《直线和圆的位置关系（3）》名师课件

24.2.2直线和圆的位置关系第三课时

（1）切线的判定定理：

经过半径外端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（2）切线性质：

圆的切线垂直于经过切点的半径.（3）角平分线性质：

角平分线上的点到角两边的距离相等.活动1探究一：切线长定义以旧引新当点P在⊙O内时，过点P能否画出⊙O的切线？能、有且仅有1条能，两条不能当点P在⊙O上时，过点P能否画出O的切线？有几条？当点P在⊙O外时，过点P能否画出⊙O的切线？有几条？如图，过⊙O外一点P能画出PA，PB两条切线，点A、B为切点;我们把圆外这个点P和切点A、B之间的线段PA、PB的长，叫做点P到⊙O的切线长.活动1注意：（1）切线和切线长的区别：

切线是一条直线，切线长是线段的长.（2）切线的条数:过一点做一个圆的切线，①点在圆上，有且只有一条经过该点的切线；②点在圆外:有两条切线.探究一：切线长定义探究二：切线长定理重点、难点知识★▲大胆操作，探究新知如图：PA、PB是圆⊙O的两条切线，切点分别为A、B,在半透明的纸上画出这个图形，并沿着直线PO将图形对折，图中的PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？对折后完全重合PA=PB,∠APO=∠BPO.活动1我们能否通过严密的推理论证来证明这个结论是正确的呢？探究二：切线长定理重点、难点知识★▲集思广益，证明新知如图：已知PA、PB是圆⊙O的两条切线，切点分别为A、B.求证：（1）PA=PB，（2）∠APO=∠BPO证明：连接OA、OB.∵PA、PB是圆⊙O的两条切线，切点分别为A、B，∴OA⊥PA,OB⊥PB.∴∠OAP=∠OBP=90°.又OA=OB,OP=OP，∴Rt△OAP≌Rt△OBP.∴PA=PB,∠APO=∠BPO.活动2切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.几何语言：∵PA、PB是圆⊙O的两条切线，切点分别为A、B,∴PA=PB,∠APO=∠BPO.探究二：切线长定理重点、难点知识★▲活动2集思广益，证明新知发散思维重新认识一块三角形的铁皮，如何在上面截一块圆形的用料，并且使接下来的圆与三角形的三边都相切？假设符合条件的圆已经做出来，那么这个圆的圆心到三条边的距离都等于半径，如何找到这个圆心呢？三角形三条角平分线交于同一点，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，找到三角形任意两个角的角平分线交点就是圆心.探究三：三角形内切圆与内心的性质重点、难点知识★▲活动1如图所示：分别作出∠CAB以及∠CBA的角平分线，得到交点O，O到AC的距离OE即为半径，所以⊙O即为所求作的△ABC的内切圆。图中⊙O与三角形各边都相切，所以圆O叫△ABC的内切圆，圆心O是△ABC三条角平分线的交点，叫△ABC的内心.重点、难点知识★▲活动1发散思维重新认识探究三：三角形内切圆与内心的性质活动1探究四：切线长定理，三角形内切圆及内心性质的应用基础型例题例1：如图：PA、PB是⊙O的两条切线、A、B为切点.PO交⊙O于E点.（1）若OA=5，PO=13，则PB=____（2）连接OA、OB，若∠APB=40°，则∠AOP=____【思路点拨】（1）连接OA得Rt△PBO中，在运用勾股定理、切线长定理、三角形全等求解.（2）利用切线长定理可解决.活动1探究四：切线长定理，三角形内切圆及内心性质的应用基础型例题解：∵PA、PB是圆⊙O的两条切线，切点分别为A、B，∴OA⊥PA，PA=PB，∠APO=∠APB.（1）在Rt△PAO中,OA=5，PO=13，∴PA=12，∴PB=12.（2）∵∠APB=40°，

∴∠APO=20°.

∴∠AOP=90°－∠APO=70°.解：∵PA、PB是⊙O的两条切线，OP=4，PA=，∴OA⊥PA,∠AOP=∠BOP.∴Rt△OAP中,OA==2.∵OA=OP，∴∠APO=30°,∠AOP=60°.又∵△APO≌△BPO（HL），∴∠AOB=2∠AOP=120°.故选D.练习：如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点是A、B.如果OP=4，PA=

，那么∠AOB等于（）A.90°B.100°C.110°D．120°【思路点拨】根据切线性质、勾股定理可求出Rt△OAP中OA=2,进一步得到∠APO=30°,∠AOP=60°,再根据切线长定理求角度。探究四：切线长定理，三角形内切圆及内心性质的应用D例2：如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC=80°，则∠BOC=（）A.130°B.100°C.50°D.65°解：∵OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线，∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°﹣80°）=50°.∴∠BOC=180°－50°=130°.故选A.【思路点拨】根据三角形内角和性质可得∠ABC+∠ACB=100°,再由角平分线性质得

（∠ABC+∠ACB）=50°,从而求得∠BOC度数.探究四：切线长定理，三角形内切圆及内心性质的应用A解：∵⊙O是△ABC的内切圆，∴OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线，∴∠DOC=（∠ABC+∠ACB）=（180°﹣60°）=60°.练习：如图，⊙O是△ABC的内切圆，若∠A=60°，则∠DOC=________.【思路点拨】根据三角形内角和性质可得∠ABC+∠ACB=120°,再由角平分线性质得

（∠ABC+∠ACB）=60°,从而求得∠DOC度数.探究四：切线长定理，三角形内切圆及内心性质的应用60°提升型例题例3：如图所示,P是⊙O外一点,PA,PB分别和⊙O切于A、B两点，C是

上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA，PB于D，E．若△PDE的周长为12，则PA的长为（）A．12 B．6 C．8 D．4【思路点拨】根据切线长定理得线段间等量关系，再根据等式性质求解.探究四：切线长定理，三角形内切圆及内心性质的应用活动2提升型例题解：∵PA，PB分别和⊙O切于A，B两点，∴PA=PB.∵DE是⊙O的切线，∴DA=DC，EB=EC.∵△PDE的周长为12，即PD+DE+PE=PD+DC+EC+PE=PD+AD+EB+PE=PA+PB=2PA=12，∴PA=6.故选B.探究四：切线长定理，三角形内切圆及内心性质的应用活动2练习：如图,以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD、下底BC以及腰AB均相切，切点分别是D，C，E．若半圆O的半径为2，梯形的腰AB为5，则该梯形的周长是

．14【思路点拨】根据切线长定理得线段间等量关系，再根据等式性质求解.解：根据切线长定理，AD=AE，BC=BE，∴梯形的周长是5×2+4=14，探究四：切线长定理，三角形内切圆及内心性质的应用探究型例题例4：如图，Rt△ABC中,∠B=90°,它内切圆⊙O与AB、BC、AC分别切于点D、E、F，若BC=a，AC=b，AB=c，内切圆⊙O半径为r.求证：探究四：切线长定理，三角形内切圆及内心性质的应用活动3【思路点拨】根据内切圆性质可得四边形BEOD是边长等于内切圆半径的正方形,根据切线长定理可知AD=AF=c-r,CE=CF=a-r,再利用AF+CF=b建立等量关系求证即可.探究型例题探究四：切线长定理，三角形内切圆及内心性质的应用活动3解：∵内切圆⊙O与AB、BC、AC分别切于点D、E、F,∴AD=AF,BD=BE,CE=CF,∠B=∠BDO=∠BEO=90°.∴OD=OE.∴四边形BEOD为正方形.∴BD=BE=r∴AD=AF=c-r,CE=CF=a-r.又AF+CF=b∴c-r+a-r=b∴练习：已知△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，则它的内切圆半径为_______.2解：△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，∴∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°.∴=2.【思路点拨】探究四：切线长定理，三角形内切圆及内心性质的应用1.切线长定义：

过圆外一点，作圆的切线，这个点和切点之间的线段长叫做这个点到圆的切线长。

注意：切线和切线长的区别：切线是一条直线，切线长是线段的长2.切线长定理：

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

几何语言：∵PA、PB是圆⊙O的两条切线，切点分别为A