专题05 生活中的轴对称（考点清单）（解析版）

专题05生活中的轴对称（考点清单）【考点1】轴对称图形【考点2】轴对称的性质【考点3】轴对称-最短路线问题【考点4】翻折变换(折叠问题)

【考点5】角平分线的性质【考点6】线段垂直平分线的性质

【考点7】等腰三角形的性质【考点8】等边三角形的性质【考点9】作图-轴对称变换【考点10】利用轴对称设计图案

【考点11】出轨作图-角平分线和垂直平分线

【考点1】轴对称图形

1．（2023秋•石景山区期末）我国在环保方面取得的成就，为可持续发展奠定了基础．以下四个环保标志分别是“绿色食品”“节水”“安全饮品”“循环再生”，其中是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：A、不是轴对称图形，不符合题意；B、不是轴对称图形，不符合题意；C、是轴对称图形，符合题意；D、不是轴对称图形，不符合题意；故选：C．2．（2023秋•海曙区校级期末）第19届杭州亚运会上，中国运动员全力以赴地参赛，最终取得骄人战绩．下列运动标识中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：由图形可知，选项B为轴对称图形．故选：B．3．（2023秋•徐州期末）下列图形中，不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：A．是轴对称图形，故此选项不合题意；B．是轴对称图形，故此选项不合题意；C．不是轴对称图形，故此选项符合题意；D．是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：C．【考点2】轴对称的性质4．（2023秋•嵊州市期末）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∠A＝45°，∠B′＝110°，则∠C度数为（）A．15° B．20° C．25° D．35°【答案】C【解答】解：∵△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，∠B′＝110°，∴∠B＝∠B′＝110°，又∵∠A＝45°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣45°﹣110°＝25°，故选：C．5．（2023秋•定南县期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，则∠CAB'的度数为（）A．10° B．20° C．30° D．40°【答案】A【解答】解：∵∠B＝50°，∠BAC＝90°，∴∠C＝90°﹣50°＝40°，∵AD⊥BC，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，∴∠AB′D＝∠B＝50°，∵∠AB′D＝∠C+∠CAB′，∴∠CAB′＝50°﹣40°＝10°，故选：A．6．（2023秋•射洪市期末）如图，在五边形ABCDE中，∠B＝∠E＝90°，AB＝5cm，△ABC的面积是30cm2，△ACD与△AED关于AD所在的直线成轴对称，则AE的长度为（）A．12cm B．13cm C．14cm D．15cm【答案】B【解答】解：∵∠B＝90°，AB＝5cm，△ABC的面积是30cm2，∴，∴BC＝12cm，∵△ACD与△AED关于AD所在的直线成轴对称，∴△ACD≌△AED，∴AE＝AC＝13cm．故选：B．7．（2023秋•庄浪县期末）如图，∠AOB内一点P，P1，P2分别是P关于OA、OB的对称点，P1P2交OA于点M，交OB于点N．若△PMN的周长是5cm，则P1P2的长为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【答案】C【解答】解：∵P点关于OA、OB的对称点P1、P2，∴PM＝P1M，PN＝P2N，∴△PMN的周长＝PM+MN+PN＝P1M+MN+P2N＝P1P2，∵△PMN的周长是5cm，∴P1P2＝5cm．故选：C．8．（2023秋•文登区期末）如图的2×5的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与△ABC成轴对称的格点三角形一共有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【解答】解：如图所示：都是符合题意的图形．故选：C．9．（2023秋•南康区期末）如图，AD是三角形ABC的对称轴，点E、F是AD上的两点，若BD＝2，AD＝3，则图中阴影部分的面积是3．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵AD是三角形ABC的对称轴，∴AD垂直平分BC，即AD⊥BC，BD＝DC，∴S△EFB＝S△EFC，∴S阴影部分＝S△ABD＝S△ABC＝BD•AD＝×2×3＝3．故答案为3．10．（2023秋•信州区期末）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，点A与点E关于直线CD对称．若AB＝7，AC＝9，BC＝13，则△DBE的周长为11．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵点A与点E关于直线CD对称，∴AD＝ED，∠ADC＝∠EDC，CD＝CD，∴△ADC≌△EDC（SAS），∴AC＝EC，∵AB＝7，AC＝9，BC＝13，∴BE＝BC﹣CE＝BC﹣AC＝13﹣9＝4，∴△DBE的周长＝BD+DE+BE＝AB+BE＝7+4＝11．故答案为：11．11．（2023秋•上城区期末）按如图的方法折纸，则∠1+∠2＝90°．【答案】90．【解答】解：根据折叠的性质可知，∠1＝∠AEB，∠2＝∠FEC，∵∠1+∠AEB+∠2+∠FEC＝180°，∴2（∠1+∠2）＝180°，即∠1+∠2＝90°，故答案为：90．12．（2023秋•双辽市期末）如图，△AOB与△COB关于边OB所在的直线成轴对称，AO的延长线交BC于点D．若∠BOD＝46°，∠C＝20°，则∠ADC＝72°．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵△AOB与△COB关于边OB所在的直线成轴对称，∴△AOB≌△COB，∴∠A＝∠C＝20°，∠ABO＝∠CBO，∵∠BOD＝∠A+∠ABO，∴∠ABO＝∠BOD﹣∠ABO＝46°﹣20°＝26°，∴∠ABD＝2∠ABO＝52°，∴∠ADC＝∠A+∠ABD＝20°+52°＝72°，故答案为：72．【考点3】轴对称-最短路线问题

13．（2023秋•阳新县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10．如果点D，E分别为BC，AB上的动点，那么AD+DE的最小值是（）A．8.4 B．9.6 C．10 D．10.8【答案】B【解答】解：作点A关于BC的对称点A'，作点A'E⊥AB，交BC于点D.则AD＝A'D，∴AD+DE＝A'D+DE≥A'E．即AD+DE的最小值为A'E．∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝10，AA'＝12，∵S△AA'B＝，∴A'E＝＝＝9.6，即AD+DE的最小值为9.6．故选：B．14．（2023秋•城口县期末）四边形ABCD中，∠BAD＝122°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，当三角形AMN周长最小时，∠MAN的度数为（）A．58° B．64° C．61° D．74°【答案】B【解答】解：如图，延长AB到A′使得BA′＝AB，延长AD到A″使得DA″＝AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N．∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴A、A′关于BC对称，A、A″关于CD对称，此时△AMN的周长最小，∵BA＝BA′，MB⊥AB，∴MA＝MA′，同理：NA＝NA″，∴∠A′＝∠MAB，∠A″＝∠NAD，∵∠AMN＝∠A′+∠MAB＝2∠A′，∠ANM＝∠A″+∠NAD＝2∠A″，∴∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″），∵∠BAD＝122°，∴∠A′+∠A″＝180°﹣∠BAD＝58°，∴∠AMN+∠ANM＝2×58°＝116°．∴∠MAN＝180°﹣116°＝64°，故选：B．15．（2023秋•湖北期末）如图，∠MON＝45°，P为∠MON内一点，A为OM上一点，B为ON上一点，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数为（）A．45° B．90° C．100° D．135°【答案】B【解答】解：如图，作出P点关于OM、ON的对称点P1，P2连接P1，P2交OM，ON于A、B两点，此时△PAB的周长最小，由题意可知∠P1PP2＝180°﹣∠MON＝180°﹣45°＝135°，∴∠P1PA+∠P2PB＝∠P1+∠P2＝180°﹣∠P1PP2＝45°，∴∠APB＝135°﹣45°＝90°．故选：B．16．（2023秋•启东市期末）如图，∠AOB＝20°，点M、N分别是边OA、OB上的定点，点P、Q分别是边OB、OA上的动点，记∠MPQ＝α，∠PQN＝β，当MP+PQ+QN最小时，则β﹣α的值为（）A．10° B．20° C．40° D．60°【答案】C【解答】解：如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小，∴∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN，∴∠QPN＝（180°﹣α）＝∠AOB+∠MQP＝20°+（180°﹣β），∴180°﹣α＝40°+（180°﹣β），∴β﹣α＝40°，故选：C．17．（2023秋•西城区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，点D，E是边AB上的两个定点，点M，N分别是边AC，BC上的两个动点．当四边形DEMN的周长最小时，∠DNM+∠EMN的大小是（）A．45° B．90° C．75° D．135°【答案】B【解答】解：作点D关于BC的对称点D'，作点E关于AC的对称点E'，连接D'E'分别交AC，BC于点M'，N'，连接ME'，ND'，EM'，DN'，则ME＝ME'，ND＝ND'，∴四边形DEMN的周长＝DE+ME+MN+ND＝DE+ME'+MN+ND'≥DE+D'E'，∵DE长固定，∴点M与M'重合，点N与点N'重合时，四边形DEMN的周长最小，此时∠DNM+∠EMN＝∠DN'M+∠EM'N，由对称性和三角形外角性质可知：∠DN'M＝∠N'DD'+∠N'D'D＝2∠N'D'D，∠EM'N＝∠M'EE'+∠M'E'E＝2∠M'E'E，∴∠DN'M+∠EM'N＝2∠N'D'D+2∠M'E'E＝2（180°﹣∠D'DE'），设DD'与BC交于点H，∵AB＝AC，∠A＝90°，∴∠BDH＝45°，∴∠D'DE'＝180°﹣45°＝135°，∴∠DN'M+∠EM'N＝2（180°﹣135°）＝90°，即当四边形DEMN的周长最小时，∠DNM+∠EMN的大小是90°，故选：B．【考点4】翻折变换(折叠问题)

18．（2023秋•腾冲市期末）如图，将长方形ABCD沿AE折叠，已知∠CED'＝50°，则∠AED的大小是（）A．50° B．55° C．65° D．75°【答案】C【解答】解：由折叠的性质，∠DEA＝∠AED′，∴∠AED＝（180°﹣∠CED′）÷2＝65°．本题选C．19．（2023秋•荔城区期末）如图，在长方形纸片ABCD中，M为AD边的中点，将纸片沿BM、CM折叠，使点A落在A1处，点D落在D1处，若∠1＝32°，则∠BMC＝（）A．74° B．106° C．122° D．148°【答案】B【解答】解：由翻折知，∠AMB＝∠BMA1，∠DMC＝∠D1MC，∵∠1＝32°，∴∠AMB+∠DMC＝74°，∴∠BMC＝74°+32°＝106°，故选：B．20.（2023秋•驿城区期末）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BD、BE为折痕，点B、A′、C′在同一直线上．若∠CBD＝70°，则∠ABE的度数为（）A．20° B．30° C．40° D．70°【答案】A【解答】解：由折叠可知：∠CBD＝∠C′BD＝70°，∠ABE＝∠A′BE，∴∠ABE+∠A′BE＝2∠ABE＝180°﹣（∠CBD+∠C′BD）＝40°，∴∠ABE＝20°，故选：A．21．（2023秋•海沧区期末）如图，一张长方形纸片ABCD，点E，F分别在边AB，CD上，连接EF．将∠BEF对折，点B落在直线EF上的点B′处，得折痕EM；将∠AEF对折，点A落在直线EF上的A′处，得折痕EN．若∠FEA＝74°，则∠BEM的度数是（）A．63° B．55° C．53° D．56°【答案】C【解答】解：由翻折的性质可知，∠AEN＝∠NEF，∠BEM＝∠FEM，∵∠FEA+∠FEM+∠BEM＝180°，∴∠BEM＝（180°﹣∠FEA）＝53°．故选：C．22．（2023秋•夏津县期末）数学活动：折纸中的数学【知识背景】我们在第四章《几何图形初步》中学习了角的平分线，并会用折纸的方法作角平分线．如图4.3﹣11是教材第135页的探究，将纸片折叠使QP与QR重合，QM是折痕，此时∠PQM与∠RQM重合，所以∠PQM＝∠RQM，射线QM是∠PQR的平分线．【知识初探】（1）如图（1），点P，Q分别是长方形纸片ABCD的对边AB，CD上的点，连结PQ，将∠APQ和∠BPQ分别对折，使点A，B都分别落在PQ上的A′和B′处，点C落在C′处，分别得折痕PN，PM，则∠NPM的度数是90°；【类比再探】（2）如图（2），将长方形ABCD纸片分别沿直线PN，PM折叠，使点A，B分别落在点A′，B′处，PA′和PB′不在同一条直线上，且被折叠的两部分没有重叠部分．①若∠A'PB'＝20°，∠APN＝30°，求∠NPM的度数；②若∠A'PB'＝α（0°≤α＜180°），求∠NPM的度数（用含α的式子表示）；【拓展探究】（3）将长方形ABCD纸片分别沿直线PN，PM折叠，使点A，B，C分别落在点A'，B'，C′处，PA′和PB′不在同一条直线上，且被折叠的两部分有重叠部分，如图（3）．若∠A'PB'＝α（0°≤α≤60°），请直接写出∠NPM的度数（用含α的式子表示）．【答案】（1）90°；（2）①100°；②∠NPM＝90°+；（3）∠NPM＝90°﹣．【解答】解：（1）由折叠可知，∠APN＝∠A′PN，∠BPM＝∠B′PM，∵∠APN+∠A′PN+∠BPM+∠B′PM＝180°，∴2∠A′PN+2∠B′PM＝180°，∴∠A′PN+∠B′PM＝90°，即∠NPM＝90°．故答案为：90°；（2）①由折叠可知，∠APA′＝2∠APN＝2∠A′PN＝60°，∠BPB′＝2∠BPM＝2∠B′PM，∵∠A′PB′＝20°，∴∠BPB′＝180°﹣∠APA′﹣∠A′PB′＝100°，∴∠BPM＝∠B′PM＝BPB′＝50°，∴∠NPM＝∠A′PN+∠A′PB′+∠B′PM＝100°；②若∠A′PB′＝α（0°≤α＜180°），则∠APA′+∠BPB′＝180°﹣α，∴∠A′PN+∠A′PB′＝（∠APA′+∠BPB′）＝90°﹣，∴∠NPM＝∠A′PN+∠A′PB′+∠B′PM＝90°﹣+α＝90°+．（3）由折叠可知，∠APN＝∠A′PN，∠BPM＝∠B′PM，∵2∠A′PN+2∠B′PM＝180°+α，∴∠A′PN+∠B′PM＝90°+，∴∠NPM＝∠A′PN+∠B′PM﹣∠A′PB′＝90°+﹣α＝90°﹣．

【考点5】角平分线的性质

23．（2023秋•哈密市期末）三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（）A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点【答案】C【解答】解：在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，根据角平分线的性质，集贸市场应建在∠A、∠B、∠C的角平分线的交点处．故选：C．24．（2023秋•兴隆县期末）如图，已知∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D，OP＝6cm，点E是射线OB上的动点，则PE的最小值为（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm【答案】B【解答】解：∵∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，∴∠AOP＝30°，∵PD⊥OA，OP＝6cm，∴，过点P作PE'⊥OB于点E'，∵OC平分∠AOB，PE'⊥OB，PD⊥OA，∴PE'＝PD＝3cm，∴PE的最小值为3cm．故选：B．25．（2023秋•保定期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，若CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积是（）A．30 B．15 C．20 D．27【答案】B【解答】解：过D作DH⊥AB于H，∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，∴DH＝DC＝3，∵AB＝10，∴△ABD的面积＝AB•DH×10×3＝15．故选：B．26．（2023秋•韶关期末）如图，已知△ABC的周长是18cm，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD＝3cm，则△ABC的面积是（）cm2．A．24 B．27 C．30 D．33【答案】B【解答】解：过O点作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，如图，∵OB平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，∴OE＝OD＝3，同理可得OF＝OD＝3，∴S△ABC＝S△OAB+S△OBC+S△OAC＝×OE×AB+×OD×BC+×OF×AC＝（AB+BC+AC），∵△ABC的周长是18，∴S△ABC＝×18＝27（cm2）．故选：B．27．（2023秋•曹县期末）如图，△AOB的外角∠CAB，∠DBA的平分线AP，BP相交于点P，PE⊥OC于E，PF⊥OD于F，下列结论：（1）PE＝PF；（2）点P在∠COD的平分线上；（3）∠APB＝90°﹣∠O，其中正确的有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）证明：作PH⊥AB于H，∵AP是∠CAB的平分线，∴∠PAE＝∠PAH，在△PEA和△PHA中，，∴△PEA≌△PHA（AAS），∴PE＝PH，∵BP平分∠ABD，且PH⊥BA，PF⊥BD，∴PF＝PH，∴PE＝PF，∴（1）正确；（2）与（1）可知：PE＝PF，又∵PE⊥OC于E，PF⊥OD于F，∴点P在∠COD的平分线上，∴（2）正确；（3）∵∠O+∠OEP+∠EPF+∠OFP＝360°，又∵∠OEP+∠OFP＝90°+90°＝180°，∴∠O+∠EPF＝180°，即∠O+∠EPA+∠HPA+∠HPB+∠FPB＝180°，由（1）知：△PEA≌△PHA，∴∠EPA＝∠HPA，同理：∠FPB＝∠HPB，∴∠O+2（∠HPA+∠HPB）＝180°，即∠O+2∠APB＝180°，∴∠APB＝90°﹣，∴（3）错误；故选：C．28．（2023秋•东城区期末）如图，△ABC的外角的平分线BD与CE相交于点P，若点P到AC的距离为3，则点P到AB的距离为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解答】解：如图，过点P作PF⊥AC于F，PG⊥BC于G，PH⊥AB于H，∵∠ABC的外角平分线BD与∠ACB的外角平分线CE相交于点P，∴PF＝PG＝3，PG＝PH，∴PF＝PG＝PH＝3．故选：C．29．（2023秋•铜官区期末）如图，直线l1，l2，l3表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有（）A．一处 B．二处 C．三处 D．四处【答案】D【解答】解：满足条件的有：（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；（2）三个外角两两平分线的交点，共三处．故选：D．【考点6】线段垂直平分线的性质

30．（2023秋•钦州期末）如图，已知AC﹣BC＝3，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，△BCE的周长是15，则AC的长为（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴EA＝EB，∵△BCE的周长是15，∴EC+EB+BC＝EC+EA+BC＝AC+BC＝15，则，解得，AC＝9，BC＝6，故选：D．31．（2023秋•宁津县期末）如图，△ABC中，AB＝AE，且AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，若△ABC周长为16，AC＝6，则DC为（）A．5 B．8 C．9 D．10【答案】A【解答】解：∵△ABC周长为16，∴AB+BC+AC＝16，∵AC＝6，∴AB+BC＝10，∵EF垂直平分AC，∴EA＝EC，∵AB＝AE，AD⊥BC，∴BD＝DE，∴AB+BD＝AE+DE＝×（AB+BC）＝5，∴DC＝DE+EC＝AE+DE＝5，故选：A．32．（2023秋•丹江口市期末）如图，∠BAC＝140°，若DM和EN分别垂直平分AB和AC，则∠DAE等于（）A．100° B．90° C．80° D．70°【答案】A【解答】解：∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，∠BAC＝140°，∴∠B+∠C＝40°，∴DM和EN分别垂直平分AB和AC，∴DA＝DB，EA＝EC，∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，∴∠DAB+∠EAC＝∠B+∠C＝40°，∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠DAB+∠EAC）＝140°﹣40°＝100°．故选：A．33．（2023秋•嵩县期末）如图，兔子的三个洞口A、B、C构成△ABC，猎狗想捕捉兔子，必须到三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲守在△ABC（）A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三个角的角平分线的交点【答案】C【解答】解：猎狗到△ABC三个顶点的距离相等，则猎狗应蹲守在△ABC的三条边垂直平分线的交点．故选：C．34．（2023秋•天津期末）在△ABC中，AB的垂直平分线l1交BC于点D，AC的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为6．（1）AD与BD的数量关系为AD＝BD．（2）求BC的长．（3）分别连接OA，OB，OC，若△OBC的周长为16，求OA的长．【答案】（1）AD＝BD；（2）6；（3）5．【解答】解：（1）∵l1是线段AB的垂直平分线，∴AD＝BD，故答案为：AD＝BD；（2）∵l2是线段AC的垂直平分线，∴EA＝EC，∵△ADE的周长为6，∴AD+DE+AE＝6，∴BD+DE+EC＝6，即BC＝6；（3）∵l1是线段AB的垂直平分线，∴OA＝OB，∵l2是线段AC的垂直平分线，OA＝OC，∴OB＝OC，∵△OBC的周长为16，BC＝6，∴OB+OC＝10，∴OA＝OB＝OC＝5．

【考点7】等腰三角形的性质

35．（2023秋•江陵县期末）一个等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm，则此三角形的周长为（）A．13cm B．17cm C．7cm或13cm D．不确定【答案】B【解答】解：当3cm是腰时，3+3＜7，不符合三角形三边关系，故舍去；当7cm是腰时，周长＝7+7+3＝17cm．故它的周长为17cm．故选：B．36．（2023秋•建华区期末）若等腰三角形中有一个角为50度，则这个等腰三角形的顶角的度数为（）A．50° B．80° C．65°或50° D．50°或80°【答案】D【解答】解：①50°是底角，则顶角为：180°﹣50°×2＝80°；②50°为顶角；所以顶角的度数为50°或80°．故选：D．37．（2023春•雁塔区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ACD＝50°，点D是BC的中点，点E在AC上，且AE＝AD，则∠AED的度数为（）A．40° B．60° C．70° D．80°【答案】C【解答】解：∵AB＝AC，∠B＝50°，∴∠C＝∠B＝50°，∴∠BAC＝180°﹣50°×2＝80°，∵点D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∠CAD＝∠BAD＝∠BAC＝40°，又∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣40°）＝70°，故选：C．38．（2023秋•叙州区期末）如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且B，E，C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC．工程人员这种操作方法的依据是（）A．等边对等角 B．垂线段最短 C．等腰三角形“三线合一” D．线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等【答案】C【解答】解：∵AB＝AC，BE＝CE，∴AE⊥BC，故工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”，故选：C．39．（2023秋•自贡期末）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，连接AD．若∠B＝40°，BA＝BD，则∠DAC为（）A．25° B．30° C．35° D．40°【答案】C【解答】解：∵∠B＝40°，BA＝BD，∴∠BAD＝∠BDA＝＝＝70°，∵DE是AC的垂直平分线，∴DA＝DC，∴∠DAC＝∠C＝∠BDA＝35°，故选：C．40．（2023秋•延边州期末）【数学知识】等腰三角形的“三线合一”性质非常重要．如图①，在△ABC中，AB＝AC，AD是中线，若∠C＝58°，则∠BAD的度数为32°；【数学应用】如图②，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，AD、AG分别为△ABC和△AEF的中线，若∠BAF＝110°，∠CAE＝24°，求∠DAG的度数；【拓展】如图③，在△ABC和△ABE中，AB＝AC，AB＝AE，AD、AF分别为△ABC和△ABE的中线，AD与BE交于点O，若∠AOF＝69°，则∠CAE的度数为42°．【答案】【数学知识】32°；【数学应用】67°；【拓展】42°．【解答】解：【数学知识】∵AB＝AC，AD是中线，∠C＝58°，∴∠B＝∠C＝58°，AD⊥BC，∴∠B+∠BAD＝90°，∴∠BAD＝32°，故答案为：32°；【数学应用】∵AB＝AC，AE＝AF，AD、AG分别为△ABC和△AEF的中线，∴，∠EAG＝∠EAF，∴∠DAG＝∠DAC+∠CAE+∠EAG＝∠BAC+∠CAE+∠EAF＝∠BAF+∠CAE，∵∠BAF＝110°，∠CAE＝24°，∴∠DAG＝55°+12°＝67°；【拓展】∵AB＝AC，AB＝AE，AD、AF分别为△ABC和△ABE的中线，∴AF⊥BE，∠BAF＝BAE，∠BAD＝BAC，∴∠AOF+∠OAF＝90°，∵∠AOF＝69°，∴∠OAF＝21°，∴∠BAF﹣∠BAD＝∠BAE﹣∠BAC＝21°，∴∠BAE﹣∠BAC＝42°，∵∠CAE＝∠BAE﹣∠BAC＝42°，故答案为：42°．【考点8】等边三角形的性质

41．（2022春•沂源县期末）如图，a∥b，等边△ABC的顶点B在直线b上，∠1＝20°，则∠2的度数为（）A．60° B．45° C．40° D．30°【答案】C【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，过C作CM∥直线l，∵直线l∥直线m，∴直线l∥直线m∥CM，∵∠ACB＝60°，∠1＝20°，∴∠1＝∠MCB＝20°，∴∠2＝∠ACM＝∠ACB﹣∠MCB＝60°﹣20°＝40°，故选：C．42．（2023秋•老河口市期末）如图所示，△ABC是边长为20的等边三角形，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则BE+CF＝（）A．5 B．10 C．15 D．20【答案】B【解答】解：设BD＝x，则CD＝20﹣x，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°．∴BE＝cos60°•BD＝，同理可得，CF＝，∴BE+CF＝．故选：B．43．（2023秋•万州区期末）如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：过P作PF∥BC交AC于F．∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，∴∠PFD＝∠QCD，△APF是等边三角形，∴AP＝PF＝AF，∵PE⊥AC，∴AE＝EF，∵AP＝PF，AP＝CQ，∴PF＝CQ．∵在△PFD和△QCD中，，∴△PFD≌△QCD（AAS），∴FD＝CD，∵AE＝EF，∴EF+FD＝AE+CD，∴AE+CD＝DE＝AC，∵AC＝1，∴DE＝．故选：B．44．（2023秋•岑溪市期末）如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3、…在射线ON上，点B1、B2、B3、…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、…均为等边三角形，若OA1＝1，则△A9B9A10的边长为（）A．32 B．64 C．128 D．256【答案】D【解答】解：∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1＝A2B1，∠3＝∠4＝∠12＝60°，∴∠2＝120°，∵∠MON＝30°，∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°，又∵∠3＝60°，∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∵∠MON＝∠1＝30°，∴OA1＝A1B1＝1，∴A2B1＝1，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°，∵∠4＝∠12＝60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°，∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3，∴A3B3＝4B1A2＝4，A4B4＝8B1A2＝8，A5B5＝16B1A2＝16，…∴△AnBnAn+1的边长为2n﹣1，∴△A9B9A10的边长为29﹣1＝28＝256．故选：D．45．（2023秋•海南期末）如图，在等边△ABC中AB＝4，BD是AC边上的高，点E在BC的延长线上，∠ACB＝2∠E，则BE的长为（）A．4.5 B．5 C．6 D．9【答案】C【解答】解：∵△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，∴CD＝AC，∵AC＝AB＝4，∴CD＝2，∵∠ACB＝∠E+∠CDE＝2∠E，∴∠CDE＝∠E，∴CE＝CD＝2，∵BC＝AB＝4，∴BE＝BC+CE＝4+2＝6．故选：C．46．（2023秋•靖宇县期末）如图，是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间最小的三角形的边长是3，则六边形的周长为（）A．90 B．60 C．50 D．30【答案】A【解答】解：设等边△ABC的边长为a．∵9个三角形都是等边三角形，∴NA＝AW＝AB＝BN＝BC＝a，CD＝CE＝DE＝DF＝a+3，GF＝HF＝MG＝a+6，MN＝MW＝a+9．∵NW＝NA+AW，∴a+9＝2a．∴a＝9．∴拼成的六边形的周长为：NB+BC+CD+DF+GF+MG+MN＝a+a+a+3+a+3+a+6+a+6+a+9＝7a+27＝63+27＝90．故选：A．47．（2023秋•邹平市期末）如图，等边△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点B'处，DB'、EB'分别交边AC于点F、G．如果测得∠GEC＝36°，那么∠ADF＝84°．【答案】84°．【解答】解：∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝60°，∵∠GEC＝36°，∴∠BEG＝180°﹣∠GEC＝180°﹣36°＝144°，由翻折的性质得：∠BED＝∠GED，∠BDE＝∠FDE，∴∠BED＝∠BEG＝×144°＝72°，∴∠BDE＝180°﹣∠B﹣∠BED＝180°﹣60°﹣72°＝48°，∴∠BDE＝∠FDE＝48°，∴∠BDF＝∠BDE+∠FDE＝96°，∴∠ADF＝180°﹣∠BDF＝180°﹣96°＝84°．故答案为：84°．【考点9】作图-轴对称变换

48．（2023秋•哈密市期末）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．（1）请写出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1的各顶点坐标；（2）请画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2；（3）在x轴上求作一点P，使点P到A、B两点的距离和最小，请标出P点，并直接写出点P的坐标（2，0）．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵△ABC与△A1B1C1关于x轴对称，∴点A1（1，﹣1），B1（4，﹣2），C1（3，﹣4）．（2）如图，△A2B2C2即为所求．（3）如图，点P即为所求，点P的坐标为（2，0）．故答案为：（2，0）．49．（2023秋•和平县期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣4，2），点B的坐标为（﹣3，4），点C与点A关于y轴对称．（1）写出点C的坐标，画出△ABC；（2）画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′；（3）在y轴上存在一点D，使得S△ACD＝S△ABC，直接写出点D的坐标．【答案】（