£y)dx为.

3.设L为圆周x=acost,y=asinf(0?f?2?),则£(x+y)2ds=.

4.设平面薄板所占闭区域力由直线x+y=2,x=2和y=2围成，它在点(x,y)处的面密度为V，则平面薄板

的质量为。

5.微分方程y〃—10y'+25y=0的通解是。

三、计算下列各题

1.已知z=/8，,，)，其中/具有二阶连续偏导数，求更，丝,与。

xdxdydxdy

2.一平面通过两平行直线土二=工/=三和3=止=出，求此平面方程。

3-213-21

3.计算”(丁+/而，其中?是由),°z面上曲线V=2x绕z轴旋转一周而成的曲面与平面z=8所围成的闭

C

区域。

4.求JJ(2x+gy+z)dS,式中?是平面]+1+(=1在第一卦限的部分。

四、（8分）计算积分/=|J（y2-xz）dydz+（z?—xy）dzdx+（x?—yz）dxdy,?是锥面

Z=jL+y2（0WzWh）的下侧。

五、（8分）求球面%2+9+22=片的内接长方体，使长方体的体积最大。

六、（8分）一个体积为K,外表面积为S的雪堆，融化的速度是“E=-aS,其中。是正常数，假设在融化

dt

22

过程中雪堆的形状保持为z=h-X+v-（z>0）,其中〃=八⑺，问一个高度等于％的雪堆全部融化消失需要

h

多少时间。

七、（4分）设函数/（X）满足方程犷'（X）—3/（X）=—6/,且由曲线y=/（x）,直线x=l与x轴围成的平面图

形D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积最小，试求D的面积。

高等数学（下）2014年7月

一、单项选择题（本题共4小题，每小题4分，共计16分）

1.设向量4=（2,—2,—5）的起点坐标为（2,1,7）,则[]

（A）。的终点坐标为（4,一2,1）；（B）a的长度为6；

（C）。与y轴的夹角为arccos-^=；（D）。在z轴上的投影为5。

，33

2.设平面区域。：丁+产<1；〃:/+;/41,》20,>20则下列等式不成立的是[]

(A)JJxln(f+y2)db=0⑻-y2d(j=4jJ-y2d(y

DDD1

22

(C)jj|xy|d(j=4jjxyda(D)jjxyda=4JJxyd(j

DDxDD,

3.

4.设函数z=e2*（x+y2）则（_2,0）是该函数的[].

（A）驻点但非极值点；（B）驻点且极小值点；

（C）驻点且极大值点；（D）极值点但非驻点.

二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共计16分）

5.曲线在点处的切线方程是

6.交换积分次序我『/(X,y)办+«Jyp/(x,y)公=

7.设/(x)可微分,x-2z=/(y—3z),则2-1-3——=___________.

dxdy

8.若二阶常系数线性非齐次方程y''+py'+qy=f(x)的三个解是：

必=x(e~x+e~2x)，%=Xe~x+e~2x，%=Xe~x+(%+现幺，

则p2_钿=.

三、计算下列各题(本题共5小题，每小题6分，共计30分)

1.求平面方程，使得这个平面垂直于平面，平行于向量$=(1,-2,26)，并且过点

2.求二重积分JJarctan2dx(办，其中。由圆/+/=[,Y+y2=4及直线y=0,y=x所围成的在第

一象限的闭区域。

3.设z=x2/(孙,马，/具有二阶连续偏导数，求包，上卫

xdydxdy

4.计算曲面积分/=其中?是球面Y+丁+z2=2在锥面Z=Jd+>2上方的部分。

ZZ

5.计算曲线积分Jjx+y)2ds,其中心是由点。(0,0)到A(0,l)的直线段和y=上从4(0,1)到仇1,0)的圆

弧组成。

y"+4y--(x+cos2x)

四、(8分)求解二阶初值问题：■y(0)=0

y(o)=o

五、(8分)修建一座容积为V,形状为长方体的地下仓库，已知仓顶和墙壁每单位面积的造价分别为地面每单

位面积造价的3倍和2倍，问如何设计长、宽、高使它的造价最小。

六、(8分)计算曲面积分/=02》3内出+2y3dzt/x+3(z2-1)力:由，其中?是曲面z=l-f(z>0)

的上侧。

七、(8分)设/(〃)连续可微，L为由A到8(1,2)的直线段，求

八、(6分)

答案(2014年7月)

一、1：C；2：D；3：B；4：Bo

2

二、1：上4=z-2：£rZr£';f(x,y)dy；3：1；4：0

三、1.求平面的方程，使得这个平面垂直于平面，平行于以为方向余弦的直

线，并且过点。

解所求平面的法向量为

ijk

n=1-12=(4-2技2-26,-1),

1-22亚

平面方程为(4—26)(x_5)+(2_26)y_(z_l)=0。

2.求二重积分，arctan上也仪，其中。由圆f+9=1,f+9=4及直线丁=(),>=》所围成的

DX

在第一象限的闭区域。

解[[arctan—(ixz/y=d0[Ordr=—7r2。

JJX.JoJi64

ao2

3.设z=》2/(孙,2),/具有二阶连续偏导数，求丝,£_土.

xdydxdy

dz1

解加劭+P)=X"+V2

=3炉工+力+V痂]一1人2)。

X

2222

4.计算曲面积分/其中?是球面x+/+Z=2在锥面z=yjx+y上方的部分。

解Z：z=yl2-X2-y2,与：f+y2<],

5.计算曲线积分Jjx+y)24s,其中L是由点。(0,0)到4(0,1)的直线段和y=二?上从AQ1)到8(1,0)

的圆弧组成。

解j(x+y)2ds=£y2dy+£2(cos0+sinO')[(-sin。)^cos©d0

171.

=-+——+1。

32

四、

五、修建一座容积为v,形状为长方体的地下仓库，已知仓顶和墙壁每单位面积的造价分别为地面每单位

面积造价的3倍和2倍，问如何设计长、宽、高使它的造价最小。

解设长、宽、高分别为X,y,Z,则丫=斗，设单位造价为公则

设L=4xy+4xz+4yz+A(V-xyz)

解得x=y=z^T~\o

六、计算曲面积分/二口2/办dz+2y3dz公+3（z?-1）公。，其中?是曲面z=l-d一产”之。）的

上侧。

解设：Z=0,（%2+y2<l）下侧

七、设小）连续可微，L为由A（3,|卜43（1,2）的直线段，求［1+（移）dx+吃白2/（孙）_［］小

解p=l12;/"。=/（》少,空=—4+7+加>二丝，所以积分与路径无关，

yyoyyox

=f：；%亡+"盯）］=止+/（盯）］气=T。

J（3?yy%）

八、设函数/（x）在［。,句上满足a〈/（x）〈人，|/'（X）区乡<1,令〃“=/（〃,T）,

“=1,2,3,,M0e[a,b],证明：级数Z(〃“+1-%)绝对收敛。

〃=|

证明1"向一如="（4>/年月'看，（浜44）0计t

S00

0<q<l,从而收敛，由比较审敛法，级数Z（”“+1—%）绝对收敛。

n=1n=l

高等数学（下）2015年7月

一、计算下列各题（本题共5小题，每小题6分，共计30分）

V—2-3

i.求点片（1,1,1）到直线的距离x：—7一二上万一z二亍。

2.求曲线17在点（1,一2,1）处的切线与法平面方程。

x+y+z=0

3.函数〃=ty2z在点（1,—1,1）沿什么方向的方向导数最大？并求此方向导数的最大值。

合2〃

4.〃=/（乂孙）具有二阶偏导数，求——。

dxdy

5.计算二重积分(x2+/-7x+32y4-\)dxdy。

x2+.y2<9

二、(16分)

i.求解微分方程的初值问题y+xy=i

I儿=2=1

2.已知点0(0,0)与且曲线积分/=J(avcosy-y2sinx)dc+Sycosx-x2siny)力与路径无

OA

美,试确定a,b的值并求出Io

三、(8分)求y"=(y')2的通解

2222

(x+y)sin「1,,x+y0,

四、(8分)设函数/(x,y)=《[yjx2+y2)，

0,x1+y2-0,

(i)求偏导数/；G