数学（文）一轮教学案第二章第4讲二次函数与幂函数

第4讲二次函数与幕函数

考纲展示命题探究

考点展示考纲要求高考命题探究

掌握二次函数的图象与性质，会求二次函数的最值(值

二次函数1.内容探究：以二次函数、幕函数当载体，考查函数

域)与单调区间.

的图象与性质的应用是高考热点，尤其是二次函数在

(1)了解幕函数的概念.给定区间上的最值求法及基值的比较大小.

幕函数(2)结合函数尸，尸/的图象，了解它2.形式探究：高考中本讲内容多以选择题、填空题形

们的变化情况.式出现.

1___/

魄考点-二次函数

国E基础点重难点

1二次函数解析式的三种形式

(1)一■般式：y—ax2-\-bx-\-c(a#0).

(2)顶点式：y=a(x—/Z)2+-QW0),其中①，左)为抛物线顶点坐标.

(3)两点式：y=a(%—%i)(%—%2)(aW0),其中xi,%2是抛物线与工

轴交点的横坐标.

函数y—ax2+Z?x+c(a>0)y=ax2+Z?x+C(Q<0)

定义域R

4ac—b2,4ac—b2

值域〔—oo，.

4a)4a.

b

对称轴

2a

顶点b4ac—庐

坐标2a4。j

奇偶性当8=0时是偶函数，当8W0时是非奇非偶函数

在1—8,一工上是减函在1—8,一工上是增函

单调性数；数；

在一工，十81上是增函数在一5，+8]上是减函数

续表

函数y=ax1+Z?x+c(a〉0)y=ax1-\-bx-\-c(«<0)

bb

当x=一厂时，当x=一丁时，

2a2a

最值

Aac—b24ac—b2

'in—4a'ax—4a

加》注意点解决二次函数问题应用数形结合思想

二次函数、一元二次方程和一元二次不等式统称为三个“二

次”.它们常结合在一起，而二次函数又是其核心.因此，利用二次

函数的图象数形结合是探求这类问题的基本策略.

4l)0小题快做；

1.思维辨析

(1)形如yuaT+Zzx+c的函数一定是二次函数.()

(2)二次函数》=④^+法+c不可能是偶函数.()

(3)二次函数y=a^r+bx+c,x[m,m的最值一定是

4ac—b2

-4a-,()

(4)若函数危)=(R—1)d+2%—3在(一8,2)上单调递增，则k

(5)已知危)=f—4%+5,%£[0,3),贝IJ危)max=A0)=5,»min=

人3)=2.()

答案(1)X(2)X(3)X(4)X(5)X

2.已知函数危)=—%2+4%+Q,^£[0,1].若八%)有最小值一2,

则人工)的最大值为()

A.-1B.0

C.1D.2

答案C

解析函数八%)=—%2+4%+Q的对称轴为直线％=2,开口向下,

#%)=—炉+4%+。在［0,1］上单调递增，则当％=0时，火%)的最小值为

»=«=-2；当％=1时，火%)的最大值为#1)=3+。=3—2=1,选

C.

3.(1)已知关于工的不等式炉一依+2。〉0在R上恒成立，则实数

a的取值范围是.

(2)已知危)=依2+法+3。+8是偶函数,且其定义域为出一1,20,

贝Uy=A%)的值域为.

答案(1)(0,8)(2)［1,27^

解析(1)由题意知，/=(—a>—8a<0,解得0<a<8.

(2)=ax2+Z?x+3a+Z?是偶函数，

...其定义域［a—1,2a］关于原点对称，

..即ci—1=—2a,••a=g,

..•«¥)=ax2+公+3。+。是偶函数,

即八一%)=火%)，/2=0，

.,.危)=¥+1,22

y孙

其值域为jy>•

乙/

活命题法解题法

>［考法综述］高考中以考查二次函数的图象、单调性、最值为

主，有二次不等式恒成立问题以及二次方程根的分布问题等.

命题法二次函数的图象及性质的应用

典例(1)如图是二次函数丁=依2+"+。图象的一部分，图象

过点4-3,0),对称轴为％=—1.给出下面四个结论：①〃>4比；②2a

—8=1；③a—Z?+c=0；④5a<b.

其中正确的是(

A.②④

C.②③D.①③

(2)已知对任意的«G［—1,1］,函数危尸炉十①一4)%+4—2a的值

总大于0,则%的取值范围是()

A.1<%<3B.%<1或x>3

C.1<%<2D.x<2或x>3

［解析］(1)因为图象与工轴有两个交点，所以4ac>0,即

b2>4ac,①正确；

b

对称轴为％=—即②错误;

1,2a—1,2a—6=0,

结合图象，当％=—1时，y>0,即。-Z?+c>0,③错误；

由对称轴为％=—1知，8=2。又函数图象开口向下，所以“<0,

所以5a<2a,即5a。，④正确.

(2)/(x)=x2+(tz—4)x+4—2a=(%—2)<z+(x2—4x+4).记g(a)=(x

g(—1)>0,

-2)a+(x2-4x+4),由题意可得6:即

■⑴>0,

2

<g(-l)=x—5x+6>0,

、g(l)=%2—3%+2〉o,

解得x<l或%>3.故选B.

［答案］(1)B(2)B

A【解题法】二次函数问题的求解策略

(1)二次函数的最值问题一般先配方，通过对称轴，开口方向等

特征求得，有时需要讨论，如动轴定区间问题和定轴动区间问题.

(2)与二次函数图象有关的问题采用数形结合的方法，需尽量规

范作图，尤其是图象的开口方向、顶点、对称轴及与两坐标轴的交点

要标清楚.

整髭对点题必刷题

1.如果函数fix)=^(m—2)x2+(«—8)x+1(m^O,在区间

提2上单调递减，那么府的最大值为()

A.16B.18

81

C.25D.g

答案B

解析由已知得/(%)=(机-2)%+〃一8,又对任意的工£；,2,

f(x)<0,所以卜康。，

［fr(2)<0

即《机+2”W18,画出该不等式组表示的平面区域如图中阴影

、2根12

部分所示,

令mn=t,则当”=0时，1=0,当〃W0时，M=(.由线性规划的

相关知识知，只有当直线2机十”=12与曲线机=；相切时，方取得最

fJ__1

一记——5

大值.由J,

12〃

解得〃=6,r=18,所以(ww)max=18,选B.

2.已知a,b,c£R,函数八期=④^+法+0若火。)：^^)/1),

则()

A.a>0,4a+Z?=0B.a<0,4a+b=0

C.a>0,2a^rb=0D.Q<0,2Q+Z?=0

答案A

b

解析由的对称轴为x=-^-=2,

：.4a+b=0,又人0)次1),•••“¥)先减后增，.•“>(),选A.

3.两个二次函数危luad+bx+c与g(x)=bx2+ax+c的图象可

能是()

ABCD

答案D

解析函数兀o图象的对称轴为％=一五，函数g(%)图象的对称

轴为尸一枭显然一白与一枭同号，故两个函数图象的对称轴应该

在y轴的同侧，只有D满足.故选D.

4.若函数/(%)=cos2%+Qsinx在区间京外上是减函数，贝I。的

取值范围是.

答案(一8,2］

解析/(%)=COS2A:+asinx=1—2sin2x+asinx,令r=sinx,%£

七,则闻，1),原函数化为y=-21+玄+1,由题意及复合函

数单调性的判定可知y=—2产+G+1在无，1)上是减函数，结合抛物

线图象可知，所以aW2.

fix)=-x2+2ax+l-a在［0,1］时有最大值2,则a的值为

答案2或一1

解析/(%)二—(%—a)2+a2—a+1,在％e[0,l]时,

当心1时，兀0max=/(l)=。；

当0<4<1时，/(x)max=f(a)=6!2—<2+1；

当QW0时，»max=XO)=l-a.

1,fO<a<l,JaWO,

根据已知条件得，或S0——c或t—C

4=2a2一a~\~1—2[1一a—2.

解得a=2或a=—l.

6.对于c>0,当非零实数a,Z?满足4a2—2。/?+4力2—。=0且使|2。

+"最大时，:3价4押5最小值为.

答案一2

解析设2a+Z?=K则2a=Lb,由已知得关于b的方程《一

一》《—b)+4Z?2—c=0有解，即6〃一3加+F—c=O有解.

Q

故/=9产一24伊一c)20,所以FW铲，

所以mmax=2"J&,此时c=,产,b=\t,2a=t—b=^,所以a=

Jo44

3t

¥,

34,5816,8

abc

p—22—2.

7.已知函数火%)=层+3日％£R.若方程危)一小一l|=0恰有4

个互异的实数根，则实数Q的取值范围为.

答案(0,1)u(9,+8)

解析在同一坐标系中分别作出函数八%)与y=a|%—1|的图象，

由图知，当。=0时，两函数的图象只有2个交点，当。＜0时，两图

象没有交点，故必有a〉0.

若曲线y=—x2—3x(—3WXW0)与直线y=—a(x—1)(%W1)相切，

联立方程得％2+(3—a)x-\-a=0,则由/=0得Q=1(。=9舍去)，因此

当0＜。＜1时，危)的图象与y=a|x—1］的图象有4个交点；

若曲线y=%2+3x(%＞0)与直线＞=。(%—1)(%＞1)相切，联立方程得

x2+(3—a)x+a=0,则由/=0可得Q=9(Q=1舍去)，因此当a＞9时,

犬工)的图象与y=4x—1］的图象有4个交点，故当方程有4个互异实数

根时，实数Q的取值范围是(0,l)U(9,+8).

皤考点二累函数

(I里一基础点重难，工

1幕函数的定义

一般地，形如匚止(a£R)的函数称为幕函数•

2五种暴函数图象的比较

3幕函数的性质比较

函数

1

特Adz»=一

%ni.征y=^

质

{i|zGR且

定义域RRR[0,+oo)

*rW。}

{jdyGR且y

值域R[0,+8)R[0,+oo)

WO}

奇偶性奇偶奇非奇非偶奇

JFECo»+OO)710,十8)

单调时,单调递增单调单调时，单调递减

单调性

递增丁£(-8,0]递增递增nW(—oo,0)

时,单调递减时，单调递减

定点(0,0),(1,1)(1,1)

标注意点a的大小对幕函数图象的影响

第函数在第一象限的图象中，以直线％=1为分界，当04<1时,

a越大，图象越低(即图象越靠近入轴，可记为“指大图低”)；当%>1

时，a越大，图象越高(即图象离次轴越远，不包含y=%°).

jte小一顺快做：

1.思维辨析

1

(1)函数y=2%2是幕函数.()

(2)如果幕函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.()

(3)当“＜0时，塞函数丁=炉是定义域上的减函数.()

(4)当〃〉0时，幕函数丁=炉是定义域上的增函数.()

(5)幕函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0).()

答案(1)X(2)V(3)X(4)X(5)X

2.当工£(1,+8)时，下列函数中图象全在直线y=%下方的增

函数是()

1

A.y=xB.y=x1

C.y=x3D.y=x~'

答案A

解析y=%2,丁=如在%£(1,+8)时，图象不在直线y=%下方，

排除B、C,而1是(-8,0),(0,+8)上的减函数.

1

3.已知危)=X2,若则下列各式中正确的是()

A.加)0出

B-朗必)

c.加)＜解)黑制

D.制＜仙)＜用＜解)

答案c

1

21

解析因为函数火%)=%在(0,+8)上是增函数，又

＜；,故选C.

活命题法解题法

•［考法综述］考查塞函数的概念、图象及性质，以及利用幕函

数性质求参数范围，有时会结合指数、对数比较大小，难度不大.

命题法幕函数的图象及性质的应用

典例(1)在同一直角坐标系中，函数_/(%)=Y(%>0),g(%)=logftX

的图象可能是()

(2)若,②9尸,c=(1)3,则q,b,c的大小关系是

A.a<b<cB.c<a<b

C.b<c<aD.b<a<c

［解析］(1)因为。>0,所以<%)=产在(0,+8)上为增函数，故

A不符合；在B中，由八%)的图象知”>1,由g(%)的图象知

矛盾，故B不符合；在C中，由八%)的图象知由g(%)的图象

知。>1,矛盾，故C不符合；在D中，由八%)的图象知0<。<1,由g(x)

的图象知0<a<l,相符.

22

(2)因为y=x^在第一象限内是增函数，所以Q=>^=f|

221

’,因为尸由X是减函数，所以Q=1|F<C=&",所以从Q<C.

［答案］(1)D(2)D

A【解题法】幕函数的图象与性质问题的解题策略

(1)关于图象辨识问题，关键是熟悉各类第函数的图象特征，如

过特殊点、凹凸性等.

(2)关于比较氟值大小问题，结合氟值的特点利用指数第的运算

性质化成同指数第，选择适当的氟函数，借助其单调性进行比较或应

用.

々题对点题必刷题

若露函数危)的图象经过点b，第

1.,则其定义域为()

A.{小£R,且%>0}B.且X<0}

C.{小GR,且"0}D.R

答案A

解析设危尸%%，3。=坐a=—fix)=x',

二.其定义域为{x|x〉0},选A项.

2.下面给出4个幕函数的图象，则图象与函数的大致对应是

11

A.①，②尸昌③尸%,(4)y=x~1

B.①尸%3,②y=%2,③y=%,④/=%一1

1

7

C.①y=%2,②y=%3,③y=%,④/=%-1

11

D.①尸%,②尸%,③尸%2,④y=%-1

答案B

解析②的图象关于y轴对称，②应为偶函数，故排除选项C、

D.①由图象知，在第一象限内，图象下凸，递增的较快，所以嘉函数

的指数大于1,故排除A.选B.

2_1

3.若»=x3—%2,则满足»<0的x的取值范围是

答案(0,1)

解析令yi=x,y2=x，则#%)<0即为y勺2.函数yi=x,

1

-

-2

=

Y

的图象如图所示，由图象知：当0<x<l时，yi<y2,所以满

足兀0<0的X的取值范围是(0,1).

八%)=(加一加一1>%一5"厂3在(0,+8)上是增函数，则m=

答案T

m2—m—1=1,

解析由已知得彳ucc解得加=—1.

I—5m—3>0,

学霸错题警示错误理解恒成立的条件致误

已知工£[—1,1]时，*%)=_?—依+如。恒成立，则实数a的取

值范围是()

A.(0,2)B.(2,+8)

c.(o,+8)D［-I，2］

［错解］

・.FG匚一/,/］时代加,

书”用厂产解揩

“⑺〉。］/一会>03

战或

［正解］二次函数图象开口向上，对称轴为L今又入可一1,1］

时，火%)=%2—QX+今〉。恒成立，即八%)最小值>0.

①当卜一1,即aW—2时，/-1)=1+«+^>0,解得«>—|,

与2矛盾；

②当彳21,即。三2时，火1)=1—。+/>0,解得a<2,与。三2矛

盾；

③当一1<3<1,即一2<。<2时，/外=：屋一JQ2+S〉0,解得0<aa

的取值范围是(0,2).

［答案］A

［心得体会］

二双曲教求去悔寺毅：

第一小：比用配方泣，心治夕二4（L诩丹儿的

袍式;

第二与：当区间固定时，对它的对他站设

竹与主时流:，一微与三亲；

第三寺：在每一条中通过对他苑的往置扣

区间楠定房数的索值.

M课时撬分练

时间：60分钟

基础组

2

1.[2016•冀州中学周测]已知幕函数危）=（层+2"一2）/fgez）

的图象关于y轴对称，且在（0,+8）上是减函数，则〃的值为（）

A.-3B.1

C.2D.1或2

答案B

解析由于八%）为福函数，所以«2+2«-2=1,解得«=1或n

=-3,经检验只有〃=1适合题意，故选B.

2.[2016•冀州中学热身]若函数加）=必+法+。的图象的顶点在

第四象限，则函数/（%）的图象是（）

答案A

(b4c—

解析函数加)=/+法+c图象的顶点坐标为［—多J，则

—2>0/(%)=2%+G令/(%)=0,得％=_］>0,即导函数。(%)的

图象与％轴的交点位于为轴正半轴上，且斜率为正，故选A.

3.［2016•枣强中学周测］定义域为R的函数八%)满足於+1)=

纨%),且当工仁［0,1］时，危)=_?一%,则当工£［—2,—1］时，八%)的最

)

1

1

6--

AC.1B.8

1D.

-O

4

答案A

解析设工£[—2,—1],则x+2£[0,l],则#%+2)=(X+2>一

(x+2)=x2+3x+2,又火%+2)=/[(%+1)+1]=孙+1)=蛆)，.•.危)

131

=4(^2+3X+2).'.当％=一/时，取到最小值为一诬.

4.[2016•冀州中学预测]对任意实数a,♦定义运算"3"：a®b=

b,a—821,_

,,设/OOnCx2—1)3(4+%)，若函数，=/(%)+上的图象与

a,a—b<l1.

%轴恰有三个不同交点，则上的取值范围是()

A.(-2,1)B.[0,1]

C.[-2,0)D.[-2,1)

答案D

解析解不等式A2—1—(4+X)21,得—2或％2*%)=

x+4,(—oo,—2]U[3,+°°),

<

x2—1,%£(—2,3).

其图象如下图实线所示，由图可知，当一2W女<1时，函数y=/(x)

+左的图象与％轴恰有三个不同交点，故选D.

5.[2016彳断水中学期末]幕函数危)=%«的图象过点(2,4),那么函

数抵%)的单调递增区间是()

A.(-2,+0°)B.[-1,+8)

C.[0,+8)D.(—8,-2)

答案C

解析因为函数过点(2,4),所以4=2",a=2,故兀0=%2，单调

增区间为[0,+°°),选C.

6.[2016•武邑中学期中]设函数危尸加+法+以。，b,c£R),

若。=的则函数八%)的图象不可能是()

答案D

解析由A、B、C、D四个选项知，图象与％轴均有交点，记

两个交点的横坐标分别为％1,%2,若只有一个交点，则％1=%2.因为。

=c,所以X1%2=,=1,比较四个选项，可知选项D的％1<—4,X2<—

1,所以D不满足.故选D.

131

7.[20俗衡水中学期中]已知函数八%)=asinx—]cos2%+a+](a

£R,QWO),若对任意％£R都有危)W0,则。的取值范围是()

A.一|,B.[-1,O)U(O,1]

C.(0,1]D.[1,3]

答案C

3

解析化简函数得f(x)=sin2x+asinx+Q—.令t=sinx(一

3

则g(t)=t2-\-at-\-a—~,问题转化为使g⑺在[—1,1]上恒有

g«)WO,即

r3

^(-1)=1--<0,

<解得0<aWl,故选C.

g(l)=l+2tz—-<0,

8.[2016•枣强中学猜题]若二次函数危）满足於+1）—危）=2%,

且火0)=1,则危)的表达式为()

A.f^x)=—x1—x—1B.危)=一%2+%一[

C./(%)=/—x-1D.危)=%2—%+1

答案D

解析设火工)=ax2+Z?%+c(aW0),由题意得

c=l,

<

q(%+1)2+Z?(x+1)+c—(ax2+Z?x+c)=2x.

2a=2,a=1,

故<。+。=0,解得<b=­l,

、c=l,、c=l,

则危)=%2—％+1.故选D.

9.［2016彳断水中学月考］“a=l”是“函数"¥)=_?—4a%+3在区

间［2,+8)上为增函数”的()

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

答案B

解析函数八%)=•?—4aX+3在区间［2,+8)上为增函数，则满

—4〃

足对称轴一亍=2aW2,即所以“。=1”是“函数八%)=必

—4依+3在区间12,+8)上为增函数”的充分不必要条件.

10.［2016•武邑中学周测］已知二次函数/a)=a¥2+b%+c满足条

件：

Q/(3-x)=»；②/(1)=0;③对任意实数%,恒成立.

则其解析式为人%)=.

答案%2-3x+2

解析依题意可设火%)=4%—&2+左，

由＜l)=；a+左=0,得k=一：a,

从而/(%)=/%—1｝一£三套一；恒成立，

则一A之一；，且。＞。，

即£+%上°，即.)+2(),且a〉0,「.LL

IC4-II

从而八%)=U一I＞—；=/—3X+2.

11.［2016•冀州中学月考］已知二次函数图象的对称轴为X=—啦,

截％轴所得的弦长为4,且过点(0,-1),求函数的解析式.

解•.•二次函数图象的对称轴为％=—啦，.•.可设所求函数的解

析式为兀0=。(%+地尸+人:,二次函数危)的图象截％轴所得的弦长为

4,.,.危)过点(一诲+2,0)和(一也一2,0).又二次函数八%)的图象过点

(0,-1),

4a+b=0a=\

2"T，解得

一

.,.*%)=；(%+正A—2.

即八工)=$2+立%—1.

12.［2016询水中学周测］已知函数危)=依2—2依+2+。3W0)

在区间［2,3］上有最大值5,最小值2.

(1)求a,。的值；

(2)若旅1,义(%)=兀0—2〃夕在［2,4］上单调，求机的取值范围.

解(1求%)=。(%—1)?+2+。一a.

优3)=5,

①当a>0时，危)在［2,3］上为增函数，故

^2)=2,

9a—6Q+2+Z7=5,Q=1,

4。―4Q+2+