新教材高中数学第三章函数函数的应用学案新人教B版必修第一册

3.3函数的应用(一)

内容标准学科素养

初步体会分段函数、一次函数、二次函数等函数模型的

数学运算

广泛应用，能运用函数思想处理现实生活中的简单应用

数学建模

问题.

课前•自主探究自主预习基础认知

授课提示：对应学生用书第57页

[教材提炼]

知识点一一次函数模型

形如曰吐之的函数为一次函数模型，其中左W0.

知识点二二次函数模型

1.一般式：丫=加+匕尤+,(<2—0).

2.顶点式：y=a(x-7W)2+〃(aWO).

3.两点式：y=a(x—w?)(x—，z)(aW0).

[自主检测]

1.某厂日产手套总成本M元)与手套日产量x(副)的关系式为y=5x+4000,而手套出厂

价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为()

A.200副B.400副

C.600副D.800副

解析：由5x+4000W10元，解得尤2800,即日产手套至少800副时才不亏本.

答案：D

2.拟定从甲地到乙地通话机分钟的电话费加w)=(X[w]+l),其中相>0,[词是大于或等

于相的最小整数(如[3]=3,[3.7]=4,[54]=6).()

A.B.

C.D.

解析：X)x(X[5.5]+l)X(X6+l)X4=4.24.

答案：C

3.某广告公司要为客户设计一幅周长为/(单位:m)的矩形广告牌，当矩形的长为,

广告牌的面积最大.

答案C

课堂•互动探究以例示法核心突破

授课提示：对应学生用书第57页

探究一一次函数模型

［例1］为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中

所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费用M元)

的关系如图所示.

切元)

40

30

20

10C(30,15)

02040必分)

如意卡便民卡

(1)分别求出通话费用yi，”与通话时间x之间的函数解析式；

(2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜.

［解析］(1)由图像可设yi=Ex+29,y2=kix,把点3(30,35),C(30,15)分别代入％=如c+

29,yi=k2X,得ki=g,心=,

.•.»=尹+29(x20),y2=］x(x20).

(2)令弘=、2,即&+29=5，贝汁彳=96,

2

当x=96'时，yi—yi,两种卡收费一致；

2

当x<96§时，yi>y2,使用便民卡便宜；

2

当x>96§时，yi<y2,使用如意卡便宜.

,,,方法提升

1.一次函数模型解决实际问题的原则

一次函数模型的应用层次要求不高，一般情况下按照“问什么，设什么，列什么”的原

则来处理，求解过程也比较简单.

2.一次函数模型解决问题的注意点

用一次函数模型解决实际问题时，对于给出图像的应用题可先结合图像利用待定系数法

求出解析式.对于一次函数y=ax+6(aW0),当a>0时为增函数，当时为减函数.另外,

要结合题目理解(0,㈤或(一・0)这些特殊点的意义.

一同源异考重在触类旁通

江汉平原享有“中国小龙虾之乡”的美称.甲、乙两家农

贸商店，平时以同样的价格出售品质相同的小龙虾，“龙虾

节”期间，甲、乙两家商店都让利酬宾，付款金额y甲，y乙(单

位：元)与原价尤(单位：元)之间的函数关系如图所示：

(1)直接写出y甲，y乙关于x的函数关系式.

(2)“龙虾节”期间，如何选择甲、乙两家商店购买小龙虾更省钱?

解析：(1)设>甲=依，把(2000,1600)代入，得2000左=1600,解得左=0.8,所以y甲x;

当0<x<2000时，设>乙=办，把(2000,2000)代入，得2000a=2000,解得a=l,所以y匕

=x;当x22000时，设把(2000,2000),(4000,3400)代入，得

2000m+«=2000,〃z=0.7,

解得

4000/w+/i=3400,”=600,

x(0<x<2000),

所以y°=j,、

〔x+600(x22000).

(2)当0Vx<2到甲商店购买更省钱；当x》2xv+600,解得xV6Kt+600,解得x

>6xx+600,解得x=6000;故当购买金额按原价小于6000元时，到甲商店购买更省钱；当

购买金额按原价大于6000元时，到乙商店购买更省钱；当购买金额按原价等于6000元时，

到甲、乙两商店购买花钱一样.

探究二二次函数模型

［例2］在经济学中，函数兀0的边际函数定义为M(x)=Ax+l)-/(x),利润函数尸⑴的边

际利润函数定义为Mi(x)=P(x+l)—P(x),某公司最多生产100台报警系统装置，生产尤台的

收入函数为R(x)=3000x—20f(单位：元)其成本函数为C(x)=50(k+4000(单位：元)，利润是

收入与成本之差.

(1)求利润函数P(x)及边际利润函数Mi(x)；

(2)利润函数P(x)与边际利润函数Mi(x)是否具有相等的最大值？

(3)你认为本题中边际利润函数Mi(x)取最大值的实际意义是什么？

［解析］(l)P(x)=R(x)—C(x)=(3000X-20X2)-(500.X+4000)=-20/+2500x-4

000(1«100,x6N).

Mi(x)=P(x+1)-P(x)=2480—40x(1WxW100,xGN).

(2)：P(x)=-20(x—甲了+74125,

当x=62或63时，尸(x)min=74120.

又是减函数，当x=1时Mi(x)max=2440,

故P(x)与Mi(x)不具有相等的最大值.

(3)边际利润函数Mi(无)当x=l时取最大值，说明生产第2台与生产第1台的总利润差最

大，即第2台报警系统利润最大，Mi(x)是减函数，说明随着产量的增加，每台利润与前一台

利润相比较，利润在减少.

,,,方法提升

募函数模型中最常见的是二次函数模型，这种函数模型在生产、生活中应用相当广泛.

利用二次函数求最值时，应特别注意取得最值时的自变量与实际意义是否相符.根据实

际问题建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法

来求函数的最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题.

L同源异考重在触类旁通

某工厂生产一种机器的固定成本为5000元，且每生产100部，需要增加投入2500元，

对销售市场进行调查后得知，市场对此产品的需求量为每年500部，己知销售收入的函数为

H(x)=500x一其中尤是产品销售出的数量(0WxW500).

(1)若x为年产量，y表示利润，求〉=人》)的解析式；

(2)当年产量为何值时，工厂的年利润最大？其最大值是多少？

(3)当年产量为何值时，工厂有盈利？(已知，%=)

解析：(1)当0WxW500时，产品全部售出，

.•.y=500x—%—(5000+25x),

即y=—pr+475x—5000,

当x>500时，产品只能售出500台，

Z.j=500X500X5002-(5000+25%),

即y=-25x+120000.

⑵当0W尤W500时，y=-1(x-475)2+107812.5,

当x>500时,y=120000—25x<120000-25X500=107500.故当年产量为475台时取得最

大利润，且最大利润为107812.5元，最佳生产计划475台.

(3)若工厂有利润，则应用«r)>5000,.,.475.x—1^>5000,整理得一一950芯+10000<0,

解得10<x<940,

,市场需求量为每年500部，

.•.10<x^500,故当年产量超过10部后，工厂有盈利.

探究三分段函数模型

［例引某公司生产某种电子仪器的固定成本为20000元,每生产一台仪器需增加投入100

400x—%((XW400),

元，已知总收益满足函数：R(x)=<

180000(x>400).

(1)将利润表示为月产量的函数yu)；

(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益=总成本+利润)

［解析］(1)设月产量为无台，则总成本为(20000+100x)元，从而

/)=］—¥+3期-20000(0^X^400),60000-100X(A>400).

(2)当0WxW400时，»=-1(X-300)2+25000,

.•.当尤=300时，有最大值25000:

当x>400时，/(x)=60000-100%是减函数，

J(x)<60000-100X400<25000.

当A-=300时，/(X)的最大值为25000.

即每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为25000元.

,,,方法提升

构建分段函数模型的关键点

建立分段函数模型的关键是确定分段的各边界点，即明确自变量的取值区间，写出每一

对应取值区间内的解析式，在此区间内求最值，然后对所有区间求出的值比较，找出适合题

意的答案.

工同源异考重在触类同通

某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商

订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个,，但实际出厂单价不能低于51元.

(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？

(2)设一次订购量为x个时，零件的实际出厂单价为P元，写出函数尸=/(无)的表达式；

(3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个时，利

润又是多少元？(工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价一成本)

解析：(1)设每个零件的实际出厂单价恰好降为51元时，一次订购量为比个，则

,60—51

XQ-100+—550.

因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价格恰好降为51元.

⑵当OVxWlOO时,尸=60.

Y

当100<x<550时，P(x-100)=62-^.

当xN550时，尸=51,

’60(0<x<100,xGN),

尤

元)=j62—^j(100<x<550,尤GN),

、51(G550,xGN).

(3)设销售商的一次订购量为尤个时，工厂获得的利润为Z,元，则乙=(P-40)x

~20x(0cxW100,xGN),

x2

=122x—不100(尤<550,xGN),

、1lx(x》550,xGN).

当x=500时，£=6000;当x=1000时，L=U000.

因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元；如果订购1000个

时,利润是11000元.

课后•素养培优素养拓展能力提升

授课提示：对应学生用书第59页

一、图表并用，数学建模——拟合函数的建立问题

定量分析和研究实际问题时，要深入调查，研究、了解对象信息，作出简化假设，用数

学的符号和语言，把它表述为数学式子(也就是数学模型)，然后计算得到模型的结果，并进行

检验，最后解释实际问题，这个建立数学模型的全过程就称为数学建模.根据收集的数据或

给出的数据画出散点图，然后选择函数模型并求出函数解析式，再进行拟合、比较，选出最

恰当的函数模型的过程，称为函数拟合(或数据拟合).

建立拟合函数模型的步骤：

(1)收集数据.

(2)根据收集到的数据，在平面直角坐标系内画出散点图.

(3)根据点的分布特征，选择一个能刻画散点图特征的函数模型.

(4)选择其中的几组数据求出函数模型.

(5)将己知数据代入所求出的函数模型中进行检验，看其是否符合实际，若不符合实际，

则返回步骤③；若符合实际，则进入下一步.

(6)用所得函数模型解释实际问题.

［典例］为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最

大积雪深度尤cm与当年灌溉面积yhn?.现有连续10年的实测资料，如下表所示.

年序最大积雪深度x/cm灌溉面积y/hm2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

(1)描点画出灌溉面积yhm2随积雪深度xcm变化的图像；

(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型y=/(x),并画出图像；

(3)根据所建立的函数模型，若今年最大积雪深度为25cm,则可以灌溉土地多少公顷？

［解析］(1)描点作图如图甲：

(2)从图甲中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y和最

大积雪深度无满足线性函数模型y=ax+b.

取其中的两组数据(,)(,)，

［a+b,

代入y=tzx+b,得J

［a~rbf

用计算器可算得a—1.8,6—2.4.

这样，我们得到一个函数模型yx+2.4.作出函数图像如图乙，可以发现，这个函数模型与

已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系.

(3)由yX25+2.4,求得y=47.4,即当最大积雪深度为25cmhn?.

二、忽视实际意义的限制致错

［典例］甲、乙两地相距skm,汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过ckm/h,已知

汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(km/h)的

平方成正比，比例系数为6；固定部分为。元.

(1)把全程运输成本y(元)表示为速度Wkm/h)的函数，并指出函数的定义域；

(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶？

［解析］(1)由关系式：运输总成本=每小时运输成本X时间，得y=(q+Z?02)E，所以全程

运输成本丫(元)，表示为速度o(km/h)的