新九年级数学时期讲义第11讲图形的相似-基础班(学生版+解析)

第11讲图形的相似1.平行线分线段成比例1比例性质：①；②（其中b叫做比例中项）2更比性质(交换比例的内项或外项)：3反比性质(把比的前项、后项交换)：．4合、分比性质：．5等比性质：如果，那么6如果四条线段a,b,c,d满足,则四条线段a,b,c,d称为比例线段。（有先后顺序，不可颠倒）7平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例.已知AD∥BE∥CF,可得等.注：平行线分线段成比例定理的推论：平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等。【例题精选】例1(2023•成都模拟）如图，已知AB∥CD∥EF，BD：DF＝2：5，那么下列结论正确的是（）A．AC：EC＝2：5 B．AB：CD＝2：5 C．CD：EF＝2：5 D．AC：AE＝2：5例2(2023•涡阳县一模）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，若AD：DB＝3：1，则AE：AC＝（）A．3：1 B．3：4 C．3：5 D．2：3【随堂练习】1.(2023•恩施州模拟）如图，在△ABC中，DE∥BC，∠ADE＝∠EFC，AE：EC＝5：3，BF＝10，则CF的长为（）A．16 B．8 C．4 D．62．(2023秋•凤翔县期末）如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1、l2、l3分别相交于A、B、C和点D、E、F．若，DE＝4.2，则DF的长是（）A． B．6 C．6.3 D．10.53．(2023秋•锦州期末）如图，已知AB∥CD∥EF，CF：AF＝3：5，DE＝6，BE的长为（）A．4 B．6 C．8 D．104．(2023•武侯区模拟）如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，且DE∥BC，若AE＝1，CE＝AD＝2，则AB的长是（）A．6 B．5 C．4 D．22.相似多边形及性质相似图形：我们把形状相同的图形叫相似图形.两个图形相似，其中一个图形可以看成是由另一个图形放大或缩小得到的.如图所示的几组图形都是形状相同，大小不同的图形，因此这几组图形分别都是相似图形.当两个图形的形状相同，大小相同，这两个图形也是相似图形，它们是特殊的相似图形：全等图形.相似多边形：两个边数相同的多边形，如果他们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫相似多边形，相似多边形对应边的比叫做相似比.相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例.相似图形周长的比等于相似比，相似图形面积比等于相似比的平方.【例题精选】例1(2023•邗江区一模）下列图形中一定是相似形的是（）A．两个等边三角形 B．两个菱形 C．两个矩形 D．两个直角三角形例2(2023秋•南昌期末）下列各组图形中，一定相似的是（）A．任意两个圆 B．任意两个等腰三角形 C．任意两个菱形 D．任意两个矩形【随堂练习】1．(2023秋•汾阳市期末）下列图形中一定是相似形的是（）A．两个菱形 B．两个等边三角形 C．两个矩形 D．两个直角三角形2．(2023秋•安居区期末）下列说法中，不正确的是（）A．所有的菱形都相似 B．所有的正方形都相似 C．所有的等边三角形都相似 D．有一个角是100°的两个等腰三角形相似3．(2023秋•东海县期末）将直角三角形的三条边的长度都扩大同样的倍数后得到的三角形（）A．仍是直角三角形 B．一定是锐角三角形 C．可能是钝角三角形 D．一定是钝角三角形4．(2023秋•肥城市期末）分别画出下列四组图形，必是相似三角形的为（）A．两个直角三角形 B．有一个角为110°的两个等腰三角形 C．有一个角为55°的两个等腰三角形 D．两条边对应成比例，其中一边的对角对应相等的两个三角形3.相似三角形的判定相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于”.相似三角形的判定：

（1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交,所构成三角形与原三角形相似.

（2）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.

（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似.

（4）如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似.

直角三角形相似判定定理

斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似.相似三角形的性质(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．(3)相似三角形周长的比等于相似比．(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．【例题精选】例1(2023•浦东新区三模）如图，已知△ABC与△BDE都是等边三角形，点D在边AC上（不与点A、C重合），DE与AB相交于点F，那么与△BFD相似的三角形是（）A．△BFE B．△BDC C．△BDA D．△AFD例2(2023•江西一模）如图，在正方形ABCD中，点E是AD的中点，点F在CD上，且CD＝4DF，连接EF、BE．求证：△ABE∽△DEF．【随堂练习】1．(2023•淮安模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在BC、AB上，且∠BDE＝∠CAD．（1）求证：△BDE∽△CAD；（2）求证：△ADE∽△ABD．2．(2023•余干县模拟）如图，BD、AC相交于点P，连接BC、AD，且∠1＝∠2，求证：△ADP∽△BCP．4.相似三角形的综合应用【例题精选】例1(2023春•武邑县校级月考）如图，某人拿着一把分度值为厘米的刻度尺，站在距电线杆25m的地方，手臂向前伸直，将刻度尺竖直，看到刻度尺上14cm的长度恰好遮住电线杆．已知臂长为70cm，则电线杆的高是（）A．5m B．6m C．125m D．4m例2(2023秋•中山市校级期末）《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其有题译文如下：“有一根竹竿在太阳下的影子长15尺．同时立一根1.5尺的小标杆，它的影长是0.5尺．如图所示，则可求得这根竹竿的长度为（）尺．A．50 B．45 C．5 D．4.5【随堂练习】1．(2023•成都模拟）如图是用卡钳测量容器内径的示意图，现量得卡钳上A，D两个端点之间的距离为10m，，则容器的内径是（）A．5cm B．10cm C．15cm D．20cm2．(2023秋•卫辉市期末）如图，小明为了测量高楼MN的高度，在离N点20米的A处放了一个平面镜，小明沿NA方向后退1.5米到C点，此时从镜子中恰好看到楼顶的M点，已知小明的眼睛（点B）到地面的高度BC是1.6米，则大楼MN的高度（精确到0.1米）约是（）A．18.75米 B．18.8米 C．21.3米 D．19米3．(2023秋•嘉兴期末）如图，小明在打乒乓球时，为使球恰好能过网（设网高AB＝15cm），且落在对方区域桌子底线C处，已知小明在自己桌子底线上方击球，则他击球点距离桌面的高度DE为（）A．15cm B．20cm C．25cm D．30cm4．(2023秋•宝安区期末）数学兴趣小组的同学们来到宝安区海淀广场，设计用手电来测量广场附近某大厦CD的高度，如图，点P处放一水平的平面镜．光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到大厦CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1米，BP＝1.5米，PD＝48米，那么该大厦的高度约为（）A．32米 B．28米 C．24米 D．16米综合运用：1.已知a、b、c为△ABC的三边长，且a+b+c=48，，求△ABC三边的长．2.如图，F为平行四边形ABCD的边AD的延长线上的一点，BF分别交CD、AC于G、E，若EF=32，GE=8，求BE．3.如图，已知AD∥BE∥CF，它们以此交直线l1、l2于点A、B、C和D、E、F．若=，AC=14，（1）求AB的长．（2）如果AD=7，CF=14，求BE的长．4.如图所示，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，点A，B，E在x轴上．（1）若点F的坐标为（4.5，3），直接写出点C和点A的坐标；（2）若正方形BEFG的边长为6，求点C的坐标．5.正方形ABCD中，E是AC上一点，EF⊥AB，EG⊥AD，AB=6，AE：EC=2：1．求四边形AFEG的面积．6.如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN，矩形DMNC与矩形ABCD相似，已知AB=4．

（1）求AD的长；

（2）求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比．第11讲图形的相似1.平行线分线段成比例1比例性质：①；②（其中b叫做比例中项）2更比性质(交换比例的内项或外项)：3反比性质(把比的前项、后项交换)：．4合、分比性质：．5等比性质：如果，那么6如果四条线段a,b,c,d满足,则四条线段a,b,c,d称为比例线段。（有先后顺序，不可颠倒）7平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例.已知AD∥BE∥CF,可得等.注：平行线分线段成比例定理的推论：平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等。【例题精选】例1(2023•成都模拟）如图，已知AB∥CD∥EF，BD：DF＝2：5，那么下列结论正确的是（）A．AC：EC＝2：5 B．AB：CD＝2：5 C．CD：EF＝2：5 D．AC：AE＝2：5分析：根据平行线分线段成比例定理对各选项进行判断．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴AC：EC＝BD：DF＝2：5，AC：AE＝BD：BF＝2：7．故选：A．【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．例2(2023•涡阳县一模）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，若AD：DB＝3：1，则AE：AC＝（）A．3：1 B．3：4 C．3：5 D．2：3分析：根据平行线分线段成比例定理得到＝＝，然后根据比例的性质求AE：AC的值．【解答】解：∵DE∥BC，∴＝＝，∴＝＝．故选：B．【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．【随堂练习】1.(2023•恩施州模拟）如图，在△ABC中，DE∥BC，∠ADE＝∠EFC，AE：EC＝5：3，BF＝10，则CF的长为（）A．16 B．8 C．4 D．6【解答】解：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∵∠ADE＝∠EFC，∴∠B＝∠EFC，∴EF∥AB，∴＝，∵AE：EC＝5：3，BF＝10，∴＝，解得：CF＝6，故选：D．2．(2023秋•凤翔县期末）如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1、l2、l3分别相交于A、B、C和点D、E、F．若，DE＝4.2，则DF的长是（）A． B．6 C．6.3 D．10.5【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴＝，即＝，解得，EF＝6.3，∴DF＝DE+EF＝10.5，故选：D．3．(2023秋•锦州期末）如图，已知AB∥CD∥EF，CF：AF＝3：5，DE＝6，BE的长为（）A．4 B．6 C．8 D．10【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴＝，即＝，∴BE＝10，故选：D．4．(2023•武侯区模拟）如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，且DE∥BC，若AE＝1，CE＝AD＝2，则AB的长是（）A．6 B．5 C．4 D．2【解答】解：∵DE∥BC，∴＝，∴＝，∴AB＝6，故选：A．2.相似多边形及性质相似图形：我们把形状相同的图形叫相似图形.两个图形相似，其中一个图形可以看成是由另一个图形放大或缩小得到的.如图所示的几组图形都是形状相同，大小不同的图形，因此这几组图形分别都是相似图形.当两个图形的形状相同，大小相同，这两个图形也是相似图形，它们是特殊的相似图形：全等图形.相似多边形：两个边数相同的多边形，如果他们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫相似多边形，相似多边形对应边的比叫做相似比.相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例.相似图形周长的比等于相似比，相似图形面积比等于相似比的平方.【例题精选】例1(2023•邗江区一模）下列图形中一定是相似形的是（）A．两个等边三角形 B．两个菱形 C．两个矩形 D．两个直角三角形分析：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形．【解答】解：∵等边三角形的对应角相等，对应边的比相等，∴两个等边三角形一定是相似形，又∵直角三角形，菱形的对应角不一定相等，矩形的边不一定对应成比例，∴两个直角三角形、两个菱形、两个矩形都不一定是相似形，故选：A．【点评】本题主要考查了相似多边形的性质，相似多边形的性质为：①对应角相等；②对应边的比相等．例2(2023秋•南昌期末）下列各组图形中，一定相似的是（）A．任意两个圆 B．任意两个等腰三角形 C．任意两个菱形 D．任意两个矩形分析：根据我们把形状相同的图形称为相似图形进行分析即可．【解答】解：A、任意两个圆是相似图形，故此选项正确；B、任意两个等腰三角形不是相似图形，故此选项错误；C、任意两个菱形不是相似图形，故此选项错误；D、任意两个矩形不是相似图形，故此选项错误；故选：A．【点评】此题主要考查了相似图形，关键是掌握①相似图形的形状必须完全相同；②相似图形的大小不一定相同；③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况．【随堂练习】1．(2023秋•汾阳市期末）下列图形中一定是相似形的是（）A．两个菱形 B．两个等边三角形 C．两个矩形 D．两个直角三角形【解答】解：∵等边三角形的对应角相等，对应边的比相等，∴两个等边三角形一定是相似形，又∵直角三角形，菱形的对应角不一定相等，矩形的边不一定对应成比例，∴两个直角三角形、两个菱形、两个矩形都不一定是相似形，故选：B．2．(2023秋•安居区期末）下列说法中，不正确的是（）A．所有的菱形都相似 B．所有的正方形都相似 C．所有的等边三角形都相似 D．有一个角是100°的两个等腰三角形相似【解答】解：A、所有的菱形都相似，说法错误；B、所有的正方形都相似，说法正确；C、所有的等边三角形都相似，说法正确；D、有一个角是100°的两个等腰三角形相似，说法正确；故选：A．3．(2023秋•东海县期末）将直角三角形的三条边的长度都扩大同样的倍数后得到的三角形（）A．仍是直角三角形 B．一定是锐角三角形 C．可能是钝角三角形 D．一定是钝角三角形【解答】解：∵将直角三角形的各边都缩小或扩大同样的倍数后，得到的三角形的三条边与原三角形的三条边对应成比例，∴两三角形相似．又∵原来的三角形是直角三角形，而相似三角形的对应角相等，∴得到的三角形仍是直角三角形．故选：A．4．(2023秋•肥城市期末）分别画出下列四组图形，必是相似三角形的为（）A．两个直角三角形 B．有一个角为110°的两个等腰三角形 C．有一个角为55°的两个等腰三角形 D．两条边对应成比例，其中一边的对角对应相等的两个三角形【解答】解：两个直角三角形不一定相似；因为只有一个直角相等，∴A不一定相似；有有一个角为110°的两个等腰三角形一定相似；因为110°的角只能是顶角，所以两个等腰三角形的顶角和底角分别相等，∴B一定相似；一个角为55°的两个等腰三角形不一定相似；因为55°的角可能是顶角，也可能是底角，∴C不一定相似；两条边对应成比例，一个对应角相等的两个三角形不一定相似；因为这个对应角不一定是夹角；∴D不一定相似；故选：B．3.相似三角形的判定相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于”.相似三角形的判定：

（1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交,所构成三角形与原三角形相似.

（2）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.

（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似.

（4）如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似.

直角三角形相似判定定理

斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似.相似三角形的性质(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．(3)相似三角形周长的比等于相似比．(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．【例题精选】例1(2023•浦东新区三模）如图，已知△ABC与△BDE都是等边三角形，点D在边AC上（不与点A、C重合），DE与AB相交于点F，那么与△BFD相似的三角形是（）A．△BFE B．△BDC C．△BDA D．△AFD分析：根据等边三角形的性质和相似三角形的判定定理即可得到结论．【解答】解：∵△ABC与△BDE都是等边三角形，∴∠A＝∠BDF＝60°，∵∠ABD＝∠DBF，∴△BFD∽△BDA，∴与△BFD相似的三角形是△BDA，故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的判定，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．例2(2023•江西一模）如图，在正方形ABCD中，点E是AD的中点，点F在CD上，且CD＝4DF，连接EF、BE．求证：△ABE∽△DEF．分析：根据相似三角形的判定方法即可求出答案．【解答】解：设AB＝4，在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD＝4，∠A＝∠D＝90°∴DF＝1，AE＝ED＝2，∴＝＝，∴△ABE∽△DEF．【点评】本题考查相似三角形的判定以及正方形的性质，解题的关键是熟悉相似三角形的判定方法．【随堂练习】1．(2023•淮安模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在BC、AB上，且∠BDE＝∠CAD．（1）求证：△BDE∽△CAD；（2）求证：△ADE∽△ABD．【解答】解：（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，又∵∠BDE＝∠CAD，∴△BDE∽△CAD；（2）证明：∵△BDE∽△CAD，∴∠BED＝∠ADC，∴180°﹣∠BED＝180°﹣∠ADC即∠AED＝∠ADB．又∵∠BAD＝∠DAE，∴△ADE∽△ABD．2．(2023•余干县模拟）如图，BD、AC相交于点P，连接BC、AD，且∠1＝∠2，求证：△ADP∽△BCP．【解答】证明：∵∠1＝∠2，∠DPA＝∠CPB，∴△ADP∽△BCP．4.相似三角形的综合应用【例题精选】例1(2023春•武邑县校级月考）如图，某人拿着一把分度值为厘米的刻度尺，站在距电线杆25m的地方，手臂向前伸直，将刻度尺竖直，看到刻度尺上14cm的长度恰好遮住电线杆．已知臂长为70cm，则电线杆的高是（）A．5m B．6m C．125m D．4m分析：先求出△ABC∽△AEF，再根据三角形对应高的比等于对应边的比，这样就可以求出电线杆EF的高．【解答】解：作AN⊥EF于N，交BC于M，∵BC∥EF，∴AM⊥BC于M，∴△ABC∽△AEF，∴＝，∵AM＝0.7m，AN＝25m，BC＝0.14m，∴EF＝＝＝5（m）．故选：A．【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，利用相似三角形对应高的比等于对应边的比解题是关键．例2(2023秋•中山市校级期末）《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其有题译文如下：“有一根竹竿在太阳下的影子长15尺．同时立一根1.5尺的小标杆，它的影长是0.5尺．如图所示，则可求得这根竹竿的长度为（）尺．A．50 B．45 C．5 D．4.5分析：设竹竿的长度为x尺，根据同一时刻物高与影长成正比可得出＝，再解即可．【解答】解：设竹竿的长度为x尺，由题意得：＝，解得：x＝45，答：竹竿的长度为45尺，故选：B．【点评】本题主要考查了相似三角形的应用，熟知同一时刻物髙与影长成正比是解答此题的关键．【随堂练习】1．(2023•成都模拟）如图是用卡钳测量容器内径的示意图，现量得卡钳上A，D两个端点之间的距离为10m，，则容器的内径是（）A．5cm B．10cm C．15cm D．20cm【解答】解：连接AD、BC，∵，∠AOD＝∠BOC，∴△AOD∽△BOC，∴＝＝，∵A，D两个端点之间的距离为10m，∴BC＝15m，故选：C．2．(2023秋•卫辉市期末）如图，小明为了测量高楼MN的高度，在离N点20米的A处放了一个平面镜，小明沿NA方向后退1.5米到C点，此时从镜子中恰好看到楼顶的M点，已知小明的眼睛（点B）到地面的高度BC是1.6米，则大楼MN的高度（精确到0.1米）约是（）A．18.75米 B．18.8米 C．21.3米 D．19米【解答】解：∵BC⊥CA，MN⊥AN，∴∠C＝∠MNA＝90°，∵∠BAC＝∠MAN，∴△BCA∽△MNA．∴＝，即，∴MN＝1.6×20÷15≈21.3（m），答：楼房MN的高度为21.3m．故选：C．3．(2023秋•嘉兴期末）如图，小明在打乒乓球时，为使球恰好能过网（设网高AB＝15cm），且落在对方区域桌子底线C处，已知小明在自己桌子底线上方击球，则他击球点距离桌面的高度DE为（）A．15cm B．20cm C．25cm D．30cm【解答】解：∵AB∥DE，∴△CAB∽△CDE，∴＝，而BC＝BE，∴DE＝2AB＝2×15＝30（cm）．故选：D．4．(2023秋•宝安区期末）数学兴趣小组的同学们来到宝安区海淀广场，设计用手电来测量广场附近某大厦CD的高度，如图，点P处放一水平的平面镜．光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到大厦CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1米，BP＝1.5米，PD＝48米，那么该大厦的高度约为（）A．32米 B．28米 C．24米 D．16米【解答】解：根据题意，易得到△ABP∽△PDC．即＝故CD＝×AB＝×1＝32米；那么该大厦的高度是32米．故选：A．综合运用：1.已知a、b、c为△ABC的三边长，且a+b+c=48，，求△ABC三边的长．解析：解：设=x，得a=4x，b=5x，c=7x．∵a+b+c=48，∴4x+5x+7x=48，解得x=3，∴a=4x=12，b=5x=15，c=7x=21．2.如图，F为平行四边形ABCD的边AD的延长线上的一点，BF分别交CD、AC于G、E，若EF=32，GE=8，求BE．解析：解：设BE=x，∵EF=32，GE=8，∴F