江苏省淮安市洪泽区2022-2023学年九上期中数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省淮安市洪泽区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题意的）1.下面图形中是轴对称不是中心对称图形的是（）A.正方形 B.正六边形 C.圆 D.正五边形【答案】D【解析】【分析】根据轴对称图形的概念与中心对称的概念即可作答．【详解】解：A、B、C既是中心对称图形也是轴对称图形，

D、是轴对称图形不是中心对称图形．

故选D．【点睛】本题考查中心对称图形与轴对称图形的概念是解题的关键．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合．2.方程二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A.1，5，0 B.0，5，0 C.0，﹣5，0 D.1，﹣5，0【答案】D【解析】【分析】根据一元二次方程的一般形式得出答案即可．【详解】解：方程二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，﹣5，0故选：D【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，注意：找各项的系数时，带着前面的符号．3.已知：如图A、B是上两点中，若，点C在上，则度数为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据圆周角定理即可解答．【详解】解：是的两条半径，，故选：A【点睛】本题考查的是圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．4.如果关于x的方程有实数根，那么m的取值范围是（）A.m>3 B.m≥3 C.m>-4 D.m≥-4【答案】D【解析】【分析】根据解一元二次方程的直接开平方法满足的条件，进行计算即可．【详解】解：关于x的方程有实数根，，．故选D．【点睛】此题考查了一元二次方程的解法：直接开平方法，熟练掌握“只有非负数才会有平方根，才可以开平方”是解此题的关键．5.已知一元二次方程有一个根为2，则另一根为（）A.-4 B.-2 C.4 D.2【答案】D【解析】【详解】试题解析:设关于x的一元二次方程的另一个根为t，则解得t=2.故选D.点睛：一元二次方程两根分别是6.点I是的内心，则点I是的（）A.三条中垂线交点 B.三条角平分线交点C.三条中线交点 D.三条高的交点【答案】B【解析】【分析】根据三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，即可解决问题．【详解】解：点I是的内心，则可知点I是的三条角平分线的交点．故选：B【点睛】本题考查的是三角形的内切圆和内心的概念和性质，掌握三角形的内切圆的性质、角平分线的判定定理是解题的关键．7.若一个圆内接正多边形的中心角是，则这个多边形是（）A.正九边形 B.正八边形 C.正七边形 D.正六边形【答案】A【解析】【分析】根据正多边形的中心角的计算公式计算即可．【详解】解：设这个多边形的边数是n，由题意得解得，，故选：A【点睛】本题考查的是正多边形和圆的有关知识，掌握正多边形的中心角的计算公式是解题的关键．8.如图，点A，B的坐标分别为A（3，0）、B（0，3），点C为坐标平面内的一点，且BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】作点A关于点O的对称点A'根据中位线的性质得到OM=，求出A'C的最大值即可．【详解】解：如图，作点A关于点O的对称点A'（﹣3，0），则点O是AA'的中点，又∵点M是AC的中点，∴OM是△AA'C的中位线，∴OM=，∴当A'C最大时，OM最大，∵点C为坐标平面内的一点，且BC＝2，∴点C在以B为圆心，2为半径的⊙B上运动，∴当A'C经过圆心B时，AC最大，即点C在图中C'位置．A'C'＝AB+BC'＝3．∴OM的最大值．故选：A．【点睛】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定OM为最大值时点C的位置是解题的关键．二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）9.关于x的方程的解是_____．【答案】【解析】【分析】利用因式分解法即可得出．【详解】解：，，，或，∴．故答案为：．【点睛】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键．10.已知（m－1）＋3x－5＝0是一元二次方程，则m＝________．【答案】－1【解析】【分析】根据一元二次方程的定义m-1≠0，且，解答即可．【详解】∵（m－1）＋3x－5＝0是一元二次方程，∴m-1≠0，且，∴m-1≠0，且，∴，故答案为：-1．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义即含有一个未知数且含未知数项的次数最高是2的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键．11.若是方程的一个根，则式子的值为_____．【答案】【解析】【分析】因为是方程的一个根，所以，然后将其整体代入所求的代数式求值即可．【详解】解：∵是方程的一个根，∴，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查方程的解的定义，求代数式的值．解题的关键：利用方程解的定义找到相等关系，再把所求的代数式化简后整理出所找到的相等关系的形式，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值．12.如图，△ABC的三个顶点都在直角坐标系中的格点上，图中△ABC外接圆的圆心坐标是_______．【答案】【解析】【分析】设三角形的外心为，然后根据外心的性质可以得到关于x、y的方程组，解方程组即可得解．【详解】解：设三角形的外心为，由题意可得：，则，解方程可得：，故答案为．【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握三角形外接圆的性质、二元一次方程组的解法是解题关键．13.如图，为的外接圆，，，则直径长为______．【答案】4【解析】【分析】连接OA、OB，根据圆周角定理得出∠AOB=60°，证明△AOB为等边三角形，进而求出直径．【详解】解：连接OA、OB，∵，∴∠AOB=60°，∵OA=OB，∴△AOB为等边三角形，∵，∴OA=OB=2，则直径长为4；故答案为4．【点睛】本题考查了圆周角的性质和等边三角形的性质与判定，解题关键是连接半径，证明三角形是等边三角形．14.一个点到圆的最小距离为3cm，最大距离为6cm，该圆的直径是_____．【答案】9cm或3cm##3cm或9cm【解析】【分析】点应分为位于圆的内部与外部两种情况讨论：①当点在圆内时，直径＝最小距离+最大距离；②当点在圆外时，直径＝最大距离﹣最小距离．【详解】解：分为两种情况：①当点在圆内时，如图1，点到圆上的最小距离cm，最大距离cm，直径cm；②当点在圆外时，如图2，点到圆上的最小距离cm，最大距离cm，直径cm；故答案为：9cm或3cm【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，注意分两种情况进行讨论是解决本题的关键．15.圆锥底面圆的半径4，母线长12，则这个圆锥的侧面积为_____．【答案】【解析】【分析】根据圆锥的侧面展开图为扇形，先计算出圆锥的底面圆的周长，然后利用扇形的面积公式求得扇形的面积即可．【详解】解：∵圆锥的底面半径为4，∴圆锥的底面圆的周长，∴圆锥的侧面积．故答案为：．【点睛】本题考查了圆锥的侧面积的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长为圆锥的底面周长，扇形的半径为圆锥的母线长．也考查了扇形的面积公式：，（l为弧长）．16.如图，在正六边形ABCDEF中，AB=6，点M在边AF上，且AM=2．若经过点M的直线l将正六边形面积平分，则直线l被正六边形所截的线段长是_____．【答案】【解析】【分析】如图，连接AD，CF，交于点O，作直线MO交CD于H，过O作OP⊥AF于P，由正六边形是轴对称图形可得：由正六边形是中心对称图形可得：可得直线MH平分正六边形的面积，O为正六边形的中心，再利用直角三角形的性质可得答案．【详解】解：如图，连接AD，CF，交于点O，作直线MO交CD于H，过O作OP⊥AF于P，由正六边形是轴对称图形可得：由正六边形是中心对称图形可得：∴直线MH平分正六边形的面积，O为正六边形的中心，由正六边形的性质可得：为等边三角形，而则故答案为：【点睛】本题考查的是正多边形与圆的知识，掌握“正六边形既是轴对称图形也是中心对称图形”是解本题的关键．三、解答题（本题共11小题，共102分）17.解方程：（1）；（2）．【答案】（1），（2），【解析】【分析】（1）利用配方法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可．【小问1详解】解：（1），，，即，∴，∴，；【小问2详解】，，，∴或，∴，．【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．18.如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．（1）将绕原点顺时针旋转后得到，在所给图形中画出；（2）请写出、、三点的坐标：，，；（3）求点旋转到点的弧长为．【答案】（1）图见解析（2）；；（3）【解析】【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点，，的对应点分别为点，，即可；（2）根据图直接得出各点的坐标即可；（3）以点为圆心，圆心角为，为半径画弧得到点在旋转的过程中所经过的路线，然后根据弧长公式计算它的长度．【小问1详解】解：如图，为所作；【小问2详解】由图知：，，．故答案为：；；．【小问3详解】由题意知，点旋转到点的所在的圆的半径为，所对的圆心角为，∴的长为：．故答案为：．【点睛】本题考查作图—旋转变换，弧长的计算．根据旋转的性质可知，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．理解和掌握旋转的性质及弧长的计算公式是解题的关键．19.已知关于的方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．【答案】【解析】【分析】若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式，建立关于的不等式，求出的取值范围．【详解】解：由题意知，∵方程有两个不相等的实数根，∴，即，解得：．∴的取值范围是．【点睛】本题考查根的判别式，正确记忆一元二次方程根的情况与根的判别式的关系是解题关键．20.如图：，D、E分别是半径OA和OB的中点，求证：CD＝CE．【答案】详见解析【解析】【分析】利用圆的性质：同弧所对的圆心角相等可得∠AOC＝∠BOC，进而证得△COD≌△COE，即可证得CD=CE．【详解】证明：连接OC．在⊙O中，∵，∴∠AOC＝∠BOC，∵OA＝OB，D、E分别是半径OA和OB的中点，∴OD＝OE，∵OC＝OC（公共边），∴△COD≌△COE（SAS），∴CD＝CE（全等三角形的对应边相等）．【点睛】本题考查了圆的性质、全等三角形的性质与判定，熟练掌握圆的性质是解答的关键．21.某店销售A产品，每千克售价为100元，若连续两次降低售价后，每千克81元，两次降价的平均百分率相同，求这两次降价的平均百分率？【答案】这两次降价的平均百分率为【解析】【分析】设这两次降价的平均百分率为x，利用经过两次降价后的价格＝原价（1-这两次降价的平均百分率）2，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．【详解】解：设这两次降价的平均百分率为x，根据题意得：，解得：（不符合题意，舍去）．答：这两次降价的平均百分率为【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．22.某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润为120元．通过调查发现，若每箱降价1元，每天可多售出2箱．为了扩大销售量，增加利润，超市准备适当降价销售．（1）若将这种饮料每箱降价x元，则每天的销售量是________箱（用含x的代数式表示）（2）如果要使每天销售饮料获利14000元，问每箱应降价多少元？【答案】（1）（2）元【解析】【分析】（1）根据每降价元，多卖箱，列出代数式即可解答；（2）根据每箱的利润销量利润，列出一元二次方程，解方程即可解答．【小问1详解】设这种饮料每箱降价元，则每天的销售量为．故答案为：．【小问2详解】根据题意可得：整理得：即解得：，为了扩大销售量答：每箱应降价元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，关键是找到等量关系正确列出方程．23.如图所示，中，，点P从点A开始沿边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以2cm/s的速度移动，P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒P、Q之间距离等于cm？【答案】经过秒或2秒P、Q之间距离等于cm【解析】【分析】设经过x秒钟，P、Q之间距离等于cm，根据点P从A点开始沿边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以2cm/s的速度移动，表示出和的长可列方程求解．【详解】解：设经过x秒P、Q之间距离等于cm，可得：，整理得，解得：，．答：经过秒或2秒P、Q之间距离等于cm【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语得出等量关系是解决问题的关键．24.如图，如图，点A、B、C在圆O上，，直线，，点O在BD上．（1）判断直线AD与圆O的位置关系，并说明理由；（2）若圆的半径为6，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）直线AD与圆O相切，理由见解析（2）【解析】分析】（1）连接OA，根据和AB=AD，可得∠DBC=∠ABD=∠D=30°，从而得到∠BAD=120°，再由OA=OB，可得∠BAO=∠ABD=30°，从而得到∠OAD=90°，即可求解；（2）连接OC，作OH⊥BC于H，根据垂径定理可得，进而得到，再根据阴影部分的面积为，即可求解．【小问1详解】解：直线AD与圆O相切，理由如下：如图，连接OA，∵，∴∠D=∠DBC，∵AB=AD，∴∠D=∠ABD，∵，∴∠DBC=∠ABD=∠D=30°，∴∠BAD=120°，∵OA=OB，∴∠BAO=∠ABD=30°，∴∠OAD=90°，∴OA⊥AD，∵OA是圆的半径，∴直线AD与园O相切，【小问2详解】解：如图，连接OC，作OH⊥BC于H，∵OB=OC=6，∴∠OCB=∠OBC=30°，∴∠BOC=120°，∴，∴，∴，∴扇形BOC面积为，∵，∴阴影部分的面积为．【点睛】本题主要考查了切线的判定，求扇形面积，垂径定理，熟练掌握切线的判定定理，并根据题意得到阴影部分的面积为是解题的关键．25.我们知道，对于任意一个实数a，具有非负性，即“”．这个结论在数学中非常有用．很多情况下我们需要将代数式配成完全平方式，然后利用“”来解决问题．例如：∵∴∴（1）填空：_______；（2）请用作差法比较与的大小，并写出解答过程；（3）填空：的最大值为_______．【答案】（1）（2）（3）的最大值为4【解析】【分析】（1）由，再配方即可；（2）由，再利用非负数的性质可得答案；（3）由，再利用非负数的性质可得答案．【小问1详解】解：故答案：【小问2详解】解：【小问3详解】解：∴的最大值为4．【点睛】本题考查的是配方法的应用，掌握“配方法的步骤与非负数的性质”是解本题的关键．26.【概念认识】与矩形一边相切（切点不是顶点）且经过矩形的两个顶点的圆叫做矩形的第Ⅰ类圆；与矩形两边相切（切点都不是顶点）且经过矩形的一个顶点的圆叫做矩形的第Ⅱ类圆．（1）【初步理解】如图①~③，四边形ABCD是矩形，⊙O1和⊙O2都与边AD相切，⊙O2与边AB相切，⊙O1和⊙O3都经过点B，⊙O3经过点D，3个圆都经过点C．在这3个圆中，是矩形ABCD的第Ⅰ类圆的是，是矩形ABCD的第Ⅱ类圆的是．（2）【计算求解】已知一个矩形的相邻两边的长分别为4和6，请求出它的第Ⅰ类圆和第Ⅱ类圆的半径长．（3）【深入研究】如图④，已知矩形ABCD，用直尺和圆规作出矩形ABCD的第Ⅰ类圆或第Ⅱ类圆．（保留作图痕迹，并写出必要的文字说明）（第Ⅰ类圆，第Ⅱ类圆任选一个即可）【答案】（1）⊙O1；⊙O2（2）第Ⅰ类圆的半径是或；第Ⅱ类圆的半径是（3）见解析【解析】【分析】（1）根据题目中所给定义，就可以解决此问；（2）第Ⅰ类圆分两种情况求:当AD＝6，AB＝4时和AD＝4，BC＝6时，再根据圆的切线的性质定理，构造出直角三角形，利用勾股定理，列出方程，进行解答即可．第Ⅱ类圆，过点O作交于点M，交BC于点N，连接OC，利用切线性质和勾股定理，列出方程：，即可得出第Ⅱ类圆的半径；（3）第Ⅰ类圆就是作不在同一直线上三点之间线段的垂直平分线，其交点就是圆心，以圆心到三点中任意一点的线段长为半径画出的圆就是第Ⅰ类圆；矩形的Ⅱ类圆的作法就是：先作出∠BAD的平分线，然后在角平分线上任取点E，过点E作，垂足为点F，接着以点E为圆心，EF为半径作圆E，交AC于点G，连接FG．过点C作，CH交AD于点H，再过点H作AD的垂线，交∠BAD的平分线于点O，最后以点O为圆心，OH为半径的圆，画圆即可．【小问1详解】解：与矩形一边相切（切点不是顶点）且经过矩形的两个顶点的圆叫做矩形的第Ⅰ类圆，是符合Ⅰ类圆的定义，是矩形的第Ⅰ类圆；与矩形两边相切（切点都不是顶点）且经过矩形的一个顶点的圆叫做矩形的第Ⅱ类圆，符合Ⅱ类圆的定义，是矩形的第Ⅱ类圆．故答案为：⊙O1；⊙O2；【小问2详解】如图1，设AD＝6，AB＝4，切点为E，过点O作交BC于F，交AD于E，∵四边形ABCD是矩形,∴BC=AD=6,,∵，∴，∴，∴四边形ABFE是矩形，∴AB=EF=4,连接BO，设BO＝r，则OE＝r，OF＝4－r，由垂径定理可得，BF＝CF＝3，在中，，∴，解得:；如图2，设AD＝4，BC＝6，切点为E，过点O作交BC于F，交AD于E，连接BO，∵四边形ABCD是矩形,∴BC=AD=4,,∵，∴，∴，∴四边形ABFE是矩形,∴AB=EF=6,设BO＝r，则OE＝r，OF＝6－r，由垂径定理可得，BF＝CF＝2，在中，∴，解得:；综上所述：第Ⅰ类圆的半径是或；如图3，AD＝6，AB＝4，过点O作交于点M，交BC于点N，连接OC，设AB边与的切点为G，连接OG，∵四边形ABCD是矩形,∴BC=AD=6,,∵，∴，∴，∴四边形ABNM是矩形，∴AB=NM=4,∵AB边与的切点为G，∴∴，设OM＝r，则OC＝r，则ON＝4－r，∵OG＝r，∴，∴四边形BNOG是矩形，∴，∴NC＝6－r，在中，，，解得，∵,∴∴第Ⅱ类圆的半径是:；【小问3详解】①如图4，第一步，作线段AD的垂直平分线交AD于点E，第二步，连接EC，第三步，作EC的垂直平分线交EF于点O，第四步，以O为圆心，EO