3月大数据模拟卷03（江苏专用）（解析版）高中数学

3月大数据精选模拟卷03(江苏专用)

数学

本卷满分150分，考试时间120分钟。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符

合题目要求的.

1.设集合A={XGN|2Vx<6},S={x|log2(x-1)<2},则()

A.{x|3„x<5}B.{x|2<x<5}

C.{3,4}D.{3,4,5)

【答案】C

【详解】

由题意5={x|0<x-l<4|={x[l<x<5}，,Afi8={3,4}.

故选：C.

2.i是虚数单位，在复平面内复数6-i+7三对应的点的坐标为()

A”R(30_3百_1(7

A.(-----，~~)D•(---------，-C・(,~)口•(一

222222：

【答案】A

【详解】

故选：A.

3.设xeR,则是“％3〈「，的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】

当|x|<l时，即

x3-1=(x-l)(x2+x+l)<O=>%3-l<O=>x3<1.

i

因此山IxKl能推出d<1，

当d<i时，显然当％=-2时成立，但是1万1<1不成立,

因此由/<1不一定能推出|X|<L

所以“|X|<1"是“d<1”的充分不必耍条件,

故选：A

4.将3名男生1名女生共4名同学分配到甲、乙、丙三个社区参加社会实践，每个社区至少一名同学，则

恰好一名女生和一名男生分到甲社区的概率是（）

111

A.—B.-C.—D.一

12326

【答案】D

【详解】

分配方案的总数恰好一名女生和一名男生分法有恰好一名女生和一名男生分到甲社区的概

ClA:1

率是尸=黄=,

故选：D.

71可得(

5.化简sin?--a-sin[(+a))

A.cos2a+—

[3

【答案】B

【详解】

兀冗冗

因为Q-a)+(；+a)=Z，

632

所以原式=cos-(—+a)—sin2(—+a)=cos(——F2a)=—sin(2a+—),

故选：B.

6.如图，直角三角形DA5c中，NABC=900,A3=3,3C=4,M点是线段AC一动点，若以M为圆

心半径为逐的圆与直线AC交于尸，。两点，则丽•丽的最小值为（）

2

1219719

A.—B.—D.—

152515

【答案】B

【详解】

因为荻=一说,

所以丽•丽=（两+M户）•（丽一标）=\BM|2-|MP|2,

即丽.苑=|BW|2_5,

只需要求忸M的最小值即可，

12

当3MLAC时，忸闾最小，此时怛M=《,

所以（丽・丽）mm=詈-5吟，

故选：B

7.已知曲线y=lnx在A（玉,y）,，两点处的切线分别与曲线y=e■'相切于。（刍,％），

。（王，%），则》也+y3y4的值为（）

3

5-17

A.1B.2C.一D.—

24

【答案】B

【详解】

1

xv,

—=e।1

百InXj-----

由题设有《,化简可得Xj_1即％3=X+l-xlnx=一山不，

Inx,-e'3_1

%一七用

,王一刍玉

,x+1,+1

整理得到皿广工，同理山”二，不妨设…2,

x+1

令y=]nx_=lnx-l---

x-lx-l

2Y4-1

因为当xe(O,l)时,y=lnx,y=均为增函数，故y=lnx---------为增函数,

x-lX—1

X4-1

同理当xe（l,+oo）时，故y=lnX-为--增-函数,

X-1

y-_|_1

故拓W分别为y=lnx—±」•在（0,1）、（1,+8）上的唯一解,

X—1

1,1,

----卜1----F1

天

111jX1!+1,IX]

Xin—=-lnxl,-i——=一一-故In-u-j]——

玉l-l占

3大

1x+1/、1

故—为y=lnx—在。，+°。）的解，故一=々即玉々=1.

x-lx\

所以X[X,+y3y4=x\x2+e的+&=+」一=2,

■西马

故选：B.

〃eN+）,q>0,则当也22时，下列判断不二定正确的是（）

8.已知数列{a,,},%=an+—

A.an>nB-an+2-an+i>an+i-an

-an+2/an+l

c.----3----------D.存在正整数当〃2A时，4+l恒成立

an+\an

【答案】C

【详解】

4

Q%=%+△(〃€*),q>0.

当〃=1时，/=%+—N2,当4=1时取等号,

4

假设〃=Z时，ak>k,

kki—

当〃=Z+1时，4+i=%+——，由函数y=x+—在[JT,+oo）上单调递增知

akx

、ik1唯

。什12KH--=攵+1,

k

由以上可知，为2〃对〃之2成立，故A正确.

〃+1n即4,〃+1

若an+2~an+\~4+1成则需~…1成乂，----成立,

an+\an4n

atl.,1n1nn+l

而T=l+于1+正=丁成立,故原命题，B正确;

533%33233515a,a.

取4=2,则"展四=6此时工=而、『石于2="所以丁>获可知°不正确;

Q。,川=4+△(〃€*)

a；+]=a；+2〃H—r-„a：+2〃+1,

落

故a-（〃+1）2«4一〃2,

2

故a；一〃-«a；_4=d=>an<\jn+d„n+1

d-\

取A2-―■的正整数，则有〃之人时，。“4〃+1恒成立，故D正确.

2

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,

全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得。分.

9.冬末春初，乍暧还寒，人们容易感冒发热.若发生群体性发热，则会影响到人们的身体健康，干扰正常

工作生产.某大型公司规定：若任意连续7天，每天不超过5人体温高于37.3℃，则称没有发生群体性发热.

下列连续7天体温高于37.3℃人数的统计特征数中，能判定该公司没有发生群体性发热的为（）

A.中位数为3,众数为2B.均值小于1,中位数为1

5

C.均值为3,众数为4D.均值为2,标准差为近

【答案】BD

【详解】

将7个数由小到大依次记为X1、£、七、/、/、/、x7.

对于A选项，反例：2、2、2、3、3、4、6,满足中位数为3,众数为2,与题意矛盾，A选项不合

乎要求；

对于B选项，假设与26,即该公司发生了群体性发热，

7

因中位数为1，则%62占2%=1，平均数为一??玉0X3+1+1+1+6,,矛盾，

x=——>-------------------->1

77

故假设不成立，即该公司没有发生群体性发热，B选项合乎要求；

对于C选项，反例：0、1、2、4、4、4、6.满足众数为4,均值为3,与题意矛盾，C选项不合乎

要求；

对于D选项，假设七26,即该公司发生群体性发热，

若均值为2,则方差为2盲2）（刍―2）216°，即与D选项矛盾，

s=-------------->--------------=—>2

777

故假设不成立，即该公司没有发生群体性发热，D选项合乎要求.

10.己知函数/（无）=sin］（vx+|^（口>0）在［0,2m有且仅有4个零点，则（）.

A./（X）在（0,7）单调递增B.0的取值范围是

C.7（x）在（0,2团有2个极小值点D.“X）在（0,2万）有3个极大值点

【答案】BC

【详解】

1T

由题意，函数/。）=$抽0%+5）（。>0）在［0,2乃］有且仅有4个零点，

因为行［0,2^1,NJ+—G［―,2a）7T+—］,

555

n1912

根据正弦函数的性质，可得44《2。%+《<5»，解得而<G<w，所以B正确；

6

0)71+71

当一°，»可得+"即8+"弓,），

5

19197119万174,,19万7t17兀n

因为历一，可得3乃+ge,又由----<—,---->—

5025502252

所以函数/（x）在（o,?j先增后减，所以A不正确；

当X£（0,27r）,可得69X+—€（―,ICOTI+—）,

I19J12_r/日..7T_

由一＜co＜—,可得4万＜204+一＜5万，

1055

结合正弦函数的图象与性质，可得函数/（力在（0,2幻有2个极小值点，3个极大值点,

所以C正确，D不正确.

11.在平面直角坐标系X0V中，过抛物线f=2），的焦点的直线/与该抛物线的两个交点为A（x，x）,

B（x2,y2）,则（）

1

A.必必二

B.以AB为直径的圆与直线y=-g相切

C.|。4|+|。河的最小值2及

D.经过点5与X轴垂直的直线与直线OA交点一定在定直线上

【答案】ABD

【详解】

抛物线的焦点为（0,；）,设直线A3的方程为,=依+；

,1

y二"-|——

联立J2可得12—2米—1=（）,所以X+々=2%,玉%二T

x2=2y

%+必=%（石+工2）+1=2公+1,,%=（依|+；）（«2+3）=二苍/+；后（菁+£）+；=；

故A正确

以AB为直径的圆的圆心为（七竺，七&），即（左,二+g]

7

半径为四=空也11=/+1

22

所以圆心到直线尸-工1的距离为k02+-1+1-^k02+l,等于半径

所以以A8为直径的圆与直线y=-g相切，即B正确

当直线A5与x轴平行时，|。4|=|。叫=乎，|OA|+|O8|=石＜2及

所以|。川+|。8|的最小值不是2起，故C错误

直线OA的方程为二,竹”与X=%2的交点坐标为|X2

因为”=一工，所以经过点5与X轴垂直的直线与直线OA交点在定直线y=-1J-

222

故D正确

12.如图，正四棱锥S—BCDE底面边长与侧棱长均为m正三棱锥A—SBE底面边长与侧棱长均为m则

下列说法正确的是（）

A.AS_LCQ

B.正四棱锥S—BCDE的外接球半径为上a

2

C.正四棱锥S-BCOE的内切球半径为1-------a

I2J

D.由正四棱锥S-BCDE与正三棱锥A-S8E拼成的多面体是一个三棱柱

【答案】ABD

【详解】

8

如图所示:

A选项：取座中点“连接A”,S",正三棱锥4一SBE中，AHLBE,SH工BE

又AHClSH=H,所以8E1平面£4"，则BE_LAS，又BEHCD所以4S_LC£),故A正确;

B选项：设底面中心为。1，球心为。半径为R,因为正四棱锥S—8CDE外接球球心在。户上，所以

OS=OB=R,因为，正四棱锥s—BCDE底面边长与侧棱长均为a

5(y(

所以O[8=aS=a'illOB~-O、+(O]S—OS)得R~-a+a—R

2I2J\2

解得宠=在4，故B正确；

2

C选项：设内切球半径为，易求得侧面面积为s=J_.a2sin%=@/

234

由等体积法得.也a=_La2.r+4.J_."a2"解得

,故C错;

32334

D选项：取SE中点F，连结AF.DF，BF，则N3ED和N3E4分别是O-SE-3和4-SE-B的

222

BF+DF-BD]_

二面角的平面角，由cosNBF£>=

2BFDF3

9

AF2+BF2-BA2

cosZAFD=故ZBFD与NBFA互补，所以ASDE

2AF-BF1,

共面，又因为AS=A£=EZ)=S。，则ASDE为平行四边形，极AS/IEDIIBC故正四棱锥S—BSE与

正三棱锥A—S8E拼成的多面体是一个三棱柱，所以D正确

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若[犬+0)的展开式中1的系数为160,则。=.

x

【答案】2

【详解】

k23k

解:X2+-展开式的通项公式为：4M=以k2)6一［色)=aC^x'-,k=Q,1,2,3,4,5,6-

因为V的系数为160,故令12-3k=3,解得左=3.

所以"C：=160,即：〃=8,所以。=2.

14.在平面直角坐标系宜内中，设抛物线V=2pR与V=2p2y在第一象限的交点为A,若OA的斜率为

2,则&=.

Py

【答案】"

【详解】

设A(x,y),

由y2=2pxn2=^,%2=2〃2)，=六=上

xy2P2x

则=2=也=六n-4P2,故得A(4〃2,四)

丁2P2[y=A

代入抛物线得P；=2p「4p2n三=：

Pi8

15.函数/(x)是定义在R上的函数，且/(l)=0J'(x)为的导函数，若/(力＞0,则不等式

10

(x-2)/(x)>0的解集是.

【答案】(9,1)口(2,田)

【详解】

由题意可知/(X)在(一8,+8)单调递增，

又/(1)=0,%<1时，/(x)<o；x>l时，/(x)>0；

对于(x-2)/(x)〉0,当x>2时，不等式成立，

当l<x<2时，x-2<0,/(x)>0,不等式不成立；

当x<l时，x-2<0,且,f(x)<0,不等式成立.

练上不等式的解集为(口,1)。(2,行).

16.已知在圆柱aa内有一个球。，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.过直线0。2的平面截圆柱得

到四边形ABC。，其面积为8.若尸为圆柱底面圆弧co的中点，则平面MB与球。的交线长为

【答案】唔

【详解】

设球的半径为，，则AB=5C=2r,而枭/。=ABDBC=4尸=8,；.r=血.

作尸于“，

。。2_L底面,二op2LAB

II

为圆柱底面圆弧co的中点，•"「=防

又。2为AB中点，，。2尸，48

又ORflPO2=02,：.ABI002P

，ABI.OH,

又OHL02P且A3nPO2=O2,：.OH±ABP

•.•QQ=2r=20,01P=叵,OtO2±O,P

2

二O2P=ylO]O^+O]P=78+2=710

C_加

。O\P_

:.sinNO7=--

O2PVio5

，OH=002xsinZO1O2P=V2x—=-

其半径々=>Jr2-OH2={2一蔡=

平面aw与球。的交线为一个圆,

c。2M4加

圆r周7长1为Z/=2乃弓=2»x------=-------71-

255

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

AA-R

17.在①(8+。一。)(〃-Q+c)=〃c：②cos(A+3)=sin(A-5)；③tan-----=sinC这三个条件中任

2

选两个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求〃的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.

问题：是否存在□ABC,它的内角4,8,C的对边分别为a,b,c,旦a=2五,，?

注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分.

【详解】

选择条件①和②.

因为(b+a-c)(b—a+c)=ac,所以/+，—Z??=&c.

〃242_序1

由余弦定理，得cos3二巴二」——=-

2ac2

_7C

因为()v5<»,所以8=—.

3

12

71

因为cos(A+8)=sin(A-B),所以cosA4+—

3

所以cosAcos----sinAsin—=sinAcos-----cosAsin—,

3333

所以sinA=cosA.

71

因为0<A<〃，所以A=一.

4

cib,_2_V_2_—___b_

在DABC中，由正弦定理——="一，得.乃一.万

sinAsin3sin-sin—

43

2A/2sin工

所以b=----------、=2瓜

.n

sin——

4

选择条件①和③.

因为(b+a-c)S-a+c)=ac,所以/+t2-

^2,2_121

由余弦定理，得cos8==^——

lac2

TT

因为0v3<»,所以3=—.

3

.7T—CC

ATNA.D_厂sin-------cos—

rA+B._,,A+B7i-C72

因1为tan-------=sinC,且tan---=tan---=----------=------

222冗一C.C

cos-------sin—

22

CC1

因为0<C<»,所以cos一。0,所以sin'—=一.

222

因为0＜。＜%，所以sinC＞0,所以sinC=Y2,可得。=工.

2222

所以在RtTABC中，b=atan—=2\[6.

3

选择条件②和③.

因为cos(A+3)=sin(A-8),

所以cosAcosB-sinAsin5=sinAcosB-cosAsinB,

13

所以(sinA-cosA)(sinB+cosB)=0.

所以sinA=cosA或sin8=-cosB.

因为0<A<»,0<B〈九,

LL1A兀.v八3兀

所以A=—或5=—.

44

.TV—7C

，…A+B,「,,A+B7i-CSin2-cos—

又因为tan--------sinC,且tan=tan=_=2_

C，

222cos——7一(-sin—

22

C

cos5cQ

所以---=sinC=2sin—cos—.

.C22

sin—

2

r「i

因为()<C<乃，所以COS—HO,所以sin2-=-.

222

C'「兀

因为0<C(不，所以sin—>0,所以sin±=之，可得C=：

2222,

TTTT7Z

在口/WC中，A+8+C=;r,所以A=—,C=~,B=—.

424

所以DABC为等腰直角三角形，所以6=a=2夜.

、与轴和直线均相

18.如图，在平面直角坐标系xQy中，已知w个圆G、C2,•••Gx/:y=g(x+l)

切，且任意相邻两圆外切，其中圆C,:(x—aj2+(y—4)2=/

(1<i<〃,iwN*,-1<a<4=8也>0,q>0).

0V

(1)求数列｛。“｝的通项公式;

14

(2)记几个圆的面积之和为S,求证：S<—

O

【详解】

(1)宜线/的倾斜角为60。，则宜线C,c2的倾斜角为30。，且直线GG过点(一1,0),

•••^(知/0在直线y=二9^+口上，；.?5^。：々，如下图所示:

设圆G、GM分别切X轴于点尸、2-过点G+I作G+|M，PG，垂足为点M，

则ZC,C,.+1M=3()。，其中ieN*，|MG|=〃一鬣],IGG+J=4+鬣1,

1半(—)

MJj

sin/CM可得-=>—7=^-----------

2V3z小2

|GC+「2~^ai+\+2)

=4+4+]+2=2q_24.+i,=36+]+2,则q+]=3(4.+1+1),

{an+1}为等比数列且首项为4+1=9,公比为:，

；4+1=唔)=4=唱)-h

(2)S=町2+7rg+…+町;=九序+冗吠+…+兀b；

81.1—("

19；243f,11243

=([(4+1『+(%+1)~+…+(〃〃+1)~=y

1_18I9nJ8

-9

19.2019年4月，江苏省发布了高考综合改革实施方案，试行“3+1+2”高考新模式.为调研新高考模式下,

某校学生选择物理或历史与性别是否有关，统计了该校高三年级800名学生的选科情况，部分数据如下表:

15

性别

男生女生合计

科目

物理300

历史150

合计400800

(1)根据所给数据完成上述表格，并判断是否有99.9%的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关；

(2)该校为了提高选择历史科目学生的数学学习兴趣，用分层抽样的方法从该类学生中抽取5人，组成数

学学习小组.一段时间后，从该小组中抽取3人汇报数学学习心得.记3人中男生人数为X,求X的分布列和

数学期望E(X).

附：心―出山——

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K\.k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510,828

【详解】

(1)

性别

男生女生合计

科目

物理300250550

历史100150250

合计400400800

22

,“2800X(300X150-250X100)(450-250)1600

r'l/JA----------------------------------------------=------------------------->l(J.o2o

550x250x400x40055x25x211

所以有99.9%的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关.

(2)按照分层抽样的方法，抽取男生2人，女生3人.

随机变量X的所有可能取值为0,1,2.

32l

所以P(X=0)=2C°%C=1—,P(x=l)=C上Y冬=士3，P(X=2)=CSC^=3，

Cl10Cf5Cf10

36

105

答：x的数学期望为

20.如图，在正六边形ABCDEF中，将□A3尸沿直线BF翻折至/\ABF，使得平面ABF±平面BCDEF,

o,H分别为BE和AC的中点.

(1)证明：。"〃平面A'£b；

(2)求平面A'BC与平面A'DE所成锐二面角的余弦值.

【详解】

(1)如图，取AE的中点G,

连结FG,HG,CE.

又因为，是AC的中点，

所以“G〃CE,HG^-CE.

2

乂因为正六边形ABC。瓦'中，BFOCE,BF=CE,

17

所以”G〃防同，HG=-BF.

2

又。为的中点，所以8G〃。/HG=OF,

所以四边形OEGH为平行四边形，所以O〃〃FG.

因为FGu平面4£尸，。〃仁平面AE尸，

所以平面AEE.

(2)由条件可知OA'±OB,OA!±OD,OD±OB.

分别以而为x轴正方向、OD为y轴正方向、两为z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.

设正六边形ABCDEF的边长为2,则5(6,0,0),。(省,2,0),0(0,3,0),E(-疯2,0),A(0,0,1),

所以肥=(0,2,0),碇=(6,2,-1),ED=(73,1,0),^0=(0,3,-1).

设平面ABC的法向量为4=(%,,7,zj，

「晨前=0,“J2y=0,

由^」___得^r-

/?]■A!C=0,[J3X1+2y-Z]=0.

取芯=1,可得I=(1,0,6).

设平面AiDE的法向量为I=(%，必，Z2)，

.窃=0,刃[若x,+%=0,

[n2-AD=Q,13%-4=0.

取血=1，可得%=(1,-6,-36)-

设平面A'BC'j平面AfDE所成锐湎角的大小为。，

|lxl+0x(-V3)+V3x(-373)|_4>/3T

则cos6COS<〃[,〃2〉

J1+0+3XJ1+3+27-31

4用

所以平面A'BC与平面^DE所成锐二面角的余弦值为

31

18

22

21.已知椭圆后:鼻+马=1（。>0>0）的左焦点为耳（一2,0）,点仅，、巧）在椭圆E上.

（1）求椭圆E的方程；

（2）如图，。为坐标原点，点A为椭圆E上一动点（非长轴端点），直线A8、A。分别与椭圆E交于点

B、c,求□ABC面积的最大值.

【详解】

（1）因为椭圆经过点（2,、回），，且左焦点为耳（一2,0）,

'42

则《c