八年级数学下册专题10 一次函数几何压轴（十九种题型）（原卷版）

专题10一次函数几何压轴（十九种题型）

模型1：一次函数求三角形面积问题（铅锤法）模型2：一次函数已知面积求动点坐标模型3：一次函数已知面积相等求动点坐标模型4：一次函数存在等腰三角形求动点坐标模型5：一次函数存在直角三角形求动点坐标模型6：一次函数存在全等三角形求动点坐标模型7：一次函数存在45°求动点坐标模型8：一次函数存在等角求动点坐标模型9：一次函数存在2倍角求动点坐标模型10：一次函数存在等腰直角三角形求动点坐标模型11：一次函数过定点问题模型12：一次函数与线段结合求动点问题

模型13：一次函数与动点线段比例问题

模型14：一次函数存在线段和最小值求动点坐标

模型15：一次函数求点到直线距离最小值问题

模型16：一次函数存在平行四边形求动点坐标

模型17：一次函数存在矩形求动点坐标

模型18：一次函数存在菱形求动点坐标

模型19：一次函数存在正方形求动点坐标【技巧点睛1】铅锤法求三角形面积【技巧点睛2】处理与一次函数相关的面积问题，有三条主要的转化途径：①知底求高、转化线段；②图形割补、面积和差；③平行交轨、等积变换。【技巧点睛3】处理线段问题

（1）在平面直角坐标系中，若线段与y轴平行，线段的长度时端点纵坐标之差（上减下，不确定时相减后加绝对值），若线段与x轴平行，线段的长度时端点横坐标之差（右减左，不确定时相减后加绝对值）；（2）线段相关计算注意使用”化斜为直”思想。

【技巧点睛4】角度问题（1）若有角度等量关系，不能直接用时，我们要学会角度转化，比如借助余角、补角、外角等相关角来表示，进行一些角度的和差和角度的代换等，直到转化为可用的角度关系。（2）遇45°角要学会先构造等腰直角三角形，然后构造“三垂直”全等模型，一般情况下是以已知点作为等腰直角三角形的直角顶点。

【技巧点睛5】最值问题（1）求线段和最值，可以从“两点之间线段最短”“垂线段最短”“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”的模型去考虑；

（2）注意“转化思想”的运用，将不可用线段进行转化，变成我们熟悉的模型

【技巧点睛6】特殊三角形存在问题

等腰三角形存在性问题1、找点方法：①以AB为半径，点A为圆心做圆，此时，圆上的点（除D点外）与A、B构成以A为顶点的等腰三角形（原理：圆上半径相等）②以AB为半径，点B为圆心做圆，此时，圆上的点（除E点外）与A、B构成以B为顶点的等腰三角形（原理：圆上半径相等）③做AB的垂直平分线，此时，直线上的点（除F点外）与A、B构成以C为顶点的等腰三角形（原理：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）2、求点方法：直角三角形存在性问题若▲ABC是直角三角形，则分三种情况分类讨论：∠A=90°，∠B=90°，∠C=90°，然后利用勾股定理解题。【技巧点睛6】四边形存在问题1．坐标系中的平行四边形：（1）对边平行且相等：（2）对角线互相平分：即A、C中点与B、D中点重合．以上两条可统一为：总结：平面直角坐标系中，平行四边形两组相对顶点的横坐标之和相等，纵坐标之和相等方法归纳：1、列出四个点坐标2、分三组对角线讨论列方程组，解方程组3、验证点是否符合题意模型1：一次函数求三角形面积问题（铅锤法）【典例1】在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC放在第一象限，斜靠在两条坐标轴上，∠ACB＝90°，且A（0，4），点C（2，0），BE⊥x轴于点E，一次函数y＝x+b经过点B，交y轴于点D．（1）求证：△AOC≌△CEB；（2）求△ABD的面积．【变式1】（2023秋•开江县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx+1交y轴于点A，交x轴于点B（4，0），过点E（2，0）的直线l2平行于y轴，交直线l1于点D，点P是直线l2上一动点（异于点D），连接PA、PB．（1）求直线l1的解析式；（2）设P（2，m），求△ABP的面积S的表达式（用含m的代数式表示）；模型2：一次函数已知面积求动点坐标【典例2】如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+b分别与x轴，y轴交于点A（﹣1，0），B（0，2），过点C（2，0）作x轴的垂线，与直线AB交于点D．（1）求点D的坐标；（2）点E是线段CD上一动点，直线BE与x轴交于点F．若△BDF的面积为8，求点F的坐标；【变式1】如图①，直线y＝kx+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，与直线y＝﹣2x交于点C（a，﹣4）．（1）求点C的坐标及直线AB的表达式；（2）点P在y轴上，若△PBC的面积为6，求点P的坐标；模型3：一次函数已知面积相等求动点坐标【典例3】如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点B（0，2），已知点C（﹣2，0）．（1）求直线l的表达式；（2）点P是直线l上一动点，且△BOP和△COP的面积相等，求点P坐标；【变式1】如图，直线l1的解析式为y＝﹣3x+3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A（4，0）、B（3，），直线l1、l2交于点C．（1）求直线l2的解析式；（2）求△ADC的面积；（3）试问：在直线l2上是否存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【变式2】（2023秋•东港市期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知一次函数y＝kx+b的图象交y轴于点A（0，3），交x轴于点B（﹣4，0）．（1）求直线AB的函数表达式；（2）直线a垂直平分OB交AB于点D，交x轴于点E，点P是直线a上一动点，且在点D的上方，设点P的纵坐标为m．①利用图1位置，用含m的代数式表示△ABP的面积S；②当△ABP的面积为7时，求点P的坐标；③在②的条件下，在y轴上找到点Q，使得△ABQ与△ABP面积相等，求出点Q的坐标；④连接OP，与AB交于点H，当△AOH与△PBH的面积相等时，请直接写出点P坐标．【变式3】如图，直线l与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、点B（0，2），以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，∠BAC＝90°，点P（0，a）为y轴上一个动点．（1）求直线l的表达式；（2）求出△ABC的面积；（3）当△ABC与△ABP面积相等时，求实数a的值．模型4：一次函数存在等腰三角形求动点坐标【典例4】如图，直线y＝kx+3经过点B（﹣1，4）和点A（5，m），与x轴交于点C．（1）求k，m的值；（2）求△AOB的面积；（3）若点P在x轴上，当△PBC为等腰三角形时，直接写出此时点P的坐标．【变式1】如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+4的图象分别与x轴、y轴交于A（2，0），B两点，且经过点C（1，m）．（1）求m的值；（2）若点A关于y轴的对称点A'，求△A′BC的面积；（3）在x轴上，是否存在点P，使△PAB为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【变式2】如图，直线的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B，AB的垂直平分线l与x轴交于点C，与AB交于点D，连接BC．（1）求OC的长；（2）若点E在x轴上，且△BED的面积为10，求点E的坐标；（3）已知y轴上有一点P，若以点B、C、P为顶点的三角形是等腰三角形，直接写出所有满足条件的点P的坐标．模型5：一次函数存在直角三角形求动点坐标【典例5】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，线段OB上有一点C，点B关于直线AC的对称点B'在x轴上．（1）求△AOB的面积；（2）求直线AC的解析式；（3）点P是直线AC上一点，当△ABP为直角三角形时，求点P的坐标．【变式1】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过A（﹣1，0），B（0，2），D三点，点D在x轴上方，点C在x轴正半轴上，且OC＝5OA，连接BC，CD，已知S△ADC＝2S△ABC．（1）求直线AB的表达式；（2）求△ADC的面积；（3）在x轴上是否存在一点M，使得△BCM是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．模型6：一次函数存在全等三角形求动点坐标【典例6】如图，一次函数y＝﹣x+4的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，过AB中点D的直线CD交x轴于点C，且经过第一象限的点E（6，4）．（1）求A，B两点的坐标及直线CD的函数表达式；（2）连接BE，求△DBE的面积；（3）连接DO，在坐标平面内找一点F，使得以点C，O，F为顶点的三角形与△COD全等，请直接写出点F的坐标．【变式1】（2023秋•碑林区校级期末）如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C的坐标为（﹣3，0），连结BC，过点O作OD⊥AB于点D，点Q为线段BC上一个动点．（1）BC的长为5，OD的长为；（2）在线段BO上是否存在一点P，使得△BPQ与△OAD全等？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．模型7：一次函数存在45°求动点坐标【典例7】如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与直线交于点B（3，m）．（1）求m和b的值；（2）求证：△OAB是直角三角形；（3）直线l1上是否存在点D，使得∠ODB＝45°，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【变式1】已知，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴、y轴于A（m，0），B（0，n），m、n满足m2+n2+2m﹣4n+5＝0，点P是坐标平面内任意一点．（1）求m、n的值；（2）如图1，若点P在y轴上，当∠BPA＝45°时，求点P的坐标；【变式2】如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与直线交于点B（3，m）．（1）求m的值；（2）点D是直线l1上一动点．①如图2，当点D恰好在∠AOB的角平分线上时，求直线OD的函数表达式；②是否存在点D，使得∠DOB＝45°，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．模型8：一次函数存在等角求动点坐标【典例8】如图，已知函数与x轴交于点C，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．（1）直接写出A、B、C的坐标：A（﹣4，0）、B（0，2）、C（4，0）；（2）求直线AB的函数解析式；（3）设点M是x轴上的负半轴一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q．①若△PQB的面积为2，求点Q的坐标；②点M在线段AO上运动的过程中，连接BM，若∠BMP＝∠BAC，求点P的坐标．【变式1】如图1，已知函数y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．（1）求直线BC的函数解析式；（2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q．①若△PQB的面积为，求点Q的坐标；②点M在线段AC上，连接BM，如图2，若∠BMP＝∠BAC，直接写出P的坐标．【变式2】如图①，已知函数y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C点A关于y轴对称．（1）求BC的长．（2）设点M是x轴上一动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于P，交直线BC于点Q．①若△PQB的面积为，求点M的坐标．②连接BM，如图②，若∠BMP＝∠BAC．直接写出点P的坐标．模型9：一次函数存在2倍角求动点坐标【典例9】（2023秋•槐荫区期末）如图，直线和直线l2与x轴分别相交于A，B两点，且两直线相交于点C，直线l2与y轴相交于点D（0，﹣4），OA＝2OB．（1）求出直线l2的函数表达式；（2）E是x轴上一点，若S△ABC＝2S△BCE，求点E的坐标；（3）若F是直线l1上方且位于y轴上一点，∠ACF＝2∠CAO，判断△BCF的形状并说明理由．模型10：一次函数存在等腰直角三角形求动点坐标【典例10】（2023秋•新都区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点B（0，2），已知点C（﹣2，0）．（1）求直线l的表达式；（2）点P是直线l上一动点，且△BOP和△COP的面积相等，求点P坐标；（3）在平面内是否存在点Q，使得△ABQ是以AB为底的等腰直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【变式1】（2023秋•成华区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l1与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点B，且与直线l2：交于点C，点C的横坐标为2．（1）求直线l1的解析式；（2）在x轴上取点M，过点M作x轴的垂线交直线l1于点D，交直线l2于点E．若DE＝2，求点M的坐标；（2）在第二象限内，是否存在点Q，使得△QAB为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点Q坐标；若不存在，请说明理由．【变式2】（2023秋•温江区期末）如图1，直线AB的解析式为y＝kx+3，D点坐标为（4，0），点O关于直线AB的对称点C在直线AD上．（1）求直线AB的解析式；（2）如图2，在x轴上是否存在点F，使S△ABF＝2S△ABC，若存在求出F点坐标，若不存在，请说明理由；（3）点P是直线AB上方第一象限内的动点．如图3，当△ABP为等腰直角三角形时，求点P的坐标．【变式3】（2023秋•榆次区期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，一次函数y＝﹣x+b的图象经过点B，并与x轴交于点C．（1）求A，B两点的坐标；（2）求△ABC的面积；（3）在平面内是否存在点P，使得△PAB是以点B为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．模型11：一次函数过定点问题【典例11】（2023春•仓山区校级期末）无论m取任何非零实数，一次函数y＝mx﹣（3m+2）的图象过定点（）A．（3，2） B．（3，﹣2） C．（﹣3，2） D．（﹣3，﹣2）2．（2023秋•庐阳区期末）已知函数y＝（k﹣3）x+k．（1）该函数图象经过定点．（2）如果直线y＝（k﹣3）x+k不经过第三象限，则k的范围是．【变式1】（2023春•都昌县期中）对于一次函数y＝kx﹣k+4的图象，无论k为何值，都过一个定点，则这个点的坐标是．【变式2】（2023春•枣阳市期中）一次函数y＝﹣3x+mx﹣m的图象经过定点A，则点A的坐标是．模型12：一次函数与线段结合求动点问题【典例12】（2023秋•蜀山区校级期中）如图，直线y＝﹣x+3与坐标轴交于点A、B两点，直线CP与直线AB相交于点P（﹣，a），交x轴于点C，且△PAC的面积为．（1）则A点的坐标为；a＝；（2）求直线PC的解析式；（3）若点D是线段AB上一动点，过点D作DE∥x轴交直线PC于点E，若DE＝2，求点D的坐标．模型13：一次函数与动点线段比例问题【典例13】（2023春•崂山区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，9），且与x轴相交点B，与y轴交于点D，与正比例函数y＝3x的图象相交于点C，点C的横坐标为1．（1）不等式kx+b﹣3x＜0的解集是；（2）求一次函数的函数解析式；（3）M为直线AB上一点，过点M作y轴的平行线交y＝3x于点N，当MN＝2OD时，求点M的坐标．【变式1】（2023秋•淮安期末）如图1，平面直角坐标系中，一次函数y＝x+1的图象分别交x轴、y轴于点A、B，一次函数y＝kx+b的图象经过点B，并与x轴交于点C（3，0），点D是直线AB上的一个动点．（1）k＝，b＝；（2）如图2，当点D在第一象限时，过点D作y轴的垂线，垂足为点E，交直线BC于点F．若，求点D的坐标；模型14：一次函数存在线段和最小值求动点坐标【典例14】如图，直线l1：y＝k1x+b与x轴，y轴分别交于点A（﹣3，0），B（0，3），直线l2：y＝k2x与直线l1相交于点C（，n）．（1）求直线l1和l2的解析式；（2）求△BCO的面积；（3）点M为y轴上的一动点，连接MA，MC．当MA+MC的值最小时，则点M的坐标是．【变式1】平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝x+1分别与x轴，y轴交于点A，B，点D在直线l1上，且点D的横坐标为3．直线l2经过点C（1，0），D两点，与y轴交于点E．（1）求点D的坐标和直线l2的函数表达式；（2）在x轴上找一点P使得PB+PD的值最小，最小值为多少？【变式2】如图，直线AB：y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B．直线CD：y＝kx+b经过点C（﹣1，0），D，与直线AB交于点E．（1）求直线CD的函数关系式；（2）连接BC，求△BCE的面积；（3）设点Q的坐标为（m，2），求m的值使得QA+QE值最小．模型15：一次函数求点到直线距离最小值问题【典例15】（2020春•海淀区校级期末）已知直线l：y＝kx+b（k＞0）过点（﹣，0）且与x轴相交夹角为30°，P为直线l上的动点，A（，0）、B（3，0）为x轴上两点，当PA+PB时取到最小值时P点坐标为（）A．（，2） B．（1，） C．（，3） D．（2，）【变式1】（2023•涧西区一模）如图，点A的坐标为（﹣2，0），直线y＝x﹣5与x轴交于点B，与y轴交于点C，点D在直线y＝x﹣5上运动．当线段AD取得最小值时，点D的坐标为（）A．（，） B．（2，﹣2） C．（1，﹣） D．（0，﹣4）模型16：一次函数存在平行四边形求动点坐标

【典例16】如图，直线l1过点A（0，2）、B（2，0），直线l1和直线l2交于点C（3，a），直线l2与y轴交于点D（0，﹣7）．（1）求直线l1和直线l2对应的函数解析式；（2）直线l1上有一动点P，使得△CDP的面积为12，求点P的坐标；（3）y轴上有一动点M，直线l2上有一动点N，使以M、N、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求出点M的坐标．【变式1】（2024春•崇川区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的正半轴上，线段OA，OC的长分别是m，n且满足，点D是线段OC上一点，将△AOD沿直线AE翻折，点O落在矩形的对角线AC上的点E处．（1）求OD的长；（2）求点E的坐标；（3）DE所在直线与AB相交于点M，在x轴的正半轴上是否存在点N，使以M、A、N、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

模型17：一次函数存在矩形求动点坐标【典例17】（2023秋•开原市月考）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝2x+18的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，过点A作直线交y轴正半轴于点M，且点M为线段OB的中点．（1）求直线AM的解析式；（2）将△AMB沿着AM翻折，点B落在点B1处，连接OB1，则四边形AMB1O的形状为平行四边形；（3）若点H是直线AM上的动点，在坐标平面内是否存在这样的点Q，使以A、B、Q、H为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．【变式1】（2023春•离石区期末）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝2x﹣1与x轴，y轴分别交于点A，B，直线l2：y＝kx+b与x轴，y轴分别交于点P，C（0，1），连接AC，直线l1l2交于点D，且点D的横坐标为．（1）求直线l2的函数解析式；（2）求△ACD的面积；（3）若点E在直线l1上，F为坐标平面内任意一点，试探究：是否存在以点B，C，E，F为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【变式2】（2023春•九龙坡区期末）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x+4的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，将△AOB绕点O顺时针旋转90°得△COD（点A与点C对应，点B与点D对应）．（1）直接写出直线CD的解析式；（2）点E为线段CD上一点，过点E作EF∥y轴交直线AB于点F，作EG∥x轴交直线AB于点G，当EF+EG＝AD时，求点E的坐标；（3）如图2，若点M为线段AB的中点，点N为直线CD上一点，点P为坐标系内一点．且以O，M，N，P为顶点的四边形为矩形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出其中一种求解点N坐标的过程．模型18：一次函数存在菱形求动点坐标【典例18】已知：在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线l2经过点A，与y轴交于点C（0，﹣4）．（1）求直线l2的解析式；（2）如图1，点P为直线l1上的一个动点，若△PAC的面积等于9时，请求出点P的坐标；（3）如图2，将△ABC沿着x轴平移，平移过程中的△ABC记为△A1B1C1.请问在平面内是否存在点D，使得以A1、C