备战高考数学一轮复习第四章 三角函数与解三角形

第四章eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,,,,,,))三角函数与解三角形第一节任意角和弧度制、三角函数的概念eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(1.了解任意角的概念和弧度制.,2.能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性.,3.借助单位圆理解任意角三角函数正弦、余弦、正切的定义.))1．三角函数的基本概念定义角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形分类(1)按旋转方向分为正角、负角和零角；(2)按终边位置分为象限角和轴线角终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}或{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}2.象限角象限角角的表示第一象限角{α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z}第二象限角{α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z}第三象限角{α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z}第四象限角{α|k·360°－90°<α<k·360°，k∈Z}3.弧度制定义长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1rad弧度数公式|α|＝eq\f(l,r)(弧长用l表示，半径用r表示)角度与弧度的换算①1°＝eq\f(π,180)rad；②1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°≈57.3°弧长公式弧长l＝|α|r扇形面积公式S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r24.任意角的三角函数(1)定义定义设α是一个任意角，α∈R，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sinα＝y，cosα＝x，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)推广设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么：sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)(2)几何表示三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．1．几点注意(1)三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦．(2)若α∈0，eq\f(π,2)，则tanα>α>sinα.(3)角度制与弧度制可利用180°＝πrad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用．(4)已知三角函数值的符号确定角的终边位置，不要遗漏终边在坐标轴上的情况．(5)区分两个概念①第一象限角未必是锐角，但锐角一定是第一象限角．②不相等的角未必终边不相同，终边相同的角也未必相等．2．常用结论(1)α，β终边相同⇔β＝α＋2kπ，k∈Z.(2)α，β终边关于x轴对称⇔β＝－α＋2kπ，k∈Z.(3)α，β终边关于y轴对称⇔β＝π－α＋2kπ，k∈Z.(4)α，β终边关于原点对称⇔β＝π＋α＋2kπ，k∈Z.1．角－870°的终边所在的象限是()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：选C∵－870°＝－1080°＋210°，∴角－870°的终边在第三象限．2．已知角α的终边上有一点P(1，－2)，则sinα－cosα的值为()A.eq\f(\r(5),5) B．－eq\f(\r(5),5)C.eq\f(3\r(5),5) D．－eq\f(3\r(5),5)解析：选D因为sinα＝eq\f(－2,\r(1＋4))＝－eq\f(2\r(5),5)，cosα＝eq\f(1,\r(1＋4))＝eq\f(\r(5),5)，所以sinα－cosα＝－eq\f(2\r(5),5)－eq\f(\r(5),5)＝－eq\f(3\r(5),5).3．已知α∈(0,2π)，sinα<0，cosα>0，则角α的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))解析：选D因为sinα<0，cosα>0，所以α为第四象限角，故α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))，故选D.4．已知扇形的圆心角为60°，其弧长为2π，则此扇形的面积为________．解析：设此扇形的半径为r，由题意得eq\f(π,3)r＝2π，所以r＝6，所以此扇形的面积为eq\f(1,2)×2π×6＝6π.答案：6π5．在0到2π范围内，与角－eq\f(4π,3)终边相同的角是________．解析：与角－eq\f(4π,3)终边相同的角是2kπ＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4π,3)))，k∈Z，令k＝1，可得在0到2π范围内与角－eq\f(4π,3)终边相同的角是eq\f(2π,3).答案：eq\f(2π,3)层级一/基础点——自练通关(省时间)基础点(一)角的概念与表示[题点全训]1．下列命题中正确命题的个数是()①第二象限角大于第一象限角②三角形的内角是第一象限角或第二象限角③若sinα＝sinβ，则α与β的终边相同④若cosθ<0，则θ是第二或第三象限的角A．0 B．1C．2 D．3解析：选A①由任意角的定义，各象限的角都有可能为正角或负角，故第二象限角大于第一象限角，错误；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角，也有可能是轴线角，错误；③当α＝eq\f(π,3)，β＝eq\f(2π,3)时，sinα＝sinβ，显然α与β的终边不相同，错误；④cosθ＝－1<0，此时θ终边在x轴负半轴上，错误．所以正确命题的个数为0.2．集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(aeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,,))kπ≤α≤kπ＋eq\f(π,4)，k∈Z))中的角所表示的范围(阴影部分)是()解析：选B当k＝2n(n∈Z)时，2nπ≤α≤2nπ＋eq\f(π,4)(n∈Z)，此时α的终边和0≤α≤eq\f(π,4)的终边一样，当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π≤α≤2nπ＋π＋eq\f(π,4)(n∈Z)，此时α的终边和π≤α≤π＋eq\f(π,4)的终边一样．3．已知α是第二象限角，则()A.eq\f(α,2)是第一象限角 B．sineq\f(α,2)>0C．sin2α<0 D．2α是第三或第四象限角解析：选C∵α是第二象限角，∴eq\f(π,2)＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，即eq\f(π,4)＋kπ<eq\f(α,2)<eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，∴eq\f(α,2)是第一或第三象限角，故A错误；由eq\f(α,2)是第一或第三象限角，得sineq\f(α,2)>0或sineq\f(α,2)<0，故B错误；∵eq\f(π,2)＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，∴π＋4kπ<2α<2π＋4kπ，k∈Z，∴2α是第三或第四象限角或终边在y轴非正半轴上，sin2α<0，故C正确，D错误．4．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________．解析：所有与45°终边相同的角可表示为：β＝45°＋k×360°(k∈Z)，则令－720°≤45°＋k×360°<0°(k∈Z)，得－765°≤k×360°<－45°(k∈Z)，解得－eq\f(765,360)≤k<－eq\f(45,360)(k∈Z)，从而k＝－2或k＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°.答案：－675°或－315°[一“点”就过]1．利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角．2．确定kα，eq\f(α,k)(k∈N*)的终边位置的方法先用终边相同角的形式表示出角α的范围，再写出kα或eq\f(α,k)的范围，然后根据k的可能取值讨论确定kα或eq\f(α,k)的终边所在位置．基础点(二)三角函数值符号的确定[题点全训]1．设a＝sin33°，b＝cos55°，c＝tan35°，则()A．c>b>a B．b>c>aC．a>b>c D．c>a>b解析：选A∵b＝cos55°＝sin35°>sin33°＝a，c＝tan35°>sin35°＝b，∴c>b>a.故选A.2．已知点P(tanα，sinα)在第三象限，则角α在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：选D∵点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(tanα，sinα))在第三象限，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(tanα<0，,sinα<0，))∴α在第四象限．3．设α是三角形的一个内角，在sinα，sineq\f(α,2)，cosα，cos2α，tan2α，taneq\f(α,2)中可能为负数的值的个数是()A．2 B．3C．4 D．5解析：选A由题意，得0°<α<180°，若0°<α<90°，则0°<2α<180°，可能为负数的有cos2α，tan2α；若90°<α<135°，则180°<2α<270°，可能为负数的有cosα，cos2α；若135°<α<180°，则270°<2α<360°，可能为负数的有cosα，tan2α，故选A.[一“点”就过]要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定三角函数值的符号．如果不能确定角所在象限，那就要进行分类讨论求解．层级二/重难点——逐一精研(补欠缺)重难点(一)三角函数的定义及其应用[典例](1)已知角α的终边在直线y＝2x上，则sinα的值为()A．±2 B．eq\f(2\r(5),5)C．±eq\f(2\r(5),5) D．±eq\f(\r(5),5)(2)已知角α的终边上一点P(－eq\r(3)，m)(m≠0)，且sinα＝eq\f(\r(2)m,4)，则cosα＝________，tanα＝________.[解析](1)设直线y＝2x上任意一点P的坐标为(m,2m)(m≠0)，则OP＝eq\r(m2＋2m2)＝eq\r(5)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(m))(O为坐标原点)，根据正弦函数的定义得：sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(2m,OP)＝eq\f(2m,\r(5)\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(m)))，m>0时，sinα＝eq\f(2\r(5),5)；m<0时，sinα＝－eq\f(2\r(5),5)，所以选项C正确．(2)设P(x，y)．由题设知x＝－eq\r(3)，y＝m，所以r2＝OP2＝(－eq\r(3))2＋m2(O为原点)，即r＝eq\r(3＋m2)，所以sinα＝eq\f(m,r)＝eq\f(\r(2)m,4)＝eq\f(m,2\r(2))，所以r＝eq\r(3＋m2)＝2eq\r(2)，即3＋m2＝8，解得m＝±eq\r(5).当m＝eq\r(5)时，cosα＝eq\f(－\r(3),2\r(2))＝－eq\f(\r(6),4)，tanα＝－eq\f(\r(15),3)；当m＝－eq\r(5)时，cosα＝eq\f(－\r(3),2\r(2))＝－eq\f(\r(6),4)，tanα＝eq\f(\r(15),3).[答案](1)C(2)－eq\f(\r(6),4)－eq\f(\r(15),3)或eq\f(\r(15),3)[方法技巧]常见的3种题型及解题方法题型解题方法已知角α的终边上的一点P的坐标，求角α的三角函数值先求出点P到原点的距离r，再利用三角函数的定义求解已知角α的一个三角函数值和终边上一点P的横(纵)坐标，求与角α有关的三角函数值先求出点P到原点的距离(带参数)，根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题已知角α的终边所在的直线方程(y＝kx，k≠0)，求角α的三角函数值先设出终边上一点P(a，ka)，a≠0，求出点P到原点的距离，再利用三角函数的定义求解[针对训练]1．已知角α的终边经过点(3，－4)，则sinα＋eq\f(1,cosα)＝()A．－eq\f(1,5) B．eq\f(37,15)C.eq\f(37,20) D．eq\f(13,15)解析：选D∵角α的终边经过点(3，－4)，∴sinα＝－eq\f(4,5)，cosα＝eq\f(3,5)，∴sinα＋eq\f(1,cosα)＝－eq\f(4,5)＋eq\f(5,3)＝eq\f(13,15).2．若tanα＝2，且α终边上点P到原点的距离为eq\r(5)，则点P的坐标为________．解析：设Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，y))，则由题可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(x2＋y2)＝\r(5)，,tanα＝\f(y,x)＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－2，))故点P的坐标为(1,2)或(－1，－2)．答案：(1,2)或(－1，－2)重难点(二)弧度制及其应用[典例]已知某半径小于π的扇形OAB，其周长是6＋2π，面积是3π.(1)求该扇形的圆心角的弧度数；(2)求该扇形中所含的弓形面积(注：弓形是指在圆中由弦及其所对的弧组成的图形)．[解](1)由题意，设扇形的圆心角为α，所在圆的半径为R，则该扇形弧长为αR，扇形的周长αR＋2R＝6＋2π，扇形的面积S＝eq\f(1,2)·αR·R＝3π，R<π，解得α＝eq\f(2π,3)，R＝3，故圆心角弧度数为eq\f(2π,3).(2)所以扇形中除弓形外所含的三角形的高为Rsineq\f(π,6)＝eq\f(3,2)，底为2Rcoseq\f(π,6)＝3eq\r(3)，S三角形面积＝eq\f(1,2)×3eq\r(3)×eq\f(3,2)＝eq\f(9\r(3),4)，所以S弓形面积＝S扇形－S三角形面积＝3π－eq\f(9\r(3),4).故S弓形面积＝3π－eq\f(9\r(3),4).[方法技巧]应用弧度制解决问题时的关键点(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决，有时也利用基本不等式及导数求最值．(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．[针对训练]1．一个扇形的弧长与面积的数值都是3，则该扇形圆心角的弧度数为()A.eq\f(1,2) B．eq\f(2,3)C.eq\f(3,2) D．2解析：选C设扇形的圆心角的弧度数为α，半径为r，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(αr＝3，,\f(1,2)αr2＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝2，,α＝\f(3,2).))2．已知扇形的周长为20cm，则当扇形的圆心角α＝________时扇形面积最大．解析：设扇形的半径为r，弧长为l，由题意，2r＋l＝20⇒l＝20－2r(0<r<10)，扇形的面积为S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)(20－2r)r＝10r－r2＝－(r－5)2＋25(0<r<10)，所以当r＝5时，扇形面积取最大值25，此时l＝20－10＝10，所以扇形的圆心角α＝eq\f(l,r)＝eq\f(10,5)＝2时，扇形面积最大．答案：2层级三/细微点——优化完善(扫盲点)1．(忽略三角函数值的符号)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，若A(－1，y)是角θ终边上的一点，且sinθ＝－eq\f(3\r(10),10)，则y＝()A．3 B．－3C．1 D．－1解析：选B因为sinθ＝－eq\f(3\r(10),10)<0，A(－1，y)是角θ终边上一点，所以y<0，由三角函数的定义，得eq\f(y,\r(y2＋1))＝－eq\f(3\r(10),10).解得y＝－3.2．(创新考查方式)密位制是度量角的一种方法，把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角．在角的密位制中，单位可省去不写，采用四个数码表示角的大小，在百位数与十位数之间画一条短线，如7密位写成“0－07”，478密位写成“4－78”．如果一个半径为4的扇形，其圆心角用密位制表示为12－50，则该扇形的面积为()A.eq\f(10π,3) B．2πC.eq\f(5π,3) D．eq\f(5π,6)解析：选A依题意，该扇形的圆心角为eq\f(1250×360°,6000)＝75°.又75°＝eq\f(5π,12)，故所求扇形的面积为S＝eq\f(1,2)αr2＝eq\f(1,2)×eq\f(5π,12)×42＝eq\f(10π,3).3．(创新考查方式)如图是一个近似扇形的湖面，其中OA＝OB＝r，弧AB的长为l(l<r)．为了方便观光，欲在A，B两点之间修建一条笔直的走廊AB.若当0<x<eq\f(1,2)时，sinx≈x－eq\f(x3,6)，扇形OAB的面积记为S，则eq\f(AB,S)的值约为()A.eq\f(2,l)－eq\f(r2,12l3) B．eq\f(2,r)－eq\f(l2,12r3)C.eq\f(1,l)－eq\f(r2,24l3) D．eq\f(1,r)－eq\f(l2,24r3)解析：选B设扇形OAB的圆心角为α，则α＝eq\f(l,r)，在△OAB中，AB＝2rsineq\f(α,2)＝2rsineq\f(l,2r)，又S＝eq\f(1,2)lr，∴eq\f(AB,S)＝eq\f(2rsin\f(l,2r),\f(1,2)lr)＝eq\f(4,l)sineq\f(l,2r)，又0<eq\f(l,2r)<eq\f(1,2)，∴eq\f(AB,S)＝eq\f(4,l)sineq\f(l,2r)≈eq\f(4,l)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(l,2r)－\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,2r)))3,6)))＝eq\f(2,r)－eq\f(l2,12r3).4．(忽视角的范围)若α是第四象限角，则eq\f(α,2)－eq\f(π,2)在第________象限．解析：α是第四象限角，则eq\f(3π,2)＋2kπ<α<2π＋2kπ，k∈Z，故eq\f(π,4)＋kπ<eq\f(α,2)－eq\f(π,2)<eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，当k为偶数时，eq\f(α,2)－eq\f(π,2)在第一象限；当k为奇数时，eq\f(α,2)－eq\f(π,2)在第三象限．答案：一或三5．(忽视对参数的讨论)已知角α的终边过点P(－4m，3m)(m≠0)，则2sinα＋cosα＝________.解析：易知OP＝eq\r(－4m2＋3m2)＝5|m|，则sinα＝eq\f(3m,5|m|)，cosα＝eq\f(－4m,5|m|).当m>0时，sinα＝eq\f(3,5)，cosα＝－eq\f(4,5)，2sinα＋cosα＝eq\f(2,5)；当m<0时，sinα＝－eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(4,5)，∴2sinα＋cosα＝－eq\f(2,5).故2sinα＋cosα＝±eq\f(2,5).答案：±eq\f(2,5)[课时验收评价]一、点全面广强基训练1．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为()A．2 B．4C．6 D．8解析：选C设扇形的半径为r(r>0)，弧长为l，则由扇形面积公式可得2＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r2＝eq\f(1,2)×4×r2，解得r＝1，l＝|α|r＝4，所以所求扇形的周长为2r＋l＝6.2．已知角α(0°≤α<360°)终边上一点的坐标为(sin150°，cos150°)，则α＝()A．150° B．135°C．300° D．60°解析：选C由sin150°＝eq\f(1,2)>0，cos150°＝－eq\f(\r(3),2)<0，可知角α终边上一点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(\r(3),2)))，故该点在第四象限，由三角函数的定义得sinα＝－eq\f(\r(3),2)，因为0°≤α<360°，所以角α为300°.3．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cosα≤0，sinα＞0，则实数a的取值范围是()A．(－2,3] B．(－2,3)C．[－2,3) D．[－2,3]解析：选A由cosα≤0，sinα＞0可知，角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a－9≤0，,a＋2＞0，))解得－2＜a≤3.4．在平面直角坐标系xOy中，α为第二象限角，P(－eq\r(3)，y)为其终边上一点，且sinα＝eq\f(\r(2)y,4)，则y的值为()A.eq\r(3) B．－eq\r(5)C.eq\r(5) D．eq\r(3)或eq\r(5)解析：选C由题意知|OP|＝eq\r(3＋y2)，则sinα＝eq\f(y,\r(3＋y2))＝eq\f(\r(2)y,4)，解得y＝0(舍去)或y＝±eq\r(5)，因为α为第二象限角，所以y>0，则y＝eq\r(5).5．已知角α＝2kπ－eq\f(π,5)(k∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y＝eq\f(sinθ,|sinθ|)＋eq\f(cosθ,|cosθ|)＋eq\f(tanθ,|tanθ|)的值为()A．1 B．－1C．3 D．－3解析：选B由α＝2kπ－eq\f(π,5)(k∈Z)及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，因为角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sinθ＜0，cosθ＞0，tanθ＜0.所以y＝－1＋1－1＝－1.6．已知α，β是第一象限角，且sinα>sinβ，则()A．α>β B．α<βC．cosα>cosβ D．tanα>tanβ解析：选D因为α，β是第一象限角，所以sinα>0，sinβ>0，又sinα>sinβ，所以sin2α>sin2β>0，所以1－cos2α>1－cos2β，所以cos2α<cos2β，所以eq\f(1,cos2α)>eq\f(1,cos2β)>0，所以tan2α>tan2β，因为tanα>0，tanβ>0，所以tanα>tanβ.故选D.7．在平面直角坐标系xOy中，60°角终边上一点P的坐标为(1，m)，则实数m的值为________．解析：∵60°角终边上一点P的坐标为(1，m)，∴tan60°＝eq\f(m,1)，∵tan60°＝eq\r(3)，∴m＝eq\r(3).答案：eq\r(3)8．若角α的终边与直线y＝3x重合，且sinα<0，又P(m，n)是角α终边上一点，且|OP|＝eq\r(10)，则m－n＝________.解析：由已知tanα＝3，∴n＝3m，又m2＋n2＝10，∴m2＝1，又sinα<0，∴m＝－1，n＝－3.∴m－n＝2.答案：29．已知扇形的周长为4，当它的半径为________和圆心角为______弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是________．解析：设扇形圆心角为α，半径为r，则2r＋|α|r＝4，∴|α|＝eq\f(4,r)－2.∴S扇形＝eq\f(1,2)|α|·r2＝2r－r2＝－(r－1)2＋1，∴当r＝1时，(S扇形)max＝1，此时|α|＝2.答案：12110．已知角α的终边在直线y＝－3x上，则10sinα＋eq\f(3,cosα)的值为________．解析：设角α终边上任一点为P(k，－3k)，则r＝eq\r(k2＋－3k2)＝eq\r(10)|k|.当k＞0时，r＝eq\r(10)k，所以sinα＝eq\f(－3k,\r(10)k)＝－eq\f(3,\r(10))，eq\f(1,cosα)＝eq\f(\r(10)k,k)＝eq\r(10)，所以10sinα＋eq\f(3,cosα)＝－3eq\r(10)＋3eq\r(10)＝0；当k＜0时，r＝－eq\r(10)k，所以sinα＝eq\f(－3k,－\r(10)k)＝eq\f(3,\r(10))，eq\f(1,cosα)＝eq\f(－\r(10)k,k)＝－eq\r(10)，所以10sinα＋eq\f(3,cosα)＝3eq\r(10)－3eq\r(10)＝0.综上，10sinα＋eq\f(3,cosα)＝0.答案：011.如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A点，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动．(1)若点B的横坐标为－eq\f(4,5)，求tanα的值；(2)若△AOB为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合．解：(1)由题意可得Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)，\f(3,5)))，根据三角函数的定义得tanα＝eq\f(y,x)＝－eq\f(3,4).(2)若△AOB为等边三角形，则∠AOB＝eq\f(π,3)，故与角α终边相同的角β的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(β|β＝\f(π,3)＋2kπ，k∈Z)).二、重点难点培优训练1．设角α属于第二象限，且eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2)))＝－coseq\f(α,2)，则角eq\f(α,2)属于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：选C∵α为第二象限角，∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)，∴45°＋k·180°<eq\f(α,2)<90°＋k·180°(k∈Z)；当k＝2n(n∈Z)时，eq\f(α,2)为第一象限角；当k＝2n＋1(n∈Z)时，eq\f(α,2)为第三象限角；∴eq\f(α,2)为第一或第三象限角；∵eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2)))＝－coseq\f(α,2)，∴coseq\f(α,2)<0，∴eq\f(α,2)为第三象限角．2．“角α，β的终边关于x轴对称”是“sinα＋sinβ＝0”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选A由角α，β的终边关于x轴对称，可知sinα＝－sinβ，即sinα＋sinβ＝0成立，当sinα＋sinβ＝0时，角α，β的终边关于x轴对称或α＝β＋kπ，所以“角α，β的终边关于x轴对称”是“sinα＋sinβ＝0”的充分不必要条件．3．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(t，－eq\r(t))(t>0)，则()A．cos2θ>0 B．cos2θ<0C．sin2θ>0 D．sin2θ<0解析：选D由题意知，设坐标原点为O，则OP＝eq\r(t2＋t)，t>0，由三角函数的定义，得cosθ＝eq\f(t,OP)＝eq\f(t,\r(t2＋t))，sinθ＝eq\f(－\r(t),OP)＝eq\f(－\r(t),\r(t2＋t))，所以sin2θ＝2sinθcosθ＝eq\f(－2\r(t),t＋1)<0，cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝eq\f(t－1,t＋1)，当0<t<1时，cos2θ<0；当t≥1时，cos2θ≥0.第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，\f(sinα,cosα)＝tanα.,2.借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α±\f(π,2)，α±π的正弦、余弦、正切)).))1．同角三角函数的基本关系式平方关系sin2α＋cos2α＝1商数关系tanα＝eq\f(sinα,cosα)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))2.诱导公式组数一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα－sin_α－sinαsinαcosαcos_α余弦cosα－cosαcosα－cos_αsin_α－sinα正切tanαtanα－tan_α－tan_α记忆口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限奇变偶不变，符号看象限(1)同角三角函数的基本关系式的几种变形①sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cosα)；cos2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sinα)；(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα.②sinα＝tanαcosαα≠eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z.③sin2α＝eq\f(sin2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(tan2α,tan2α＋1)；cos2α＝eq\f(cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(1,tan2α＋1).(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．1．sin1665°的值为()A．－eq\f(\r(2),2) B．eq\f(\r(2),2)C．－eq\f(\r(3),2) D．eq\f(\r(3),2)答案：A2．已知cosα＝－eq\f(1,3)，且α为第三象限角，则sinα＝()A.eq\f(1,3) B．－eq\f(1,3)C．－eq\f(2\r(2),3) D．eq\f(2\r(2),3)答案：C3．若角α的终边过点A(2,1)，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))＝()A．－eq\f(2\r(5),5) B．－eq\f(\r(5),5)C.eq\f(\r(5),5) D．eq\f(2\r(5),5)解析：选A由题意知cosα＝eq\f(2,\r(5))＝eq\f(2\r(5),5)，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))＝－cosα＝－eq\f(2\r(5),5).4．已知tanα＝eq\f(3,4)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3,2)π))，则cosα的值是()A．±eq\f(4,5) B．eq\f(4,5)C．－eq\f(4,5) D．eq\f(3,5)解析：选C由tanα＝eq\f(3,4)，可得eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(3,4)，又sin2α＋cos2α＝1，可得eq\f(9,16)cos2α＋cos2α＝1，解得cos2α＝eq\f(16,25)，因为α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3,2)π))，所以cosα＝－eq\f(4,5).5．若sinθcosθ＝eq\f(1,2)，则tanθ＋eq\f(cosθ,sinθ)＝________.解析：tanθ＋eq\f(cosθ,sinθ)＝eq\f(sinθ,cosθ)＋eq\f(cosθ,sinθ)＝eq\f(1,cosθsinθ)＝2.答案：2层级一/基础点——自练通关(省时间)基础点(一)同角三角函数的基本关系[题点全训]1．若sinα＝－eq\f(5,13)，且α为第四象限角，则tanα的值等于()A.eq\f(12,5) B．－eq\f(12,5)C.eq\f(5,12) D．－eq\f(5,12)解析：选D因为α为第四象限角，故cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,13)))2)＝eq\f(12,13)，所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(－\f(5,13),\f(12,13))＝－eq\f(5,12).2．若tanα＝2，则eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＋cos2α＝()A.eq\f(16,5) B．－eq\f(16,5)C.eq\f(8,5) D．－eq\f(8,5)解析：选Aeq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＋cos2α＝eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＋eq\f(cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(tanα＋1,tanα－1)＋eq\f(1,tan2α＋1)，将tanα＝2代入上式，则原式＝eq\f(16,5).3．已知sinαcosα＝－eq\f(12,25)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，0))，则sinα＋cosα＝()A．－eq\f(1,5) B．eq\f(1,5)C．－eq\f(7,5) D．eq\f(7,5)解析：选B(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝1＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12,25)))＝eq\f(1,25)，又α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，0))，所以sinα＋cosα>0，所以sinα＋cosα＝eq\f(1,5).[一“点”就过]知弦求弦利用诱导公式及平方关系sin2α＋cos2α＝1求解知弦求切常通过平方关系，与对称式sinα±cosα，sinα·cosα建立联系，注意tanα＝eq\f(sinα,cosα)的灵活应用知切求弦先利用商数关系得出sinα＝tanα·cosα或cosα＝eq\f(sinα,tanα)，然后利用平方关系求解基础点(二)诱导公式[题点全训]1．若tan(π－x)＝eq\f(1,2)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋x))＝()A．±eq\f(\r(5),5) B．±eq\f(2\r(5),5)C．－eq\f(\r(5),5) D．eq\f(2\r(5),5)解析：选A因tan(π－x)＝eq\f(1,2)，则tanx＝－eq\f(1,2)，即cosx＝－2sinx，而sin2x＋cos2x＝1，于是得sin2x＝eq\f(1,5)，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋x))＝－sinx＝±eq\f(\r(5),5).2．已知角α的终边经过点P(－2,1)，则tanα＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))＝()A．－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(5),5) B．－eq\f(1,2)－eq\f(\r(5),5)C．－2＋eq\f(\r(5),5) D．－2－eq\f(\r(5),5)解析：选A由已知可得tanα＝－eq\f(1,2)，sinα＝eq\f(1,\r(1＋－22))＝eq\f(\r(5),5)，则tanα＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))＝tanα＋sinα＝－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(5),5).3．若tanθ＝2，则f(θ)＝eq\f(sinπ－θ－cosθ－π,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(3π,2))))＝()A．－1 B．1C．－3 D．3解析：选Df(θ)＝eq\f(sinπ－θ－cosθ－π,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(3π,2))))＝eq\f(sinθ＋cosθ,sinθ－cosθ).因为tanθ＝2，所以cosθ≠0.所以f(θ)＝eq\f(sinθ＋cosθ,sinθ－cosθ)＝eq\f(tanθ＋1,tanθ－1)＝eq\f(2＋1,2－1)＝3.4．sin(－1200°)tan1290°＝________.解析：原式＝－sin1200°tan1290°＝－sin(3×360°＋120°)·tan(3×360°＋210°)＝－sin120°tan210°＝－sin(180°－60°)tan(180°＋30°)＝－sin60°tan30°＝－eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(3),3)＝－eq\f(1,2).答案：－eq\f(1,2)[一“点”就过]1．诱导公式的两个应用(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了．(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了．2．含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算．如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cosα.层级二/重难点——逐一精研(补欠缺)eq\a\vs4\al(重难点)|诱导公式与同角三角函数基本关系的综合[典例](1)已知α是第四象限角，且3sin2α＝8cosα，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(2021π,2)))＝()A．－eq\f(2\r(2),3) B．－eq\f(1,3)C.eq\f(2\r(2),3) D．eq\f(1,3)(2)已知θ是第四象限角，且sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq\f(3,5)，则taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝________.[解析](1)∵3sin2α＝8cosα，∴sin2α＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3sin2α,8)))2＝1，整理可得9sin4α＋64sin2α－64＝0，解得sin2α＝eq\f(8,9)或sin2α＝－8(舍去)，又∵α是第四象限角，∴sinα＝－eq\f(2\r(2),3)，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(2021π,2)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋1010π＋\f(π,2)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))＝－sinα＝eq\f(2\r(2),3)，故选C.(2)由题意知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq\f(3,5)，θ是第四象限角，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＞0，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq\r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4))))＝eq\f(4,5).taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)－\f(π,2)))＝－eq\f(\a\vs4\al(sin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))))),cos\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4))))))＝－eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4))))＝－eq\f(4,5)×eq\f(5,3)＝－eq\f(4,3).[答案](1)C(2)－eq\f(4,3)[方法技巧]利用同角三角函数基本关系与诱导公式解题的思路(1)分析结构特点，寻求条件与所求间的关系，尤其是有关角之间的关系；(2)恰当选择公式，利用公式灵活变形；(3)化简求值．[提醒](1)角的范围会影响三角函数值的符号，开方时要先判断三角函数值的符号．(2)化简过程是恒等变换．[针对训练]1．若α是三角形的一个内角，且sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))＝eq\f(1,5)，则tanα的值是()A．－eq\f(4,3) B．－eq\f(3,4)C．－eq\f(4,3)或－eq\f(3,4) D．不存在解析：选A由sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))＝eq\f(1,5)，得cosα＋sinα＝eq\f(1,5)，∴2sinαcosα＝－eq\f(24,25)<0.∵α∈(0，π)，∴α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，∴sinα－cosα＝eq\r(1－2sinαcosα)＝eq\f(7,5)，∴sinα＝eq\f(4,5)，cosα＝－eq\f(3,5)，∴tanα＝－eq\f(4,3)，故选A.2．已知sinα＋3cosα＝eq\r(10)，则sin2α＋cos(2021π＋α)·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))的值为()A.eq\f(1,5) B．eq\f(2,5)C.eq\f(4,5) D．eq\f(3,4)解析：选B由sinα＋3cosα＝eq\r(10)，得sin2α＋6sinαcosα＋9cos2α＝10，∴6sinαcosα＋8cos2α＝9，即eq\f(6sinαcosα＋8cos2α,sin2α＋cos2α)＝9，∴9tan2α－6tanα＋1＝0，解得tanα＝eq\f(1,3)，∴sin2α＋cos(2021π＋α)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝sin2α＋sinαcosα＝eq\f(sin2α＋sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(tan2α＋tanα,tan2α＋1)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2＋\f(1,3),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2＋1)＝eq\f(2,5)，故选B.层级三/细微点——优化完善(扫盲点)1．(忽视角所在的象限)已知α是第二象限角，sinα＝eq\f(5,13)，则cosα等于()A．－eq\f(12,13) B．－eq\f(5,13)C.eq\f(5,13) D．eq\f(12,13)解析：选A∵α是第二象限角，∴cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\f(12,13).2．(创新解题思维·利用勾股数)已知tanα＝eq\f(3,4)，sinα<0，则cosα＝()A.eq\f(3,5) B．－eq\f(3,5)C.eq\f(4,5) D．－eq\f(4,5)解析：选D由tanα＝eq\f(3,4)，想到勾股数(3,4,5)，结合sinα<0，得cosα＝－eq\f(4,5).3.(借助数学文化)《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形，若图中所示的角为α(0°<α<45°)，且小正方形与大正方形面积之比为1∶25，则tanα的值为()A.eq\f(3,5) B．eq\f(3,4)C.eq\f(4,5) D．eq\f(24,25)解析：选B设直角三角形较短的直角边长为a，则较长直角边长为eq\f(a,tanα)，所以，小正方形的边长为aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,tanα)－1))，大正方形的边长为eq\f(a,sinα)，由于小正方形与大正方形面积之比为1∶25，所以eq\f(a\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,tanα)))－1,\f(a,sinα))＝cosα－sinα＝eq\f(1,5)，由于0°<α<45°，则cosα>sinα>0.由已知条件可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosα－sinα＝\f(1,5)，,cos2α＋sin2α＝1，,cosα>sinα>0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosα＝\f(4,5)，,sinα＝\f(3,5)，))因此，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(3,4).故选B.4．(忽视角的范围导致产生增根)已知θ∈(0，π)，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq\f(4,3)，则sinθ＋cosθ＝________.解析：由题知taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq\f(4,3)＝eq\f(1＋tanθ,1－tanθ)⇒tanθ＝eq\f(1,7)，又因为θ∈(0，π)，且tanθ>0，所以θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(sinθ,cosθ)＝\f(1,7)，,cos2θ＋sin2θ＝1))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinθ＝\f(\r(2),10)，,cosθ＝\f(7\r(2),10)，))所以sinθ＋cosθ＝eq\f(8\r(2),10)＝eq\f(4\r(2),5).答案：eq\f(4\r(2),5)5．(忽视三角函数式符号的判断)已知sinθ＋cosθ＝eq\f(4,3)，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，则sinθ－cosθ的值为________．解析：∵sinθ＋cosθ＝eq\f(4,3)，∴sinθcosθ＝eq\f(7,18)，∴(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝eq\f(2,9)，又θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，∴sinθ<cosθ，∴sinθ－cosθ＝－eq\f(\r(2),3).答案：－eq\f(\r(2),3)6．(创新命题角度)已知曲线f(x)＝eq\f(2,3)x3在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为α，则eq\f(sin2α－cos2α,2sinαcosα＋cos2α)的值为________．解析：由f(x)＝eq\f(2,3)x3得f′(x)＝2x2，∴f′(1)＝2，故tanα＝2.∴eq\f(sin2α－cos2α,2sinαcosα＋cos2α)＝eq\f(tan2α－1,2tanα＋1)＝eq\f(22－1,2×2＋1)＝eq\f(3,5).答案：eq\f(3,5)[课时验收评价]一、点全面广强基训练1．(2023·营口模拟)已知sinx＝eq\f(1,4)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋x))＝()A.eq\f(1,4) B．－eq\f(1,4)C.eq\f(\r(15),16) D．－eq\f(\r(15),16)解析：选Acoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋x))＝sinx＝eq\f(1,4).2．(2023·邯郸一模)若cosα＝eq\f(3,5)，且α在第四象限，则tanα＝()A.eq\f(3,4) B．－eq\f(3,4)C.eq\f(4,3) D．－eq\f(4,3)解析：选D∵cosα＝eq\f(3,5)，且α在第四象限，∴sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\f(4,5)，∴tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(4,3).3．在平面直角坐标系中，角α的顶点在坐标原点，始边在x轴的非负半轴，终边过点(x,4)且tan(－π＋α)＝－2，则cosα＝()A．－eq\f(2\r(5),5) B．－eq\f(\r(5),5)C.eq\f(\r(5),5) D．eq\f(2\r(5),5)解析：选B由题意角α终边过点(x,4)且tan(－π＋α)＝－2，所以tanα＝－2，即eq\f(4,x)＝－2，所以x＝－2，故cosα＝eq\f(－2,\r(－22＋42))＝－eq\f(\r(5),5).4．若sinθ，cosθ是方程4x2＋2mx＋m＝0的两根，则m的值为()A．1＋eq\r(5) B．1－eq\r(5)C．1±eq\r(5) D．－1－eq\r(5)解析：选B由题意知sinθ＋cosθ＝－eq\f(m,2)，sinθcosθ＝eq\f(m,4).∵(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ，∴eq\f(m2,4)＝1＋eq\f(m,2)，解得m＝1±eq\r(5)，又Δ＝4m2－16m≥0，∴m≤0或m≥4，∴m＝1－eq\r(5).5．在△ABC中，eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－A))＝3sin(π－A)，且cosA＝－eq\r(3)cos(π－B)，则△ABC为()A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形解析：选B将eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－A))＝3sin(π－A)化为eq\r(3)cosA＝3sinA，则tanA＝eq\f(\r(3),3)，则A＝eq\f(π,6)，将cosA＝－eq\r(3)cos(π－B)化为coseq\f(π,6)＝eq\r(3)cosB，则cosB＝eq\f(1,2)，则B＝eq\f(π,3)，故△ABC为直角三角形．6．sin613°＋cos1063°＋tan(－30°)的值为________．解析：原式＝sin(180°＋73°)＋cos(－17°)－tan30°＝－sin73°＋cos(－17°)－tan30°＝－cos17°＋cos17°－eq\f(\r(3),3)＝－eq\f(\r(3),3).答案：－eq\f(\r(3),3)7．已知sineq\f(π,2)＋α＝－eq\f(4,5)，那么tanα·sinα＝________.解析：∵sineq\f(π,2)＋α＝－eq\f(4,5)，∴cosα＝－eq\f(4,5)，sin2α＝1－cos2α＝1－eq\f(16,25)＝eq\f(9,25)，∴tanα·sinα＝eq\f(sin2α,cosα)＝eq\f(\f(9,25),－\f(4,5))＝－eq\f(9,20).答案：－eq\f(9,20)8．若tanα＝cosα，则eq\f(1,sinα)＋cos4α＝________.解析：tanα＝cosα⇒eq\f(sinα,cosα)＝cosα⇒sinα＝cos2α，故eq\f(1,sinα)＋cos4α＝eq\f(sin2α＋cos2α,sinα)＋cos4α＝sinα＋eq\f(cos2α,sinα)＋cos4α＝sinα＋eq\f(sinα,sinα)＋sin2α＝sin2α＋sinα＋1＝sin2α＋cos2α＋1＝1＋1＝2.答案：29．已知0<α<π，tanα＝2.(1)求cosα的值；(2)求2sin2α－sinαcosα＋cos2α的值．解：(1)由0<α<π，tanα＝2>0可知0<α<eq\f(π,2)，故cosα>0.由于tanα＝2⇒sinα＝2cosα，又sin2α＋cos2α＝1，进而可得cos2α＝eq\f(1,5)，因为cosα>0，故cosα＝eq\f(\r(5),5).(2)2sin2α－sinαcosα＋cos2α＝eq\f(2sin2α－sinαcosα＋cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(2tan2α－tanα＋1,tan2α＋1)＝eq\f(8－2＋1,4＋1)＝eq\f(7,5).10．已知α为第三象限角，f(α)＝eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,2)))·cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))·tanπ－α,tan－α－π·sin－α－π).(1)化简f(α)；(2)若coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(3π,2)))＝eq\f(1,5)，求f(α)的值．解：(1)f(α)＝eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,2)))·cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))·tanπ－α,tan－α－π·sin－α－π)＝eq\f(－cosα·sinα·－tanα,－tanα·sinα)＝－cosα.(2)∵coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(3π,2)))＝eq\f(1,5)，∴－sinα＝eq\f(1,5)，从而sinα＝－eq\f(1,5).又∵α为第三象限角，∴cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\f(2\r(6),5)，∴f(α)＝－cosα＝eq\f(2\r(6),5).二、重点难点培优训练1．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点(m，－4)，其中m<0，若cos2α＝－eq\f(7,25)，则taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(mπ,2)))＝()A．2 B．－eq\f(1,2)C．－eq\f(4,3) D．－eq\f(3,4)解析：选D依题意，tanα＝－eq\f(4,m)>0，又cos2α＝cos2α－sin2α＝eq\f(cos2α－sin2α,cos2α＋sin2α)＝eq\f(1－tan2α,1＋tan2α)＝－eq\f(7,25)，解得tanα＝eq\f(4,3)，从而得m＝－3，所以taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(mπ,2)))＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(3π,2)))＝eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(3π,2))),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(3π,2))))＝eq\f(cosα,－sinα)＝－eq\f(1,tanα)＝－eq\f(3,4).2．已知sinα＋cosα＝eq\f(1,2)，α∈(0，π)，则eq\f(1－tanα,1＋tanα)＝()A．－eq\r(7) B．eq\r(7)C.eq\r(3) D．－eq\r(3)解析：选A因为sinα＋cosα＝eq\f(1,2)，所以(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝eq\f(1,4)，所以sinαcosα＝－eq\f(3,8)，又因为α∈(0，π)，所以sinα>0，cosα<0，所以cosα－sinα<0，因为(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝1－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,8)))＝eq\f(7,4)，所以cosα－sinα＝－eq\f(\r(7),2)，所以eq\f(1－tanα,1＋tanα)＝eq\f(1－\f(sinα,cosα),1＋\f(sinα,cosα))＝eq\f(cosα－sinα,cosα＋sinα)＝eq\f(－\f(\r(7),2),\f(1,2))＝－eq\r(7).3．已知θ是第一象限角，若sinθ－2cosθ＝－eq\f(2,5)，则sinθ＋cosθ＝________.解析：∵sinθ－2cosθ＝－eq\f(2,5)，∴sinθ＝2cosθ－eq\f(2,5)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2cosθ－\f(2,5)))2＋cos2θ＝1，∴5cos2θ－eq\f(8,5)cosθ－eq\f(21,25)＝0，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosθ－\f(3,5)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5cosθ＋\f(7,5)))＝0.又∵θ为第一象限角，∴cosθ＝eq\f(3,5)，∴sinθ＝eq\f(4,5)，∴sinθ＋cosθ＝eq\f(7,5).答案：eq\f(7,5)4．已知关于x的方程2x2－(eq\r(3)＋1)x＋m＝0的两根分别是sinθ和cosθ，θ∈(0,2π)，求：(1)eq\f(sin2θ,sinθ－cosθ)＋eq\f(cosθ,1－tanθ)的值；(2)m的值；(3)方程的两根及此时θ的值．解：(1)原式＝eq\f(sin2θ,sinθ－cosθ)＋eq\f(cosθ,1－\f(sinθ,cosθ))＝eq\f(sin2θ,sinθ－cosθ)＋eq\f(cos2θ,cosθ－sinθ)＝eq\f(sin2θ－cos2θ,sinθ－cosθ)＝sinθ＋cosθ.由条件知sinθ＋cosθ＝eq\f(\r(3)＋1,2)，故eq\f(sin2θ,sinθ－cosθ)＋eq\f(cosθ,1－tanθ)＝eq\f(\r(3)＋1,2).(2)由已知，得sinθ＋cosθ＝eq\f(\r(3)＋1,2)，sinθcosθ＝eq\f(m,2)，因为1＋2sinθcosθ＝(sinθ＋cosθ)2，所以1＋2×eq\f(m,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)＋1,2)))2，解得m＝eq\f(\r(3),2).(3)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinθ＋cosθ＝\f(\r(3)＋1,2)，sinθcosθ＝\f(\r(3),4)，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinθ＝\f(\r(3),2)，,cosθ＝\f(1,2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinθ＝\f(1,2)，,cosθ＝\f(\r(3),2).))又θ∈(0,2π)，故θ＝eq\f(π,3)或θ＝eq\f(π,6).故当sinθ＝eq\f(\r(3),2)，cosθ＝eq\f(1,2)时，θ＝eq\f(π,3)；当sinθ＝eq\f(1,2)，cosθ＝eq\f(\r(3),2)时，θ＝eq\f(π,6).第三节三角恒等变换1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.3.利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.4.能运用上述公式进行简单的恒等变换包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆.1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式(1)sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β；(2)cos(α±β)＝cos_αcos_β∓sin_αsin_β；(3)tan(α±β)＝eq\f(tanα±tanβ,1∓tanαtanβ).2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝2sin_αcos_α；(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；(3)tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).3．辅助角公式一般地，函数f(α)＝asinα＋bcosα(a，b为常数)可以化为f(α)＝eq\r(a2＋b2)sin(α＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中tanφ＝\f(b,a)))或f(α)＝eq\r(a2＋b2)cos(α－φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中tanφ＝eq\f(a,b))).1．两角和与差的正切公式的变形tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)；tanα·tanβ＝1－eq\f(tanα＋tanβ,tanα＋β)＝eq\f(tanα－tanβ,tanα－β)－1.2．降幂公式3．升幂公式e