东莞威远职中文化课数学教案：数列

东莞威远职中文化课数学教案：数列

一、基础知识

定义1数列，按顺序给出的一列数，例如1,2,3,…，.数列分有穷数

列和无穷数列两种，数列｛斯｝的一般形式通常记作的,…，斯或四,。2,。3,…，

斯…。其中0叫做数列的首项，斯是关于〃的具体表达式，称为数列的通项。

定理1若，表示｛斯｝的前〃项和，则，=即当〃>1时，%=S/S,I.

定义2等差数列，如果对任意的正整数“，都有%+「%=d（常数），则｛为｝称为

等差数列，d叫做公差。若三个数a,。,c成等差数列，即2b』+c,则称6为a

和c的等差中项，若公差为d,贝ua=b-d,c=b+d.

定理2等差数列的性质：1）通项公式念=勾+（”-1）山2）前”项和公式：

+%）=+—~—d；3）an-am=（n-m）（i,其中〃，m为正整数；4）若

22

n+m=p+q,则即+而=知+4；5）对任意正整数p,q,恒有%-%=0f）（。2-处）；6）

若A,B至少有一个不为零，则｛斯｝是等差数列的充要条件是S〃=A〃2+8〃.

定义3等比数列，若对任意的正整数〃，都有色包=q,则｛为｝称为等比数列，

%

4叫做公比。

定理3等比数列的性质：1）。〃=砒叫2）前n项和S”,当#1时,S,产/QT）；

i-q

当q=l时，S,!=«<?］；3）如果a,b,c成等比数列，即庐=ac（「HO）,则b叫做a,c

的嚓比中项；4）若m+n=p+q,则&）为=如的。

定义4极限，给定数列｛斯｝和实数A,若对任意的£>0,存在M,对任意的

〃>1'4（〃£'）,都有1斯-41<£,则称A为/L+8时数列｛%｝的极限，记作］ima“=A.

“—>8

定义5无穷递缩等比数列，若等比数列｛斯｝的公比4满足磔<1,则称之为无穷

递增等比数列，其前几项和S“的极限（即其所有项的和）为刍一（由极限的定

1—4

义可得）。

定理3第一数学归纳法：给定命题p（〃），若：（l）p（〃o）成立；（2）当p（〃）时'〃=攵

成立时能推出"（〃）对〃=k+l成立，则由（1）,（2）可得命题p（〃）对一切自然数〃

成立。

常用定理

定理4第二数学归纳法：给定命题p（〃），若：（1）p（〃o）成立；（2）当p（〃）对一

切〃W女的自然数〃都成立时（女》〃（））可推出p（"l）成立，则由（1）,（2）可得

命题p（〃）对一切自然数成立。

定理5对于齐次二阶线性递归数列x,尸例”+如②设它的特征方程x2=ax+8的

两个根为a,B:⑴若a*B,则“m""+‘2似1,其中Ci,C2由初始条件孙松的

值确定；（2）若a=B,则x”=（Ci〃+C2）a"-1,其中仃,C2的值由孙忿的值确定。

二、方法与例题

1.不完全归纳法。

这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律，当然结论未必都是正确的，但

却是人类探索未知世界的普遍方式。通常解题方式为：特殊f猜想f数学归纳法

证明。

例1试给出以下几个数列的通项(不要求证明)；1)0,3,8,15,24,35,…；

2)1,5,19,65,…；3)-1,0,3,8,15,…。

【解】1)斯=〃2-1；2)%=3"-2"；3)an=n~-2n.

例2已知数列｛斯｝满足,。]+〃2+…+斯=〃％",求通项a”.

【解】因为m=L又41+42=2?•%

2

所以。2=—匚，的=%普=」一,猜想％=—'—(〃21).

3x232-13x4"n(n+1)

证明；1)当〃=1时，。尸一匚，猜想正确。2)假设当〃W人时猜想成立。

2x1

当"M+1时，由归纳假设及题设，。1+。1+…+。1=[(什1)2-1]%1,,

111

所以----1----F,•H---------=k(k+2)〃攵+i,

2x13x2Ax(Z+l)

即+.•.+-

=k(k+2)dk+i,

223kZ+l

所以一J1

=k(k+2)。女+1,所以i=

k+\(k+l)(Jt+2)

由数学归纳法可得猜想成立，所以明=」一.

n(n+1)

例3设数列｛斯｝满足斯=1+4,,求证：对任意〃£N+,有例>1.

叫

[证明]证明更强的结论：1〈即W1+〃.

1)当〃=1时，lvoi=l+a,①式成立；

2)假设〃=大时，①式成立，即lv©Wl+〃，则当〃=4+1时，有

111

]+Q>Q&+1=--FQ2-----FQ=------->----=1.

ak1+。1+a1+。

由数学归纳法可得①式成立，所以原命题得证。

2.迭代法。

数列的通项即或前n项和S”中的〃通常是对任意nCN成立，因此可将其中的“

换成n+1或〃-1等，这种办法通常称迭代或递推。

例4数列回｝满足a”+p*+q%-2=0,九23,qfO,求证：存在常数c,使得

a；+i+〃a“+i*M+qa：+cq'=0.

【证明】啧+pan+1•a.+i+qa3=an+2(pan+\+an+2)+qa^=an+2,(-qan)+qa1+i=

4(a：+i-a/“+2)=4叱+|+即9外+1+眄)]=4(。3+P4+4+q磋).

若a；+p/q+4。：=0，则对任意〃，+。4+1。“+殁；=0,取c=0即可.

若a；+pa2al+网；*0，则｛+pa”]%是首项为蜡+Pa2al+«；，公式

为q的等比数列。

所以a；+i+pa“+i%+qa：=(a；+，0为+的；)，心

取c=_(aj+pq&+qa；)*1即可.

q

综上，结论成立。

例5已知ai=O,a”+i=5a”+J24a；+1,求证：即都是整数，n^N+.

【证明】因为。尸0,敢=1，所以由题设知当〃>1时为+|>斯.

又由小+尸5斯+：24a；+1移项、平方得

项-10a/"+i+a；T=0・①

当心2时，把①式中的〃换成n-\得力一10a,,%+匕|一1=0,即

。3-10。/的+d-1=0.②

2

因为an.\<an+\,所以①式和②式说明an.\,a„+i是方程x-l0anx+a^-1=0的两个不

等根。由韦达定理得恁+1+。"-1=10。"(〃22).

再由。1=0,即=1及③式可知，当"WN+时，斯都是整数。

3.数列求和法。

数列求和法主要有倒写相加、裂项求和法、错项相消法等。

例6已知为=---二次(〃=1,2,…)，求$99=。1+。2+…+。99.

4"+2

.........11__2x21°°+4"+4*"_1

100100B100-100

[用牛J1—1Tva"+aioo-"一^IOO+^ioo-n+21oo_4x2+2(4+4")-2，

1991gogo

所以S99=5，(a”+«ioo-„)=-x^o=^F-

例7求和：Sn=—?—+—2—+•••+-------,--------

1x2x32x3x4〃(〃+1)(〃+2)

【解】一般地，-----1-----=Ei

k(k+l)(k+2)2k(k+l)(k+2)

=U—!_________1]

-51攵(％+1)伏+1)(女+2)/

所以s“=Z-----------------

£左一+1)(左+2)

--------------------------------1----------------------------F•••H----------------------------------------------------

2|_lx22x32x33x4n(n+1)(n+1)(//+2)

」11

一心一(〃+1)(〃+2)_

」_______]

42(〃+1)(〃+2)

例8已知数列｛斯｝满足0=。2=1,即+2=斯+1+即,s,,为数歹小a,的前〃项和，求

2"

证：S„<2o

【证明】由递推公式可知，数列｛斯｝前几项为1,1,2,3,5,8,13。

112358a公

因为*=］+»+¥+下+»+齐+…+^n’①

”［、11cl235a不

所以2S"=齐+封+梦+»+…+广n。②

由①-②得3S"=!+*(<+*+…+景)一券'

所以1S=—+—S2--^―o

2242向

乂因为5仆2Vs八且—>0,

2

所以;s,<；+；S”，所以;s“<g,

所以S“<2,得证。

4.特征方程法。

例9已知数列｛“｝满足”|=3,“2=6,%+2=4"+「4%’求斯.

【解】由特征方程》2=4X-4得X,=X2=2.

故设即=(a+B〃)・2"“，其中F=a+，

6=(。+2/)x2

所以a=3,B=0,

所以an=3-2"-'.

例10已知数列｛斯｝满足m=3,念=6,即+2=2%+|+3。“，求通项斯.

【解】由特征方程X2=2X+3得%i=3,X2=-l,

所以a“=a・3"+B•(4)",其中F=3a—S,

6=9a+/?

解得a=±,0

44

所以a“=；［3向+(—1严•3］。

5.构造等差或等比数列。

所以"产区+1=2",所以巴」=(2"-1)2,

V«„-i4.i

所以为=2・—,红•丽力⑵-I)?.

%Ta,.-2a\a。k=i

注：fjc,=G・Q.........cn.

i=l

x2+2

例12已知数列｛x“｝满足©=2,xn+i=，------,〃GN+,求通项。

2%

【解】考虑函数以)=丁/的+2不动点，由+得2』历i~

2

因为修=2,超+1=也X4士-2，可知｛b｝的每项均为正数。

2乙

又就+222VI工，所以x〃+i2后(〃21)。又

x,+3="一艮旦二空，①

242x,

X用+行==+痣=(猫+亚尸，②

2x,,2xn

由①・②得土史二£=［土二£］。③

x.+i+j2［x,+J2」

又上淮＞0,

Xj+Y2

“"■>()且1g”向一?

由③可知对任意〃GN+，

x”+j2x“+]+j2

2-V2

是首项为1g公比为2的等比数列。

2+V2

所以1g上自二2"T，所以与2-V2

x.+行2+V2

(2+//+(2-后尸

解得x“=V2

(2+扬2“=(2_&产

注：本例解法是借助于不动点，具有普遍意义。

三、基础训练题

1.数列｛$｝满足xi=2,x”+i=S”+(〃+D，其中S“为｛4｝前〃项和，当心2时,

x〃=•

2.数列｛/｝满足x产工，x用=3」,则｛与｝的通项x“=_______.

23x„+2

3.数列｛x,J满足为=1,则｛x“｝的通项x”=.

4.等差数列｛小｝满足%8=5勾3，且ai>O,S〃为前〃项之和，则当S“最大时，

n=.

5.等比数歹U｛%｝前〃项之和记为S”,若Si°=10,