人教版九年级数学上册期末测试题含答案

人教版九年级数学上册期末测试题含答案

期末测试题（一）

A卷

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的）

1.（3分）sin30°的值为（）

B.掾

A.1D.1

2。・专4

2.（3分）如图几何体的主视图是()

B.

，则亘也=)

b7b

A.10B.-1C.3D.7

71010

4.（3分）已知关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-2,则另一个根为（）

A.5B.-1C.2D.-5

5.（3分）将二次函数y=x2+4x+3化成顶点式，变形正确的是（）

A.y=(x-2)2-1B.y=(x+1)(x+3)

C.y=(x-2)2+lD.y=(x+2)2-1

6.（3分）下列各命题中，真命题是（）

A.对角线互相垂直的四边形是菱形

B.两条对角线相等且相互平分的四边形是矩形

C.三点确定一个圆

D.相等的圆周角所对的弧相等

7.（3分）如果C是线段一点，并且4：＞CB,48=1,那么4c的长度为（）时,

点C是线段48的黄金分割点.

A.0.618B.苧C.号D.苧

8.（3分）已知点A（-3,a）,8（-1,b）,C（3,c）都在函数y=-③的图象上，则a,

X

b,c的大小关系是（）

A.c>b>aB.a>b>cC.b>a>cD.c>a>b

9.（3分）如图，已知N1=N2,那么添加下列一个条件后，仍无法判定44/6△4DE

的是（）

AB_ACB杷JCC.ZB=ZDD.ZC=ZAED

AD^AE'AD^DE

10.（3分）如图，CD为。。的直径,弦八8_LCD,垂足为E,CE=1,AB=10,则CD的长

C.25D.26

二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）

11.（4分）已知a、b、c、d是成比例的线段，其中a=3cm,b=2cm,d=4cm,PJiJc=cm.

12.（4分）某超市今年1月份的销售额是2万元，3月份的销售额是2.88万元，从1月份

到3月份，该超市销售额平均每月的增长率是.

13.（4分）如图，直线/i〃/2〃/3,直线AC分别交/i，和b于点4B,C；直线。F分别交

/1，/2，/3于点D,E,F.AC与DF相交于点“，旦AH=2,HB=1,BC=5,则理的值为.

三、解答题（本大题共6个小题，共54分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演

算步骤）

14・（12分）（1）计算：*（兀-«）°-2sin45°

O

(2)解方程：x2-4x-5=0

15.（6分）若关于x的一元二次方程x2-（2a+l）x+*=o没有实数根，求a的取值范围.

16.（8分）如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂48长为40cm,灯罩BC长为30cm,底

座厚度为2cm.使用时发现：光线最佳时灯罩8c与水平线所成的角为25°,求光线最佳

时灯罩顶端C到桌面的高度CD的长.【参考数据：sin25°=0.42,cos25°=0.91,tan25°

=0.47].

17.（8分）有甲乙两个黑色布袋，甲中装有两个完全相同的小球，分别标有数字1和2；

乙中装有三个完全相同的小球，分别标有数字-2,-1和0.从甲布袋中随机取出一个小

球，记下标有的数字为b,再从乙布袋中随机取出一个小球，记其标有的数字为k.

（1）画树状图或列表法写出两次摸球的数字可能出现的所有结果；

（2）如果将两次取出的小球上记录的数字k,b构造一次函数y=kx+b,求两次取出的球

上的编号数字能构造成一次函数的概率.

18.（10分）如图，四边形ABCD为正方形.点A的坐标为（0,2）,点8的坐标为（0,

-3）,反比例函数y=K的图象经过点C,一次函数y=ax+b的图象经过点A、C,

X

（1）求反比例函数与一次函数的解析式；

（2）求点P是反比例函数图象上的一点，△OAP的面积恰好等于正方形A8CD的面积，求

P点的坐标.

19.（10分）如图，在RtZvWC中，ZC=90°,AD平分N8AC,OELAD交A8于E,AADE

的外接圆。。与边相交于点F,过F作阳的垂线交AD于P,交AB于M,交。。于G,

连接GE.

(1)求证：8c是。。的切线；

(2)若tan/G=且，BE=6,求。。的半径;

3

(3)在(2)的条件下，求MP的长.

B卷

一、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分)

20.(4分)已知a?-2a=l,则代数式3a2-6a-7的值是.

21.(4分)从-3,-2,-1,0,1,2这6个数中任意取出一个数记作k,则既能使函数

y=K的图象经过第一、第三象限，又能使关于x的一元二次方程x2-kx+l=0有实数根的

X

概率为.

22.(4分)对于x>0,规定f(x)=——，例如/(2)=二-=2,f(-^)=--—=工,

x+12+132±+13

2

那么/(_1_)+/(—1—)•••+/(1)+/(1)+/(2)+-+f(2019)=.

2019201820172----------

23.(4分)如图，M为双曲线(x>0)上的一点，过点M作x轴、y轴的垂线，分

3x

别交直线y=~x+m于点。、C两点.若直线y=-x+m与y轴交于点八，与x轴交于点B,

则AD-BC的值为.

24.（4分）如图，在矩形A8C。中，已知A8=4,8c=8,点。、P分别是边AB、AD的中

点，点H是边CD上的一个动点，连接0H,将四边形OBCH沿0H折叠，得到四边形OFEH,

连接PE,则PE长度的最小值是.

二、解答题（本大题共3个小题，共30分）

25.（8分）某商场试销一种成本为每件60元的丁恤，规定试销期间销售单价不低于成本

单价，且获利不得高于40%.经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数

图象如图所示：

（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.

（2）若商场销售这种T恤获得利润为IV（元），求出利润14/（元）与销售单价x（元）之

间的函数关系式；并求出当销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多

26.（10分）在△ABC中，P为边人8上一点.

（1）如图1,若NACP=N8,求证：AC2=AP*AB；

（2）若M为CP的中点，47=4.

①如图2,若NPBA4=N4CP,AB=7,求BP的长；

②如图3,若N48c=45。，ZA=ZBMP=60°,求8P的长.

A

图2图3

27.(12分)已知点A(-1,1)、B(4,6)在抛物线y=ax2+bx上

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1,点F的坐标为(0,m)(m>2),直线AF交抛物线于另一点G,过点G作x

轴的垂线，垂足为H.设抛物线与X轴的正半轴交于点E,连接FH、AE,求证：FH//AE-,

(3)如图2,直线A8分别交x轴、y轴于C、。两点.点P从点C出发，沿射线CD方向

匀速运动，速度为每秒血个单位长度；同时点Q从原点。出发，沿x轴正方向匀速运动，

速度为每秒1个单位长度.点M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，QM=

2PM,直接写出t的值.

图

图12

参考答案与试题解析

A卷

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的）

1.【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案.

【解答】解：sin30°=1,

2

故选：A.

【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键.

2.【分析】依据从该几何体的正面看到的图形，即可得到主视图.

【解答】解：由图可得，几何体的主视图是：I——I——I

故选:A.

【点评】本题主要考查了三视图，解题时注意：视图中每一个闭合的线框都表示物体上的

一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上.

3•【分析】利用合比性质解答.

【解答】解：由旦二■,得空也=如=妆.

b7b77

故选：A.

【点评】考查了比例的性质，合比性质：若且=£,则亘也=£电.

bdbd

4.【分析】根据关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-2,可以设出另一个根，然后根据

根与系数的关系可以求得另一个根的值，本题得以解决.

【解答】解：•.•关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-2,设另一个根为

-2+777=

1

解得，m=-1,

故选：B.

【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是明确两根之和等于一次项系数与二次项

系数比值的相反数.

5.【分析】利用配方法把一般式化为顶点式即可.

【解答】解：y=x2+4x+3

=x2+4x+4-1

=(x+2)2-1,

故选：D.

【点评】本题考查的是二次函数的三种形式，正确利用配方法把一般式化为顶点式是解题

的关键.

6.【分析】根据菱形的判定方法对A进行判断；根据矩形的判定方法对8进行判断；根据

确定圆的条件对C进行判断；根据圆周角定理对D进行判断.

【解答】解：八、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，所以八选项为假命题；

8、两条对角线相等且相互平分的四边形是矩形，所以8选项为真命题；

C、不共线的三点确定一个圆，所以C选项为假命题；

。、在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，所以。选项为假命题.

故选：B.

【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题.许多命题都是由题设

和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成

“如果…那么…”形式.有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理.

7.【分析】根据黄金比值是Y亘计算即可.

2

【解答】解：・.・C是线段的黄金分割点C,AC>CB9

：.AC=^^1AB=^~1,

22

故选：C.

【点评】本题考查的是黄金分割的概念，掌握把线段A8分成两条线段AC和8c(AO8C),

且使AC是48和BC的比例中项，叫做把线段48黄金分割是解题的关键.

8.【分析】把点A(-3,a),8(-1,b),C(3,c)代入函数y=-2上求出a、b、c

X

的值，再进行比较即可.

【解答】解：把点A(-3,a)代入函数'=-卓可得，。=1；

X

把点8(-1,b)代入函数y=-上可得，b=3；

X

把点C(3,c)代入函数y=-3可得，c=-1.

x

V3>1>-1,BPb>a>c.

故选：C.

【点评】本题比较简单，考查了反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上点

的坐标一定适合此函数的解析式.

9.【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案.

【解答】W：VZ1=Z2

：.ZDAE=ZBAC

：.A,C,。都可判定△ABCS/XADE

选项B中不是夹这两个角的边，所以不相似，

故选：B.

【点评】此题考查了相似三角形的判定：

①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；

②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；

③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似.

10.【分析】连接04先根据垂径定理求出AE的长，设OA=r,OE=r-CE=r-1,在

RtZ^OE中，根据勾股定理即可求出r的值，进而得出结论.

【解答】解：连接

:CD为。。的直径，AB±CD,AB=10,

：.AE=—AB=5,

2

设。A=r,则OE=r-CE=r-1,

在RtZXAOE中，

"：OA2=AE2+OE2,即。=52+(r-1)2,解得r=13,

，CD=2r=26.

【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的

关键.

二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分)

1L【分析】由a、b、c、d四条线段是成比例的线段，根据成比例线段的定义，即可得且=

b

―,又由a=3cm,b=2cm,d=4cm,即可求得c的值.

d

【解答】解：：。、b、c、d四条线段是成比例的线段,

•••a——c—,

bd

又•.,a=3cm,b=2cm,d=4cm,

•••3-—-—cf

24

解得：d=6.

故c=6cm.

故答案为：6.

【点评】此题考查了成比例线段的定义.此题比较简单，解题的关键是注意掌握比例线段

的定义.

12•【分析】设该超市销售额平均每月的增长率为x,则二月份销售额为2(1+x)万元，三

月份销售额为2(1+x)2万元，由3月份的销售额是2.88万元，即可得出关于x的一元二

次方程，解之取其正值即可得出结论.

【解答】解：设该超市销售额平均每月的增长率为x,则二月份销售额为2(1+x)万元，

三月份销售额为2(1+x)2万元，

根据题意得：2(1+x)2=2.88,

解得：Xi=0.2=20%,x2=-2.2(不合题意，舍去).

答：该超市销售额平均每月的增长率是20%.

故答案为：20%.

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题

的关键.

13•【分析】求出A8=3,由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果.

【解答】解:'：AH=2,HB=1,

：.AB=AH+BH=3,

.DE_AB^3.

••瓯E~5'

故答案为：W.

5

【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理；熟记平行线分线段成比例定理是解决问题

的关键.

三、解答题(本大题共6个小题，共54分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演

算步骤)

14.【分析】（1）根据零指数累、负整数指数基和特殊角的三角函数值计算;

（2）利用因式分解法解方程.

【解答】解：（1）原式=2、Q-3+1-2X返

2

=亚-2；

(2)(x+1)(X-5)=0,

x+l=0或x-5=0,

所以xi=-1,X2=5.

【点评】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方

程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法.也考查了实数的运

算.

15.【分析】根据根的判别式即可求出a的取值范围.

【解答】解：•••关于x的一元二次方程没有实数根，

/.△=（2a+l）2-4a2co,

解得：a<」，

4

，a<J■时，原方程没有实数根.

4

【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解根的判别式，本题属于基础题型.

16.【分析】根据sin25°=空=空，求出CF的长，贝CD=CF+FD+DE=CF+48+DE.

BC30

【解答】解：由题意得：ADLCE,过点8作8F_LCE,BG1EA,

•.•灯罩8c长为30cm,光线最佳时灯罩8c与水平线所成的角为25°,

,：CF±FB,即三角形CF8为直角三角形，

/.CF=30X0.42=12.6(cm),

：.CD=CF+FD+DE=CF+AB+DE=12.6+40+2=54.6(cm)

答：光线最佳时灯罩顶端C到桌面的高度CD的长54.6cm.

【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键.

17•【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；

（2）由（1）可求得点P（x,y）构造一次函数y=kx+b的情况，然后直接利用概率公式

求解即可求得答案.

【解答】解：（1）画树状图得：

开始

12

/1\/N

•10-2-10-2

则点可能出现的所有坐标：（1,-1）,（1,0）,（1,-2）,（2,-1）,（2,0）,（2,-2）；

（2）•.•如果将两次取出的小球上记录的数字k,b构造一次函数y=kx+b,则共6种可能

情况，

其中两次取出的球上的编号数字能构造成一次函数的有4种，

两次取出的球上的编号数字能构造成一次函数的概率=&=2.

63

【点评】本题考查了列表法和树状图法求概率，一次函数图象上点的坐标特征，正确的画

出树状图是解题的关键.

18•【分析】（1）先根据正方形的性质求出点C的坐标为（5,-3）,再将C点坐标代入反

比例函数y=K中，运用待定系数法求出反比例函数的解析式；同理，将点A,C的坐标代

X

入一次函数y=ax+b中，运用待定系数法求出一次函数函数的解析式；

（2）设P点的坐标为（x,y）,先由△OAP的面积恰好等于正方形A8CD的面积，列出关

于x的方程，解方程求出x的值，再将x的值代入y=-1互，即可求出P点的坐标.

X

【解答】解：（1）•.•点A的坐标为（0,2）,点8的坐标为（0,-3）,

：.AB=5,

•.,四边形八BCD为正方形，

.,.点C的坐标为（5,-3）.

•反比例函数y=K的图象经过点C,

X

-3=2解得k=-15,

5

...反比例函数的解析式为y=-至；

X

,一次函数y=ax+b的图象经过点A,C,

Jb=2

,|5a+b=-3,

解得a=-l

b=2

•••一次函数的解析式为y=-x+2；

（2）设P点的坐标为（x,y）.

VAOAP的面积恰好等于正方形488的面积,

.•.lxo^»|x|=52,

.-.1X2»|X|=25,

2

解得x=±25.

当x=25时，y=--=-—；

255

当x=-25时，y=--^-=—.

-255

点的坐标为（25,-?）或（-25,之）.

55

【点评】本题考查了正方形的性质，反比例函数与一次函数的交点问题，运用待定系数法

求反比例函数与一次函数的解析式，三角形的面积，难度适中.运用方程思想是解题的关

键.

19.【分析】（1）连结。。，根据AD是角平分线，求出NC=90°,得至l」OD_L8C,求出BC

是。。的切线；

（2）构造直角三角形，根据勾股定理求出k的值即可；

（3）设FG与AE的交点为M,连结AG,利用三角函数和相似三角形结合勾股定理解题.

【解答】（1）证明：如图1,连结。D,

DE±AD,

.ME是。。的直径，即。在AE上,

是角平分线，

：.ZCAD=ZBAD,

'：OA=OD,

：.ZBAD=ZADO,

：.ZCAD=ZADO,

：.OD//AC,

VZC=90°,

AOD1BC.

是。。的切线；

(2)解：VOD//AC,

：.ZDOB=ZEAF,

；NG=NEAF,

，NDO8=NG,

.•.tanZ4=tanZG=—,

3

设BD=4k,则OD=OE=3k,

在Rt^OB。中，由勾股定理得(3k)2+(4k)2=(3k+6)2,

解得，ki=3,k=--(舍)，(注：也可由O8=5k=3k+6得k=3),

24

：.3k=9,即。。的半径为9；

(3)解：如图2,连结人G,则NAGE=90°,ZEGM=ZMAG.

.*.tanZA4/4G=tanZEG/V7=—,

图2

设GM=4x,AM=3x,

GM2=AM-ME,

：.ME=—x,

3

.,.AE=z3x+—x=18,

3

OD//AC,

.QD_0BCD_DB

••而下'AO=OB

gli9_15CD_12

而在’V^15

'：ZCAD=ZBAD,ZACD=ZAMP=90°,

二.AACDS^AMP.

•.•PM=CD=—1，

AMAC2

【点评】本题考查了圆的综合题，涉及切线的判定、勾股定理、相似三角形的判定与性质、

特殊角的三角函数值，正确的作出辅助线是解题的关键.

B卷

一、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分)

20•【分析】原式变形后，将已知等式代入计算即可求出值.

【解答】解：;标-2(7=1,

・•・原式=3(a2-2a)-7=3-7=-4,

故答案为：-4

【点评】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

21•【分析】确定使函数的图象经过第一、三象限的k的值，然后确定使方程有实数根的k

值，找到同时满足两个条件的k的值即可.

【解答】解：这6个数中能使函数y=k的图象经过第一、第三象限的有1,2这2个数，

•••关于x的一元二次方程x2-kx+l=O有实数根，

：.k2-420,

解得kW-2或k22,

能满足这一条件的数是：-3、-2、2这3个数，

...能同时满足这两个条件的只有2这个数，

此概率为工,

6

故答案为：士.

6

【点评】本题考查了反比例函数图象与系数的关系及根的判别式的知识，根据反比例函数

性质与方程的根的判别式得出k的值是解答此题的关键.

22.【分析】根据f(x)求出f(1),进而得到/(x)+/(1)=1,原式结合后，计算即

XX

可求出值.

【解答】解：规定f(x)=上，

」一，即/（x）+/（―）=——+」—=支支=1,f（1）=!_,

x+lxx+1x+1x+12

则原式=[/（"—）+f（2019）]+[f（示=）+f（2018）]+—+[/（上）+f（2）]+/（1）=2018

201920182

故答案为：2018^

【点评】此题考查了分式的加减法，以及规律型：数字的变化类，熟练掌握运算法则是解

本题的关键.

23•【分析】如图，过点M作x轴、y轴的垂线，垂足分别为G、H,作DE。轴于E,CF

_Lx轴于F,先证明△OAB为等腰直角三角形,则判断△AE。和△BCF都为等腰直角三角形，

所以/W=«DE,BC=V2CF,则人。・8C=2DE・CF,设M(x,y),利用反比例函数图象上

点的坐标特征得到xy=C,从而得到AO・BC的值.

3

【解答】解：如图，过点M作x轴、y轴的垂线，垂足分别为G、，，作OE_Ly轴于E,CF

J_x轴于F,

当x=0时，y=-x+m=m,则八(0,m),

当y=0时，-x+m=0,解得x=m,则8(m,0),

"：OA=OB=m,

：.^OAB为等腰直角三角形，

易得△AE。和aBCF都为等腰直角三角形，

：.AD=42DE,BC=®CF,

：.AD'BC=2DE*CF,

设M(x,y),

/.DE=MH=x,CF=MG=y,

•M°・BC=2*2X铝当

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=k(k为常数，kWO)

X

的图象是双曲线，图象上的点(X,y)的横纵坐标的积是定值k,即xy=k.

24.【分析】如图，连接E。、P。、OC.根据三边关系，PE^OE-OP,求出。E,0P即可解

决问题.

【解答】解：如图，连接£0、PO、0C.

•••四边形48co是矩形，

，N8=NOAP=90°,

在《△08C中，BC=8,0B=2,

••0C—{22+82=2V17，

在RtZ\A0P中，。4=2,%=4,

••0P—{22+42=2VB，

VOE=OC=2\/~L7,PE^OE-OP,

：.PE的最小值为-2娓.

故答案为2历-2遍.

【点评】本题考查翻折变换、矩形的性质、三角形的三边关系、勾股定理等知识，解题的

关键是学会利用三角形的三边关系解决最值问题，属于中考填空题中的压轴题.

二、解答题（本大题共3个小题，共30分）

25•【分析】（1）可用待定系数法来确定y与x之间的函数关系式，再利用试销期间销售单

价不低于成本单价，且获利不得高于4。％得出x的取值范围即可；

（2）根据利润=销售量X单件的利润，然后将（1）中的函数式代入其中，求出利润和销

售单件之间的关系式，然后根据其性质来判断出最大利润.

【解答】解：（1）由题意得：

（63k+b=57

l70k+b=50，

解得：（k=T,

lb=120

故y与x之间的函数关系式为：y=-x+120,

•••成本为每件60元的7■恤，销售单价不低于成本单价，且获利不得高于40%,

，60«4；

(2)w=(x-60)(-x+120)=-x2+180x-7200=-(x-90)2+900,

•••抛物线开口向下，

...当x〈90时，w随x的增大而增大，

而604W84,

故当x=84时，w=(84-60)X(120-84)=864.

答：当销售价定为84元/件时，商场可以获得最大利润，最大利润是864元.

【点评】本题考查了一次函数的应用以及用待定系数法求一次函数的综合应用和主要结合

一次函数的性质，求出二次函数的最值问题；在本题中，还需注意的是自变量的取值范围，

否则容易按照“顶点式”的做法，求出误解.

26•【分析】(1)根据相似三角形的判定定理即可得到结论；

(2)①取4P在中点G,连接/V7G,设AG=x,则PG=x,8G=7-x,根据三角形的中位

线的性质得到MG〃4C,由平行线的性质得到NBGM=N4,根据相似三角形的性质得到即

红即可得到结论；

27-x

②过C作于“，延长A8到E,使8E=8P,解直角三角形得到CH=2«,HE=243

+x,根据勾股定理得出CE2=(273)2+(2遂+x)2,相似三角形的性质得到CE2=EP-EA

列方程即可得到结论.

【解答】解：(1)VZACP=ZB,NA=NA,

/./\ACP^/\ABC,

•.•A-Cz:-A-B,

APAC

：.AC2=AP*AB；

(2)①如图2,取AP在中点G,连接MG,设八G=x,则PG=x,BG=7-x,

•.•M是PC的中点，

MG//AC,

：.ZBGM=ZA,

*/ZACP=ZPBM,

：.AAPCsAGMB,

.APAC

,•丽E，

即红

27-x

._7±V33

••AV-------,

2

"：AB=7,

：.AP=7-V33，

.,.PB=V33；

②如图3,过C作CH,八8于，，延长AB到E,使BE=BP,

设BP=x.

VZABC=45°,ZA=60°,

：.CH=2-/3,HE=2M+X,

'：CE2=(2V3)2+(2V3+X)2,

VPB=BE,PM=CM,

：.BM//CE,

：.ZPMB=ZPCE=60°=NA,

VZE=ZE,

:AECPSAEAC,

•••C-E二--A-E,

EPCE

CE2=EP*EA,

：.12+12+x2+^x=2x(X+2V3+2),

：.x=2\[7-2,

：.PB=2-/1-2.

【点评】本题属于三角形综合题，需要掌握相似三角形的判定和性质，平行线的性质，三

角形的中位线的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键.

27.【分析】（1）根据点48的坐标利用待定系数法，即可求出抛物线的解析式；

（2）（方法一）根据点A、F的坐标利用待定系数法，可求出直线AF的解析式，联立直线

AF和抛物线的解析式成方程组，通过解方程组可求出点G的坐标，进而可得出点H的坐

标，利用分解因式法将抛物线解析式变形为交点式，由此可得出点E的坐标，再根据点小

E（F、H）的坐标利用待定系数法，可求出直线AE（FH）的解析式，由此可证出FH〃八E；

（方法二）根据点A、F的坐标利用待定系数法，可求出直线AF的解析式，联立直线AF

和抛物线的解析式成方程组，通过解方程组可求出点G的坐标，进而可得出点H的坐标，

利用分解因式法将抛物线解析式变形为交点式，由此可得出点E的坐标，过点八作八A'±

x轴，垂足为点A',利用相似三角形的判定定理可得出△AA'Es^FOH,利用相似三角

形的性质可得出NAEA'=/FHO,进而可证出FH〃八E；

（3）根据点48的坐标利用待定系数法，可求出直线八B的解析式，进而可找出点P、Q

的坐标，分点M在线段PQ上以及点M在线段QP的延长线上两种情况考虑，借助相似三

角形的性质可得出点M的坐标，再利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于t的一元

二次方程，解之即可得出结论.

【解答】解：（1）将点八（-1,1）＞B（4,6）代入y=ax2+bx中，

fa』

阴=1,解得:J2

16a+4b=6IF1

，抛物线的解析式为y=1x2-lx.

22

（2）证明：（方法一）设直线4F的解析式为y=kx+m,

将点4（-1,1）代入y=kx+m中，即-k+m=L

；.k=m-1,

二直线AF的解析式为y=（m-1）x+m.

联立直线AF和抛物线解析式成方程组,

y=(in-l)x+inX[=7x2=2m

121J解得：,2

尸，右下xy^ly2=2m-in

**•点G的坐标为(2m,2m2-m).

GHJLx轴,

，点H的坐标为(2m,0).

,抛物线的解析式为y=^x2-yx=-^x(x-1),

...点E的坐标为(1，0).

设直线AE的解析式为y=kix+bi,

将A(-1,1)、E(1,0)代入y=Aix+bi中，

kl=4

-ki+bi=1

tJ。，解得：

D12

直线AE的解析式为y=-lx+1.

设直线FH的解析式为y=k2x+b2,

将F(0,m)、H(2m,0)代入y=k2X+£)2中，

<,解得：(2,

2mk2+b2=0b2=m

/.直线FH的解析式为y=-^x+m.

：.FH//AE.

(方法二)设直线AF的解析式为y=kx+m,

将点八(-1，1)代入y=kx+m中，即-k+m=l,

；.k=m-1,

直线AF的解析式为y=(m-1)x+m.

联立直线AF和抛物线解析式成方程组，

y=(m-l)x+m(Xj=-1«2=210

<121，解得：<，2，

y=yx-yx［丫1=1y2=2n)-in

...点G的坐标为(2m,2m2-m).

G”，x轴，

点H的坐标为(2m,0).

•抛物线的解析式为y=—x2-—x=—x(x-1),

222

.,.点E的坐标为(1,0).

过点八作44'_Lx轴，垂足为点八'，如图1所示.

•点A(-1,1),

：.A'(-1,0),

：.AE=2,AAr=1.

,/ZAA'E=ZFOH,当一

A'02OH

E^/XFOH,

：.ZAEAz=/FH。,

：.FH//AE.

(3)设直线48的解析式为y=kox+bo，

将A(-1,1)、B(4,6)代入y=kox+bo中,

f-k+b=lfk=l

°0°0,解得：0°,

4k0+b0=6b0=2

，直线AB的解析式为y=x+2.

当运动时间为t秒时，点P的坐标为Ct-2,t),点Q的坐标为(30).

当点M在线段PQ上时，过点P作PP'J_x轴于点P',过点M作MM'J_x轴于点M',

则△PQP',如图2所示.

"：QM=2PM,

•QM'_MM'_2

..QP，PP，T

=4，MM'=—t,

33

二点M的坐标为(f-—,—t).

33

又•点M在抛物线y=Lx2-—x±,

22

.•.2t=Lx(t-1)2-1(t-1),

32323

15±

解得：t=.Vn3-;

6

当点M在线段QP的延长线上时，

同理可得出点M的坐标为(t-4,2t),

,/点M在抛物线y=-1-x2-4x上，

，2t=Lx(f-4)2-工(t-4),

22

解得：t=.13士运.

2__

综上所述：当运动时间为竺口歪秒、15+“旗秒、13r领秒或13+J百秒时,Q例=2PM.

6622

【点评】本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、二次函数图象上点的坐标特

征、二次函数的三种形式、相似三角形的性质以及两条直线相交或平行，解题的关键是：

（1）根据点48的坐标利用待定系数法，求出抛物线的解析式；（2）（方法一）根据点4、

E（F、H）的坐标利用待定系数法，求出直线AE（W）的解析式；（方法二）利用相似三角

形的性质找出NAE4'=NFHO；（3）分点M在线段PQ上以及点M在线段QP的延长线上

两种情况，借助相似三角形的性质找出点M的坐标.

期末测试题（二）

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.下列四个图形中，不是中心对称图形的是（）

A.B.

C.D.

2.平面直角坐标系内一点P（-2,3）关于原点对称的点的坐标是（）

A.（3,-2）B.（2,3）C.（-2,-3）D.（2,-3）

3.在单词“APPLE”中随机选择一个字母，选择到的字母是"P"的概率是（）

A.gB.C.4

455

4.抛物线y=（x-1）2+2的顶点坐标是（）

A.（1,2）B.（-1,2）C.（1,-2）D.(-1,-2)

5.若正六边形外接圆的半径为4,则它的边长为（）

A.2B.4>/3C.4D.2A/3

6.下列事件中，必然事件是（）

A.掷一枚硬币，正面朝上

B.任意三条线段可以组成一个三角形

C.投掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是奇数

D.抛出的篮球会下落

7.若关于x的一元二次方程x2+x-m=0有实数根，则m的取值范围是（）

A.B.m2--yC.D.mW-士

4444

8.用一条长40cm的绳子怎样围成一个面积为75cm2的矩形？设矩形的一边为x米，根据

题意，可列方程为（）

A.x(40-x)=75B.x(20-x)=75C.x(x+40)=75D.x(x+20)=75

9.如图，AB是。。的直径，弦CD_LAB于点E.若AB=8,AE=1,则弦CD的长是（）

C.6D.8

10.二次函数y=ax2+bx+c(aWO)的图象如图，给出下列四个结论：：①aVO；②b>0；③

b2-4ac>0；④a+b+cVO；其中结论正确的个数有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题(每小题4分，共24分)

11.方程(x-1)(x+2)=0的解是.

12.在半径为6cm的圆中，120。的圆心角所对的弧长为cm.

13.将抛物线y=5x2向左平移2个单位得到新的抛物线，则新抛物线的解析式是.

14.在一个不透明的盒子中装有2个白球，n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同.若

从中随机摸出一个球，它是黄球的概率为。，则廿

15.如图，把aABC绕点C按顺时针方向旋转35。，得到△ABC,AB交AC于点D.若N

A,DC=90°,贝UNA=.

16.如图，五边形ABCD内接于。。，若AC=AD,ZB+ZE=230°,则NACD的度数是

A

三、解答题（一）（每小题6分，共18分）

17.解方程：3x2-6x+l=2.

18.如图，在平面直角坐标系中，已知^ABC的三个顶点的坐标分别为A（-3,5）、B（-

2,1）、C（-1,3）.

（1）画出将4ABC绕点。顺时针旋转90。后所得到的图形△AiBiCi；

（2）写出点Ai、Bi、J的坐标.

19.某电脑公司现有A、B、C三种型号的甲品牌电脑和D、E两种型号的乙品牌电脑.某

中学要从甲、乙两种品牌电脑中各选购一种型号的电脑.

（1）写出所有选购方案（利用树状图或列表方法表示）；

（2）如果（1）中各种选购方案被选中的可能性相同，求A型号电脑被选中的概率.

四、解答题（二）（每小题7分，共21分）

20.有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感.

（1）每轮传染中平均一个人传染了几个人？

（2）按照这样的速度传染，第三轮将又有多少人被传染？

21.如图，四边形ABCD是正方形，4ADF旋转一定角度后得到^ABE,且点E在线段AD

上，若AF=4,ZF=60°.

（1）指出旋转中心和旋转角度；

（2）求DE的长度和NEBD的度数.

22.如图，点E是AABC的内心，AE的延长线与AABC的外接圆相交于点D.

（1）若NBAC=70。，求NCBD的度数；

（2）求证:DE=DB.

五、解答题（三）（每小题9分，共27分）

23.某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销.据

市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天

就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本.

（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；

（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？

（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，那么销售单价应控制在什么范围内？

24.如图，以AABC的BC边上一点0为圆心的圆，经过A、B两点，且与BC边交于点E,

D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F,若AC=FC.

（1）求证：AC是。。的切线：

（2）若BF=8,DF=V40，求。。的半径；

（3）若NADB=60。，BD=1,求阴影部分的面积.（结果保留根号）

25.如图，在aABC中，ZA=30°,ZC=90",AB=12,四边形EFPQ是矩形，点P与点C重

合，点Q、E、F分别在BC、AB、AC±（点E与点A、点B均不重合）.

（1）当AE=8时，求EF的长；

（2）设AE=x,矩形EFPQ的面积为y.

①求y与x的函数关系式；

②当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？

（3）当矩形EFPQ的面积最大时，将矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线CB匀速向右

运动（当点P到达点B时停止运动），设运动时间为t秒，矩形EFPQ与aABC重叠部分的

面积为S,求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围.

参考答案

一、选择题(每小题3分，共30分)

1.下列四个图形中，不是中心对称图形的是(

【分析】根据中心对称图形的概念求解.

【解答】解：A、是中心对称图形.故错误；

B、是中心对称图形.故错误；

C、不是中心对称图形.故正确；

D、是中心对称图形.故错误.

故选：C.

【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度

后与原图重合.

2.平面直角坐标系内一点P(-2,3)关于原点对称的点的坐标是()

A.(3,-2)B.(2,3)C.(-2,-3)D.(2,-3)

【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数解答.

【解答】解：点P(