新人教版九年级下册初中数学 课时2 俯角、仰角问题教案

第二十八章锐角三角函数

28.2解直角三角形及其应用

28.2.2应用举例

课时2俯角、仰角问题

【知识与技能】

1.了解仰角、俯角、方位角、坡度、坡角等有关概念，知道坡度与坡角之间的

关系.

2.经历对实际问题的探究,会利用解直角三角形的知识解决实际问题.

3.在具体情景中从数学的角度发现问题和提出问题，并综合运用数学知识解决

简单实际问题.

【过程与方法】

1.通过画示意图,将实际问题转化为数学问题,发展学生的抽象概括能力,提高

应用数学知识解决实际问题的能力.

2.经历从实际问题中建立数学模型的过程,增强应用意识，体会数形结合思想

的应用.

3.通过探究将实际问题转化为数学问题的过程，培养学生分析问题和解决问题

的能力，培养学生思维能力的灵活性.

【情感态度与价值观】

1.学生积极参与探索活动，并在探索过程中发表自己的见解，体会三角函数是

解决实际问题的有效工具.

2.通过探索三角函数在实际问题中的应用，感受数学来源于生活又应用于生活

以及勇于探索的创新精神.

3.让学生在自主探索、合作交流中获得成功的体验，建立自信心，让学生在解

决问题的过程中体会学数学、用数学的乐趣.

能根据题意画出示意图，将实际问题的数量关系转化为直角三角形元素之间的

关系.

正确理解题意，将实际问题转化为数学模型的建模过程.

多媒体课件.

导入一：

【复习提问】

1.如图,在RtzX4比中，Z/>90°,N4AB,NC的对边分别为a,b,c.

(1)三边a,6,c有什么关系？

(2)N4N6有怎样的关系？

(3)边与角之间有怎样的关系？

2.解直角三角形应具备怎样的条件？

【师生活动】学生回答问题,教师点评归纳.

导入二：

如图,要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端,梯子与地面所成的

角a一般要满足50°WaW75°.现有一架长6m的梯子.

(1)使用这架梯子最高可以安全攀上多高的墙？

⑵当梯子底端距离墙面2.4m时,a等于多少度?此时人能否安全使用这架梯

子？

【师生活动】学生小组内讨论解题思路，小组代表回答解题思路,教师巡视

中帮助有困难的学生,对学生的回答作出点评,然后导出新课.

［设计意佟通过复习解直角三角形的有关知识，为本节课的用解直角三角形

解决实际问题做好铺垫，以旧引新,帮助学生建立新旧知识间的联系，以解决生活

实际问题引出新课,激发学生的好奇心和求知欲，感受数学应用的意义.

［过渡语］刚才的导入中用解直角三角形的知识解决了实际生活问题，在生

活实际中还有许多问题可以用解直角三角形的知识解决,让我们一起去探究吧!

一、活动一

画2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞

行器成功实现交会对接.“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面

343km的圆形轨道上运行，如图，当组合体运行到地球表面尸点的正上方时，从中

能直接看到的地球表面最远的点在什么位置?最远点与。点的距离是多少(地球

半径约为6400km,“取3.142,结果取整数)？

思路一

师生合作探究:

⑴从组合体上最远能直接看到的地球上的点，应该是视线与地球相切时的切

占

八、、,

(2)根据题意画出平面图形.

(3)所要求的距离是图形中的哪条线段的长度?

(4)已知中有哪些条件?求弧长需要知道哪些条件?

(5)弧所对的圆心角在哪个三角形中?你能求出这个角的度数吗?

(如图②，0。表示地球，点/是组合体的位置,用是的切线，切点0是从组

合体中观测地球时的最远点.弧网的长就是地面上P,0两点间的距离.为计算弧

切的长需先求出

N尸00(即a)的度数)

【师生活动】教师通过提出的问题引导学生分析思考,指导学生画出平面图

形,分析已知条件和所求的结论,师生共同分析题意及解题思路后，学生独立完成

并板书解题过程.

【课件展示】解:设在图②中，FQ是00的切线,XF0Q是直角三角

形.

0Q6400

Vcosa=0F=6400+343%0.9491,

36°.

18.36Ji18.36X3.142

弧尸0的长为180X6400七180X6400-2051(km).

由此可知，当组合体在P点正上方时,从中观测地球表面时的最远点距离尸点

约2051km.

思路二

教师引导思考：

(1)要解决实际问题，首先要做什么？(将实际问题抽象成数学问题)

(2)如何根据题意画出平面图形？(地球平面图形是圆，组合体近似看作点)

(3)从组合体中看到的地球表面最远的点在什么位置？(过点作圆的切线，切点

即为所求)

学生操作：画出平面示意图.

(4)最远点与尸点的距离在示意图中指的是什么的长？

(5)如何求这段距离?和圆有什么关系？

(6)如何将所需数据转化为解直角三角形的知识？

【师生活动】学生尝试根据图形写出解题思路,教师巡视过程中及时帮助有

困难的学生,课件展示解题过程,规范解题格式.

【课件展示】解答同思路一.

［设计意图］引导学生画出示意图，把实际问题转化为数学问题,分析实际问

题中的数量关系，利用解直角三角形的知识解决实际问题，让学生经历作图、分

析过程，体会数形结合思想在数学中的应用，提高学生分析问题、解决问题的能

力.

二、活动二

【思考】平时我们观察物体时，我们的视线相对于水平线来说可有几种情况?

【归纳】视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角是仰角，视线在

水平线下方的角是俯角.

热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°,看这栋楼底部的

俯角为60°,热气球与楼的水平距离为120m,这栋楼有多高(结果取整数)？

教师引导分析：

(1)如何根据题意画出符合题意的几何图形？(画出示意图如图)

(2)分析题意，已知条件有哪些？

(3)你能直接求出的长吗？

(4)如何求出回的长？(线段而与线段口的和)

(5)在RtZX/劭中，能否求线段8〃的长？

(6)在口△/切中，能否求线段切的长？

【师生活动】教师引导学生思考问题，然后独立完成解题过程，教师巡视过

程中及时发现问题,并帮助有困难的学生解决问题,然后课件展示解题过程,规范

解题格式.

【课件展示】解：如图，a=30°,£=60°,4M20.

BDCD

tana=AD,tan.=AD,

BD^AD-tana=120Xtan30°

=120X3=40^/3,

CD^AD•tany5=120Xtan60°

=120X/=120AA

Z.除觎6ZM0AA120V3

=160\/3^277(m).

因此,这栋楼高约为277m.

［设计意怪I］学生在教师设计的问题串的引导下思考，独立完成解题过程，进

一步让学生体会将实际问题转化为数学问题的建模过程，培养学生建模思想，灵

活应用解直角三角形知识解决有关线段的长的计算问题，提高学生的数学思维及

解题能力.

三、活动三：

【思考】你能总结利用解直角三角形的有关知识解决实际问题的一般过程

吗？

【师生活动】学生思考后小组合作交流,共同归纳解题过程，教师对学生的

回答以鼓励为主，将学生的回答补充完整.

【归纳】

⑴将实际问题抽象成数学问题(画出示意图，将其转化为解直角三角形的问

题)；

(2)根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数解直角三角形；

(3)得到数学问题的答案；

(4)得到实际问题的答案.

［设计意图］通过例题的探究，归纳解决实际问题的一般步骤,培养学生归纳

总结能力和建模思想.

［知识拓展］仰角与俯角都是视线与水平线的夹角.

用解直角三角形的有关知识解决实际问题的一般过程：

⑴将实际问题抽象成数学问题(画出示意图，将其转化为解直角三角形的问

题)；

(2)根据问题中的条件,适当选用锐角三角函数等解直角三角形;

（3）得到数学问题的答案;

（4）得到实际问题的答案.

第1课时

1.活动一

2.活动二

3.活动三

一、教材作业

二、课后作业

【基础巩固】

1.课外活动小组测量学校旗杆的高度.如图，当太阳光线与地面成30°角时，测

得旗杆在地面上的影长力为24米，那么旗杆的高度是（）

A.12米B.&羽米C.24米D.248米

2.如图,为测量一棵与地面垂直的树OA的高度,在距离树的底端30米的8处,测

得树顶A的仰角NAB0为a,则树OA的高度为（）

A.tana米B.30sin。米C.30tan。米D.30cos。米

3.如图，小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之

间的水平距离BE为5m,46为1.5m（即小颖的眼睛到地面的距离），那么这棵树高

是)

3154

2.

mC.3mD.4m

4.一棵树因雪灾于A处折断,如图,测得树梢触地点6到树根。处的距离为4米,

乙ABC啊45°,树干ZC垂直于地面，那么此树在未折断之前的高度约为

米（答案保留根号）.

5.如凰两建筑物的水平距离BC为18m,从A点测得〃点的俯角a为30°,测得

C点的俯角£为60°,则建筑物切的高度为m.

6.如图,张华同学在学校某建筑物的。点处测得旗杆顶部A点的仰角为30°,旗

杆底部B点的俯角为45°.若旗杆底部8点到建筑物的水平距离B芹9米,旗杆

台阶高1米,求旗杆顶点A离地面的高度.（结果保留根号）

【能力提升】

7.如图，小阳发现垂直于地面的电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC

上,量得CD-

8米,给20米，缪与地面成30°角，且此时测得垂直于地面的1米杆的影长为2

米，则电线杆的高度为()

A.9米B.28米C.(7+A/3)米D.(14+2/)米

C

8.如图,在建筑平台CD的顶部C处,测得大树AB的顶部A的仰角为45°,测得

大树46的底部B的俯角为30°,已知平台CD的高度为5m,则大树的高度为

m(结果保留根号).

9.如凰为了知道空中一静止的广告气球A的高度，小宇在8处测得气球A的仰

角为18°,他向前走了20m到达。处后,再次测得气球A的仰角为45°,已知小

宇的眼睛距地面1.6m,则此时气球A距地面的高度约为(结果精确到

1m).

10.某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼,该居民楼的一楼是高5米的小区

超市,超市以上是居民住房.在该楼的前面15米处要盖一栋高20米的新楼.当冬

季正午的阳光与水平线的夹角为32°时.

(1)超市以上的居民住房采光是否受影响?为什么？

（2）若要使超市以上的居民住房采光不受影响，两楼至少应相距多少米?

531065

（结果保留整数，参考数据：sin32°^i00,cos32°^125,tan32°^8）

【拓展探究】

11.如图,在电线杆上的。处引拉线CE,CF固定电线杆,拉线四和地面成60°角,

在离电线杆6米的6处安置测角仪,在A处测得电线杆上。处的仰角为30。，已

知测角仪高为L5米,求拉线龙的长（结果保留根号）.

AB

1.B解析：在Rt/\ABC中，小24米，tan/〃S=BC,比tan300=24X

色

工=8/（米）.故选B.

0A

2.C解析：由题意得加=30米,tana二。B,.♦•以二獗ana=30tana（米）.故选C.

3.A解析：在Rt△4切中，NCAD=30°"庆降5m,/.缁应?tan30°=5X

35^/3

3=3（m）,

华+4

:.C左CAD后CaA.3.故选A.

4.（4+4/解析：在△月%中，Z0900,；/4吐45°,：.ZA=45°,：.ZAB（=Z

A,：.AC-BC.：.Aa4.由AO+B版AR,得心JAC」+BC」=4、/^,.•.止匕树在

未折断之前的高度为（4+4\历）米.

5.123解析:如图，过点〃作DELAB于点、E,则四边形式"是矩形.根据题意得

ZACB=£=60°,ZADE-a=30°,给18m,妗除18m,CD=BE.在Rt△ABC

中tan/4妾18Xtan60°=18,羽(m).在RtAADE中，4后庞•tanZ

4Q£M8Xtan30°=67^(m),

信法册g]8/_6/=]2/的).

AH

6.解：如图，作CHLAB于〃在RtAACH中，：/4次30°,tan30°=CH,

HE

A牛CH*tan30°=9X3=3/(米).在RSCHB41,,：ZHCB=^°,tan45°=CH,

：.BH=CH-tan45°=9米，.•.旗杆顶点力离地面的高度为济1=10+3,羽（米）.

7.D解析:如图，延长/〃交比1的延长线于尸点，作DE1CF于£点.小8sin30°

=4,CB-

8cos300=4、/与.•测得1米杆的影长为2米，小2历8,...

册册侬炉20+4A/3+8=28+4/,二电线杆AB的高度是

1

2（28+4A/3）=14+2，羽（米）.故选D.

BE

8.(5+5")解析：作C£L48于点E.在Rt△旌中，除。5m,诲tan30°=5，k

在RtZS/IG'中，[尽2•tan45°=5、/%i,，力庐的/后5+5/(m).

9.11m解析：如图，过点A作ADLBC于点D,交FG于点£：/力西45°,二

/斤必在

AEx

咫中，设/F长是Am,贝ijtan/l/^EF,即tanl8°=x+2C解得^9.6.由

题意知陟陷1.6,.../小9.6+1.6=11.2^11(m).

10.解：⑴受影响.理由如下：如图，延长光线交CD子打作FEUB于£在RtA

A5F中，

AEAE575335

tanN4/2tan32°=EF=15«»8,解得力£=8=98,故可得/^jE^ZO-gSnog处,即

超市以上的居民住房采光要受影响.

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⑵要使采光不受影响，则小5米,4层15米,tan32°=EF^8解得*24米,

即要使超市以上的居民住房