新高一数学补习资料集合和函数共21讲（精讲精练含答案）

主题集合的基本概念

教学内容

洋学习目标

1.使学生初步了解“属于“关系的意义；

2.使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义；

3.掌握集合的两种常用表示方法（列举法和描述法）。.

A

互动探索

一、集合的概念

1、看图片

①一群大象在喝水；②一群鸟在飞翔；③一群学生在热烈欢迎来宾

在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是一群大象、一群鸟、一群学生）

对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合，即是一些研究对象的总体。

2、观察下列对象：

①1〜20以内的所有质数；

②我国从1991—2003年的13年内所发射的所有人造卫星

③金星汽车厂2003年生产的所有汽车；

④2004年1月1日之前与我国建立外交关系的所有国家；

⑤所有的正方形；

⑥到直线I的距离等于定长d的所有的点；

⑦方程x2+3x—2=0的所有实数根；

⑧新华中学2004年9月入学的所有的高一学生。

这里师生共同概括8个例子的特征，得出结论，然后给出集合的含义：一般地，某些指定的对象集在-

起就成为一个集合，也简称集。把研究对象统称为元素，常用小写字母啊a,/，，c.…表示，把一些元素组成

的总体叫做集合，常用大写字母4B,C….来表示。

3o、i括knfe-乐良-：

在准高一学生的训练场上，教导员说了这样一句话：“你们之中的高个同学站在第一排“，这个时候，大

家都往后撤了一步，这是为什么呢？

反过来，教导员又说：“你们之中矮个的同学站在第一排”,可是呢，同学们还是都往后撤了一步。这个时

候，教导员就不解了：这是为什么呢？

这个列子也可以当堂老师问：那个学生学习好，请举手，那个学生学习差，请举手。学生应该都不会举手的，

和上面的例子是一样的，这里面没有衡量标准。如果老师说谁中考考140分以上请举手，这样就可能有人举

手了。通过这个例子再结合集合的定义，说明什么是指定的对象。

4、小问答：

(1)4=｛1,3｝,3、5哪个是4的元素？

(2)8=｛身材较高的人｝,能否表示成集合？

(3)C=｛1,1,3｝表示是否准确？

(4)｛中国的直辖市｝,E=｛北京，上海，天津，重庆)是否表示同一集合？

(5)尸=｛“,6,c｝与G=｛c,6,a｝这两个集合是否一■样？

(1)1,3是A的元素，5不是

(2)我们不能准确的规定多少高算是身材较高，即不能确定集合的元素，所以8不能表示集合

(3)C中有二个1,因此表达不准确

(4)我们知道E中各元素都是属于中国的直辖市，但中国的直辖市并不只有这几个，因此不相等。

(5)F和G的元素相同，只不过顺序不同，但还是表示同•个集合

通过上述分析引导学生自由讨论、探究概括出集合中各种元素的特点，并让学生再举出一些能够构成集合的

例子以及不能构成集合的例子，要求说明理由。师生一起得出集合的特征：

1)确定性：某一个具体对象，它或者是一个给定的集合的元素，或者不是该集合的元素，两种情况必有一

种且只有一种成立.

2

2）互异性：同一集合中不应重复出现同一元素.

3）无序性：集合中的元素没有顺序

4）集合相等：构成两个集合的元素完全一样

二、集合与元素的关系

【问题】高一（4）班里所有学生组成集合A,a是高一（4）班里的同学，b是高一（5）班的同学，小b与

A分别有什么关系？

引导学生思考上述问题，发表学生自己的看法。

得出结论：①如果a是集合A的元素，就说。属于集合A,记作aGA。

②如果b不是集合4的元素，就说〃不属于集合A,记作。任4。

再让学生举一些例子说明这种关系。

熟记数学中一些常用的数集及其记法

符号名称含义

N非负数集或自然数集全体非负整数组成的集合

N*或V正整数集所有正整数组成的集合

Z整数集全体整数组成的集合

Q有理数集全体有理数组成的集合

三、集合的表示方法

列举法：将集合中的元素一一列出来（不考虑元素的顺序），并且写在大括号内，这种表示集合的方法叫

做列举法；

描述法：在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中元素所

共同具有的特性，即：A={x|x满足的性质p}，这种表示集合的方法叫做描述法.

R精讲提升

（采用教师引导，学生轮流回答的形式）

例1.下面给出的四类对象中，构成集合的是（D）

A.某班个子较高的同学8.相当大的实数

C.我国著名数学家D倒数等于它本身的数

试一试：下列各项中，不可以组成集合的是（C）

3

A.所有的正数B.等于2的数C.接近于0的数D.不等于0的偶数

例2.下列八个关系式①{0}=。②③。={。}④。£{。}⑤{。}3。

⑥0任{{0}，。}⑦{。}10}⑧。£{0}其中正确的个数(A)

(4)4(B)5(C)6(D)7

试一试：若集合S={xeZ|—9—wN*},用列举法表示集合S。

x-1

答案:S={2,3,4,7)

这个题对于刚开始接触集合的学生来说难度较大，老师也要强调一下记住几个特殊集合的重要性。

例3.用列举法表示下列集合：

(1)不大于10的非负偶数集；

(2)自然数中不大于10的质数集；

(3)方程?+2x-15=0的解。

(1){0,2,4,6,8}(2){2,3,5,7)(3)|-3,5)

例4.用描述法表示下列集合，并指出它们是有限集还是无限集：

(1)所有被2整除的数；

(2)坐标平面内，x轴上的点的集合；

(I){x\x=2k,keZ}-.(2){(x,y)|x=0,ye/?}两个都是无限集

这里老师可以向学生简单讲解点集的表示，同时也介绍一下集合的分类：有限集，无限集，空集重点介绍空

集的符号与表示，这个在下节课中也会重点讲解。

八达标PK

..7rL-J(学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解)

1.用符号e或e填空：

(1)2——N(2)3——Q(3)0_-0

(4)0——{0}(5)b一—{a,b,c}(6)0_—N*

答案：£出走€€定

2.写出下列集合中的元素(并用列举法表示)：

(1)既是质数又是偶数的整数组成的集合答案：{2}

4

5

【巩固练习】

1.下列关系中正确的是（）B

人oe{（o,1）}B.0G{0,I}C.ie{（o,1）}D.1e{0,1}

2.已知集合5={〃，b,c}中的三个元素可构成△ABC的三边长，那么aABC一定不是（）D

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形

3.下列命题中正确的是（）C

A.{0}是空集B.{xeQI^eN}是有限集

X

C.{xeQ|x2+x+2=0}是空集力.集合N中最小的数是1

4.已知A={—2,-1,0,1},B={x\x^\y\,y&A},则集合8=.{0,I,2）

5.已知A={1,3,a],B={1,a2-a+\],且A3B,则a的值为.2或一1

6.已知含有三个元素的集合M={x,xy,x-y},N={0,|.r|,y}且"=乂求x、y的值。

VOGMM=N,；.QGM,:•集合M为含三个元素的集合，，炽xy,.•.彦0

VOe/V,y&N,根据元素的互异性，因此，在集合M中，只有x-）=0

.,.x=y,所以集合Af={1,*2,0},集合N={0,|%|,x},x2=|x|）40,x=±l

又据元素的互异性可得4-1,y=-l«

【预习思考】

1.思考：实数有相等.大小关系，如5=5,5<7,5>3等等，类比实数之间的关系，你会想到集合之间有什么

关系呢？

2.观察下面几个例子，你能发现两个集合间有什么关系了吗？

（1）A={1,2,3},8={1,2,3,4,5}；

（2）设A为某中学高一（3）班男生的全体组成的集合，8为这个班学生的全体组成的集合;

（3）设C={X|x是两条边相等的三角形},。={X|x是等腰三角形};

（4）£={2,4,6},尸={6,4,2}.

6

主题集合的运算

教学内容

学习目标

1.理解集合的相等和包含关系及其关系符号；

2.掌握集合的交、并、补等运算，知道有关的基本运算性质;

3.会求几个集合的交集和并集，会求已知集合的补集.

4殳动探索

（以提问的形式回顾）

一、集合与集合的关系

1.思考：实数有相等.大小关系，如5=5,5<7,5>3等等，类比实数之间的关系，你会想到集合之间有什么

关系呢？

让学生自由发言，教师不要急于做出判断。而是继续引导学生；欲知谁正确，让我们一起来观察研探.

2.观察下面几个例子，你能发现两个集合间有什么关系了吗？

（1）A={1,2,3},8={1,2,3,4,5}；

（2）设A为某中学高一（3）班男生的全体组成的集合，8为这个班学生的全体组成的集合；

（3）设。={幻了是两条边相等的三角形},D={x|x是等腰三角形};

（4）£={2,4,6},尸={6,4,2}.

组织学生充分讨论.交流，使学生发现两个集合所含元素范围存在各种关系，从而类比得出两个集合之间的关

系：

①一般地，对于两个集合A,B,如果集合4中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合

有包含关系，称集合A为8的子集.

记作：A^B（或BqA）

读作：A含于8（或8包含A）.

②如果两个集合所含的元素完全相同，那么我们称这两个集合相等.

教师引导学生类比表示集合间关系的符号与表示两个实数大小关系的等号之间有什么类似之处，强

化学生对符号所表示意义的理解。并指出：为了直观地表示集合间的关系，我们常用平面上封闭曲线的内部

代表集合，这种图称为Venn图。如图/和图2分别是表示问题2中实例1和实例3的Venn图.

7

图1图2

3.与实数中的结论“若aZb,且bNa,贝必=8"相类比，在集合中，你能得出什么结论?

教师引导学生通过类比，思考得出结论：若A=且B=A则A=B.

4.请同学们举出几个具有包含关系.相等关系的集合实例，并用论〃〃图表示.

学生主动发言，教师给予评价.

5.通过阅读书本回答下列问题：

(1)集合A是集合B的真子集的含义是什么?什么叫空集？

(2)集合A是集合B的真子集与集合A是集合B的子集之间有什么区别？

(3)0,{0}与。三者之间有什么关系？

(4)包含关系{a}=A与属于关系aeA正义有什么区别?试结合实例作出解释.

(5)空集是任何集合的子集吗?空集是任何集合的真子集吗？

(6)能否说任何一人集合是它本身的子集，即AqA?

(7)对于集合A,B,C,D,如果B=那么集合A与C有什么关系？

老师巡视指导，解答学生在自主学习中遇到的困惑过程，然后让学生发表对上述问题看法.

练习：某工厂生产的产品在质量和长度上都合格时，该产品才合格。若用A表示合格产品，8表示质量合格

的产品的集合,C表示长度合格的产品的集合•则下列包含关系哪些成立？

A^.B,B^A,AQ.C,C^A

试用Venn图表示这三个集合的关系。

二、集合的运算

1.请同学们考察下列各个集合，你能说出集合C与集合A、B之间的关系吗?

(1)A={1,3,5},B={2,4,6},C={1,2,345,6};

(2)A={x|x是有理数}是无理数},C={x|x是实数}.

2.如图甲和乙所示，观察两个图的阴影部分，它们分别同集合4、集合B有什么关系？

观察集合A与8与集合C={1,2,3,4}之间的关系.

通过总结，回答下列问题：

①己知集合A={1,2,3},8={2,3,4},写出由集合4,8中的所有元素组成的集合C.

8

②已知集合A={x|x>l},B={xk<0},在数轴上表示出集合A与B,并写出由集合A与8中的所有元素组成的集

合C.

并集：由所有属于集合A―属于集合8的元素所组成的集合，叫做A与8的并集。

即：A\JB=。

3.请同学们考察下面的问题，集合A与B与集合C之间有什么关系？

A={2,4,6,8,10},B={3,5,8,12},C={8};

类比集合的并集，请给出集合的交集定义？

交集：由所有属于集合A―属于集合8的元素所组成的集合，叫做A与8的交集。

即：AC\B=。

4.全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用U表

示。

5.补集：设S是一个集合，A是S的子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补

集。即：CSA=,

鼠精讲提升

（采用教师引导，学生轮流回答的形式）

例1.设集合A={x*=l},B={x|x是不大于3的自然数},AUC,8UC,则集合C中元素最少有（）

A.2个B.4个

C.5个O.6个

试一试：如果集合A满足{0,2}=A={-1,0,1,2},则这样的集合A个数为（）

A.5B.4C.3D.2

例2.设A={4,5,6,8},B={3,5,7,8},求AU8,ADB.

试一试：

1.集合例={1,2,3}4={-1,5,6,7},则MUN=.MCN=.

2.集合P={l,2,3,/n},M={/n2,3},puM={i,2,3,M4!jm=.

9

例3.设A={x|-l<x<2},B={x[l<r<3}〃AUB>AnA

试一试：

1.设A={x|2x-4<2},B={x|2r-4>0},求AU8,AC1B.

2.设A={x|2x-4=2},8={x|2r-4=0},求AURAClA

x-3

例4.已知全集°=/?,4={司卜一1|21},8={工>0h

x—2

求：(1)AB；(2)(CyA)(Q.5)

例5.已知A={x|x<-1或x>2},B={x\4x+a<0},当BUA时，求实数n的取值范围.

/rs达标PK

一/J，产(学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解)

1.已知集合U={1,3,5,7,9},A={1,5,7}»则Cu4=()

A.{1,3}B.{3,7,9}

C.{3,5,9}D.{3,9}

10

2.集合4={川一1人2},B={x\x<l},则4n(C«B)=()

A.{x\x>1}B.{x|这1}

C.{x\\<x<2}D.{x\\<x<2}

解析：选。.・・・8={小<1},：.CRB={X\X>\}9

.".AnfRB={x|l<x<2}.

3.已知全集。=2,集合A={x|f=x},8={—1,0,1,2},则图中的阴影部分所表示的集合等于()

A.{-1,2}B.{-1,0}

C.{0,1}D.{1,2}

4.已知全集U={x|l昼5},A={x|l<x<«},若1uA={x|2勺区5},则•=.

5.已知集合4={*^^0?-3*+2=0,a^R].

(1)若A是空集，求a的取值范围；

(2)若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来；

(3)若A中至多有一个元素，求a的取值范围.

6.已知集合A={,"|(〃?-2)(机2+1)>0},集合8={〃?|/(x)=/og2[4f+4(/"-2)x+l]的定义域为R},

(1)若集合CuAnB且C=\_m,m+-],求相的取值范围.

一2

3

(2)设全集U={瓶|"?>彳},求AClCuB.

11

514rt

皴j我的收获

本节课主要知识点：集合与集合的关系，集合的运算

Q课后作业

【巩固练习】

1.已知全集。={1,2,3,4,5},且4={2,3,4},8={1,2},则4~1。曲)等于()

A.{2}B.{5}C.{3,4}D.{2,3,4,5)

2.已知全集U={0』,2},且CuA={2},则4=()

4.{0}B.{1}C.0D.{0,1}

3.已知全集(/={2,3,c^-a-X],A={2,3},若C°A={1},则实数〃的值是

4.设集合A={x|x+*0},B={x[—2<xV4},全集U=R,且(CuA)ng=0,求实数m的取值范围为

5.已知集合4=国2“一2a<a},B^[x\\<x<2},且4叁CRB,求实数a的取值范围.

【预习思考】

我们知道，能够判断真假的语句叫做命题.例如,

(1)如果两个三角形全等，那么它们的面积相等；

(2)如果两个三角形的面积相等，那么它们全等；

12

(3)如果两个三角形不全等，那么它们的面积不相等;

(4)如果两个三角形的面积不相等，那么它们不全等.

问题：命题(2)^(3)、(4)与命题(1)有何关系？

13

主题命题与条件

教学内容

习目标

1.理解逻辑连接词“或”、“且”、“非”的含义;

2.理解四种命题及其相互关系；

3.理解充分条件、必要条件及充要条件的意义;

（以提问的形式回顾）

一、命题

1.我们知道，能够判断真假的语句叫做命题.例如，

（1）如果两个三角形全等，那么它们的面积相等；

（2）如果两个三角形的面积相等，那么它们全等；

（3）如果两个三角形不全等，那么它们的面积不相等；

（4）如果两个三角形的面积不相等,那么它们不全等.

问题：命题（2）、（3）、（4）与命题（1）有何关系？

在上面的例子中，

命题（2）的条件和结论分别是命题（1）的结论和条件，我们称这两个命题为互逆命题.

命题（3）的条件和结论分别是命题（1）的条件的否定和结论的否定，这两个命题称为互否命题.

命题（4）的条件和结论分别是命题（1）的结论的否定和条件的否定，这两个命题称为互为逆否命题.

2.一般地，设“若p则q”为原命题，那么

“若q则p"就叫做原命题的逆命题；

“若非p则非q”就叫做原命题的否命题；

“若非q则非p”就叫做原命题的逆否命题.

3.四种命题之间的关系如下：

14

原命题互为逆命题逆命题

若P，则〃若q,则p

互

互

为

为

否

否

命

命

题

题

否命题逆否命题

若非P，则非g若非17,则非p

练习：写出下列命题的的逆命题、否命题与逆否命题，同时指出它们的真假:

(1)若4=0,则出?=0；

(2)若四边形对角线相等，则四边形是平行四边形；

(3)全等三角形的对应边相等；

(4)四条边相等的四边形是正方形。

解答：(1)原命题真，逆命题假，否命题假，逆否命题真；

(2)原命题假，逆命题假，否命题假，逆否命题假；

(3)原命题真，逆命题真，否命题真，逆否命题真；

(4)原命题假，逆命题真，否命题真，逆否命题假。

4.通过上面的练习思考：原命题、逆命题、否命题、逆否命题的真假有什么关系？

原命题与逆否命题同真假，逆命题与否命题同真假

结论：互为逆否命题的两个命题真假性相同

二、条件

讨论一：下列“若p、贝叼”的命题中，p、q关系如何？

(1).若x=l,则V=l：(2).若©。都为偶数、贝(U+匕是偶数：

讨论结果：一般地，“若p、则q为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q,

记作：pnq.于是我们就把〃叫做q的充分条件，q叫做"的必要条件.

定义：一般地如果命题若小则q为真命题，即png,那么我们就把p叫做4的充分条件，g叫做p的必要条

件.

注意：1.命题是“若p、则形式的，要认清p、q分别指什么。

2.命题必须是真命题

练习：下列“若p、则的命题中，哪些命题中的p是4的充分条件？

(1)若x=l,则x2_4%+3=0.

15

（2）若x为无理数，则一为无理数

分析：因为（1）是真命题，所以/>是q的充分条件；因为（2）是假命题，所以p不是q的充分条件.

从这个练习可以看出判断条件的第一步是判断命题的真假。同时从（2）说明p、g的关系：p不是g的充分条

件，q不是0的必要条件。

讨论二：下列''若p、则q”的命题中，写出命题的逆命题，并判断原命题与逆命题的真假.

⑴、"若x=y、则/=丫2”；

（2）、"若ac=be、则a=b";

（3）、“若两直线平行、则内错角相等”；

（4）、"若a>b、则ac>be".

讨论结果：（1）中是g的充分条件且不是g的必要条件，即：pnqiiq冷p,这时我们把p叫做q

的充分不必要条件。

（2）中/，是q的必要条件且p不是q的充分条件，即：q=p旦pw>",这时我们把?叫做g的必要不充

分条件。

（3）中〃是q的充分条件且〃是q的必要条件，即：pnqHq=p,这时我们把〃叫做q的充分必要条

件，简称充要条件。

（4）中p不是q的充分条件且「不是q的必要条件，即：p^>q\\,q^>p,这时我们把p叫做g的既不充

分也不必要条件。

定义：

（1）”若「、则为真命题，且“若小则夕”为假命题，即：p^q\\,q^>p,我们把p叫做q的充分

不必要条件。

（2）“若夕、则为假命题，且“若小则p”为真命题，即：q=p且p/>q,我们把p叫做q的必要

不充分条件。

（3）“若夕、则/'为真命题，且“若外则p”为真命题，即：p=q且q=p,我们把p叫做g的充分

必要条件，简称充要条件。

（4）“若°、则g”为假命题，且“若外则〃”为假命题，即：pW>qH.q/>p,我们把p叫做q的既不

充分也不必要条件。

16

标/s讲提升

（采用教师引导，学生轮流回答的形式）

例1.判断下列命题的真假：

（1）所有能被6整除的整数都是3的倍数；

（2）关于x的方程方+。=0（久Oe/?）有且只有一个实数根。

解：（1）真命题。

（2）假命题。

说明：假命题的判断可以使用“举反例法”。若判断为真命题，则需证明。

试一试：判断下列命题的真假：

（1）质数都是奇数；

（2）钝角三角形的内角至少有一个是钝角；

（3）若x>0,y>0,则孙<0。

⑷若ABw0,ACw0,则BCw0。

解：（1）假命题；（2）真命题；（3）真命题；（4）假命题；

例2.已知命题：若x>l,且y>-l,则x+y>0,写出它的四种形式并判断真假。

解:逆命题：若x+y>0,则x>l,且y>-l。假命题。

否命题：若x41,或y4-1,则x+yWO。假命题。

逆否命题：若x+yWO,则尤41,或y4-1。真命题。

试一试：写出命题''已知。、b、c、deR,若a=4c=d,则ac=M”的其他三种形式。

解：逆命题：已知a、b、c、dGR,若ac=A>d,则a=/?,c=d0假命题

否命题：已知a、b、c、dGR,若a#b或cod,则假命题

逆否命题：已知a、b、c、dwR,若ac不bd,则a/b或cwd。真命题

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例3.已知x、yeR,“|x+N=W+M”是“xy>Q"的什么条件？

解：必要非充分。

说明：写成命题形式，判断原命题及其逆命题的真假即可。

例4.证明：ac<0是关于x的一元二次方程以2+bx+c=0有两个不同的实数根的充分非必要条件。

解：充分性：若ac<0,则方程的A>0,方程有两个不同的实数根。

非必要性：当方程有两个不同的实数根，则△>（）,而不仅仅是ac<0。

说明：证明非必要性，只需证明，na不成立即可。

小达标PKL

'飞工厂'〈（学生统-完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解）

1.设p:0cx<5,^:|x-2|<5,那么p是q的（）A

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要,条件D.既不充分也不必要条件

2.从“充分不必要条件”，“必要不充分条件”或“充要条件”中选出适当的一种填空：

（1）“ax?+法+。=0（。/0）有实根”是“改<（）”的；必要不充分条件

（2）“ZXABCg△A‘8'C”是“△ABCS2XAB'C”的.充分不必要条件

3.写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题.

（1）若a=0,则出?=0；

⑵若时=|4,则a=/?.

解：逆命题：若ai>=0,则a=0。

否命题：若aHO.则出?/0。

逆否命题：若，必。0,则

4.把下列命题改写成“若p则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题，同时指出它们的真假.

（1）对顶角相等；

（2）四条边相等的四边形是正方形.

解：（1）若两个角是对顶角，则它们相等.真命题

逆命题：若两个角相等，它们是对顶角.假命题

否命题：若两个角不是对顶角，则它们不相等.假命题

18

逆否命题：若两个角不相等，则它们不是对顶角.真命题

（2）若四边形的四条边都相等，则这个四边形是正方形。假命题

逆命题：若四边形是正方形，则四条边相等。真命题

否命题：若四边形的四条边不相等，则这个四条边不是正方形。真命题

逆否命题：若四边形不是正方形，则四条边不相等。假命题

5.已知以b&R,求证："―/―给？=1成立的充分条件是。2一6=］。

证明：由02_从=1,得：a2-b2-l=O

（。2+/+1）（。2一/一1）=0,a4-M-2/?2-l=0,即4—给2=1

所以/一〃=1是，一/一2/=1的充分条件

:我的收获

本节课主要知识点：四种命题的改写，四种命题之间的真假关系，充分条件必要条件的判定

课后作业

【巩固练习】

1.从“充分不必要条件”，“必要不充分条件”或“充要条件”中选出适当的一种填空：

（1）“四边形的对角线互相平分”是“四边形为矩形”的；

（2）“A=0”是“A8=8”的；

（3）设。厂O?的半径为彳，为，则“。1。2=4+4”是“两圆外切”的

（1）必要不充分条件（2）充要不必要条件（3）充要条件.

2.指出A±B是A=B的什么条件，简述理由。

答案：必要非充分条件。理由：A^B^>A=B,反过来4=B=

【预习思考】

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1.设xeR,则x>2的一个必要不充分条件是()

A.x>1B.x<lC.x>3D.x<3

2.的整体叫做集合。

3.元素与集合的关系有及两种。

4.集合元素的三个特征：

(1)；(2)；(3).

5.集合的表示方法有、.

6.按元素个数分，集合可以分为、、

7.集合与集合之间存在三种关系：与与.

8.(1)集合A与集合B的交集：.

(2)集合A与集合B的并集：.

(3)集合A的补集：.

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主题集合单元复习

教学内容

1.理解集合间具有包含关系的充要条件是这些集合的性质具有推出关系；

2.巩固集合的概念与运算。

动探索

（以提问的形式回顾）

I.设xeR,则尤>2的一个必要不充分条件是（）

A.x>iB.x<lC.x>3D.x<3

答案：A

分析：这是一个倒装句，意思是“谁”是“x>2”的一个必要不充分条件。即“x>2”能推出“谁”，但反过来“谁”

不能推出“尤>2”

通过上面的练习我们会发现，尤>2是x>l的充分条件，那么集合4=｛工忖>2｝和集合3=｛》忖>1｝是什

么关系？

同样：“x是实数”是“x是有理数”的什么条件？集合A=｛巾是实数｝和集合3=｛小是有理数｝是什么关

系？

通过这两个结论你能否简单总结一下，集合之间是怎样的关系，能得到什么条件？

结论：设4=忖4具有性质a｝,8=｛小具有性质4｝,则=尸

教师可简单总结一下特征，发现包含符号和推出符号方向一致

2.—我们把能够确切制定的一些对象组成—的整体叫做集合。

3.元素与集合的关系有一属于及不属于两种。

4.集合元素的三个特征：

（1）―确定性；（2）互异性;（3）无序性.

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5.集合的表示方法有一列举法、一描述法.

6.按元素个数分，集合可以分为一有限集、无限集、一空集

7.集合与集合之间存在三种关系：―子集—与—真子集与相等.

8.（1）集合A与集合B的交集：AB={x\xeAJLxeB}.

（2）集合A与集合2的并集：AB={MxeA或x6B}.

（3）集合A的补集：

设。为全集，A为。的子集，则A的补集为QA={x|xeSaxeA}.

9.集合的运算性质：AB=AoAc5^4B=A<=>AoCuA=0；AC„A=U.

属于

把能够确切制定的对建置.作.是二个整件定义

%冬盍/不属于a任/

孑集三

描述法

交集znB={工,5且xw3}

笄/升果4U8二卜k€A^ixe

补集GA={x|xeUfix年z}

借助这个思维导图让学生理解记忆

（采用教师引导，学生轮流回答的形式）

例1.设a：-l<x<2；/?：x<a,若a是夕的充分条件，求实数。的取值范围

解：设4={R-1<X<2},B=^x\x<a^

a是£的充分条件=>A£5na<2（画数轴）

22

试一试：设a：l<x<3»P：?n+l<x<2m+4,me/?,若a是夕的充分条件，试求m的取值范围;

解：设24={'14》<3},B={j^m+\<x<2m+4,me/?}

m+1<1i

a是夕的充分条件=AuBn<^>-^<m<0（画数轴）

-3<2m+42

2m+4>m+l=>m>—3,综上，-，4机«0

2

注意要保证H集合不是空集

例2.已知全集。={1,2,3,4,5,6},集合A={1,3,5},3={1,2},贝U(G*)IB=

解：由已知条件知GA={2,4,6},故(Q,A)IB={2}.

试一试：已知全集［/={一2,-1,0,1,2}，集合A==x、则C°A=

解：由已知条件知，要想xeZ,故〃只能取3,2,0,-1,得x分别为1,2,-2,-1,故QA={0}

例3.已知集合P={"2+（m+2）x+l=0,xdR},若Hl{正实数}=0,求实数机的取值范围.

分析：本题考查集合与方程及分类讨论思想，注意在有关子集讨论中不要忽视对空集的讨论.

解：（1）当P=0时，有/=Cm+2）2-4<0,解得一4Vm<0.

Xi+=-(，〃+2)<0

m>-2

(2)当/¥0时，有,“々=1>0解得得w>0

m>0或m<-4

/=(加+2尸一420

综上(1)(2)可知m>-4.

试一试：已知4={尤*一如+/—19=0},B={x\x1-5x+S=2},C={4?+2x-8=0},(1)若AClB=AUB,

求a的值；（2）若ADC=0,求a的值.

解:由己知，得8={2,3},C={2,-4}.

⑴：An8=AUB,

于是2,3是一元二次方程1-以+/—19=0的两个根，由韦达定理知:

2+3=a

解之得a—5.

2x3=a2-19

(2)V0S\nB,/.An^0,XVADC=0,可知一4《A,2£A,3GA

.•.有9-3。+/-19=0,解得。=5或。=一2

①当a=5时，A={2,3},此时ACC={2}#0,矛盾，.•."5；②当。=一2时，4={-5,3),此时AClC

=0,4(18={3杼0符合条件.综上①②知。=一2.

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(学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解)

1.设集合4={*6如>一1},贝1|()

A.0/AB.也生AC.丘wAD.{码qA

2.如果［/是全集，M,P,S是U的三个子集，则阴影部分所表示的集合为()

(A)(MAP)OS；

(B)(MCIP)US；

(C)(MAP)0(CuS)

(£))(MOP)U(CuS)

3.已知集合〃={(羽丁)|%+丁=2},"={(乂y)］万一丁=4},那么集合加门可为()

A、x=3,y=—1B、(3,-1)C、{3,-1}D、{(3,-1)}

4.A={-4,2.-1,。2},8=伍—5,1_。,9},且4门8={9},则。的值是()

A.a—?>B.a=—3C.tz=+3D.a-5或a=+3

5.设集合M={小于5的质数},则M的真子集的个数为.

6.设。={1,2,3,4,5,6,7,8},4={3,4,5},8={4,7,8}.则：(0/4)门(。〃8)=,(CyA)u(QB)=—

7.某班有学生55人，其中音乐爱好者34人，体育爱好者43人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，则班级中即

爱好体育又爱好音乐的有人.

8.已知A={x|x<—1或c>5},6={x|aWx<a+4},若A^B，则实数。的取值范围是.

9.设A={x|x?+4x=0},8={x|x?+2(a+l)x+a?-1=0},若AcB=B,求”的值

10.已知集合A=(x|14x<7},B={X|2<X<10),C={x^x<a},全集为实数集R.

(I)求AUB,(CRA)HB；

(II)如果AC#。，求a的取值范围.

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参考答案：

1、8：2、C；3、。；4.、B；5、3；6、{1,2,6},{1,2,3,5,6,7,8}；7、26；8、(-oo,-5]U(5,+oo)

解析：丫AcB=B，

由4={0,-4},:.B=①,或8={0},或8={-4},或8={0,-4}

当3=少时，方程/+2(。+1口+/-1=0无实数根，则

△=4(a+l)2-4(a2-l)<0整理得”+1<0解得a<-\-.

当6={0}时，方程/+2（。+1）》+/-1=0有两等根均为0,则

'—2(。+1)=0

解得”=一1；

a2—1=0

当8={-4}时，方程f+2（a+l）x+/-1=。有两等根均为-4,则

-2(«+1)=-8

无解;

a2—1=16

当8={0,-4}时，方程—+2（。+1）1+/_1=0的两根分别为（），-4,则

—2(a+l)=T

\解得a=\

。2—1=0

综上所述：aW—1或a=l

19.解：(I)AUB={x|lSr<10)

(CM)nB={xU<l或x>7}n{x|2<x<10}

={x|7<x<10}

(II)当4>1日满足ACw。

我的收获

本节课主要知识点：子集与推出关系，集合的运算，注意空集的讨论。

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,•课后作业

【巩固练习】

1.若a：/_8=0；/_4=0,则a是4的条件;

充分不必要

2.集合A={xIx2—ax+a2_19=0},B={xIx2—5x+6=0),

C={xIx2+2x-8=0}.

(I)若A=6,求〃的值；