八年级数学下册专题10一次函数几何压轴(十九种题型)(原卷版+解析)

专题10一次函数几何压轴（十九种题型）

模型1：一次函数求三角形面积问题（铅锤法）模型2：一次函数已知面积求动点坐标模型3：一次函数已知面积相等求动点坐标模型4：一次函数存在等腰三角形求动点坐标模型5：一次函数存在直角三角形求动点坐标模型6：一次函数存在全等三角形求动点坐标模型7：一次函数存在45°求动点坐标模型8：一次函数存在等角求动点坐标模型9：一次函数存在2倍角求动点坐标模型10：一次函数存在等腰直角三角形求动点坐标模型11：一次函数过定点问题模型12：一次函数与线段结合求动点问题

模型13：一次函数与动点线段比例问题

模型14：一次函数存在线段和最小值求动点坐标

模型15：一次函数求点到直线距离最小值问题

模型16：一次函数存在平行四边形求动点坐标

模型17：一次函数存在矩形求动点坐标

模型18：一次函数存在菱形求动点坐标

模型19：一次函数存在正方形求动点坐标【技巧点睛1】铅锤法求三角形面积【技巧点睛2】处理与一次函数相关的面积问题，有三条主要的转化途径：①知底求高、转化线段；②图形割补、面积和差；③平行交轨、等积变换。【技巧点睛3】处理线段问题

（1）在平面直角坐标系中，若线段与y轴平行，线段的长度时端点纵坐标之差（上减下，不确定时相减后加绝对值），若线段与x轴平行，线段的长度时端点横坐标之差（右减左，不确定时相减后加绝对值）；（2）线段相关计算注意使用”化斜为直”思想。

【技巧点睛4】角度问题（1）若有角度等量关系，不能直接用时，我们要学会角度转化，比如借助余角、补角、外角等相关角来表示，进行一些角度的和差和角度的代换等，直到转化为可用的角度关系。（2）遇45°角要学会先构造等腰直角三角形，然后构造“三垂直”全等模型，一般情况下是以已知点作为等腰直角三角形的直角顶点。

【技巧点睛5】最值问题（1）求线段和最值，可以从“两点之间线段最短”“垂线段最短”“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”的模型去考虑；

（2）注意“转化思想”的运用，将不可用线段进行转化，变成我们熟悉的模型

【技巧点睛6】特殊三角形存在问题

等腰三角形存在性问题1、找点方法：①以AB为半径，点A为圆心做圆，此时，圆上的点（除D点外）与A、B构成以A为顶点的等腰三角形（原理：圆上半径相等）②以AB为半径，点B为圆心做圆，此时，圆上的点（除E点外）与A、B构成以B为顶点的等腰三角形（原理：圆上半径相等）③做AB的垂直平分线，此时，直线上的点（除F点外）与A、B构成以C为顶点的等腰三角形（原理：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）2、求点方法：直角三角形存在性问题若▲ABC是直角三角形，则分三种情况分类讨论：∠A=90°，∠B=90°，∠C=90°，然后利用勾股定理解题。【技巧点睛6】四边形存在问题1．坐标系中的平行四边形：（1）对边平行且相等：（2）对角线互相平分：即A、C中点与B、D中点重合．以上两条可统一为：总结：平面直角坐标系中，平行四边形两组相对顶点的横坐标之和相等，纵坐标之和相等方法归纳：1、列出四个点坐标2、分三组对角线讨论列方程组，解方程组3、验证点是否符合题意模型1：一次函数求三角形面积问题（铅锤法）【典例1】在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC放在第一象限，斜靠在两条坐标轴上，∠ACB＝90°，且A（0，4），点C（2，0），BE⊥x轴于点E，一次函数y＝x+b经过点B，交y轴于点D．（1）求证：△AOC≌△CEB；（2）求△ABD的面积．【变式1】（2023秋•开江县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx+1交y轴于点A，交x轴于点B（4，0），过点E（2，0）的直线l2平行于y轴，交直线l1于点D，点P是直线l2上一动点（异于点D），连接PA、PB．（1）求直线l1的解析式；（2）设P（2，m），求△ABP的面积S的表达式（用含m的代数式表示）；模型2：一次函数已知面积求动点坐标【典例2】如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+b分别与x轴，y轴交于点A（﹣1，0），B（0，2），过点C（2，0）作x轴的垂线，与直线AB交于点D．（1）求点D的坐标；（2）点E是线段CD上一动点，直线BE与x轴交于点F．若△BDF的面积为8，求点F的坐标；【变式1】如图①，直线y＝kx+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，与直线y＝﹣2x交于点C（a，﹣4）．（1）求点C的坐标及直线AB的表达式；（2）点P在y轴上，若△PBC的面积为6，求点P的坐标；模型3：一次函数已知面积相等求动点坐标【典例3】如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点B（0，2），已知点C（﹣2，0）．（1）求直线l的表达式；（2）点P是直线l上一动点，且△BOP和△COP的面积相等，求点P坐标；【变式1】如图，直线l1的解析式为y＝﹣3x+3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A（4，0）、B（3，），直线l1、l2交于点C．（1）求直线l2的解析式；（2）求△ADC的面积；（3）试问：在直线l2上是否存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【变式2】（2023秋•东港市期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知一次函数y＝kx+b的图象交y轴于点A（0，3），交x轴于点B（﹣4，0）．（1）求直线AB的函数表达式；（2）直线a垂直平分OB交AB于点D，交x轴于点E，点P是直线a上一动点，且在点D的上方，设点P的纵坐标为m．①利用图1位置，用含m的代数式表示△ABP的面积S；②当△ABP的面积为7时，求点P的坐标；③在②的条件下，在y轴上找到点Q，使得△ABQ与△ABP面积相等，求出点Q的坐标；④连接OP，与AB交于点H，当△AOH与△PBH的面积相等时，请直接写出点P坐标．【变式3】如图，直线l与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、点B（0，2），以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，∠BAC＝90°，点P（0，a）为y轴上一个动点．（1）求直线l的表达式；（2）求出△ABC的面积；（3）当△ABC与△ABP面积相等时，求实数a的值．模型4：一次函数存在等腰三角形求动点坐标【典例4】如图，直线y＝kx+3经过点B（﹣1，4）和点A（5，m），与x轴交于点C．（1）求k，m的值；（2）求△AOB的面积；（3）若点P在x轴上，当△PBC为等腰三角形时，直接写出此时点P的坐标．【变式1】如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+4的图象分别与x轴、y轴交于A（2，0），B两点，且经过点C（1，m）．（1）求m的值；（2）若点A关于y轴的对称点A'，求△A′BC的面积；（3）在x轴上，是否存在点P，使△PAB为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【变式2】如图，直线的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B，AB的垂直平分线l与x轴交于点C，与AB交于点D，连接BC．（1）求OC的长；（2）若点E在x轴上，且△BED的面积为10，求点E的坐标；（3）已知y轴上有一点P，若以点B、C、P为顶点的三角形是等腰三角形，直接写出所有满足条件的点P的坐标．模型5：一次函数存在直角三角形求动点坐标【典例5】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，线段OB上有一点C，点B关于直线AC的对称点B'在x轴上．（1）求△AOB的面积；（2）求直线AC的解析式；（3）点P是直线AC上一点，当△ABP为直角三角形时，求点P的坐标．【变式1】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过A（﹣1，0），B（0，2），D三点，点D在x轴上方，点C在x轴正半轴上，且OC＝5OA，连接BC，CD，已知S△ADC＝2S△ABC．（1）求直线AB的表达式；（2）求△ADC的面积；（3）在x轴上是否存在一点M，使得△BCM是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．模型6：一次函数存在全等三角形求动点坐标【典例6】如图，一次函数y＝﹣x+4的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，过AB中点D的直线CD交x轴于点C，且经过第一象限的点E（6，4）．（1）求A，B两点的坐标及直线CD的函数表达式；（2）连接BE，求△DBE的面积；（3）连接DO，在坐标平面内找一点F，使得以点C，O，F为顶点的三角形与△COD全等，请直接写出点F的坐标．【变式1】（2023秋•碑林区校级期末）如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C的坐标为（﹣3，0），连结BC，过点O作OD⊥AB于点D，点Q为线段BC上一个动点．（1）BC的长为5，OD的长为；（2）在线段BO上是否存在一点P，使得△BPQ与△OAD全等？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．模型7：一次函数存在45°求动点坐标【典例7】如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与直线交于点B（3，m）．（1）求m和b的值；（2）求证：△OAB是直角三角形；（3）直线l1上是否存在点D，使得∠ODB＝45°，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【变式1】已知，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴、y轴于A（m，0），B（0，n），m、n满足m2+n2+2m﹣4n+5＝0，点P是坐标平面内任意一点．（1）求m、n的值；（2）如图1，若点P在y轴上，当∠BPA＝45°时，求点P的坐标；【变式2】如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与直线交于点B（3，m）．（1）求m的值；（2）点D是直线l1上一动点．①如图2，当点D恰好在∠AOB的角平分线上时，求直线OD的函数表达式；②是否存在点D，使得∠DOB＝45°，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．模型8：一次函数存在等角求动点坐标【典例8】如图，已知函数与x轴交于点C，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．（1）直接写出A、B、C的坐标：A（﹣4，0）、B（0，2）、C（4，0）；（2）求直线AB的函数解析式；（3）设点M是x轴上的负半轴一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q．①若△PQB的面积为2，求点Q的坐标；②点M在线段AO上运动的过程中，连接BM，若∠BMP＝∠BAC，求点P的坐标．【变式1】如图1，已知函数y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．（1）求直线BC的函数解析式；（2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q．①若△PQB的面积为，求点Q的坐标；②点M在线段AC上，连接BM，如图2，若∠BMP＝∠BAC，直接写出P的坐标．【变式2】如图①，已知函数y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C点A关于y轴对称．（1）求BC的长．（2）设点M是x轴上一动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于P，交直线BC于点Q．①若△PQB的面积为，求点M的坐标．②连接BM，如图②，若∠BMP＝∠BAC．直接写出点P的坐标．模型9：一次函数存在2倍角求动点坐标【典例9】（2023秋•槐荫区期末）如图，直线和直线l2与x轴分别相交于A，B两点，且两直线相交于点C，直线l2与y轴相交于点D（0，﹣4），OA＝2OB．（1）求出直线l2的函数表达式；（2）E是x轴上一点，若S△ABC＝2S△BCE，求点E的坐标；（3）若F是直线l1上方且位于y轴上一点，∠ACF＝2∠CAO，判断△BCF的形状并说明理由．模型10：一次函数存在等腰直角三角形求动点坐标【典例10】（2023秋•新都区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点B（0，2），已知点C（﹣2，0）．（1）求直线l的表达式；（2）点P是直线l上一动点，且△BOP和△COP的面积相等，求点P坐标；（3）在平面内是否存在点Q，使得△ABQ是以AB为底的等腰直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【变式1】（2023秋•成华区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l1与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点B，且与直线l2：交于点C，点C的横坐标为2．（1）求直线l1的解析式；（2）在x轴上取点M，过点M作x轴的垂线交直线l1于点D，交直线l2于点E．若DE＝2，求点M的坐标；（2）在第二象限内，是否存在点Q，使得△QAB为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点Q坐标；若不存在，请说明理由．【变式2】（2023秋•温江区期末）如图1，直线AB的解析式为y＝kx+3，D点坐标为（4，0），点O关于直线AB的对称点C在直线AD上．（1）求直线AB的解析式；（2）如图2，在x轴上是否存在点F，使S△ABF＝2S△ABC，若存在求出F点坐标，若不存在，请说明理由；（3）点P是直线AB上方第一象限内的动点．如图3，当△ABP为等腰直角三角形时，求点P的坐标．【变式3】（2023秋•榆次区期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，一次函数y＝﹣x+b的图象经过点B，并与x轴交于点C．（1）求A，B两点的坐标；（2）求△ABC的面积；（3）在平面内是否存在点P，使得△PAB是以点B为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．模型11：一次函数过定点问题【典例11】（2023春•仓山区校级期末）无论m取任何非零实数，一次函数y＝mx﹣（3m+2）的图象过定点（）A．（3，2） B．（3，﹣2） C．（﹣3，2） D．（﹣3，﹣2）2．（2023秋•庐阳区期末）已知函数y＝（k﹣3）x+k．（1）该函数图象经过定点．（2）如果直线y＝（k﹣3）x+k不经过第三象限，则k的范围是．【变式1】（2023春•都昌县期中）对于一次函数y＝kx﹣k+4的图象，无论k为何值，都过一个定点，则这个点的坐标是．【变式2】（2023春•枣阳市期中）一次函数y＝﹣3x+mx﹣m的图象经过定点A，则点A的坐标是．模型12：一次函数与线段结合求动点问题【典例12】（2023秋•蜀山区校级期中）如图，直线y＝﹣x+3与坐标轴交于点A、B两点，直线CP与直线AB相交于点P（﹣，a），交x轴于点C，且△PAC的面积为．（1）则A点的坐标为；a＝；（2）求直线PC的解析式；（3）若点D是线段AB上一动点，过点D作DE∥x轴交直线PC于点E，若DE＝2，求点D的坐标．模型13：一次函数与动点线段比例问题【典例13】（2023春•崂山区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，9），且与x轴相交点B，与y轴交于点D，与正比例函数y＝3x的图象相交于点C，点C的横坐标为1．（1）不等式kx+b﹣3x＜0的解集是；（2）求一次函数的函数解析式；（3）M为直线AB上一点，过点M作y轴的平行线交y＝3x于点N，当MN＝2OD时，求点M的坐标．【变式1】（2023秋•淮安期末）如图1，平面直角坐标系中，一次函数y＝x+1的图象分别交x轴、y轴于点A、B，一次函数y＝kx+b的图象经过点B，并与x轴交于点C（3，0），点D是直线AB上的一个动点．（1）k＝，b＝；（2）如图2，当点D在第一象限时，过点D作y轴的垂线，垂足为点E，交直线BC于点F．若，求点D的坐标；模型14：一次函数存在线段和最小值求动点坐标【典例14】如图，直线l1：y＝k1x+b与x轴，y轴分别交于点A（﹣3，0），B（0，3），直线l2：y＝k2x与直线l1相交于点C（，n）．（1）求直线l1和l2的解析式；（2）求△BCO的面积；（3）点M为y轴上的一动点，连接MA，MC．当MA+MC的值最小时，则点M的坐标是．【变式1】平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝x+1分别与x轴，y轴交于点A，B，点D在直线l1上，且点D的横坐标为3．直线l2经过点C（1，0），D两点，与y轴交于点E．（1）求点D的坐标和直线l2的函数表达式；（2）在x轴上找一点P使得PB+PD的值最小，最小值为多少？【变式2】如图，直线AB：y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B．直线CD：y＝kx+b经过点C（﹣1，0），D，与直线AB交于点E．（1）求直线CD的函数关系式；（2）连接BC，求△BCE的面积；（3）设点Q的坐标为（m，2），求m的值使得QA+QE值最小．模型15：一次函数求点到直线距离最小值问题【典例15】（2020春•海淀区校级期末）已知直线l：y＝kx+b（k＞0）过点（﹣，0）且与x轴相交夹角为30°，P为直线l上的动点，A（，0）、B（3，0）为x轴上两点，当PA+PB时取到最小值时P点坐标为（）A．（，2） B．（1，） C．（，3） D．（2，）【变式1】（2023•涧西区一模）如图，点A的坐标为（﹣2，0），直线y＝x﹣5与x轴交于点B，与y轴交于点C，点D在直线y＝x﹣5上运动．当线段AD取得最小值时，点D的坐标为（）A．（，） B．（2，﹣2） C．（1，﹣） D．（0，﹣4）模型16：一次函数存在平行四边形求动点坐标

【典例16】如图，直线l1过点A（0，2）、B（2，0），直线l1和直线l2交于点C（3，a），直线l2与y轴交于点D（0，﹣7）．（1）求直线l1和直线l2对应的函数解析式；（2）直线l1上有一动点P，使得△CDP的面积为12，求点P的坐标；（3）y轴上有一动点M，直线l2上有一动点N，使以M、N、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求出点M的坐标．【变式1】（2024春•崇川区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的正半轴上，线段OA，OC的长分别是m，n且满足，点D是线段OC上一点，将△AOD沿直线AE翻折，点O落在矩形的对角线AC上的点E处．（1）求OD的长；（2）求点E的坐标；（3）DE所在直线与AB相交于点M，在x轴的正半轴上是否存在点N，使以M、A、N、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

模型17：一次函数存在矩形求动点坐标【典例17】（2023秋•开原市月考）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝2x+18的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，过点A作直线交y轴正半轴于点M，且点M为线段OB的中点．（1）求直线AM的解析式；（2）将△AMB沿着AM翻折，点B落在点B1处，连接OB1，则四边形AMB1O的形状为平行四边形；（3）若点H是直线AM上的动点，在坐标平面内是否存在这样的点Q，使以A、B、Q、H为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．【变式1】（2023春•离石区期末）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝2x﹣1与x轴，y轴分别交于点A，B，直线l2：y＝kx+b与x轴，y轴分别交于点P，C（0，1），连接AC，直线l1l2交于点D，且点D的横坐标为．（1）求直线l2的函数解析式；（2）求△ACD的面积；（3）若点E在直线l1上，F为坐标平面内任意一点，试探究：是否存在以点B，C，E，F为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【变式2】（2023春•九龙坡区期末）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x+4的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，将△AOB绕点O顺时针旋转90°得△COD（点A与点C对应，点B与点D对应）．（1）直接写出直线CD的解析式；（2）点E为线段CD上一点，过点E作EF∥y轴交直线AB于点F，作EG∥x轴交直线AB于点G，当EF+EG＝AD时，求点E的坐标；（3）如图2，若点M为线段AB的中点，点N为直线CD上一点，点P为坐标系内一点．且以O，M，N，P为顶点的四边形为矩形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出其中一种求解点N坐标的过程．模型18：一次函数存在菱形求动点坐标【典例18】已知：在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线l2经过点A，与y轴交于点C（0，﹣4）．（1）求直线l2的解析式；（2）如图1，点P为直线l1上的一个动点，若△PAC的面积等于9时，请求出点P的坐标；（3）如图2，将△ABC沿着x轴平移，平移过程中的△ABC记为△A1B1C1.请问在平面内是否存在点D，使得以A1、C1、C、D为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点D的坐标．【变式1】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB：与直线CD：y＝kx﹣2相交于点M（4，a），分别交坐标轴于点A，B，C，D．（1）求直线CD的解析表达式；（2）如图，点P是直线CD上的一个动点，当△PBM的面积为20时，求点P的坐标；（3）直线AB上有一点F，在平面直角坐标系内找一点N，使得以BF为一边，以点B，D，F，N为顶点的四边形是菱形，请直接写出符合条件的点N的坐标．【变式2】在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x﹣交x轴于点A，交y轴于点B，直线y＝﹣x+3交x轴于点C，交y轴于点D．（1）如图1，连接BC，求△BCD的面积；（2）如图2，在直线y＝﹣x+3上存在点E，使得∠ABE＝45°，求点E的坐标；（3）如图3，在（2）的条件下，连接OE，过点E作CD的垂线交y轴于点F，点P在直线EF上，在平面中存在一点Q，使得以OE为一边，O，E，P，Q为顶点的四边形为菱形，请直接写出点Q的坐标．模型19：一次函数存在正方形求动点坐标【典例19】（2023秋•顺德区月考）如图，一次函数的图象与坐标轴交于A（0，5），B（10，0）两点．（1）求一次函数的解析式；（2）点E是线段OB上的一个动点（点E不与点O，B重合），过点B作BF⊥AE，垂足为F，以EF为边作正方形EFMN，当点M落在坐标轴上时，求点E的坐标．【变式1】（2023春•郧阳区期末）直线y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在x轴的正半轴上，△ABC面积为11．（1）求出点C的坐标；（2）如图1，过点C的直线CD交y轴于点D，若∠OCD＝∠OBC，求点D的坐标；（3）如图2，F为线段AB的中点，点G在y轴上，以FG为边，向右作正方形FGQP，点Q落在直线BC上，求点G的坐标．【变式2】（2023春•天桥区期末）已知一次函数的图象y＝﹣x+6与x轴，y轴分别交于点A，点B，与直线y＝x交于点C，过点B作x轴的平行线l，点P是直线l上的一个动点．（1）求点A，点B的坐标．（2）若S△AOC＝S△BCP，求点P的坐标．（3）若点E是直线y＝x上的一个动点，在平面内是否存在点F，使四边形APEF是正方形，若存在，请求出点E的坐标，若不存在，说明理由．专题10一次函数几何压轴（十九种题型）

模型1：一次函数求三角形面积问题（铅锤法）模型2：一次函数已知面积求动点坐标模型3：一次函数已知面积相等求动点坐标模型4：一次函数存在等腰三角形求动点坐标模型5：一次函数存在直角三角形求动点坐标模型6：一次函数存在全等三角形求动点坐标模型7：一次函数存在45°求动点坐标模型8：一次函数存在等角求动点坐标模型9：一次函数存在2倍角求动点坐标模型10：一次函数存在等腰直角三角形求动点坐标模型11：一次函数过定点问题模型12：一次函数与线段结合求动点问题

模型13：一次函数与动点线段比例问题

模型14：一次函数存在线段和最小值求动点坐标

模型15：一次函数求点到直线距离最小值问题

模型16：一次函数存在平行四边形求动点坐标

模型17：一次函数存在矩形求动点坐标

模型18：一次函数存在菱形求动点坐标

模型19：一次函数存在正方形求动点坐标【技巧点睛1】铅锤法求三角形面积【技巧点睛2】处理与一次函数相关的面积问题，有三条主要的转化途径：①知底求高、转化线段；②图形割补、面积和差；③平行交轨、等积变换。【技巧点睛3】处理线段问题

（1）在平面直角坐标系中，若线段与y轴平行，线段的长度时端点纵坐标之差（上减下，不确定时相减后加绝对值），若线段与x轴平行，线段的长度时端点横坐标之差（右减左，不确定时相减后加绝对值）；（2）线段相关计算注意使用”化斜为直”思想。

【技巧点睛4】角度问题（1）若有角度等量关系，不能直接用时，我们要学会角度转化，比如借助余角、补角、外角等相关角来表示，进行一些角度的和差和角度的代换等，直到转化为可用的角度关系。（2）遇45°角要学会先构造等腰直角三角形，然后构造“三垂直”全等模型，一般情况下是以已知点作为等腰直角三角形的直角顶点。

【技巧点睛5】最值问题（1）求线段和最值，可以从“两点之间线段最短”“垂线段最短”“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”的模型去考虑；

（2）注意“转化思想”的运用，将不可用线段进行转化，变成我们熟悉的模型

【技巧点睛6】特殊三角形存在问题

等腰三角形存在性问题1、找点方法：①以AB为半径，点A为圆心做圆，此时，圆上的点（除D点外）与A、B构成以A为顶点的等腰三角形（原理：圆上半径相等）②以AB为半径，点B为圆心做圆，此时，圆上的点（除E点外）与A、B构成以B为顶点的等腰三角形（原理：圆上半径相等）③做AB的垂直平分线，此时，直线上的点（除F点外）与A、B构成以C为顶点的等腰三角形（原理：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）2、求点方法：直角三角形存在性问题若▲ABC是直角三角形，则分三种情况分类讨论：∠A=90°，∠B=90°，∠C=90°，然后利用勾股定理解题。【技巧点睛6】四边形存在问题1．坐标系中的平行四边形：（1）对边平行且相等：（2）对角线互相平分：即A、C中点与B、D中点重合．以上两条可统一为：总结：平面直角坐标系中，平行四边形两组相对顶点的横坐标之和相等，纵坐标之和相等方法归纳：1、列出四个点坐标2、分三组对角线讨论列方程组，解方程组3、验证点是否符合题意模型1：一次函数求三角形面积问题（铅锤法）【典例1】在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC放在第一象限，斜靠在两条坐标轴上，∠ACB＝90°，且A（0，4），点C（2，0），BE⊥x轴于点E，一次函数y＝x+b经过点B，交y轴于点D．（1）求证：△AOC≌△CEB；（2）求△ABD的面积．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形∴∠ACB＝90°，AC＝BC∴∠ACO+∠BCE＝90°BE⊥CE，∴∠BCE+∠CBE＝90°∴∠ACO＝∠CBE∴△AOC≌△CEB（2）解：∵△AOC≌△CEB∴BE＝OC＝2，CE＝OA＝4∴点B的坐标为（6，2）又一次函数y＝x+b经过点B（6，2）∴2＝6+b∴b＝﹣4∴点D的坐标为（0，﹣4）∴|AD|＝4+4＝8在△ABD中，AD边上高的长度就是B点纵坐标的绝对值．∴S△ABD＝×8×6＝24∴△ABD的面积为24．【变式1】（2023秋•开江县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx+1交y轴于点A，交x轴于点B（4，0），过点E（2，0）的直线l2平行于y轴，交直线l1于点D，点P是直线l2上一动点（异于点D），连接PA、PB．（1）求直线l1的解析式；（2）设P（2，m），求△ABP的面积S的表达式（用含m的代数式表示）；【答案】（1）y＝﹣x+1；（2）当m时，S＝2m﹣1；当m＜时，S＝1﹣2m；【解答】解：（1）∵直线l1：y＝kx+1交x轴于点B（4，0），∴0＝4k+1．∴k＝﹣．∴直线l1：y＝﹣x+1；（2）由得：．∴D（2，）．∵P（2，m），∴PD＝|m﹣|．∴S＝×|4﹣0|•PD＝×|m﹣|×4＝|2m﹣1|．当m时，S＝2m﹣1；当m＜时，S＝1﹣2m；模型2：一次函数已知面积求动点坐标【典例2】如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+b分别与x轴，y轴交于点A（﹣1，0），B（0，2），过点C（2，0）作x轴的垂线，与直线AB交于点D．（1）求点D的坐标；（2）点E是线段CD上一动点，直线BE与x轴交于点F．若△BDF的面积为8，求点F的坐标；【答案】（1）（2，6）；\（2）F（﹣5，0）或（3，0）．【解答】解：（1）∵点A（﹣1，0），B（0，2），∴直线AB的解析式为y＝2x+2，∵CD⊥x轴，∴点D的横坐标为2，∴y＝6，∴点D的坐标为：（2，6）；（2）设F（m，0）有两种情况；①当F在C点右侧时，∵D（2，6），A（﹣1，0），B（0，2），DC⊥x轴．∴S△ADF＝AF•DC＝（m+1）×6＝3（m+1），S△ABF＝AF•OB＝（m+1）×2＝m+l．∵S△BDF＝8，∴S△ADF＝S△ABF+S△DBF，即：3（m+1）＝m+1+8∴m＝3．∴F（3，0）；②当F点在C点左侧时，∵点A（﹣1，0），B（0，2），C（2，0），D（2，6）．∴S△ADF＝AF×CD＝（﹣1﹣m）×6＝﹣3﹣3m，S△ABF＝AF×OB＝（﹣1﹣m）×2﹣＝﹣1﹣m，∴S△BDF＝S△ADF﹣S△ABF＝8，∴﹣（﹣3﹣3m）﹣（﹣1﹣m）＝8，解得：m＝﹣5，∴F（﹣5，0）；综上所述：F（﹣5，0）或（3，0）．【变式1】如图①，直线y＝kx+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，与直线y＝﹣2x交于点C（a，﹣4）．（1）求点C的坐标及直线AB的表达式；（2）点P在y轴上，若△PBC的面积为6，求点P的坐标；【答案】（1）C（2，﹣4）；y＝2x﹣8；（2）点P的坐标为（0，﹣2）或（0，﹣14）；【解答】解：（1）∵点C（a，﹣4）在直线y＝﹣2x上，∴﹣2a＝﹣4，解得a＝2，∴C（2，﹣4），将A（4，0），C（2，﹣4）代入直线y＝kx+b，得：，解得，∴直线AB的解析式为：y＝2x﹣8；（2）设点P的坐标为（0，p），∵直线AB的解析式为：y＝2x﹣8，∴B（0，﹣8），∴BP＝|p+8|，∵△PBC的面积为6，C（2，﹣4），∴S△PBC＝×2|p+8|＝6，∴p＝﹣2或﹣14，∴点P的坐标为（0，﹣2）或（0，﹣14）；

模型3：一次函数已知面积相等求动点坐标【典例3】如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点B（0，2），已知点C（﹣2，0）．（1）求直线l的表达式；（2）点P是直线l上一动点，且△BOP和△COP的面积相等，求点P坐标；【答案】（1）y＝x+2；（2）点P坐标为（4，4）或（﹣，）；【解答】解：（1）设直线l的解析式为y＝kx+b，把A、B两点坐标代入得到，解得，∴直线l的表达式为y＝x+2；（2）如图1，∵点A（﹣4，0），点B（0，2），已知点C（﹣2，0）．∴OB＝2，OC＝2，设P（p，p+2），∴S△BOP＝×2×|p|＝|p|，S△COP＝×2×|p+2|＝|p+2|．∵△BOP和△COP的面积相等，∴|p+2|＝|p|，解得p＝4或﹣，∴点P坐标为（4，4）或（﹣，）；【变式1】如图，直线l1的解析式为y＝﹣3x+3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A（4，0）、B（3，），直线l1、l2交于点C．（1）求直线l2的解析式；（2）求△ADC的面积；（3）试问：在直线l2上是否存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设直线l2的解析式是y＝kx+b，根据题意得：，解得：，则直线l2的解析式是y＝x﹣6；（2）在y＝﹣3x+3中，令y＝0，解得：x＝1．则D的坐标是（1，0）．根据题意得：，解得：，则C的坐标是（2，﹣3），则AD＝4﹣1＝3，S△ADC＝AD×3＝；（3）点P的纵坐标是3，把y＝3代入y＝x﹣6，得x＝6．则P的坐标是（6，3）．【变式2】（2023秋•东港市期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知一次函数y＝kx+b的图象交y轴于点A（0，3），交x轴于点B（﹣4，0）．（1）求直线AB的函数表达式；（2）直线a垂直平分OB交AB于点D，交x轴于点E，点P是直线a上一动点，且在点D的上方，设点P的纵坐标为m．①利用图1位置，用含m的代数式表示△ABP的面积S；②当△ABP的面积为7时，求点P的坐标；③在②的条件下，在y轴上找到点Q，使得△ABQ与△ABP面积相等，求出点Q的坐标；④连接OP，与AB交于点H，当△AOH与△PBH的面积相等时，请直接写出点P坐标．【答案】（1）y＝；（2）①2m﹣3；②（﹣2，5）；③Q，④P（﹣2，3）．【解答】解：（1）设直线AB的表达式为y＝kx+3，∵直线过点B（﹣4，0），∴0＝﹣4k+3，解得：，∴直线AB的表达式为：y＝；（2）①过点P作PH⊥y轴，垂足为H，∵直线a垂直平分OB，B（﹣4，0），∴点E的坐标为（﹣2，0），∵点P是直线a上一动点，点P的纵坐标为m，∴点P的坐标为（﹣2，m），S梯形PBOH﹣S△AOB﹣S△PHA＝＝3m﹣6﹣m+3＝2m﹣3；②2m﹣3＝7，∴m＝5，∴此时点P的坐标为（﹣2，5）；③设点Q的坐标为（0，q），当点Q在点A的上方时，，解得：，此时点Q的坐标为；当点Q在点A的下方时，，解得：，此时点Q的坐标为，∴点Q的坐标为，④∵△AOH与△PBH的面积相等，∴S△ADH+S△PHA＝S△PHB+S△PHA，∴S△PAB＝S△PAO，∴底均为AP，高相同，面积相同，∴P（﹣2，3）．【变式3】如图，直线l与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、点B（0，2），以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，∠BAC＝90°，点P（0，a）为y轴上一个动点．（1）求直线l的表达式；（2）求出△ABC的面积；（3）当△ABC与△ABP面积相等时，求实数a的值．【答案】（1）y＝﹣x+2；（2）；（3）a＝或a＝﹣．【解答】解：（1）设直线AB所在的表达式为：y＝kx+b，则，解得：，故直线l的表达式为：y＝﹣x+2；（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB2＝OA2+OB2＝32+22＝13，∵△ABC为等腰直角三角形，∴S△ABC＝AB2＝；（3）①当P在y轴正半轴时，P点为：（0，a），如图1所示：S△ABP＝AO•BP＝，∵AO＝3，∴BP＝，∵B（0，2），∴a﹣2＝，∴a＝．②）①当P在y轴负半轴时，如图2所示：S△ABP＝S△ABO+S△APO＝，∵S△ABO＝3，∴S△APO＝﹣3＝，即有：×AO×PO＝，∴PO＝，∵P在y轴负半轴，∴a＝﹣．综上：a＝或a＝﹣．模型4：一次函数存在等腰三角形求动点坐标【典例4】如图，直线y＝kx+3经过点B（﹣1，4）和点A（5，m），与x轴交于点C．（1）求k，m的值；（2）求△AOB的面积；（3）若点P在x轴上，当△PBC为等腰三角形时，直接写出此时点P的坐标．【答案】（1）k＝﹣1，m＝﹣2；（2）9；（3）（3﹣，0），（3+，0），（﹣5，0），（﹣1，0）．【解答】解：（1）将B（﹣1，4）代入y＝kx+3，可得k＝﹣1，∴y＝﹣x+3．将A（5，m）代入y＝﹣x+3，可得m＝﹣2；（2）在y＝﹣x+3中，令y＝0，则x＝3，∴C（3，0），即CO＝3，∴S△AOB＝S△BOC+S△AOC＝×3×4+×3×2＝9；（3）①如图所示，当CB＝CP1＝4时，OP1＝﹣3，∴P1（3﹣，0）；②如图所示，当CB＝CP2＝4时，OP2＝+3，∴P2（3+，0）；③如图所示，当CB＝BP3时，CP3＝2CD＝8，∴OP3＝8﹣3＝5，∴P3（﹣5，0）；④如图所示，当BP4＝CP4时，△BCP4是等腰直角三角形，∴CP4＝BP4＝4，∴OP4＝4﹣3＝1，∴P4（﹣1，0）．综上所述，当△PBC为等腰三角形时，点P的坐标为（3﹣，0），（3+，0），（﹣5，0），（﹣1，0）．【变式1】如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+4的图象分别与x轴、y轴交于A（2，0），B两点，且经过点C（1，m）．（1）求m的值；（2）若点A关于y轴的对称点A'，求△A′BC的面积；（3）在x轴上，是否存在点P，使△PAB为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）m＝2；（2）S△A′BC＝4；（3）存在，点P的坐标为（2+2，0）或（2﹣2，0）或（﹣3，0）或（﹣2，0）．【解答】解：（1）一次函数y＝kx+4的图象与x轴交于A（2，0），∴2k+4＝0，解得k＝﹣2，∴一次函数y＝﹣2x+4，∵一次函数y＝kx+4的图象经过点C（1，m）．∴m＝﹣2+4＝2；（2）∵点A关于y轴的对称点A'，A（2，0），∴A′（﹣2，0），∵一次函数y＝﹣2x+4的图象分别与x轴、y轴交于A（2，0），B两点，∴点B坐标为（0，4），∵m＝2，∴点C（1，2）．∴S△A′BC＝S△A′BA﹣S△A′AC＝×4×（2+2）﹣×4×2＝4；（3）存在点P，使△PAB为等腰三角形，设P（p，0），∵点A（2，0），B（0，4），∴AB2＝22+42＝20，AP2＝（p﹣2）2，BP2＝p2+42＝p2+16，当AB＝AP时，（p﹣2）2＝20，解得p＝2±2，∴点P的坐标为（2+2，0）或（2﹣2，0）；当AP＝BP时，（p﹣2）2＝p2+16，解得p＝﹣3，∴点P的坐标为（﹣3，0）；当AB＝BP时，p2+16＝20，解得p＝﹣2或2（舍去），∴点P的坐标为（﹣2，0）；综上所述：点P的坐标为（2+2，0）或（2﹣2，0）或（﹣3，0）或（﹣2，0）【变式2】如图，直线的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B，AB的垂直平分线l与x轴交于点C，与AB交于点D，连接BC．（1）求OC的长；（2）若点E在x轴上，且△BED的面积为10，求点E的坐标；（3）已知y轴上有一点P，若以点B、C、P为顶点的三角形是等腰三角形，直接写出所有满足条件的点P的坐标．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）当x＝0时，y＝4；令y＝0，得x＝8；所以直线与两轴交点分别为A（8，0），B（0，4）．∵CD垂直平分AB；∴CA＝CB．设C（m，0），在Rt△OBC中，根据勾股定理得：OB2+OC2＝BC2，即：t2+42＝（8﹣t）2解得：t＝3；∴OC＝|3﹣0|＝3．（2）设点E（m，0），则EA＝|8﹣m|；∵D为AB的中点；∴；A、E在x轴上，OB⊥AE，；再依题意：；解得：m＝﹣2或18．∴点E坐标为：（﹣2，0），（18，0）．（3）P在y轴上，设P（0，p）．分别以B、C、P为等腰三角形的顶点，分三种情况：①B为顶点，BP＝BC，由（1）得BC＝8﹣3＝5；∴|p﹣4|＝5，解得：P＝﹣1或9．②C为顶点，BC＝PC，又∵∠BOC＝∠POC＝90°，OC＝OC，∴△BOC≌△POC（HL）．∴PO＝BO＝4，即p＝﹣4．③P为顶点，PB＝PC，在Rt△OPC中，根据勾股定理得：OP2+OC2＝PC2，即：p2+32＝（4﹣p）2．解得：．综上：满足条件的P点坐标为：（0，），（0，﹣4），（0，﹣1），（0，9）．模型5：一次函数存在直角三角形求动点坐标【典例5】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，线段OB上有一点C，点B关于直线AC的对称点B'在x轴上．（1）求△AOB的面积；（2）求直线AC的解析式；（3）点P是直线AC上一点，当△ABP为直角三角形时，求点P的坐标．【答案】（1）S△AOB＝6；（2）直线AC的解析式为y＝x+；（3）点P的坐标为（1，2）或（2，）．【解答】解：（1）∵一次函数y＝x+4的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，令y＝0，则x+4＝0，解得x＝﹣3，令x＝0，则y＝4，∴点A（﹣3，0），点B（0，4），∴OA＝3，OB＝4，∴S△AOB＝×3×4＝6；（2）连接BB′交AC于M，∵点A（﹣3，0），点B（0，4），∴AB＝＝5，∵点B、点B'关于直线AC对称，∴AB′＝AB＝5，BM＝B′M，∴B′（2，0），∵B（0，4），∴M（1，2），设直线AC的解析式为y＝kx+b，则，解得，∴直线AC的解析式为y＝x+；（3）∵点P是直线AC上一点，直线AC的解析式为y＝x+，设P（p，p+），∵点A（﹣3，0），点B（0，4），∴AB2＝32+42＝25，PA2＝（p+3）2+（p+）2＝p2+p+，PB2＝p2+（p+﹣4）2＝p2﹣p+，①当P为直角顶点时，AB2＝PA2+PB2，∴p2+p++p2﹣p+＝25，解得p＝1或﹣3（舍去），∴点P的坐标为（1，2）；②当A为直角顶点时，AB2+PA2＝PB2，∴p2+p++25＝p2﹣p+，解得p＝﹣3（舍去），∴此种情况不存在；③当B为直角顶点时，AB2+PB2＝PA2，∴p2+p+＝p2﹣p++25，解得p＝2，∴点P的坐标为（2，）；综上，点P的坐标为（1，2）或（2，）．【变式1】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过A（﹣1，0），B（0，2），D三点，点D在x轴上方，点C在x轴正半轴上，且OC＝5OA，连接BC，CD，已知S△ADC＝2S△ABC．（1）求直线AB的表达式；（2）求△ADC的面积；（3）在x轴上是否存在一点M，使得△BCM是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝2x+2；（2）△ADC的面积为12；（3）在x轴上存在一点M，使得△BCM是直角三角形，满足条件的点M的坐标为（0，0）或（，0）．【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（0，2）代入y＝kx+b得：，解得：，∴直线AB的表达式y＝2x+2；（2）∵OC＝5OA，A（﹣1，0），∴OC＝5，∴AC＝OC+OA＝5+＝6，∵B（0，2），∴OB＝2，∴S△ABC＝6×2×＝6，∵S△ADC＝2S△ABC，∴S△ADC＝6×2＝12；∴△ADC的面积为12；（3）在x轴上存在一点M，使得△BCM是直角三角形，理由如下：∵OB＝2，OC＝5，∴BC2＝22+52＝29，△ABM是直角三角形，分两种情况：①当∠BMC＝90°时，由图象可知点M的坐标为（0，0）；②当∠CBM＝90°时，设M（m，0），而B（0，2），C（5，0），∴BM2＝m2+22，CM2＝（5﹣m）2，∵BC2+BM2＝CM2，∴29+m2+4＝（5﹣m）2，解得：m＝﹣，∴点M的坐标为（，0）．综上所述，满足条件的点M的坐标为（0，0）或（，0）．模型6：一次函数存在全等三角形求动点坐标【典例6】如图，一次函数y＝﹣x+4的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，过AB中点D的直线CD交x轴于点C，且经过第一象限的点E（6，4）．（1）求A，B两点的坐标及直线CD的函数表达式；（2）连接BE，求△DBE的面积；（3）连接DO，在坐标平面内找一点F，使得以点C，O，F为顶点的三角形与△COD全等，请直接写出点F的坐标．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）一次函数y＝﹣x+4，令x＝0，则y＝4；令y＝0，则x＝4，∴A（0，4），B（4，0），∵D是AB的中点，∴D（2，2），设直线CD的函数表达式为y＝kx+b，则，解得，∴直线CD的函数表达式为y＝x+1；（2）y＝x+1，令y＝0，则x＝﹣2，∴C（﹣2，0），∴BC＝2＝4＝6，∴△DBE的面积＝△BCE的面积﹣△BCD的面积＝×6×（4﹣2）＝6；（3）如图所示，当点F在第一象限时，点F与点D重合，即点F的坐标为（2，2）；当点F在第二象限时，点F的坐标为（﹣4，2）；当点F在第三象限时，点F的坐标为（﹣4，﹣2）；当点F在第四象限时，点F的坐标为（2，﹣2）．【变式1】（2023秋•碑林区校级期末）如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C的坐标为（﹣3，0），连结BC，过点O作OD⊥AB于点D，点Q为线段BC上一个动点．（1）BC的长为5，OD的长为；（2）在线段BO上是否存在一点P，使得△BPQ与△OAD全等？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）5，；（2）在线段BO上存在一点P，使得△BPQ与△OAD全等，Q的坐标为（﹣，）或（﹣，）．【解答】解：（1）在y＝﹣x+4中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝3，∴A（3，0），B（0，4），∵C（﹣3，0），∴BC＝＝5；AB＝＝5；∵OD⊥AB，∴2S△AOB＝OA•OB＝AB•OD，∴OD＝＝＝；故答案为：5，；（2）在线段BO上存在一点P，使得△BPQ与△OAD全等，理由如下：∵OD⊥AB，∴∠OBD＝90°﹣∠BOD＝∠DOA，∵A（3，0），C（﹣3，0），∴A，C关于y轴对称，∴∠CBO＝∠OBD，∴∠CBO＝∠DOA，要使△BPQ与△OAD全等，只需夹∠CBO，∠DOA的两边对应相等即可；当BQ＝OA，BP＝OD时，如图：由（1）知，OD＝，∴BP＝OD＝，∴OP＝OB﹣BP＝4﹣＝，由B（0，4），C（﹣3，0）可得直线BC解析式为y＝x+4，在y＝x+4中，令y＝得x＝﹣，∴Q（﹣，），由Q（﹣，），B（0，4）得BQ＝＝3，此时BQ＝OA＝3符合题意；∴Q的坐标为（﹣，）；当BP＝OA＝3，BQ＝OD＝时，如图：设Q（m，m+4），∵BQ＝，∴＝，解得m＝﹣（正值已舍去）；∴Q（﹣，），综上所述，Q的坐标为（﹣，）或（﹣，）．模型7：一次函数存在45°求动点坐标【典例7】如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与直线交于点B（3，m）．（1）求m和b的值；（2）求证：△OAB是直角三角形；（3）直线l1上是否存在点D，使得∠ODB＝45°，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）m的值为2，b的值为；（2）见解析；（3）存在．点D的坐标为（1，5）或（5，﹣1）．【解答】（1）解：∵点B（3，m）在直线l2：y＝x上，∴m＝×3＝2，即m的值为2，∴点B（3，2），将点B（3，2）代入直线l1：y＝﹣x+b得2＝﹣×3+b，∴b＝；（2）证明：∵b＝，∴直线l1：y＝﹣x+，∴A（0，），∵B（3，2），∴OM＝3，BM＝4．∴OB2＝32+22＝13，AB2＝32+（﹣2）2＝，OA2＝（）2＝，∵OB2+AB2＝OA2，∴∠OBA＝90°，∴△OAB是直角三角形；（3）解：存在．如图，∵∠ODB＝45°，∠OBA＝90°．∴BD＝OB＝＝，∵点D是直线l1：y＝﹣x+上一动点，设D（n，﹣n+），则BD2＝（n﹣3）2+（﹣n+﹣2）2＝13，解得n＝1或5，∴点D的坐标为（1，5）或（5，﹣1）．【变式1】已知，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴、y轴于A（m，0），B（0，n），m、n满足m2+n2+2m﹣4n+5＝0，点P是坐标平面内任意一点．（1）求m、n的值；（2）如图1，若点P在y轴上，当∠BPA＝45°时，求点P的坐标；【答案】（1）m＝﹣1，n＝2；（2）点P的坐标为（0，﹣1）；【解答】解：（1）∵m2+n2+2m﹣4n+5＝0，∴m2+2m+1+n2﹣4n+4＝0（m+1）2+（n﹣2）2＝0，∴m+1＝0，n﹣2＝0，∴m＝﹣1，n＝2；（2）∵m＝﹣1，∴A（﹣1，0），∵点P在y轴上，∠BPA＝45°，∴OP＝OA＝1，∴点P的坐标为（0，﹣1）；【变式2】如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与直线交于点B（3，m）．（1）求m的值；（2）点D是直线l1上一动点．①如图2，当点D恰好在∠AOB的角平分线上时，求直线OD的函数表达式；②是否存在点D，使得∠DOB＝45°，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）m的值为4；（2）①直线OD的表达式为y＝x；②存在．点D的坐标为（7，1）或（﹣1，7）．【解答】解：（1）∵点B（3，m）在直线l2：y＝x上，∴m＝×3＝4，即m的值为4；（2）①∵m＝4，∴B（3，4），∵直线l1：y＝﹣x+b经过点B（3，4），∴﹣×3+b＝4，∴b＝，∴直线l1的函数表达式为：y＝﹣x+；令y＝0，则0＝﹣x+，解得x＝，∴A（，0），如图2，过点B作BM⊥OA，垂足为点M，过D作DN⊥OA，垂足为点N，∴∠BMO＝∠AMB＝90°．∵B（3，4），∴OM＝3，BM＝4．∴OB＝＝5，∴AM＝OA﹣OM＝，在Rt△AMB中，AB＝＝，∵OB2+AB2＝52+（）2＝＝（）2＝OA2，∴∠OBA＝90°．∴AB⊥OB，∵OD平分∠AOB，∴∠BOD＝∠NOD，DB＝DN，∵OD＝OD，∴Rt△ODN≌Rt△ODB（HL）．∴ON＝OB＝5．在直线l1：y＝﹣x+上，令x＝5，得y＝，∴D（5，），设直线OD的函数表达式为y＝kx．把D（5，）代入，得k＝．∴直线OD的表达式为y＝x；②存在．如图3，∵∠DOB＝45°，∠OBA＝90°．∴BD＝OB＝5，∵点D是直线l1：y＝﹣x+上一动点，设D（n，﹣n+），∴BD2＝（n﹣3）2+（﹣n+﹣4）2＝25，解得n＝7或﹣1，∴点D的坐标为（7，1）或（﹣1，7）．模型8：一次函数存在等角求动点坐标【典例8】如图，已知函数与x轴交于点C，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．（1）直接写出A、B、C的坐标：A（﹣4，0）、B（0，2）、C（4，0）；（2）求直线AB的函数解析式；（3）设点M是x轴上的负半轴一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q．①若△PQB的面积为2，求点Q的坐标；②点M在线段AO上运动的过程中，连接BM，若∠BMP＝∠BAC，求点P的坐标．【答案】（1）﹣4，0；0，2；4，0；（2）；（3）①Q（﹣2，3）；②．【解答】解：（1）对于，令x＝0，得y＝2，则B的坐标为B（0，2），令y＝0，得x＝4，则C的坐标为C（4，0），∵点C与点A关于y轴对称，∴A的坐标为A（﹣4，0），故答案为：﹣4，0；0，2；4，0；（2）设直线AB的函数解析式为y＝kx+b（k≠0），将A（﹣4，0），B（0，2）代入得：，解得：，∴直线AB的函数解析式为；（3）①由题意，设M（m，0），其中m＜0，则OM＝﹣m，∵直线BC的解析式为：；直线AB的解析式为：；∴，，∴，∵，∴，解得：m＝﹣2（舍去正值），将m＝﹣2代入直线BC的解析式，得y＝3，∴点Q的坐标为Q（﹣2，3）；②如图所示，由（1）知：A（﹣4，0），B（0，2），C（4，0），∵点M在线段AO上运动，∴设M（x，0），其中﹣4≤x≤0，∴BM2＝x2+4，MC2＝（4﹣x）2，BC2＝20，∵点C与点A关于y轴对称，∴∠BMP＝∠BAC＝∠ACB，∵MP∥y轴，∴∠PMC＝90°，∴∠BMP+∠BMC＝∠ACB+∠BMC＝90°，∴当∠BMP＝∠BAC时，∠MBC＝90°，∴MB2+BC2＝CM2∴x2+4+20＝（4﹣x）2，解得x＝﹣1，将x＝﹣1代入直线AB的解析式，得，∴点P的坐标为．【变式1】如图1，已知函数y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．（1）求直线BC的函数解析式；（2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q．①若△PQB的面积为，求点Q的坐标；②点M在线段AC上，连接BM，如图2，若∠BMP＝∠BAC，直接写出P的坐标．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）对于y＝x+3，由x＝0得：y＝3，∴B（0，3）．由y＝0得：x+3＝0，解得x＝﹣6，∴A（﹣6，0），∵点C与点A关于y轴对称．∴C（6，0）设直线BC的函数解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴直线BC的函数解析式为y＝﹣x+3；（2）①设点M（m，0），则点P（m，m+3），点Q（m，﹣m+3），过点B作BD⊥PQ与点D，则PQ＝|﹣m+3﹣（m+3）|＝|m|，BD＝|m|，则△PQB的面积＝PQ•BD＝m2＝，解得m＝±，故点Q的坐标为（，3﹣）或（﹣，3+）；②如图2，当点M在y轴的左侧时，∵点C与点A关于y轴对称，∴AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA，∵∠BMP＝∠BAC，∴∠BMP＝∠BCA，∵∠BMP+∠BMC＝90°，∴∠BMC+∠BCA＝90°∴∠MBC＝180°﹣（∠BMC+∠BCA）＝90°，∴BM2+BC2＝MC2，设M（x，0），则P（x，x+3），∴BM2＝OM2+OB2＝x2+9，MC2＝（6﹣x）2，BC2＝OC2+OB2＝62+32＝45，∴x2+9+45＝（6﹣x）2，解得x＝﹣，∴P（﹣，），如图2，当点M在y轴的右侧时，同理可得P（，），综上，点P的坐标为（﹣，）或（，）．【变式2】如图①，已知函数y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C点A关于y轴对称．（1）求BC的长．（2）设点M是x轴上一动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于P，交直线BC于点Q．①若△PQB的面积为，求点M的坐标．②连接BM，如图②，若∠BMP＝∠BAC．直接写出点P的坐标．【答案】（1）3；（2）①点M的坐标为：（，0）；②点P的坐标为：（﹣，）或（，）．【解答】解：（1）对于y＝x+3，当x＝0，y＝3，令y＝x+3＝0，则x＝﹣6，即点A、B的坐标分别为：（﹣6，0）、（0，3），则点C（6，0），由点B、C的坐标得，BC＝＝3；（2）①由点B、C的坐标得，BC的表达式为：y＝﹣x+3，设点M（m，﹣m+3），点P（m，m+3），则PQ＝|m|，则△PQB的面积＝PQ×|m|＝m2＝，解得：m＝，即点M的坐标为：（，0）；②∵∠BMP＝∠BAC，∠PBM＝∠MBA，∴△PBM∽△MBA，则MB2＝AB•PM，由①中的点A、B、M、P的坐标得，BM2＝m2+9，PB＝|m|，AB＝BC＝3，则m2+9＝|m|×3，解得：m＝（不合题意的值已舍去），即点P的坐标为：（﹣，）或（，）．模型9：一次函数存在2倍角求动点坐标【典例9】（2023秋•槐荫区期末）如图，直线和直线l2与x轴分别相交于A，B两点，且两直线相交于点C，直线l2与y轴相交于点D（0，﹣4），OA＝2OB．（1）求出直线l2的函数表达式；（2）E是x轴上一点，若S△ABC＝2S△BCE，求点E的坐标；（3）若F是直线l1上方且位于y轴上一点，∠ACF＝2∠CAO，判断△BCF的形状并说明理由．【答案】（1）y＝2x﹣4；（2）点E的坐标为（﹣1，0）或（5，0）；（3）△BCF是等腰直角三角形，理由见解析．【解答】解：（1）y＝x+2，令y＝0，则0＝x+2得，x＝﹣4，∴A（﹣4，0），∴OA＝4，∵OA＝2OB，∴OB＝2，∴B（2，0），设直线l2的函数表达式为：y＝kx+b，将D（0，﹣4）、B（2，0）分别代入y＝kx+b得：，解得，∴直线l2的函数表达式为：y＝2x﹣4；（2）∵点C是直线l1和l2的交点，∴，解得，∴C（4，4），∵A（﹣4，0），B（2，0），∴AB＝6．∴△ABC的面积为：×AB×yC＝×6×4＝12，∵S△ABC＝2S△BCE，∴S△BCE＝6，设E（m，0），∴S△BCE＝×4×|m﹣2|＝6，∴m＝﹣1或5，∴点E的坐标为（﹣1，0）或（5，0）；（3）△BCF是等腰直角三角形，理由如下：设直线l1：y＝x+2与y轴相交于点N，过点C作CM∥x轴，∴∠MCA＝∠CAO，CM⊥y轴，N（0，2），∵∠ACF＝2∠CAO，∴∠MCA＝∠MCF＝∠CAO，∵A（﹣4，0），C（4，4），∴OA＝MC＝4，∵∠CMF＝AON，∴△AON≌△CMF（ASA），∴MF＝ON＝2，∴F（0，6），∴CF2＝42+（6﹣4）2＝20，CB2＝42+（4﹣2）2＝20，FB2＝22+62＝40，∴CF2+CB2＝FB2，CF＝CB，∴△BCF是等腰直角三角形．模型10：一次函数存在等腰直角三角形求动点坐标【典例10】（2023秋•新都区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点B（0，2），已知点C（﹣2，0）．（1）求直线l的表达式；（2）点P是直线l上一动点，且△BOP和△COP的面积相等，求点P坐标；（3）在平面内是否存在点Q，使得△ABQ是以AB为底的等腰直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝x+2；（2）点P坐标为（4，4）或（﹣，）；（3）存在，点Q的坐标为（﹣3，3）或（﹣1，﹣1）．【解答】解：（1）设直线l的解析式为y＝kx+b，把A、B两点坐标代入得到，解得，∴直线l的表达式为y＝x+2；（2）如图1，∵点A（﹣4，0），点B（0，2），已知点C（﹣2，0）．∴OB＝2，OC＝2，设P（p，p+2），∴S△BOP＝×2×|p|＝|p|，S△COP＝×2×|p+2|＝|p+2|．∵△BOP和△COP的面积相等，∴|p+2|＝|p|，解得p＝4或﹣，∴点P坐标为（4，4）或（﹣，）；（3）∵△ABQ是以AB为底的等腰直角三角形，∴∠AQB＝90°，AQ＝BQ，设Q（m，n），分两种情形：①点Q在AB上方时，过点Q作QM⊥y轴于M，过点A作AN⊥QM于N，∴∠ANQ＝∠QMB＝90°，∠AQN+∠BQM＝∠AQN+∠QAN＝90°，∴∠QAN＝∠BQM，∵AQ＝BQ，∴△ANQ≌△QMB（AAS），∴AN＝MQ＝﹣m＝n，NQ＝MB＝n﹣2，∵点A（﹣4，0），∴MN＝MQ+NQ＝n+n﹣2＝4，∴n＝3，m＝﹣3，∴点Q的坐标为（﹣3，3）；②点Q在AB下方时，过点Q作QM⊥y轴于M，过点A作AN⊥QM于N，同理得△ANQ≌△QMB（AAS），∴AN＝MQ＝﹣m＝﹣n，NQ＝MB＝2﹣n，∵点A（﹣4，0），∴MN＝MQ+NQ＝﹣n+2﹣n＝4，∴n＝﹣1，m＝﹣1，∴点Q的坐标为（﹣1，﹣1）；综上所述，点Q的坐标为（﹣3，3）或（﹣1，﹣1）．【变式1】（2023秋•成华区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l1与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点B，且与直线l2：交于点C，点C的横坐标为2．（1）求直线l1的解析式；（2）在x轴上取点M，过点M作x轴的垂线交直线l1于点D，交直线l2于点E．若DE＝2，求点M的坐标；（2）在第二象限内，是否存在点Q，使得△QAB为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点Q坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝x+3；（2）M的坐标为（，0）或（，0）；（3）Q的坐标为（﹣3，7）或（﹣7，4）或（﹣，）．【解答】解：（1）在y＝x中，令x＝2得y＝，∴C（2，）；设直线l1的解析式为y＝kx+b，把A（﹣4，0），C（2，）代入得：，解得，∴直线l1的解析式为y＝x+3；（2）如图：设M（m，0），则D（m，m+3），E（m，m），∵DE＝2，∴|m+3﹣m|＝2，∴3﹣m＝2或3﹣m＝﹣2，解得m＝或m＝，∴M的坐标为（，0）或（，0）；（3）在y＝x+3中，令x＝0得y＝3，∴B（0，3），①当B为直角顶点时，过B作BH⊥y轴于H，如图：∵△QAB为等腰直角三角形，∴AB＝QB，∠QBA＝90°，∴∠ABO＝90°﹣∠QBH＝∠BQH，∵∠AOB＝90°＝∠QHB，∴△ABO≌△BQH（AAS），∴OA＝BH＝4，OB＝QH＝3，∴OH＝OB+BH＝7，∴Q的坐标为（﹣3，7）；②当A为直角顶点时，过Q作QT⊥x轴于T，如图：同理可得△AQT≌△BAO（AAS），∴AT＝OB＝3，QT＝OA＝4，∴OT＝OA+AT＝7，∴Q的坐标为（﹣7，4）；③当Q为直角顶点时，过Q作WG⊥y轴于G，过A作AW⊥WG于W，如图：同理可得△AQW≌△QBG（AAS），∴AW＝QG，QW＝BG，设Q（p，q），∴，解得，∴Q的坐标为（﹣，）；综上所述，Q的坐标为（﹣3，7）或（﹣7，4）或（﹣，）．【变式2】（2023秋•温江区期末）如图1，直线AB的解析式为y＝kx+3，D点坐标为（4，0），点O关于直线AB的对称点C在直线AD上．（1）求直线AB的解析式；（2）如图2，在x轴上是否存在点F，使S△ABF＝2S△ABC，若存在求出F点坐标，若不存在，请说明理由；（3）点P是直线AB上方第一象限内的动点．如图3，当△ABP为等腰直角三角形时，求点P的坐标．【答案】（1）直线AB的解析式为y＝﹣2x+3；（2）点F的坐标为或；（3）点P的坐标为或或．【解答】解：（1）把x＝0代入y＝kx+3，得y＝3，∴点A的坐标为（0，3），∵D（4，0），∴OA＝3，OD＝4，∵∠AOD＝90°，∴AD＝＝5，∵点O关于直线AB的对称点C在直线AD上，∴OA＝AC＝3，OB＝BC，∴CD＝AD﹣AC＝2，设OB＝BC＝a，则BD＝4﹣a，在Rt△BCD中，∵BD2＝BC2+CD2，∴（4﹣a）2＝a2+22，解得，∴点B的坐标为，把B代入y＝kx+3，得，解得k＝﹣2，∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+3；（2）点O关于直线AB的对称点C在直线AD上，得AO＝AC，OB＝CB，∴△AOB≌△ACB（SSS），∴，由题得，∵S△ABF＝2S△ABC，∴BF＝2×，解得BF＝3，∵B，∴点F的坐标为或；（3）①若∠PAB＝90°，AP＝AB，过点P作PM⊥y轴，垂足为M，∵∠MAP+∠APM＝90°，∠MAP+∠BAO＝90°，∴∠APM＝∠BAO，∵∠PMA＝∠AOB＝90°，PA＝AB，∴△APM≌△BAO（AAS），∴PM＝OA＝3，AM＝OB＝，∴点P的坐标为；②若∠ABP＝90°，BA＝BP，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，∵∠ABO+∠BAO＝90°，∠ABO+∠PBM＝90°，∴∠BAO＝∠PBM，∵∠AOB＝∠BMP＝90°，BA＝BP，∴△AOB≌△BMP（AAS），∴BM＝OA＝3，PM＝OB＝，∴点P的坐标为；③若∠APB＝90°，PA＝PB，过点P作直线垂直x轴，交x轴于N，过点A作AM⊥PN，垂足为M，设点P的坐标为（m，n），∵∠APM+∠PAM＝90°，∠APM+∠BPN＝90°，∴∠PAM＝∠BPN，∵∠AMP＝∠PNB＝90°，PA＝PB，∴△APM≌△PBN（AAS），∴AM＝PN，PM＝BN，即，解得，∴点P的坐标为；综上所述，点P的坐标为或或．【变式3】（2023秋•榆次区期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，一次函数y＝﹣x+b的图象经过点B，并与x轴交于点C．（1）求A，B两点的坐标；（2）求△ABC的面积；（3）在平面内是否存在点P，使得△PAB是以点B为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）点A、B的坐标分别为：（6，0）、（0，﹣3）；（2）；（3）存在，点P的坐标为：（3，﹣9）或（﹣3，3）．【解答】解：（1）对于y＝x﹣3，当x＝0时，y＝﹣3，当y＝x﹣3＝0时，则x＝6，即点A、B的坐标分别为：（6，0）、（0，﹣3）；（2）将点B的坐标代入y＝﹣x+b得：﹣3＝b，则BC的表达式为：y＝﹣x﹣3，则点C（﹣3，0）；则△ABC的面积＝AC×OB＝9×3＝；（3）存在，理由：过点P作PQ⊥y轴于点Q，∵△PAB是以点B为直角顶点的等腰直角三角形，则∠PBA＝90°，BP＝BA，∴∠ABO+∠PBQ＝90°，∵∠PBQ+∠BPQ＝90°，∴∠ABO＝∠BPQ＝90°，∵∠AOB＝∠BQP＝90°，BP＝BA，∴△AOB≌△BQP（AAS），∴BQ＝OA＝6，PQ＝OB＝3，∴点P（3，﹣9）；当点P（P′）在AB上方时，则点B是PP的中点，则点P′（﹣3，3），综上，点P的坐标为：（3，﹣9）或（﹣3，3）．综上所述，若以B，C，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，m＝6或4或3．模型11：一次函数过定点问题【典例11】（2023春•仓山区校级期末）无论m取任何非零实数，一次函数y＝mx﹣（3m+2）的图象过定点（）A．（3，2） B．（3，﹣2） C．（﹣3，2） D．（﹣3，﹣2）【答案】B【解答】解：∵y＝mx﹣（3m+2），整理得：3m+2＝mx﹣y，要想这个式子恒成立，那么mx＝3m，﹣y＝2，∴x＝3，y＝﹣2．故选：B．2．（2023秋•庐阳区期末）已知函数y＝（k﹣3）x+k．（1）该函数图象经过定点（﹣1，3）．（2）如果直线y＝（k﹣3）x+k不经过第三象限，则k的范围是0≤k＜3．【答案】（1）（﹣1，3）；（2）0≤k＜3．【解答】解：（1）∵y＝（k﹣3）x+k＝k（x+1）﹣3x，∴该函数过定点（﹣1，3）．故答案为：