高考数学（文）高分计划一轮高分讲义第6章不等式6.2二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题

6.2二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题[知识梳理]1．二元一次不等式(组)表示的平面区域2．线性规划相关概念3．重要结论(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证．(2)利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域：对于Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0，则有①当B(Ax＋By＋C)>0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方；②当B(Ax＋By＋C)<0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方．(3)最优解和可行解的关系最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解．最优解有时唯一，有时有多个．4．利用线性规划求最值，用图解法求解的步骤(1)作可行域；(2)将目标函数进行变形；(3)确定最优解；(4)求最值．[诊断自测]1．概念思辨(1)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．()(2)不等式x2－y2＜0表示的平面区域是一、三象限角平分线和二、四象限角平分线围成的含有y轴的两块区域．()(3)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．()(4)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．()答案(1)×(2)√(3)√(4)×2．教材衍化(1)(必修A5P86T3)不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3y＋6≥0，,x－y＋2＜0))表示的平面区域是()答案B解析x－3y＋6≥0表示直线x－3y＋6＝0及其右下方部分，x－y＋2＜0表示直线x－y＋2＝0左上方部分，故不等式表示的平面区域为选项B.故选B.(2)(必修A5P93B组T1)若实数x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3y－3≤0，,x≥0，,y≥0，))则不等式组表示区域的面积为________，z＝eq\f(y＋2,x－1)的取值范围是________．答案eq\f(3,2)(－∞，－2]∪[1，＋∞)解析如下图所示，不等式组表示区域面积为eq\f(1,2)×1×3＝eq\f(3,2)，z＝eq\f(y＋2,x－1)理解为区域上的点P(x，y)与点Q(1，－2)连线所在直线斜率的变化范围，kAQ＝eq\f(0＋2,3－1)＝1，kOQ＝eq\f(2,－1)＝－2，结合图形分析知z＝eq\f(y＋2,x－1)的取值范围为(－∞，－2]∪[1，＋∞)．3．小题热身(1)(2017·河北衡水中学五调)若不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≥0，,2x＋y≤2，,y≥0，,x＋y≤a))表示的平面区域的形状是三角形，则a的取值范围是()A．a≥eq\f(4,3) B．0＜a≤1C．1≤a≤eq\f(4,3) D．0＜a≤1或a≥eq\f(4,3)答案D解析作出不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≥0，,2x＋y≤2，,y≥0))表示的平面区域(如图中阴影部分)．由图知，要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需动直线l：x＋y＝a在l1，l2之间(包含l2，不包含l1)或l3上方(包含l3)．故选D.(2)(2017·天津高考)设变量x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y≥0，,x＋2y－2≥0，,x≤0，,y≤3，))则目标函数z＝x＋y的最大值为()A.eq\f(2,3)B．1C.eq\f(3,2)D．3答案D解析画出可行域，如图中阴影所示．又目标函数z＝x＋y，结合图象易知y＝－x＋z过(0,3)点时z取得最大值，即zmax＝0＋3＝3.故选D.题型1二元一次不等式(组)表示的平面区域eq\o(\s\up7(),\s\do5(典例))(2016·浙江高考)在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影．由区域eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2≤0，,x＋y≥0，,x－3y＋4≥0))中的点在直线x＋y－2＝0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|＝()A．2eq\r(2)B．4C．3eq\r(2)D．6画出直线x＋y－2＝0，观察线间的位置关系，然后用转化法解之．答案C解析由不等式组画出可行域，如图中的阴影部分所示．因为直线x＋y－2＝0与直线x＋y＝0平行，所以可行域内的点在直线x＋y－2＝0上的投影构成的线段的长|AB|即为|CD|.易得C(2，－2)，D(－1,1)，所以|AB|＝|CD|＝eq\r(2＋12＋－2－12)＝3eq\r(2).故选C.[结论探究]若典例条件不变，则平面区域的面积是________．答案6解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2＝0，,x－3y＋4＝0))得其交点坐标为(2,2)，交点到直线x＋y＝0的距离为d＝eq\f(4,\r(2))，故面积为eq\f(1,2)×eq\f(4,\r(2))×3eq\r(2)＝6.方法技巧与平面区域有关的计算方法1．画出不等式组表示的平面区域，并计算端点的坐标．2．根据平面区域的形状特点，选择合适的公式计算线段的长度、图形的面积，不规则的图形可用分割法求其面积．见典例的解法．3．注意转化思想方法的应用，如把面积最大、最小问题转化为两点间的距离、点到直线的距离等．冲关针对训练(2015·重庆高考)若不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－2≤0，,x＋2y－2≥0，,x－y＋2m≥0))表示的平面区域为三角形，且其面积等于eq\f(4,3)，则m的值为()A．－3B．1C.eq\f(4,3)D．3答案B解析如图，要使不等式组表示的平面区域为三角形，则－2m＜2，则m＞－1，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－2＝0，,x－y＋2m＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1－m，,y＝1＋m，))即A(1－m,1＋m)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－2＝0，,x－y＋2m＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2,3)－\f(4,3)m，,y＝\f(2,3)＋\f(2,3)m，))即Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)－\f(4,3)m，\f(2,3)＋\f(2,3)m))，所围成的区域为△ABC，则S△ABC＝S△ADC－S△BDC＝eq\f(1,2)(2＋2m)(1＋m)－eq\f(1,2)(2＋2m)·eq\f(2,3)(1＋m)＝eq\f(1,3)(1＋m)2＝eq\f(4,3)，解得m＝－3(舍去)或m＝1.故选B.题型2线性规划中的最值问题角度1求线性目标函数的最值eq\o(\s\up7(),\s\do5(典例))(2017·全国卷Ⅱ)设x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3y－3≤0，,2x－3y＋3≥0，,y＋3≥0，))则z＝2x＋y的最小值是()A．－15B．－9C．1D．9本题可采用平移y＝－2x的方法．答案A解析不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．将目标函数z＝2x＋y化为y＝－2x＋z，作出直线y＝－2x，并平移该直线，知当直线y＝－2x＋z经过点A(－6，－3)时，z有最小值，且zmin＝2×(－6)－3＝－15.故选A.角度2由目标函数最值求参数eq\o(\s\up7(),\s\do5(典例))(2013·全国卷Ⅱ)已知a＞0，x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥1，,x＋y≤3，,y≥ax－3.))若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C．1D．2本典例采用代点法列出方程求解．答案B解析由约束条件画出可行域(如图所示的△ABC及其内部)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝ax－3))得A(1，－2a)，当直线2x＋y－z＝0过点A时，z＝2x＋y取得最小值，所以1＝2×1－2a，解得a＝eq\f(1,2)，故选B.角度3非线性目标函数的最值问题eq\o(\s\up7(),\s\do5(典例))已知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋2≥0，,x＋y－4≥0，,2x－y－5≤0，))求：(1)z＝x2＋y2－10y＋25的最小值；(2)z＝eq\f(2y＋1,x＋1)的范围．本典例(1)可化为求x2＋(y－5)2的最小值．它的几何意义是点(x，y)与(0,5)的距离的平方．典例(2)目标函数的几何意义是两点连线的斜率．解作出可行域，如图阴影部分所示．通过联立方程，解得A(1,3)，B(3,1)，C(7,9)．(1)z＝x2＋(y－5)2表示可行域内点(x，y)到点M(0,5)的距离的平方．过点M作AC的垂线，垂足为点N，故|MN|＝eq\f(|0－5＋2|,\r(1＋－12))＝eq\f(3\r(2),2)，|MN|2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),2)))2＝eq\f(9,2).故z的最小值为eq\f(9,2).(2)z＝2·eq\f(y－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))),x－－1)表示可行域内点(x，y)与定点Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,2)))连线斜率的2倍．因为kQA＝eq\f(7,4)，kQB＝eq\f(3,8)，所以z的范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(7,2))).方法技巧求线性目标函数最值问题及线性规划应用题的解题策略1．求线性目标函数的最值．线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以我们可以直接解出可行域的顶点，然后代入目标函数以确定目标函数的最值．如角度1典例．2．由目标函数的最值求参数的基本方法有两种：一是把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围；二是先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数．如角度2典例．3．求非线性目标函数最值问题的解题策略解决此类问题时需充分把握好目标函数的几何意义，常见代数式的几何意义有：(1)对形如z＝(x－a)2＋(y－b)2型的目标函数均可化为可行域内的点(x，y)与点(a，b)间距离的平方的最值问题．如角度3典例．(2)对形如z＝eq\f(ay＋b,cx＋d)(ac≠0)型的目标函数，可先变形为z＝eq\f(a,c)·eq\f(y－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,a))),x－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(d,c))))的形式，将问题化为求可行域内的点(x，y)与点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(d,c)，－\f(b,a)))连线的斜率的eq\f(a,c)倍的取值范围、最值等．如角度3典例．(3)对形如z＝|Ax＋By＋C|型的目标，可先变形为z＝eq\r(A2＋B2)·eq\f(|Ax＋By＋C|,\r(A2＋B2))的形式，将问题化为求可行域内的点(x，y)到直线Ax＋By＋C＝0的距离的eq\r(A2＋B2)倍的最值．冲关针对训练(2017·全国卷Ⅲ)若x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≥0，,x＋y－2≤0，,y≥0，))则z＝3x－4y的最小值为________．答案－1解析不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≥0，,x＋y－2≤0，,y≥0))表示的可行域如图阴影部分所示．由z＝3x－4y得y＝eq\f(3,4)x－eq\f(1,4)z.平移直线y＝eq\f(3,4)x，易知经过点A时，z有最小值．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＝0，,x＋y－2＝0))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1，))∴A(1,1)．∴zmin＝3－4＝－1.题型3线性规划的实际应用eq\o(\s\up7(),\s\do5(典例))(2016·全国卷Ⅰ)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．设元，写出约束条件和目标函数，将实际问题转化为数学的线性规划问题．答案216000解析设生产产品Ax件，产品By件，依题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，y≥0，,1.5x＋0.5y≤150，,x＋0.3y≤90，,5x＋3y≤600，))设生产产品A，产品B的利润之和为E元，则E＝2100x＋900y.画出可行域(如图)，易知最优解为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝60，,y＝100，))则Emax＝216000.方法技巧线性规划解决实际问题的一般步骤1．能建立线性规划模型的实际问题(1)给定一定量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收益最大；(2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源最少．2．解决线性规划实际问题的一般步骤(1)转化：设元，写出线性约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题；(2)求解：解决这个纯数学的线性规划问题；(3)作答：根据实际问题，得到实际问题的解，据此作出回答．冲关针对训练(2015·陕西高考)某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为()A．12万元B．16万元C．17万元D．18万元答案D解析设该企业每天生产甲产品x吨、乙产品y吨，每天获得的利润为z万元，则有z＝3x＋4y，由题意得，x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋2y≤12，,x＋2y≤8，,x≥0，,y≥0，))该不等式组表示的可行域是以O(0,0)，A(4,0)，B(2,3)，C(0,4)为顶点的四边形及其内部(如图)，根据线性规划的有关知识，知当直线3x＋4y－z＝0过点B(2,3)时，z取最大值18，故该企业每天可获得最大利润为18万元．故选D.1.(2017·浙江高考)若x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,x＋y－3≥0，,x－2y≤0，))则z＝x＋2y的取值范围是()A．[0,6]B．[0,4]C．[6，＋∞)D．[4，＋∞)答案D解析作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．由题意可知，当直线y＝－eq\f(1,2)x＋eq\f(z,2)过点A(2,1)时，z取得最小值，即zmin＝2＋2×1＝4.所以z＝x＋2y的取值范围是[4，＋∞)．故选D.2．(2018·武昌调研)设x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥a，,x－y≤－1，))且z＝x＋ay的最小值为7，则a＝()A．－5B．3C．－5或3D．5或－3答案B解析根据约束条件画出可行域如图1中阴影部分所示：可知可行域为开口向上的V字型．在顶点处z有最小值，顶点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a－1,2)，\f(a＋1,2)))，则eq\f(a－1,2)＋aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋1,2)))＝7，解得a＝3或a＝－5.当a＝－5时，如图2.图1图2虚线向上移动时z减小，故z→－∞，没有最小值，故只有a＝3满足题意．故选B.3．(2017·全国卷Ⅰ)设x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y≤1，,2x＋y≥－1，,x－y≤0，))则z＝3x－2y的最小值为________．答案－5解析作出可行域如图阴影部分所示．由z＝3x－2y，得y＝eq\f(3,2)x－eq\f(z,2).作出直线l0：y＝eq\f(3,2)x，并平移l0，知当直线y＝eq\f(3,2)x－eq\f(z,2)过点A时，z取得最小值．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－1＝0，,2x＋y＋1＝0，))得A(－1,1)，∴zmin＝3×(－1)－2×1＝－5.4．(2018·福州五校二联)已知实数x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y－1≤0，,x＋y－5≤0，,4x＋y－8≥0，))若目标函数z＝x＋ay取得最小值的最优解有无数多个，则z＝x＋ay的最大值为________．答案eq\f(7,2)解析作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，易得A(3,2)，B(1,4)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,5)，\f(4,5))).当a＞0时，y＝－eq\f(1,a)x＋eq\f(1,a)z，作直线l0：y＝－eq\f(1,a)x，平移l0，易知当直线y＝－eq\f(1,a)x＋eq\f(1,a)z与4x＋y－8＝0重合时，z取得最小值的最优解有无数多个，此时a＝eq\f(1,4)，当直线过点A时，z取得最大值，且zmax＝3＋eq\f(1,2)＝eq\f(7,2)；当a≤0时，数形结合知，目标函数z＝x＋ay取得最小值的最优解不可能有无数多个．综上所述zmax＝eq\f(7,2).[基础送分提速狂刷练]一、选择题1．(2018·唐山模拟)已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x－2y－a＝0的两侧，则a的取值范围为()A．(－24,7)B．(－7,24)C．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D．(－∞，－24)∪(7，＋∞)答案B解析根据题意知(－9＋2－a)·(12＋12－a)<0.即(a＋7)(a－24)<0，解得－7<a<24.故选B.2．设关于x，y的不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＋1>0，,x＋m<0，,y－m>0))表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x0－2y0＝2，则m的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4,3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(2,3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(5,3)))答案C解析图中阴影部分表示可行域，要求可行域内包含y＝eq\f(1,2)x－1上的点，只需要可行域的边界点(－m，m)在y＝eq\f(1,2)x－1下方，也就是m<－eq\f(1,2)m－1，即m<－eq\f(2,3).故选C.3．(2017·山东日照一模)已知变量x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y≤0，,x－2y＋3≥0，,x≥0，))则z＝(eq\r(2))2x＋y的最大值为()A.eq\r(2)B．2eq\r(2)C．2D．4答案D解析作出满足不等式组的平面区域，如图所示，令m＝2x＋y，则当m取得最大值时，z＝(eq\r(2))2x＋y取得最大值．由图知直线m＝2x＋y经过点A(1,2)时，m取得最大值，所以zmax＝(eq\r(2))2×1＋2＝4，故选D.4．已知实数x，y满足条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋y－7≥0，,x＋3y－13≤0，,x－y－1≤0，))则z＝|2x－3y＋4|的最大值为()A．3B．5C．6D．8答案C解析不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋y－7≥0，,x＋3y－13≤0，,x－y－1≤0))表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中A(2,1)，B(1,4)．设t＝2x－3y，平移直线y＝eq\f(2,3)x，则直线经过点B时，t＝2x－3y取得最小值－10，直线经过点A时，t＝2x－3y取得最大值1，所以－6≤t＋4≤5，所以0≤z≤6.所以z的最大值为6，故选C.5．(2018·石家庄质检)若x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥1，,mx－y≤0，,3x－2y＋2≥0，))且z＝3x－y的最大值为2，则实数m的值为()A.eq\f(1,3)B.eq\f(2,3)C．1D．2答案D解析若z＝3x－y的最大值为2，则此时目标函数为y＝3x－2，直线y＝3x－2与3x－2y＋2＝0和x＋y＝1分别交于A(2,4)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(1,4)))，mx－y＝0经过其中一点，所以m＝2或m＝eq\f(1,3)，当m＝eq\f(1,3)时，经检验不符合题意，故m＝2，选D.6．若变量x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－2≥0，,x－2y＋6≥0，,x≤2，))则z＝(x－1)2＋y2的最大值为()A．4B.eq\r(17)C．17D．16答案C解析z＝(x－1)2＋y2表示点(x，y)与点P(1,0)间距离的平方．画出约束条件所表示的平面区域如图中阴影部分所示，易知P(1,0)与A(2,4)间的距离最大，因此zmax＝(2－1)2＋42＝17.故选C.7．(2017·邢台模拟)当x，y满足不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y≤2，,y－4≤x，,x－7y≤2))时，－2≤kx－y≤2恒成立，则实数k的取值范围是()A．[－1,1] B．[－2,0]C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,5)，\f(3,5))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,5)，0))答案D解析作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，设z＝kx－y，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝2，,y－4＝x，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝2，))即B(－2,2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝2，,x－7y＝2，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝0，))即C(2,0)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－4＝x，,x－7y＝2，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－5，,y＝－1，))即A(－5，－1)，要使不等式－2≤kx－y≤2恒成立，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2≤－2k－2≤2，,－2≤2k≤2，,－2≤－5k＋1≤2，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2≤k≤0，,－1≤k≤1，,－\f(1,5)≤k≤\f(3,5)，))所以－eq\f(1,5)≤k≤0，故选D.8．(2018·南昌十校一模)已知不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y－2≥0，,3x＋y－8≤0，,x＋2y－1≥0，))则z＝eq\f(y,x＋1)的最大值与最小值的比值为()A．－2B．－eq\f(1,2)C．－eq\f(8,3)D．－eq\f(1,3)答案C解析如图所示，不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y－2≥0，,3x＋y－8≤0，,x＋2y－1≥0))所表示的平面区域为图中的阴影部分，易知z＝eq\f(y,x＋1)表示平面区域内的点与定点P(－1,0)连线的斜率．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋y－8＝0，,2x－y－2＝0，))可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝2，))故A(2,2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋y－8＝0，,x＋2y－1＝0，))可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝－1，))故B(3，－1)，数形结合知AP的斜率最大，此时z＝eq\f(y,x＋1)最大，故zmax＝eq\f(2,3)；BP的斜率最小，zmin＝－eq\f(1,4).故z＝eq\f(y,x＋1)的最大值与最小值的比值为－eq\f(8,3)，故选C.9．(2017·江西模拟)某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜4吨1.2万元0.55万元韭菜6吨0.9万元0.3万元为使一年的种植总利润(总利润＝总销售收入－总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为()A．50,0B．30,20C．20,30D．0,50答案B解析设种植黄瓜x亩，种植韭菜y亩，因此，原问题转化为在条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤50，,1.2x＋0.9y≤54，,x≥0，,y≥0))下，求z＝0.55×4x＋0.3×6y－1.2x－0.9y＝x＋0.9y的最大值．画出可行域如图．利用线性规划知识可知，当x，y取eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝50，,1.2x＋0.9y＝54))的交点B(30,20)时，z取得最大值．故选B.10．(2018·石家庄质检)在平面直角坐标系中，不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤0，,x－y≤0，,x2＋y2≤r2))(r为常数)表示的平面区域的面积为π，若x，y满足上述约束条件，则z＝eq\f(x＋y＋1,x＋3)的最小值为()A．－1 B．－eq\f(5\r(2)＋1,7)C.eq\f(1,3) D．－eq\f(7,5)答案D解析作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由题意，知eq\f(1,4)πr2＝π，解得r＝2.z＝eq\f(x＋y＋1,x＋3)＝1＋eq\f(y－2,x＋3)，表示可行域内的点与点P(－3,2)连线的斜率加上1，由图知当可行域内的点与点P的连线与圆相切时斜率最小．设切线方程为y－2＝k(x＋3)，即kx－y＋3k＋2＝0，则有eq\f(|3k＋2|,\r(k2＋1))＝2，解得k＝－eq\f(12,5)或k＝0(舍去)，所以zmin＝1－eq\f(12,5)＝－eq\f(7,5)，故选D.二、填空题11．(2018·银川质检)设x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－7≤0，,x－3y＋1≤0，,3x－y－5≥0，))则z＝2x－y的最大值为________．答案8解析画出不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－7≤0，,x－3y＋1≤0，,3x－y－5≥0))表示的可行域，如图中阴影部分所示，将z＝2x－y化为y＝2x－z，－z是直线y＝2x－z的纵截距，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－7＝0，,x－3y＋1＝0))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝2，))∴B的坐标为(5,2)，则y＝2x－z过点B(5,2)时，z＝2x－y有最大值10－2＝8.12．(2018·广州模拟)已知x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＋2≥0，,x－2y－2≤0，,x＋y－2≤0，))若z＝x－ay(a＞0)的最大值为4，则a＝________.答案3解析作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，则A(2,0)，B(－2，－2)．显然直线z＝x－ay过A时不能取得最大值4，若直线z＝x－ay过点B时取得最大值4，则－2＋2a＝4，解得a＝3，此时，目标函数为z＝x－3y，作出直线x－3y＝0，平移该直线，当直线经过点B时，截距最小，此时，z的最大值为4，满足条件．13．(2017·山西五校3月联考)不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－1≥0，,x－y＋2≥0，,x＋4y－8≤0))表示的平面区域为Ω，直线x＝a(a＞1)将平面区域Ω分成面积之比为1∶4的两部分，则目标函数z＝ax＋y的最大值为________．答案9解析如图，平面区域Ω为△ABC及其内部，作直线x＝a(1<a<4)交BC、AC分别于点E、F.由题意可知S△EFC＝eq\f(1,5)S△ABC，则eq\f(1,2)(4－a)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)a＋2－1))＝eq\f(1,5)×eq\f(1,2)×5×1＝eq\f(1,2)，可得a＝2，所以目标函数z＝ax＋y即为z＝2x＋y，易知z＝2x＋y在点C(4,1)处取得最大值，则zmax＝9.14．(2017·河北衡水中学3月模考)已知点P(x，y)的坐标满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤0，,y＞x，,y＜2x＋1，))则eq\f(x＋y,\r(x2＋y2))的取值范围为________．答案(－eq\r(2)，1]解析解法一：作出不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤0，,y＞x，,y＜2x＋1))表示的平面区域，如图中阴影部分所示，其中B(－1，－1)，C(0,1)．设A(1,1)，P(x，y)，向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OP,\s\up6(→))的夹角为θ，∵eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OP,\s\up6(→))＝x＋y，|eq\o(OP,\s\up6(→))|＝eq\r(x2＋y2)，∴cosθ＝eq\f(\o(OA,\s\up6(→))·\o(OP,\s\up6(→)),|\o(OA,\s\up6(→))||\o(OP,\s\up6(→))|)＝eq\f(x＋y,\r(2)×\r(x2＋y2))＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(x＋y,\r(x2＋y2))，由图可知∠AOC≤θ＜∠AOB，即45°≤θ＜180°，∴－1＜cosθ≤eq\f(\r(2),2)，即－1＜eq\f(\r(2),2)×eq\f(x＋y,\r(x2＋y2))≤eq\f(\r(2),2)，∴－eq\r(2)＜eq\f(x＋y,\r(x2＋y2))≤1.解法二：作出不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤0，,y＞x，,y＜2x＋1))表示的平面区域，如图中阴影部分所示，其中B(－1，－1)，C(0,1)，设P(x，y)，θ＝∠POx，则eq\f(x,\r(x2＋y2))＝cosθ，eq\f(y,\r(x2＋y2))＝sinθ.θ∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co