高等数学连续函数的运算法则

节连续函数的运算与初等函数的连续性2021/5/91函数f(x)在点x0

连续上一节结论：在内都是连续函数

。初等函数连续性？

由常数和基本初等函数,经过有限次四则运算和有限次函数的复合所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.2021/5/92初等函数常数基本初等函数四则运算复合运算研究初等函数连续性需：(1)基本初等函数连续性(2)连续函数四则运算(3)连续函数复合运算2021/5/93定理1一、连续函数的四则运算结论:（1）三角函数在其定义区间内皆连续若函数f(x)与g(x)在点x0

处连续，则f(x)+g(x)，f(x)g(x)，在点x0

处连续。故tanx,cotx,secx,cscx在定义域上连续2021/5/942.反函数与复合函数的连续性函数y=f(x)的反函数x=f-1(y)

定理2若函数y=f(x)在区间Ix上单调增加且连续,则它的反函数x=f-1(y)在对应区间Iy={y|y=f(x),x∈Ix}上单调增加且连续.y=f(x)y=f-1(x)x=f-1(y)2021/5/95因为y=sinx在上单调增加且连续结论：（1）三角函数在其定义区间内皆连续（2）反三角函数在其定义区间内皆连续（3）指数函数在其定义区间内皆连续（4）对数在其定义区间内皆连续故y=logax在(0,+∞)单调增加且连续。在(-∞,+∞)单调增加且连续故y=arcsinx在[-1,1]上单调增加且连续幂函数?2021/5/96幂函数?复合函数连续性?问题：函数y=f(x)在x0点连续若函数y=f(x)连续，是否成立92021/5/97定理3设y=f(g(x))是由y=f(u)与u=g(x)复合而成,若而y=f(u)在u0点连续,则证明：

y=f(u)在u0点连续,

当|u-u0|<η时，

当0<|x-x0|<δ时，

当0<|x-x0|<δ时，2021/5/98当外层函数连续，内层函数极限存在，且时，“极限号”可以“穿过”外层“函数号”例1证明当x→0时，ln(1+x)~x,证：

当x→0时，ln(1+x)~x，2021/5/99例2证明当x→0时，arcsinx~x,当x→0时，t→0

当x→0时，arcsinx~x证：设则x=sint

常用等价无穷小当x→0时，2021/5/910练习1.计算极限2.当x→0时，是x的几阶无穷小？2021/5/911定理4设y=f(g(x))是由y=f(u)与u=g(x)复合而成,若g(x)在x0点连续,g(x0)=u0,而y=f(u)在u0点连续,则y=f(g(x))在x0点连续。

证明复合运算保连续幂函数故y=f(g(x))在x0点连续。

2021/5/912结论：（1）三角函数在其定义区间内皆连续（2）反三角函数在其定义区间内皆连续（3）指数函数在其定义区间内皆连续（4）对数函数在其定义区间内皆连续（5）幂函数在其定义区间内皆连续基本初等函数在其定义区间内皆连续2021/5/913三、初等函数的连续性初等函数常数基本初等函数四则运算复合运算连续保连续定理4初等函数在其定义区间内都是连续的.2021/5/914注:1.初等函数在其定义域内不一定连续;

例如,在0点的邻域内没有定义.2.初等函数求极限的方法代入法.函数在区间[1,＋∞)上连续例如2021/5/915例3求极限计算：2021/5/916

设证则幂指函数求极限的方法：当底数的极限为正，且指数的极限为常数时，幂指函数求极限等于对其底数和指数分别取极限。2021/5/917例4求极限解2021/