排列数教学课件

6.2.2排列数

EI翻圈厮因法（教师独具内容）

课程标准：能利用计数原理推导排列数公式.

教学重点：1.进一步加深对排列概念的理解2排列数公式.

教学难点：几种有限制条件的排列问题的处理方法，应用排列数公式解决简

单的实际问题.

核心概念,掌握

HEXINGAINIANZHANGWO

知识点一排列数的定义

从n个不同元素中取出个元素的前所有不同排列的个数,叫做从n

个不同元素中取出机个元素的排列数，用符号A件表示.

知识点二排列数公式

1.乘积形式：A™=一1）（〃一2）…（〃一l）（m,〃CN*,并且mWn）.特

别地，我们把几个不同的元素全部取出的一个排列，叫做〃个元素的一个全排列.这

时，排列公式中国坦三%即有画A2=”中一1）5-2）X…X3X2X1.

2.阶乘形式：A行=形，n6N*,且mWn）.

3.性质：人；|=画4，规定0!=[06]1.

'新知'拓展

注意“排列”与“排列数”不是同一个概念，排列是从〃个不同对象中任取

加个对象，按照一定的顺序排成一列，它不是一个数；排列数是指从〃个不同元

素中取出机个元素的所有排列的个数，它是一个数.

滥评价自测t

i.判一判（正确的打“♦”，错误的打“义”）

(1)从3,5,7,9中任取两个数做指数运算，可以得到多少个属是排列问题.()

(2)把12名学生分成三组参加植树活动，共有多少种分组方法是排列问

题.()

(3)从1,2,3中任选两个数相除可以得到的不同的结果数为6.()

答案(1)V(2)X(3)V

2.做一做(请把正确的答案写在横线上)

(1)将3张不同的电影票全部分给10个人，每人至多一张，则不同的分法种

数是一•

(2)沿途有四个车站，这四个车站之间需要准备不同车票一种.

(3)一次演出，因临时有变化，拟在已安排好的4个节目的基础上再添加2个

小品，且2个小品节目不相邻，则不同的添加方法共有一种.

答案(1)720(2)12(3)20

核心素养,形成

HEXINSUYANGXINGCHENG

题型一排列数计算问题

2Al+7At

例1⑴求值:

Ai-A5

(2)解方程:A%i=140席;

\rn-l\n-rn

An_1.fn-m

(3)求值:

A支1

(4)化简：1!+2-2!+3-3!+,,,+n-n\；

123n-1

(5)化简：彳+5T+丁+…+小

2Aq+7At

［解］⑴

Ai-Aa

2X8X7X6X5X4+7X8X7X6X5

8X7X6X5X4X3X2X1-9X8X7X6X5

8X7X6X5X(8+7)

8X7X6X5X(24-9)

=1.

2x+1^4,

(2)根据原方程，x应满足uz*

解得xN3,xCN*.根据排列数公式，原方程可化为(2X+1).2¥(2X-1).(2X-2)

=14Qx-(x-1)-(%-2).

又x》3,两边同时除以4x(x-l),

得(2x+1)(2%-l)=35(x-2),

23

即4f-35x+69=0,解得x=3或x=彳(舍去).

故原方程的解为x=3.

_(n-1)!1

⑶原式O-m)!.江二亍厂

(n-1)!1

=港不

=1.

(4)原式=(2!-1)+(3!-2!)+(4!-3!)+•••+[(«+1)!-n\]=(«+1)!

•.T_11

n\-(n-1)!n\'

i23n-in____on____on____o

二彳+?r+k+…+丁=广一迎+〔1?一记+［丁一丁尸一+

11一小,

(n-1)!n\n\

1-®圈窗扇..........................

解排列数计算问题的三个注意事项

(1)排列数公式的连乘形式常用于计算具体的排列数.

(2)排列数公式的阶乘形式的主要作用为对含有字母的排列数的式子进行变

形.

注意常用变形Ag=〃A£l,=AE：I-Al(〃力！=(n+1)!-n\)的应用.

(3)计算排列数或解含有排列数的方程或不等式时，先提取公因式化简，再计

算，可以减少运算量.A忡隐含了三个条件：机6N*,n€N\mW*AT的运算

结果为正整数.在解与排列数有关的方程或不等式时，要注意未知数的取值范围.

[跟踪训练1]⑴解方程：3A§=4Ar'；

(2)解不等式：AK6AF2.

'0WxW8,

解(1)由题意可知，八­

无一1W9,

解得1WXW8.

8191

方程可化为

4X9

化简得3=(10r)(93

即%2-19%+78=0,

解得XI=6,-2=13(舍去).

故原方程的解是x=6.

0WxW8,

(2)由题意可知,

0Wx—2W8,

解得2WxW8.

8!8!

原不等式可化为正/<6X师丁，

化简得I%。_.)(9_丫)，即％2-19x+84<0,

解得7<x<12.

故7<%W8.

又x€N*,所以x=8.

题型二特殊元素或特殊位置的排列问题

例26个人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法?

⑴甲不站左端，也不站右端;

（2）甲、乙站在两端；

（3）甲不站左端，乙不站右端.

［解］（1）解法一（位置分析法）：因为甲不站左、右两端，故先从甲以外的5

个人中任选2个人站在左、右两端，有Ag种站法；再让剩下的4个人站在中间的

4个位置上，有A3种站法.由分步乘法计数原理知，共有AgA|=480种站法.

解法二（元素分析法）：因为甲不能站左、右两端，故先让甲站在除左、右两

端之外的任一位置上，有AI种站法；再让余下的5个人站在其他5个位置上，有

Ag种站法，故共有=480种站法.

解法三（间接法）：在排列时，先对6个人进行全排列，有Ag种站法，但其中

包含甲站在左端或右端的情况，甲在左端或右端有2矣种站法，于是共有AR-2Ag

=480种站法.

（2）解法一（元素分析法）：首先考虑特殊元素，让甲、乙先站两端，有A3种站

法；再让其他4个人在中间4个位置进行全排列，有A标中站法.根据分步乘法计

数原理知，共有A5A1=48种站法.

解法二（位置分析法）：首先考虑两端的两个位置，由甲、乙去站，有A夕种站

法；再考虑中间的4个位置，由剩下的4个人去站，有A才种站法.根据分步乘法

计数原理知，共有A3A?=48种站法.

（3）解法一（间接法）：甲在左端的站法有Ag种，乙在右端的站法有Ag种，而甲

在左端且乙在右端的站法有AM种,故共有A'2AW+AM=504种站法.

解法二（直接法）：以甲的位置进行考虑，可分两类：第1类，甲在右端，有

Ag种站法；第2类，甲站在中间4个位置中的任一位置，且乙不在右端，则可先

排甲后排乙,再排其余4个人，有A2A1A彳种站法，故共有AW+A1A2AM=504种

站法.

「一国励国国.......................

求含有特殊元素或特殊位置的排列问题的解题思路

对于含有特殊元素或特殊位置的排列问题，一般从以下三种思路考虑：（D以

元素为主考虑，即先安排特殊元素，再安排其他元素；（2）以位置为主考虑，即先

安排特殊位置，再安排其他位置；（3）用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出

排列总数，再减去不符合要求的排列数.以上三种思路可以简化为下图.

当限制条件有两个或两个以上时，若互不影响，则直接按分步解决；若相互

影响，则先分类，然后在每一类中再分步解决.

［跟踪训练2］用0』,2,3,4,5这六个数字组成无重复数字的数，则

（1）可以组成多少个六位奇数？

（2）可以组成多少个不大于4310的四位偶数？

解（1）解法一（从特殊位置入手）：分三步完成：第一步，排末位，有AJ种排

法；第二步，排首位，有A杯中排法；第三步，排其他位，有A赫中排法.根据分

步乘法计数原理知，共有A^AW=288个无重复数字的六位奇数.

解法二（从特殊元素入手）：0不在首位也不在末位，有AI种排法；从1,3,5中

任选一个排在末位，有A4种排法；其他位上用剩下的数字进行全排列有AM种排

法，故共有A2A以才=288个无重复数字的六位奇数.

解法三（间接法）：六个数字共有AR种排法，数字0,2,4在末位上有3Ag种排法,

数字1,3,5在末位上且0在首位上共有3A标中排法，故组成的无重复数字的六位奇

数共有A"3A"3At=288个.

（2）①当千位上排1或3时，从0,2,4中任选一个排在个位，有A4种排法，其

他位上从剩下的四个数字中选择两个进行排列，有A3种排法，故共有A3A4A3种

排法；②当千位上排2时，从0,4中任选一个排在个位，然后从剩下的四个数字

中选择两个排列，共有AJA?种排法；③当千位上排4时，形如40XX,42XX

的各有A4种排法，形如41XX的有A3A3种排法，形如43XX的只有4310和4302

这两种排法.

故组成的不大于4310的四位偶数共有AUU?+AJA++2A4+AJA』+2=110

个.

题型三元素相邻的排列问题

例3已知A,B,C,D,E5名同学，按下列要求进行排列，求满足下列条

件的排列方法数.

（1）把5名同学排成一排且A,3必须相邻；

（2）把5名同学排成一排且A,3必须相邻，C,D,E也必须相邻.

［解］（1）第一步:先把A,32名同学捆绑到一起看作一个整体，看成一个“大

元素”，然后和CD,E共四个元素进行排列，其排列方法有AM种.

第二步：对捆绑到一起的4§这两个元素进行排列，其排列方法有A之种.

根据分步乘法计数原理，符合题意的排列方法数为A才A3=48.

（2）第一步：把A,52名同学捆绑到一起看作一个整体，看成一个“大元素”，

把C,D,E3名同学捆绑到一起看作一个整体，看成一个“大元素”，这两个“大

元素”排成一排的方法有A夕种.

第二步：对捆绑到一起的A,3这个“大元素”的内部进行排列，其排列方

法有A3种；对捆绑到一起的C,D,E这个“大元素”的内部进行排列，其排列

方法有A浮巾.

根据分步乘法计数原理，符合题意的排列方法数为A5-A^=24.

广一国陶国国.......................

求元素相邻的排列问题的步骤

解决相邻问题采用“捆绑法”，即将〃个不同的元素排成一排，其中左个元

素排在相邻的位置上，求不同排法种数的步骤：（1）先将这左个元素捆绑在一起，

看成一个整体；（2）把这个整体当成一个元素与其他元素一起排列，其排列方法有

A汇灶1种；（3）“松绑”，即将捆绑在一起的元素的内部进行排列，其排列方法有

A奸中；（4）根据分步乘法计数原理，符合条件的排列方法有A玄灶IAS种.

［跟踪训练3］5名男生与2名女生排成一排，则男生甲必须站在中间，2名

女生必须相邻的排法种数为（）

A.192B.216

C.240D.360

答案A

解析解法一：如图所示，先排甲（甲在4号位置，已经固定）只有一种排法,

将2名女生看作一个元素，排在1和2,2和3,5和6,6和7“四个位置”中的“一

个位置”有A2种排法，其中2名女生可交换位置有A3种排法，最后将其余4名

男生排在剩下的4个位置有AM种排法，故符合题意的排法共有AlA5At=192种.

1234567

II□甲I□］

解法二：将2名女生看作一个元素，与4名男生（甲除外）排列，共有Ag种排

法，其中女生又可互换位置，所以共有AWA3种排法，男生甲插入中间位置，只有

一种插入法，5男2女的排列中，2名女生恰好站在甲的左、右两个位置有A4A3种

排法，此时2名女生没有相邻，不符合题意，故符合题意的排法共有AgA3-A以3

=192种.

题型四元素不相邻的排列问题

例4已知A,B,C,D,E5名同学，按下列要求进行排列，求所有满足条

件的排列方法数.

（D把5名同学排成一排且A,3不相邻；

（2）把5名同学排成一排且A,3都不与C相邻；

（3）把5名同学安排到排成一排的6个空位中的5个空位上，且A,3的位置

不相邻.

［解］（1）解法一：第一步：先排不受限制的同学C,D,E,其排列方法有

A辆.

第二步：由于已经排好的同学C,D,E间（包括两端）形成了4个空，把有限

制条件（不相邻）的同学A,§插到这4个空中，其排列方法有A新中.

根据分步乘法计数原理，满足条件的排列方法有=72种.

解法二：先不考虑A,3不相邻这个限制条件，把5名同学进行全排列有Ag

种排法，其中A,3相邻的排法有AW种，故满足条件的排法有AW-A3AM=72

种.

（2）第一步：先排不受限制的同学。，E,其排列方法有A3种.

第二步：由于已经排好的同学。，E之间（包括两端）形成了3个空，把有限制

条件（不相令B）的同学A,C插到这3个空中，其排列方法有A3种.

第三步：由于已经排好的A,C,D,E之间（包括两端）形成了5个空，但由

于3不能与C相邻，所以把3插入已经排好的A,C,D,E中时只有3种选择,

其排列方法有A4种.

根据分步乘法计数原理，符合条件的排法有A5A以』=36种.

（3）解法一（间接法）：先不考虑A,3的位置不相邻这个限制条件，把5名同

学安排到6个空位中的5个空位上，其排列方法有A*种，把5名同学安排到6个

空位中的5个空位上且A,3的位置相邻的排列方法有ASAg种，所以满足条件的

排列方法有A"A2A3=480种.

解法二（直接法）：先排A,B,C,D,E.

①当A,3的位置不相邻时，由第⑴问可知，其排列方法有72种，然后把剩

余的空位插入到已经排好的排列中，有6种插入的方法，根据分步乘法计数原理

可知，其排列方法有72X6=432种；

②当A,3的位置相邻时，其排列方法有A执彳=48种，然后把剩余的空位插

入到已经排好的排列中，欲使A,3的位置不相邻，则其插入方法只有1种，故

其排列方法有48X1=48种.

根据分类加法计数原理可得，满足条件的排列方法共有432+48=480种.

:…品牌康党--------....................

求元素不相邻的排列问题的步骤

解决元素不相邻的排列问题常用“插空法”，即将冏个不同的元素排成一排,

其中左个元素互不相邻（左左+1）,求不同排法的种数的步骤：（1）将没有不相

邻要求的元素共〃-左个排成一排，其排列方法有种；（2）将要求互不相邻的

左个元素插入〃-k+1个空隙中，相当于从咒-左+1个空隙中选出左个分别分配

给互不相邻的左个元素，其排列方法有A仙种；（3）根据分步乘法计数原理，符

合条件的排列方法有种.

[跟踪训练4]5位母亲带领5名儿童站成一排照相，儿童不相邻的站法有

一（填数字）种.

答案86400

解析先排5位母亲，有AW种排法；然后把5名儿童插入5位母亲所形成的

6个空中，如下所示：

母亲母亲母亲母亲母亲!

共有A涕中排法.

故符合条件的站法共有总总=86400种.

题型五定序问题

例57人站成一排.

(1)甲必须在乙的左边(不一定相邻)，则有多少种不同的排列方法？

(2)甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变(不一定相邻)，则有多少种不同的排

列方法？

［解］(1)甲在乙左边的排法种数占全体全排列种数的一半，故有庠=2520种

不同的排法.

(2)甲、乙、丙三人自左向右顺序不变的排法种数占全排列种数的太，故有着

=840种不同的排法.

序牌塌嘛……--.......................

这类问题采用分类法.“个不同对象的全排列有A1种排法，机个对象的全排

列有A用种排法.因此A，种排法中，关于m个对象的不同分法有A用类，而且每一

分类的排法数是一样的.当这机个对象顺序确定时，共有油种排法.

Am

［跟踪训练5］某校高二学生进行演讲比赛，原有5名同学参加，后又增加两

名同学，如果保持原来5名同学顺序不变，那么不同的比赛顺序有()

A.12种B.30种

C.36种D.42种

答案D

解析解法一：由于原来5名同学顺序不变，这5名同学共有6个空位，再

增加两名同学时，可分两步进行，第一步安排第一名同学，有6种不同的方法，

此时变成7个空位，再把最后一名同学放进去，共有7种不同的方法，故共有6X7

42种不同的比赛顺序.

解法二：先将所有同学重排，共有A彳种方法，而原来5名同学共有AW种不

同顺序，因此共有至=42种不同的比赛顺序.

随堂水平,达标

SUITANGSHUIPINGDABIAO-

1.6个停车位置，有3辆汽车需要停放，若要使3个空位连在一起，则停放

的方法种数为（）

A.A？B.Al

C.AgD.Ai

答案D

解析3个空位连在一起作为1个对象与3辆汽车看成4个不同对象的全排

列，故有A新中停放方法.

2.用数字123,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为（）

A.8B.24

C.48D.120

答案C

解析A3A?=2X4X3X2=48.

3.将A,B,C,D,E这5个字母排成一列，要求A,B,C在排列中顺序

为“A,B,C”或“C,B,A”（可以不相邻），这样的排列有（）

A.12种B.20种

C.40种D.60种

答案C

解析5个字母排成一列,A,B,C按照顺序“A,B,C”或“C,B,A”

AS

排列的有2X涓=40种.

4.四棱锥的八条棱代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱代表的化工

产品放在同一仓库是危险的，没有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库

是安全的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，那

么安全存放的不同方法种数为一.

答案48

解析8种化工产品分4组，对应于四棱锥的8条棱分4组(每组的两条棱没

有公共点)，只有2种情况.

如图(必，DC；PB,AD;PC,AB;PD,BC)或(B4,BC；PD,AB;PC,AD;

PB,DC),那么安全存放的不同方法种数为2A，=48.

5.(1)5本相同的书全部送给6个人，每人至多1本，有多少种送书方案？

(2)5本不同的书全部送给6个人，每人至多1本，有多少种送书方案？

(3)5本不同的书全部送给6个人，有多少种送书方案？

解(1)5本相同的书全部送给6个人，每人至多1本，相当于6个人中有且

仅有1个人得不到书，所以不同的送书方案共有6种.

(2)5本不同的书全部送给6个人，每人至多1本，相当于从6个不同的对象

中取出5个对象的排列，所以不同的送书方案共有Ag=720种.

(3)5本不同的书全部送给6个人，每本书都有6种送法，由分步乘法计数原

理知，共有65=7776种不同的送书方案.

精练

KEHOUKESHIJINGLIAN

A级：“四基”巩固训练

一、选择题

1.把15人分成前、中、后三排，每排5人，则共有不同的排法种数为()

B.AbAqoAgA3

C.A旧D.A?5Afo

答案C

解析将15人排成三排，可按一排处理，故共有AC种.

2.一个长椅上共有10个座位，现有4人去坐，其中恰有5个连续空位的坐

法共有（）

A.240种B.600种

C.408种D.480种

答案D

解析将四人排成一排共有A才种排法，产生5个空位，将五个空位和一个空

位构成的两个元素插入共Ag种放法.由分步乘法计数原理知满足条件的坐法共有

A执g=480种.

3.某高中的4名高三学生计划在高考结束后到西藏、新疆、香港这3个地区

去旅游，要求每个地区都要有学生去，每个学生只能去1个地区旅游，且学生甲

不去香港，则不同的旅游安排方案有（）

A.36种B.28种

C.24种D.22种

答案C

解析学生甲不去香港，则甲有2种安排方案，另外3名同学可以在3个地

区进行全排列，即有A1种安排方案，也可以将另3名同学分为两组，一组2名同

学，一组1名同学，然后在甲选过后剩余的地区进行排列，即有A孑种安排方案.所

以不同的旅游安排方案有2（A5+A&）=24种.故选C.

4.用123,4,5这五个数字可以组成比20000大，且百位数字不是3的没有重

复数字的五位数的个数是（）

A.96B.78

C.72D.64

答案B

解析题目有两层含义：一是万位不是1,二是5个数字全用上，故问题等

价于“由123,4,5这五个数字组成万位不是1,百位不是3的无重复数字的个

数”，万位是3时，有A才个，万位不是3时，有3X3XA珍，所以共有A3+3X3XA』

=78个.故选B.

5.（多选）下列各式中与排列数AT相等的是（）

n\

B.n(n-1)(〃-2)・・・(〃-rri)

(m-n)\

A年+i

C.D.AZA2_J

n-m

答案CD

nI

解析；AT=（〃_〃小，A显然错误；■.■〃（〃一1）（"-2）•…•（"—加）=

n\AM

丁工~~—=A^+1,二（〃一1）（〃一2）…（〃一加），故B错误；

n-m

+1

1n\n\A!?1

,•,A”/故C正确；・•・A1A仁、

n-m(n-m-1)!(n-m)!

n(ji-1)!n(n-1)!n\

.'.A^=AiA^i1故D正确.故选CD.

[n-1-(m-1)]!(n-m)!(n-m)!5

二、填空题

6.求值：A3"+Ag_n—.

答案726

2〃25,5

解析由已知，得仁心3,解得产后—〃=3,

.".Al,+ALn=A^+A^=6X5X4X3X2+3X2X1=726.

7.将A,B,C,D,E,R六个字母排成一排，且A,3均在。的同侧，则

不同的排法共有一种（用数字作答）.

答案480

解析不考虑A,B,C的位置限定时有Ag=720种，只考虑A,B,C三个

字母的顺序有Aq=6种，而A,3在。的同侧有2A3=4种，故满足条件的排法有

2A4

A*X~XT=480种.

8.3名男生和3名女生站成一排，任何2名男生都不相邻，任何2名女生也

不相邻，共有一种排法(用数字作答).

答案72

解析第1步，3名男生站成一排，有AW种排法；

第2步，插入女生，女生只能插入3名男生形成的前3个空当或后3个空当

中，有2用种插法.

由分步乘法计数原理可知