五年级下册数学专项训练小学奥数第五讲 同余的概念和性质-版习题无答案

第五讲同余的概念和性质

“师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而

来。其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。《说文解字》

中有注日：“师教人以道者之称也"。“师”之含义，现在泛

指从事教育工作或是传授知识技术也或是某方面有特长值得学

习者。“老师”的原意并非由“老”而形容“师”。“老”在

旧语义中也是一种尊称，隐喻年长且学识渊博者。“老”“师”

连用最初见于《史记》，有“荀卿最为老师”之说法。慢慢“老

师”之说也不再有年龄的限制，老少皆可适用。只是司马迁笔

下的“老师”当然不是今日意义上的“教师”，其只是“老”

和“师”的复合构词，所表达的含义多指对知识渊博者的一种

尊称，虽能从其身上学以“道”，但其不一定是知识的传播者。

今天看来，“教师”的必要条件不光是拥有知识，更重于传播

知识。你会解答下面的问题吗？

我国古代的读书人，从上学之日起，就日诵不辍，一般在几年内就

能识记几千个汉字，熟记几百篇文章,写出的诗文也是字斟句酌，

琅琅上口，成为满腹经纶的文人。为什么在现代化教学的今天，

我们念了十几年书的高中毕业生甚至大学生，竟提起作文就头

疼，写不出像样的文章呢？吕叔湘先生早在1978年就尖锐地提出:

“中小学语文教学效果差，中学语文毕业生语文水平低,……十

几年上课总时数是9160课时,语文是2749课时,恰好是30%,十

年的时间，二千七百多课时，用来学本国语文,却是大多数不过关,

岂非咄咄怪事!”寻根究底,其主要原因就是腹中无物。特别是写

议论文，初中水平以上的学生都知道议论文的“三要素”是论点、

论据、论证，也通晓议论文的基本结构:提出问题一一分析问

题一一解决问题,但真正动起笔来就犯难了。知道“是这样”，

就是讲不出“为什么”。根本原因还是无“米”下“锅”。于

是便翻开作文集锦之类的书大段抄起来，抄人家的名言警句，抄

人家的事例，不参考作文书就很难写出像样的文章。所以，词汇贫

乏、内容空洞、千篇一律便成了中学生作文的通病。要解决这

个问题，不能单在布局谋篇等写作技方面下功夫，必须认识到“死

记硬背”的重要性,让学生积累足够的“米”。问题1：今

天是星期日，再过15天就是“六•一”儿童节了，问“六•一”

儿童节是星期几？

与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至

宋元时期。金代元好问《示侄孙伯安》诗云：“伯安入小学，

颖悟非凡貌，属句有夙性，说字惊老师。”于是看，宋元时期

小学教师被称为“老师”有案可稽。清代称主考官也为“老师”，

而一般学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。可见，“教

师”一说是比较晚的事了。如今体会，“教师”的含义比之“老

师”一说，具有资历和学识程度上较低一些的差别。辛亥革命

后，教师与其他官员一样依法令任命，故又称“教师”为“教

员”。这个问题并不难答.因为，一个星期有7天，而15

4-7=2-1,即15=7X2+1,所以“六・一”儿童节是星期一。

问题2：1993年的元旦是星期五，1994年的元旦是星期几？

这个问题也难不倒我们.因为，1993年有365天，而365=7

X52+1,所以1994年的元旦应该是星期六。

问题1、2的实质是求用7去除某一总的天数后所得的余数.

在日常生活中，时常要注意两个整数用某一固定的自然数去除,

所得的余数问题.这样就产生了“同余”的概念.如问题1、2中

的15与365除以7后，余数都是1,那么我们就说15与365

对于模7同余。

同余定义：若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数,

那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：

a三b(modm).(*)

上式可读作：

a同余于b,模m。

同余式(*)意味着(我们假设a2b)：

a-b=mk,k是整数，即ml(a-b).

例如：①15三365(mod7)，因为365-15=350=7X50。

②56三20(mod9),因为56-20=36=9X4。

③90三0(modlO),因为90-0=90=10X9。

由例③我们得到启发，a可被m整除，可用同余式表示为:

a=0(modm)。

例如，表示a是一个偶数，可以写

a=0(mod2)

表示b是一个奇数，可以写

b三1(mod2)

补充定义：若m+(a-b),就说a、b对模m不同余，用

式子表示是：

a卢b(modm)

我们书写同余式的方式，使我们想起等式，而事实上，同

余式与等式在其性质上相似洞余式有如下一些性质(其中a、b、

c、d是整数，而m是自然数)。

性质1：a=a(modm)，(反身性)

这个性质很显然.因为a-a=0=m,0。

性质2：若a三b(modm),那么b三a(modm),(对

称性)。

性质3：若a三b(modm),b三c(modm),那么a三c

(modm),(传递性)。

性质4：若a三b(modm),c=d(modm),那么a±c

=b±d(modm),(可加减性)。

性质5：若a三b(modm),c=d(modm),那么ac三

bd(modm)(可乘性)。

性质6：若a三b(modm),那么a”三b。(modm),(其

中n为自然数)。

性质7：若ac三be(modm),(c,m)=1,那么a三b(mod

m),(记号(c,m)表示c与m的最大公约数)。

注意同余式性质7的条件(c,m)=1,否则像普通等式

一样，两边约去，就是错的。

例如6三10(mod4),而3卢5(mod4),因为(2,4)

W1O

请你自己举些例子验证上面的性质。

同余是研究自然数的性质的基本概念，是可除性的符号语

例1判定288和214对于模37是否同余，74与20呢？

解：V288-214=74=37X2o

.*.288=214(mod37)。

774-20=54,而37卜54,

.•.74/20(mod37)。

例2求乘积418X814X1616除以13所得的余数。

分析若先求乘积，再求余数，计算量太大.利用同余的性质可

以使“大数化小”，减少计算量。

解：•.■418三2(modl3),

814=8(modl3),1616=4(modl3),

...根据同余的性质5可得：

418X814X1616三2X8X4三64三12(modi3)。

答：乘积418X814X1616除以13余数是12。

例3求14389除以7的余数。

分析同余的性质能使“大数化小”，凡求大数的余数问题首先

考虑用同余的性质化大为小.这道题先把底数在同余意义下变

小，然后从低次幕入手，重复平方，找找有什么规律。

解法1：V143=3(mod7)

;.14389=389(mod7)

V89=64+16+8+1

而32=2(mod7),

34三4(mod7),

38三16三2(mod7),

316三4(mod7),

332=16=2(mod7),

3日三4(mod7)。

•二389三364・316・38・3三4X4X2X3三5(mod7),

.•.14389三5(mod7)。

答：14389除以7的余数是5。

解法2：证得14389三389(mod7)后,

36三32x34三2X4三1(mod7)，

14

.•.384三(36)=1(mod7)0

.•.389三384・34・3三1X4X3三5(mod7)。

：.14389=5(mod7)。

例4四盏灯如图所示组成舞台彩灯，且每30秒钟灯的颜色改

变一次，第一次上下两灯互换颜色，第二次左右两灯互换颜色,

第三次又上下两灯互换颜色，…，这样一直进行下去.请问开灯

1小时四盏灯的颜色如何排列？

分析与解答经观察试验我们可以发现，每经过4次互换，四盏

灯的颜色排列重复一次，而1小时=60分钟=120X30秒，所以

这道题实质是求120除以4的余数，因为120三0(mod4),

所以开灯1小时四盏灯的颜色排列刚好同一开始一样。

十位，…上的数码，再设M=a0+alH----Fan,求证：N三M(mod

9)0

分析首先把整数N改写成关于10的幕的形式，然后利用10

=1(mod9)o

又•:1=1(mod9)，

10=1(mod9),

1()2三1(mod9),

10n三1(mod9),

上面这些同余式两边分别同乘以a。、ai>a2、…、a„,再相

加得：

2

ao+aiX10+azX10H--FanX10n

三ao+ai+a2H---Fan(mod9),

即N三M(mod9).

这道例题证明了十进制数的一个特有的性质：

任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和。

以后我们求一个整数被9除的余数，只要先计算这个整数

各数位上数字之和，再求这个和被9除的余数即可。

例如，求1827496被9除的余数，只要先求(1+8+2+7

+4+9+6),再求和被9除的余数。

再观察一下上面求和式.我们可以发现，和不一定要求出.

因为和式中1+8,2+7,9被9除都余0,求余数时可不予考虑.

这样只需求4+6被9除的余数.因此，1827496被9除余数是1。

有人时常利用十进制数的这个特性检验几个数相加、相减、

相乘的结果对不对，这种检查方法叫：弃九法。

弃九法最经常地是用于乘法.我们来看一个例子。

用弃九法检验乘式5483义9117三49888511是否正确？

因为5483三5+4+8+3三11三2(mod9),

9117三9+1+1+7三0(mod9),

所以5483X9117=2X0=0(mod9)。

但是49888511三4+9+8+8+8+5+1+1

三8(mod9),

所以5483X9117^49888511,即乘积不正确。

要注意的是弃九法只能知道原题错误或有可能正确，但不

能保证一定正确。

例如，9875=9+8+7+5=2(mod9),

4873=4+8+7+3=4(mod9),

32475689三3+2+4+7+5+6+8+9

三8(mod9)，

这时，9875X4873三2义4三32475689(mod9)。

但观察个位数字立刻可以判定9875X4873732475689.因

为末位数字5和3相乘不可能等于9o

弃九法也可以用来检验除法和乘方的结果。

例6用弃九法检验下面的计算是否正确：

23372458+7312=3544。

解：把除式转化为：

3544X7312=23372458。

3544=3+5+4+4=7(mod9),

7312三7+3+1+2三4(mod9),

，3544X7312=7X4=1(mod9),

但23372458三2+3+3+8三7(mod9)。

而1卢7(mod9)

3544X7312^23372458,

即23372458+7312W3544。

例7求自然数2100+3101+4102的个位数字。

分析求自然数的个位数字即是求这个自然数除以10的余数问

题。

解：21004X25三6