重庆市两江新区2022-2023学年九上期末数学试题（解析版）

2022-2023学年上期初中期末质量监测九年级数学试题参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为．一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．1.下列图形中，是中心对称图形的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据中心对称图形的定义，逐一进行判断即可．【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；B、是中心对称图形，符合题意；C、不是中心对称图形，不符合题意；D、不是中心对称图形，不符合题意；故选B．【点睛】本题考查中心对称图形识别．熟练掌握中心对称图形的定义：一个平面图形，绕一点旋转，与自身完全重合，是解题的关键．2.若点在反比例函数的图象上，则k的值是（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】把点代入解析式即可求解.【详解】解：∵点在反比例函数的图象上∴故选：D【点睛】此题主要考查待定系数法求反比例函数，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式.3.二次函数的顶点坐标为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据二次函数顶点坐标是进行解答即可．【详解】解：∵二次函数顶点坐标是，∴二次函数图象的顶点坐标为．故选：C．【点睛】此题考查了二次函数的性质，掌握二次函数顶点式的特点是解题的关键．4.元旦假期，李华去游乐园坐大摆锤．大摆锤上，李华离地面的高度h（米）和他坐上大摆锤后摆动的时间t（分钟）之间的部分函数关系如图所示，则下列说法错误的是（）A.李华出发后经过6分钟，离地面的高度为3米B.李华出发后的第3分钟和第9分钟，离地面的高度相同C.李华离地面的最大高度为10米D.大摆锤摆动一个来回需要3分钟【答案】D【解析】【分析】根据图象依次分析即可．【详解】解：A、由图象可知，李华出发后经过6分钟，离地面的高度为3米正确，故不符合题意；B、由图象可知，李华出发后的第3分钟和第9分钟，离地面的高度相同，都是10米，故正确，不符合题意；C、由图象可知，李华离地面的最大高度为10米正确，故不符合题意；D、由图象可知，大摆锤摆动一个来回需要6分钟，故错误，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了从函数图象获取信息的知识，解题关键是理解函数图象的意义．5.如图，与是位似图形，相似比是，已知，则的长为（）A.4 B. C.9 D.【答案】C【解析】分析】根据位似比等于相似比，进而即可求解．【详解】解：∵与是位似图形，相似比是，∴，∵，∴，故选：C．【点睛】本题考查了位似图形的性质，掌握位似图形的性质是解题的关键．6.如图，是的直径，，则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据圆周角定理求出，再根据平角的定义求出的度数即可．【详解】解：∵是的直径，，∴，∴，故选B．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，熟知同圆中同弧所对的圆周角的度数是圆心角的一半是解题的关键．7.下列命题是真命题的是（）A.有一个角是直角的四边形是矩形 B.相等的圆心角所对的两条弦相等C.平分弦的直径一定垂直于这条弦 D.圆既是中心对称图形也是轴对称图形【答案】D【解析】【分析】根据矩形的判定定理，圆心角与弦的关系，垂径定理，中心对称图形与轴对称图形的定义，逐项判断即可求解．【详解】A.有一个角是直角的平行四边形是矩形，故该选项不正确，不符合题意；B.同圆或等圆中，相等的圆心角所对的两条弦相等，故该选项不正确，不符合题意；C.平分弦（非直径）的直径一定垂直于这条弦，故该选项不正确，不符合题意；D.圆既是中心对称图形也是轴对称图形，故该选项正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了矩形的判定定理，圆心角与弦的关系，垂径定理，中心对称图形与轴对称图形的定义，掌握以上知识是解题的关键．8.中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”翻译成数学问题是：一块长方形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？设宽为x步，则依题意列方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】设宽为x步，则长为步，然后根据长方形面积公式列出方程即可．【详解】解：设宽为x步，则长为步，由题意得，，故选A．【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．9.如图，的弦交直径于E，，，则的长为（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】过点O作于点F，先根据已知条件求出，则，再根据垂径定理得到，则，利用勾股定理求出即可求出．【详解】解：过点O作于点F，∵，，∴，∴，∴由垂径定理可知：，∴，∴由勾股定理可知：，在中，由勾股定理可知：，故选：D．

【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理相关知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．10.如图，在正方形中，点M是上一点，点E是的中点，绕点E顺时针旋转得到，连接，．则的度数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】延长至点，证明，得到，利用斜边上的中线等于斜边的一半，得到，进而得到，得到，进而得到，求出的值，进而求出的度数．【详解】解：延长至点，∵四边形是正方形，点E是的中点，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵绕点E顺时针旋转得到，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴；故选B．【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线，旋转的性质．本题的综合性较强，解题的关键是添加辅助线，证明三角形全等．11.若反比例函数，当时，y随x的增大而增大，且关于x的一元二次方程存在实数解，则符合条件的所有整数k的和为（）A.8 B.9 C.10 D.11【答案】C【解析】【分析】根据反比例函数的性质确定，再根据判别式确定方程的根，进而得出k的整数值，即可得解．【详解】解∶反比例函数，当时，y随x的增大而增大，∴，∴，∵关于x的一元二次方程存在实数解，∴，且≠2，∴,∴，且k≠2，∴符合条件的整数k为1、3、4，符合条件的所有整数k的和为，故选∶A．【点睛】此题考查了反比例函数的性质和一元二次方程根的判别式以及不等式组的整数解，解题的关键是熟记一元二次方程根的判别式．12.已知两个代数式，，我们在代数式A___________B___________A___________B中的“___________”上添加加减乘除的运算符号叫做关于A、B的“三阶运算”．比如就为A、B的一种三阶运算．下列说法正确的个数是（）①若三阶运算的结果为2，则；②将三阶运算的结果分解因式后为；③只存在一种关于A、B的三阶运算使得结果为1．A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】由得，进而得方程，解此方程即可判断①，分别计算及，比较即可判断②，例举三阶运算使结果为1可判断③．【详解】解：，，∵，∴，解得，故①正确，，，故②错误，∵，，∴关于、的三阶运算使得结果为1的情形不唯一，故③错误,故选B．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，整式的混合运算，因式分解，熟练掌握一元二次方程的解法式解题的关键．二、填空题：（本大题4个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．13.计算：___________．【答案】【解析】【分析】根据算术平方根与零指数幂进行计算即可求解．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查了算术平方根与零指数幂，掌握算术平方根与零指数幂是解题的关键．14.有四张完全一样正面分别写着字母、、、的卡片，将这四张卡片背面朝上并洗匀，甲随机抽出一张，记下卡片上的字母后放回洗匀，乙再从中随机抽出一张，则两人恰好抽取的两张卡片上的字母相同的概率是___________．【答案】##【解析】【分析】根据题意，列表法求概率即可求解．【详解】列表如下共有16种等可能结果，其中符合题意的有4种，则两人恰好抽取的两张卡片上的字母相同的概率是故答案为：．【点睛】本题考查了列表法求概率，掌握列表法求概率是解题的关键．15.如图，在扇形中，已知，，过弧的中点C作，，垂足分别为点D、E，则图中阴影部分的面积为___________．【答案】##【解析】【分析】用扇形的面积减去正方形的面积即可求出阴影部分的面积．【详解】解：连接，则：，∵C为弧的中点，∴，∵，∴，∵，，∴，∴四边形为矩形，，∴，∴四边形为正方形，由勾股定理，得：，即：，∴，即：正方形的面积为，∴阴影部分的面积；故答案为：．【点睛】本题考查求阴影部分的面积．解题的关键是利用割补法将阴影部分的面积转化为规则图形的面积．16.11月份以来，重庆疫情形势不容乐观，山城人民众志成城，抗击疫情．某物流公司为保证居民正常生活，将派大中小三种车型为甲、乙两个小区配送物资．大中小三种车型每辆车每趟配送的物资数量比为，每种车型每小时跑的趟数之比为．经两个小区的物业反馈发现乙小区的总物资数量是甲小区总物资数量的1.1倍，所有工人用9小时给甲小区送完物资后，计划将其中2辆大车和3辆中型车换成小车，发现给乙小区配送完物资也是9小时，因时间紧迫，实际运送物资时公司又额外派了若干辆大车（派送大车不超过20辆），最终乙小区完成的时间也是整数，则额外派送的大车是___________辆．【答案】【解析】【分析】首先根据题干条件，设派大车a辆，中型车b辆，小车c辆，每辆小车配送物资x吨，大车每小时跑的次数为y次，然后列出等量关系，整理计算；最后用列举法找出符合题意的值．【详解】解：设大车a辆，中型车b辆，小车c辆，每辆小车配送物资x吨，大车每小时跑的次数为y次，则：整理得：，即甲地需物资为：设增加大车n辆，则每小时运送物资为即为整数，整理得为整数，∵解得故答案为：．【点睛】本题考查方程的应用和整数解问题，利用方程找到数量关系是解题的关键．三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．17.计算：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据挖平方公式以及单项式乘以多项式进行计算即可求解；（2）根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法进行计算即可求解．【小问1详解】解：；【小问2详解】．【点睛】本题考查了整式的混合运算，分式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键．18.如图，四边形ABCD中，，AC为对角线．（1）尺规作图：作AC的垂直平分线分别交AB、AC、DC于点E、F、G．连接AG，CE；（不写作法和结论，保留作图痕迹）（2）求证：四边形AECG是菱形．（请补全下面的证明过程）证明：①，EG垂直平分AC②，，③又，四边形AECG是平行四边形④平行四边形AECG是菱形．【答案】（1）见解析（2）AB∥CD，AF=CF，AE=CG，EG⊥AC【解析】【分析】（1）作AC的垂直平分线分别交AB、AC、DC于点E、F、G．连接AG，CE；（2）AB∥CD，四边形AGCE是平行四边形，四边形AGCE是菱形．【小问1详解】解：图形如图所示：【小问2详解】证明：∵AB∥CD，∴∠EAF=∠GCF，∵EG垂直平分AC，∴AF=CF，∠AFE=∠CFG=90°，∴△AEF≌△CGF（ASA），∴AE=CG，又∵AB∥CD，∴四边形AECG是平行四边形．∵EG⊥AC，∴平行四边形AECG是菱形．故答案为：AB∥CD，AF=CF，AE=CG，EG⊥AC．【点睛】本题考查作图-基本作图，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．四、解答题：（本大题7个小题，共70分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．19.某校为选拔学生参加“诗词大会”，全面提升学生的文化素养，对七、八年级的学生进行了与诗词相关的测试，并从七、八年级各随机抽取20名学生的测试成绩进行整理分析（成绩得分用x表示，共分成五组：），下面给出了部分信息：七年级20名学生测试成绩：60，60，70，70，70，80，80，80，80，80，90，90，90，90，90，90，90，100，100，100．八年级20名学生中测试成绩在A组中共有1人．如下表是七、八年级被抽取学生的测试成绩统计表，根据已知信息，解答下列问题：平均数中位数众数方差七年级83b90141八年级8380c161八年级20名学生测试成绩的扇形图如下：（1）a=___________，b=___________，c=___________；（2）根据以上数据，你认为七、八年级中哪个年级的学生诗词水平更高？说明理由（一条理由即可）；（3）若七、八年级学生共1500人，估计两个年级测试成绩满分（）的学生人数是多少？【答案】（1）（2）由于七、八年级学生平均数相同，而七年级的众数大于八年级学生的众数，所以七年级成绩好些（3）【解析】【分析】（1）利用扇形统计图、众数、中位数的计算方法解题即可；（2）利用平均数和众数作比较选择成绩较好的年级即可；（3）用样本反映总体计算即可．【小问1详解】解：，所以七年级成绩从小到达排列后为：60，60，70，70，70，80，80，80，80，80，90，90，90，90，90，90，90，100，100，100，第10个与第11个数为80，90，即，八年级70分的人数占，人数最多，所以，故答案为：；【小问2详解】由于七、八年级学生平均数相同，而七年级的众数大于八年级学生的众数，所以七年级成绩好些；【小问3详解】解：(人)答：满分的学生人数是人．【点睛】本题考查数据的分析，掌握中位数和众数的定义是解题的关键．20.已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和．（1）求一次函数的解析式；（2）根据函数图象，直接写出关于x的不等式的解集；（3）连接AO、BO，求的面积．【答案】（1）（2）或（3）【解析】【分析】（1）将点，代入，得出，，将点，，代入，待定系数法求解析式即可求解；（2）根据函数图象，以及的横坐标，写出一次函数在反比例函数图象下方的自变量的取值范围即可求解；（3）设交轴于点，根据一次函数求得点的坐标，进而即可求解．【小问1详解】将点，代入得，解得：，∴，，将点，，代入得，解得：，∴；【小问2详解】根据函数图象可知，的解集为：或；【小问3详解】解：如图，设交轴于点，由，令，解得：，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合运用，掌握一次函数与反比例函数的性质是解题的关键．21.用20米的铝合金制成一个如图所示的“日”字形矩形窗框，其中点E、F分别在边上，且，，．记窗框矩形的面积为S平方米，边长为x米．（1）求S关于x的表达式及自变量x的取值范围；（2）要使窗框矩形的面积最大，此时，的长度为多少米？【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）先证明四边形是矩形，得到，再根据矩形周长公式得到，即可利用矩形面积公式得到，再根据求出自变量的取值范围即可；（2）根据（1）所求，利用二次函数的性质求解即可．【小问1详解】解：∵四边形是矩形，∴，∵，∴，∴四边形是矩形，∴，∵，∴，∴；∵，，∴，∴，∵，∴，∴；【小问2详解】解：∵，，∴当时，S最大，∴当时，矩形的面积最大．【点睛】本题主要考查了二次函数与几何图形的应用，矩形的性质与判定，正确理解题意得列出S关于x的函数关系式是解题的关键．22.春节临近，某商家抓住商机，准备了一批仙女棒和孔明灯．去年一月份，一盒仙女棒的销售单价比一个孔明灯的销售单价多5元，10盒仙女棒的销售总价与15个孔明灯的销售总价相等．（1）求去年一月份一盒仙女棒和一个孔明灯的销售单价；（2）去年一月份商家售出仙女棒2000盒，孔明灯1500个．经统计发现与去年一月份相比，孔明灯的售价每涨价1元，孔明灯的销售量就减少50个，同时仙女棒的销售量就增加10盒，且仙女棒的销售单价不变．如果今年一月份孔明灯和仙女棒的总销售总额达到47100元，且今年孔明灯的销售单价不超过20元，求今年一月份孔明灯的销售单价．【答案】（1）去年一月份一盒仙女棒的销售单价为元，一个孔明灯的销售单价为元（2）今年一月份孔明灯的销售单价为元【解析】【分析】（1）设一个孔明灯的销售单价为元，则一盒仙女棒的销售单价为元，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解；（2）设今年一月份孔明灯的销售单价涨价，根据题意列出一元二次方程，解方程，根据题意取舍，即可求解．【小问1详解】解：设去年一月份一个孔明灯的销售单价为元，则一盒仙女棒的销售单价为元，根据题意得，，解得：，∴（元），答：去年一月份一盒仙女棒的销售单价为元，一个孔明灯的销售单价为元；【小问2详解】解：设今年一月份孔明灯的销售单价涨价，根据题意得解得：，∵今年孔明灯的销售单价不超过20元，∴，∴今年一月份孔明灯的销售单价为（元）．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．23.一个四位正整数A满足百位上的数字比千位上的数字小2，且个位上的数字比十位上的数字小2，则称A为“等差数”，将“等差数”A的千位和百位数字组成的两位数与十位和个位数字组成的两位数的和记为，将“等差数”A的千位和十位数字组成的两位数与百位和个位数字组成的两位数的和记为．例如：四位正整数，，∴是“等差数”，此时，，．（1）判断：是否是“等差数”，并说明理由．（2）若A是“等差数”，且满足能被11整除，求出所有符合条件的A．【答案】（1）是“等差数”，不是“等差数”（2）【解析】【分析】（1）根据“等差数”的定义进行求解即可；（2）设，则，再根据，的定义求出，进而推出当时，能被11整除，由此即可得到答案．【小问1详解】解：∵，∴是“等差数”；∵，∴不是“等差数”；【小问2详解】解：设，∴，∴，，∴，∵能被11整除，∴能被11整除，∴能被11整除，∵，∴当时，能被11整除，∴满足题意的A可以为．【点睛】本题主要考查了整式的加减计算，新定义下的实数运算，正确理解题意是解题的关键．24.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于和点，与y轴交于点C，点C和点D是抛物线上的一对对称点，连接．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P为直线上方抛物线上一点，连接DP，BP，求四边形面积的最大值及此时点P的坐标；（3）将抛物线沿着射线方向平移得新抛物线正好过点B，点M为新抛物线对称轴上一点，点N为原抛物线上一点，使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．【答案】（1）（2）最大面积为，这时点P坐标为（3），，【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可；（2）求出直线的解析式，设点P的坐标为，过P作轴交于点E，表示长，然后利用解题即可；（3）分为为边和为对角线两种情况分别解题即可；【小问1详解】解：把和点代入得：，解得：∴【小问2详解】解：令，则，∴，又∵对称轴为：∴点，∴设直线的解析式为，则解得：，∴，设点P的坐标为，过P作轴交于点E，则，∴，，∴当，最大面积为，这时点P坐标为；【小问3详解】∵抛物线沿着射线方向平移得新抛物线正好过点B，∴抛物线向