高考专题复习空间向量与立体几何

空间向量与立体几何2021/5/91例1(2012·高考山东卷)

在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB＝CD＝CF.(1)求证：BD⊥平面AED；(2)求二面角F－BD－C的余弦值．思路点拨►(1)在平面四边形ABCD中，证明BD⊥AD；(2)以C点为原点，CA，CB，CF所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，可求二面角的余弦值.2021/5/92【解】(1)证明：因为四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，所以∠ADC＝∠BCD＝120°.又CB＝CD，所以∠CDB＝30°，因此∠ADB＝90°，即AD⊥BD.又AE⊥BD，且AE∩AD＝A，AE，AD⊂平面AED，所以BD⊥平面AED.2021/5/932021/5/942021/5/952021/5/96变式2如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，AB＝1，BM⊥PD于点M.(1)求证：AM⊥PD；(2)求直线CD与平面ACM所成的角的余弦值．2021/5/97解：(1)证明：∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB.∵AB⊥AD，AD∩PA＝A，AD⊂平面PAD，PA⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD.∵PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD.∵BM⊥PD，AB∩BM＝B，AB⊂平面ABM，BM⊂平面ABM，∴PD⊥平面ABM.∵AM⊂平面ABM，∴AM⊥PD.2021/5/982021/5/992021/5/910变式3(2012·淄博模拟)如图所示,在多面体ABCD－A1B1C1D1中，上、下两个底面A1B1C1D1和ABCD互相平行，且都是正方形，DD1⊥底面ABCD，AB＝2A1B1＝2DD1＝2a.(1)求异面直线AB1与DD1所成角的余弦值；(2)已知F是AD的中点．求证：FB1⊥平面BCC1B1；(3)在(2)的条件下，求二面角F－CC1－B的余弦值．2021/5/9112021/5/9122021/5/9132021/5/914空间向量最适合于解决立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断．解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围的解”等，使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法解题．热点三向量法解决探索性问题2021/5/915例4(2012·高考福建卷)

如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点．(1)求证：B1E⊥AD1；(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由；(3)若二面角A－B1E－A1的大小为30°，求AB的长．2021/5/9162021/5/9172021/5/9182021/5/9192021/5/9202021/5/9212021/5/922【规律方法】利用向量法解决探索性问题时应注意的事项:(1)平面法向量计算必须要准确．(2)若在线段上探索是否存在一点，设出该点坐标时要抓住三点共线可减少坐标未知量的个数．2021/5/923变式4已知在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，且AB＝2，AD＝4，BC＝1，侧棱AA1＝4.(1)若E为AA1上一点，试确定E点的位置，使EB∥平面A1CD；(2)在

(1)的条件下，求二面角E－BD－A的余弦值．2021/5/9242021/5/9252021/5/9262021/5/927[备选例题]1．(2012·高考天津卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC＝45°，PA＝AD＝2，AC＝1.(1)证明PC⊥AD；(2)求二面角A－PC－D的正弦值；(3)设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长．2021/5/9282021/5/9292021/5/9302021/5/9312021/5/9322．(2012·高考重庆卷)如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝4，AC＝BC＝3，D为AB的中点．(1)求异面直线CC1和AB的距离；(2)若AB1⊥A1C，求二面角A1－CD－B1的平面角的余弦值.2021/5/933(2)

如图所示，过D作DD1∥AA1交A1B1于D1，在直三棱柱中，由(1)知DB，DC，DD1两两垂直，以D为原点，射线DB、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系D－xyz.2021/5/9342021/5/9352021/5/936名师讲坛精彩呈现例(本题满分14分)(2012·高考北京卷)如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6.D，E分别是AC,AB上的点，且DE∥BC，DE＝2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图2.2021/5/937(1)求证：A1C⊥平面BCDE；(2)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；(3)线段BC上是否存在点P,使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由．【解】

(1)证明：∵AC⊥BC，DE∥BC，∴DE⊥AC，∴DE⊥A1D，DE⊥CD.又A1D∩CD＝D，∴DE⊥平面A1DC.又A1C⊂平面A1DC，∴DE⊥A1C.