八年级数学下册专题10特殊的平行四边形中的最值模型之胡不归模型(原卷版+解析)

专题10特殊的平行四边形中的最值模型之胡不归模型胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。【模型背景】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？”看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.补充知识：在直角三角形中锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即。若无法理解正弦，也可考虑特殊直角三角形（含30°，45°，60°）的三边关系。【模型解读】一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小．（注意与阿氏圆模型的区分）1），记，即求BC+kAC的最小值.2）构造射线AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,将问题转化为求BC+CH最小值.3）过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．【解题关键】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短。例1．（2021·眉山市·中考真题）如图，在菱形中，，对角线、相交于点，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值是______．例2．（2023·湖北武汉·九年级期末）如图，▱中，，，为边上一点，则的最小值为______．例3．（2023上·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，在长方形中，，，点在上，连接，在点的运动过程中，的最小值为．

例4．（2022·广东佛山·校考一模）在边长为1的正方形中，是边的中点，是对角线上的动点，则的最小值为___________．例5．（2022·浙江宁波·九年级开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数分别交x轴、y轴于A、B两点，若C为x轴上的一动点，则2BC+AC的最小值为__________．例6．（2023·山东济宁·校考模拟预测）如图，矩形的对角线，相交于点，关于的对称图形为．（1）求证：四边形是菱形；（2）连接，若，．①求的值；②若点为线段上一动点（不与点重合），连接，一动点从点出发，以的速度沿线段匀速运动到点，再以的速度沿线段匀速运动到点，到达点后停止运动．当点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时，求的长和点走完全程所需的时间．课后专项训练1．（2023上·四川乐山·九年级统考期末）如图，在中，，若D是边上的动点，则的最小值是（

）A．6 B．8 C．10 D．123．（2023·广东东莞·校考三模）如图，菱形ABCD的边长为6，∠B＝120°．点P是对角线AC上一点（不与端点A重合），则AP+PD的最小值为_____．3．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，矩形ABCD中AB＝3，BC，E为线段AB上一动点，连接CE，则AE＋CE的最小值为___．4．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，▱ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则2PB+PD的最小值等于______.5．（2023·江苏镇江·统考一模）如图，在平行四边形中，，E为边上的一动点，那么的最小值等于______．6．（2023·内蒙古通辽·统考一模）如图，已知菱形ABCD的边长为8，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC=120°，则MA+MB+MD的最小值是________．7．（2023·辽宁锦州·统考中考真题）如图，在中，，，，按下列步骤作图：①在和上分别截取、，使．②分别以点D和点E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点M．③作射线交于点F．若点P是线段上的一个动点，连接，则的最小值是．8．（2023上·江苏淮安·八年级校联考期中）已知等边中，，，若点P在线段上运动时，的最小值为．9．（2023上·广东深圳·九年级校考期中）如图，在中，，，.，分别是边，上的动点，且，则的最小值为．10．（2023·山东·九年级专题练习）如图，直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点，点C（0，1）在y轴上，点P在x轴上运动，则PC＋PB的最小值为___．11．（2023·四川眉山·统考一模）两张宽为3cm的纸条交叉重叠成四边形ABCD．如图所示若，P是对角线BD上的一个动点，则的最小值是______．12．（2023·湖北孝感·校考模拟预测）如图，四边形是正方形纸片，．对折正方形纸片，使与重合，折痕为；展平后再过点折叠正方形纸片，使点落在上的点处，折痕为；再次展平，延长交于点Q．有如下结论：①；②；③；④；⑤为线段上一动点，则的最小值是．其中正确结论的序号是．

13．（2023·吉林长春·统考一模）（1）【问题原型】如图①，在，，，求点到的距离．（2）【问题延伸】如图②，在，，．若点在边上，点在线段上，连结，过点作于，则的最小值为______．（3）【问题拓展】如图（3），在矩形中，．点在边上，点在边上，点在线段上，连结．若，则的最小值为______．14．（2023·广东广州·九年级校考自主招生）如图，已知菱形的边、上的中点分别为点E、F，且，．(1)若的延长线交于点，，求的面积．(2)在（1）的条件下，点是直线上一点，求的最小值．15．（2023下·江苏淮安·八年级统考期末）问题情境：苏科版八年级下册数学教材第94页第19题第（1）题是这样一个问题：如图1，在正方形中，点分别在边上，且，垂足为M．那么与相等吗？

（1）直接判断：___________（填“”或“”）；在“问题情境”的基础上，继续探索：问题探究：（2）如图2，在正方形中，点分别在边和上，且，垂足为M．那么与相等吗？证明你的结论；问题拓展：（3）如图3，在（2）的条件下，当在正方形的对角线上时，连接，将沿着翻折，点落在点处．①四边形是正方形吗？请说明理由；②若，如图4，点在上，且，直接写出的最小值为__________．专题10特殊的平行四边形中的最值模型之胡不归模型胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。【模型背景】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？”看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.补充知识：在直角三角形中锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即。若无法理解正弦，也可考虑特殊直角三角形（含30°，45°，60°）的三边关系。【模型解读】一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小．（注意与阿氏圆模型的区分）1），记，即求BC+kAC的最小值.2）构造射线AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,将问题转化为求BC+CH最小值.3）过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．【解题关键】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短。例1．（2021·眉山市·中考真题）如图，在菱形中，，对角线、相交于点，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值是______．【答案】【分析】过M点作MH垂直BC于H点，与OB的交点为P点，此时的长度最小为MH，再算出MC的长度，在直角三角形MPC中利用三角函数即可解得MH【详解】过M点作MH垂直BC于H点，与OB的交点为P点，此时的长度最小∵菱形中，∴AB=BC=AC=10，△ABC为等边三角形∴∠PBC=30°，∠ACB=60°∴在直角△PBH中，∠PBH=30°∴PH=∴此时得到最小值，∵AC=10，AM=3,∴MC=7又∠MPC=60°∴MH=MCsin60°=故答案为：【点睛】本题主要考查了菱形的性质与三角函数，能够找到最小值时的P点是解题关键.例2．（2023·湖北武汉·九年级期末）如图，▱中，，，为边上一点，则的最小值为______．【答案】【分析】作PH丄AD交AD的延长线于H，由直角三角形的性质可得HP=DP，因此PD+2PB=2(DP+PB)=2(PH+PB)，当H、P、B三点共线时HP+PB有最小值，即PD十2PB有最小值，即可求解．【详解】如图，过点作，交的延长线于，四边形是平行四边形，，∴∵PH丄AD∴∴，，∴当点，点，点三点共线时，HP+PB有最小值，即有最小值，此时，，，∴，则最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查了胡不归问题，平行四边形的性质，直角三角形的性质，垂线段最短等知识．构造直角三角形是解题的关键．例3．（2023上·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，在长方形中，，，点在上，连接，在点的运动过程中，的最小值为．

【答案】/【分析】在线段下方作，过点作于点，连接，求出此时的长度便可．【详解】解：∵四边形是矩形，，，∴，，，∴，在线段下方作，过点作于点，连接，

∴，∴，当、、三点共线时，的值最小，此时，∴，∴，，∴，∴的最小值为：，∴的最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查了长方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，垂线段最短性质，关键是作辅助线构造的最小值．例4．（2022·广东佛山·校考一模）在边长为1的正方形中，是边的中点，是对角线上的动点，则的最小值为___________．【答案】0【分析】作于，可得出，从而得的最小值，将变形为，进一步得出结果．【详解】解：如图，作于，∵四边形是正方形，，，的最小值为0，∵，∴的最小值为0，故答案为：0．【点睛】本题考查了正方形的性质，解直角三角形等知识，解题关键是作辅助线转化线段．例5．（2022·浙江宁波·九年级开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数分别交x轴、y轴于A、B两点，若C为x轴上的一动点，则2BC+AC的最小值为__________．【答案】6【分析】先求出点A，点B坐标，由勾股定理可求AB的长，作点B关于OA的对称点，可证是等边三角形，由直角三角形的性质可得CH＝AC，则，即当点，点C，点H三点共线时，有最小值，即2BC＋AC有最小值，由直角三角形的性质可求解．【详解】解：∵一次函数分别交x轴、y轴于A、B两点，∴点A（3，0），点，∴AO＝3，，∴，作点B关于OA的对称点，连接，，过点C作CH⊥AB于H，如图所示：∴，∴，∴，∴是等边三角形，∵，∴，∵CH⊥AB，∴，∴，∴当点，点C，点H三点共线时，有最小值，即2BC＋AC有最小值，此时，，是等边三角形，∴，，∴，∴2BC＋AC的最小值为6．故答案为：6．【点睛】本题是胡不归问题，考查了一次函数的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，确定点C的位置是解题的关键．例6．（2023·山东济宁·校考模拟预测）如图，矩形的对角线，相交于点，关于的对称图形为．（1）求证：四边形是菱形；（2）连接，若，．①求的值；②若点为线段上一动点（不与点重合），连接，一动点从点出发，以的速度沿线段匀速运动到点，再以的速度沿线段匀速运动到点，到达点后停止运动．当点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时，求的长和点走完全程所需的时间．【答案】（1）证明见解析；（2）①；②和走完全程所需时间为．【分析】（1）利用四边相等的四边形是菱形进行证明即可；（2）①构造直角三角形求即可；②先确定点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时的位置，再计算运到的时间．【详解】（1）四边形是矩形，，与交于点O,且关于对称，，，四边形是菱形；（2）①连接,直线分别交于点,交于点，关于的对称图形为，，在矩形中，为的中点，且O为AC的中点，为的中位线，

，同理可得：为的中点，，

，；②过点P作交于点，由运动到所需的时间为3s，由①可得，，点Q以的速度从P到A所需的时间等于以从M运动到A，即：，由O运动到P所需的时间就是OP+MA和最小.如下图，当P运动到,即时，所用时间最短.，在中，设，，，解得：，，和走完全程所需时间为．课后专项训练1．（2023上·四川乐山·九年级统考期末）如图，在中，，若D是边上的动点，则的最小值是（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】D【分析】过点C作射线，使，再过动点D作，垂足为点F，连接，在中，当A，D，F在同一直线上，即时，的值最小，最小值等于垂线段的长．【详解】过点C作射线，使，再过动点D作，垂足为点F，连接，如图所示：在中，，∴，∵＝，∴当A，D，F在同一直线上，即时，的值最小，最小值等于垂线段的长，此时，，∴是等边三角形，∴，在中，，∴，∴，∴，∴，∴，∴的最小值为12，故选：D．【点睛】本题考查垂线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造胡不归模型，学会用转化的思想思考问题，属于中考选择或填空题中的压轴题．3．（2023·广东东莞·校考三模）如图，菱形ABCD的边长为6，∠B＝120°．点P是对角线AC上一点（不与端点A重合），则AP+PD的最小值为_____．【答案】3【分析】过点P作PE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AB于点F，根据四边形ABCD是菱形，且∠B＝120°，∠DAC＝∠CAB＝30°，可得PE＝AP，当点D，P，E三点共线且DE⊥AB时，PE+DP的值最小，最小值为DF的长，根据勾股定理即可求解．【详解】解：如图，过点P作PE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AB于点F,∵四边形ABCD是菱形，且∠B＝120°,∴∠DAC＝∠CAB＝30°,∴PE＝AP;∵∠DAF＝60°,∴∠ADF＝30°,∴AF＝AD＝×6＝3;∴DF＝3;∵AP+PD＝PE+PD,∴当点D，P，E三点共线且DE⊥AB时,PE+DP的值最小，最小值为DF的长,∴AP+PD的最小值为3.故答案为：3.【点睛】本题考查了菱形的性质，结合直角三角形、等边三角形的判定与性质知识点，准确判断最小值的判定.3．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，矩形ABCD中AB＝3，BC，E为线段AB上一动点，连接CE，则AE＋CE的最小值为___．【答案】3【详解】思路引领：在射线AB的下方作∠MAB＝30°，过点E作ET⊥AM于T，过点C作CH⊥AM于H．易证ETAE，推出AE+EC＝CE+ET≥CH，求出CH即可解决问题．答案详解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∴tan∠CAB，∴∠CAB＝30°，∴AC＝2BC＝2，在射线AB的下方作∠MAB＝30°，过点E作ET⊥AM于T，过点C作CH⊥AM于H．∵ET⊥AM，∠EAT＝30°，∴ETAE，∵∠CAH＝60°，∠CHA＝90°，AC＝2，∴CH＝AC•sin6°＝23，∵AE+EC＝CE+ET≥CH，∴AE+EC≥3，∴AE+EC的最小值为3，故答案为3．4．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，▱ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则2PB+PD的最小值等于______.【答案】【分析】过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E，根据四边形ABCD是平行四边形，得到AB∥CD，推出PE=PD，由此得到当PB+PE最小时2PB+PD有最小值，此时P、B、E三点在同一条直线上，利用∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6求出PB+PE的最小值=AB=3，得到2PB+PD的最小值等于6.【详解】过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠EDC=∠DAB＝30°，∴PE=PD，∵2PB+PD=2（PB+PD）=2(PB+PE)，∴当PB+PE最小时2PB+PD有最小值，此时P、B、E三点在同一条直线上，∵∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6，∴PB+PE的最小值=AB=3，∴2PB+PD的最小值等于6，故答案为：6.【点睛】此题考查平行四边形的性质，直角三角形含30°角的问题，动点问题，将线段2PB+PD转化为三点共线的形式是解题的关键.5．（2023·江苏镇江·统考一模）如图，在平行四边形中，，E为边上的一动点，那么的最小值等于______．【答案】3【分析】如图，过作交的延长线于点，根据平行四边形的性质，推出，从而得到，进而得到，根据，可知，当三点共线时，线段的和最小，利用所对的直角边是斜边的一半即可得解．【详解】解：如图，过作交的延长线于点，∵四边形为平行四边形，∴，∴，∴，∴，∵，∴当三点共线时，线段的和最小，∵，，∴，即：的最小值等于3；故答案为：3．【点睛】本题考查平行四边形的性质，以及含的直角三角形．通过添加辅助线，构造含的直角三角形，利用垂线段最短进行求解，是解题的关键．本题是胡不归模型，平时多归纳总结，可以快速解题．6．（2023·内蒙古通辽·统考一模）如图，已知菱形ABCD的边长为8，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC=120°，则MA+MB+MD的最小值是________．【答案】【分析】过点D作DE⊥AB于点E，连接BD，根据垂线段最短，此时DE最短，即MA+MB+MD最小，根据菱形性质和等边三角形的性质即可求出DE的长，进而可得结论．【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，连接BD，∵菱形ABCD中，∠ABC=120°，∠MAE=30°，∴∠DAB=60°，AD=AB=DC=BC，MD=MB，∴△ADB是等边三角形，∵∠MAE=30°，∴AM=2ME，∵MD=MB，∴MA+MB+MD=2ME+2DM=2DE，根据垂线段最短，此时DE最短，即MA+MB+MD最小，∵菱形ABCD的边长为8，∴DE=，∴2DE=8．∴MA+MB+MD的最小值是8．故答案为：8．【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质．7．（2023·辽宁锦州·统考中考真题）如图，在中，，，，按下列步骤作图：①在和上分别截取、，使．②分别以点D和点E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点M．③作射线交于点F．若点P是线段上的一个动点，连接，则的最小值是．【答案】【分析】过点P作于点Q，过点C作于点H，先利用角平分线和三角形的内角和定理求出，然后利用含的直角三角的性质得出，则，当C、P、Q三点共线，且与垂直时，最小，最小值为，利用含的直角三角的性质和勾股定理求出，，最后利用等面积法求解即可．【详解】解：过点P作于点Q，过点C作于点H，由题意知：平分，∵，，∴，∴，∴，∴，∴当C、P、Q三点共线，且与垂直时，最小，最小值为，∵，，，∴，∴，∵，∴，即最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查了尺规作图-作角平分线，含的直角三角形的性质，勾股定理等知识，注意掌握利用等积法求三角形的高或点的线的距离的方法．8．（2023上·江苏淮安·八年级校联考期中）已知等边中，，，若点P在线段上运动时，的最小值为．【答案】12【分析】根据题意易得，则有，过点P作于点E，进而可得，当取最小时，即为最小，则有当点B、P、E三点共线且时最短，进而可求解．【详解】解：∵是等边三角形，∴，∵，∴，过点P作于点E，如图所示：∴，∴，∴当取最小时，即为最小，∴当点B、P、E三点共线时且时最小，如图所示：∵为等边三角形，∴，∴最小值为；故答案为：12．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质及含角的直角三角形的性质，垂线段最短，两点之间线段最短，熟练掌握等边三角形的性质及含角的直角三角形的性质是解题的关键．9．（2023上·广东深圳·九年级校考期中）如图，在中，，，.，分别是边，上的动点，且，则的最小值为．【答案】【分析】作，连接，过B点作的延长线与G点．根据相似三角形的性质可得，因此，根据两点之间线段最短可知当B、E、F三点共线时，，此时的值最小，为BF．再证四边形是矩形，由矩形的性质可知，，在中根据勾股定理可求出的长，即可知的最小值．【详解】如图，作，连接，过B点作的延长线与G点，，且，，，．，∴当B、E、F三点共线时，，此时的值最小，为．，．又，，∴四边形是矩形，，，，．故答案为：【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握以上知识，构造相似三角形是解题的关键．10．（2023·山东·九年级专题练习）如图，直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点，点C（0，1）在y轴上，点P在x轴上运动，则PC＋PB的最小值为___．【答案】4【详解】思路引领：过P作PD⊥AB于D，依据△AOB是等腰直角三角形，可得∠BAO＝∠ABO＝45°＝∠BPD，进而得到△BDP是等腰直角三角形，故PDPB，当C，P，D在同一直线上时，CD⊥AB，PC+PD的最小值等于垂线段CD的长，求得CD的长，即可得出结论．答案详解：如图所示，过P作PD⊥AB于D，∵直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点，令x＝0，则y＝﹣3；令y＝0，则x＝3，∴A（0，﹣3），B（3，0），∴AO＝BO＝3，又∵∠AOB＝90°，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠BAO＝∠ABO＝45°＝∠BPD，∴△BDP是等腰直角三角形，∴PDPB，∴PC+PB（PCPB）（PC+PD），当C，P，D在同一直线上，即CD⊥AB时，PC+PD的值最小，最小值等于垂线段CD的长，此时，△ACD是等腰直角三角形，又∵点C（0，1）在y轴上，∴AC＝1+3＝4，∴CDAC＝2，即PC+PD的最小值为，∴PC+PB的最小值为4，故答案为：4．11．（2023·四川眉山·统考一模）两张宽为3cm的纸条交叉重叠成四边形ABCD．如图所示若，P是对角线BD上的一个动点，则的最小值是______．【答案】【分析】先证明四边形ABCD是菱形，过点D作DE⊥BC于点E，连接AC，交BD于点O，可得，，然后根据勾股定理可得，则，进而求出，要使的值最小，则需要满足为最小，即为最小，当B、P、M在同一直线上时，为最小，过点A作AM⊥AP，且使，连接BM，进而求解即可．【详解】两张宽为3cm的纸条交叉重叠成四边形ABCD，即，四边形ABCD是平行四边形，，，四边形ABCD是菱形，过点D作DE⊥BC于点E，连接AC，交BD于点O，如图，，，，，，，，，过点A作AM⊥AP，且使，连接BM，如图，，要使的值最小，则需要满足为最小，即为最小，当B、P、M在同一直线上时，为最小，如图，，，的最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查了三角函数、菱形的性质与判定及含30°直角三角形的性质，解题的关键是利用“胡不归”原理找到最小值的情况，然后根据三角函数及菱形的性质进行求解即可．12．（2023·湖北孝感·校考模拟预测）如图，四边形是正方形纸片，．对折正方形纸片，使与重合，折痕为；展平后再过点折叠正方形纸片，使点落在上的点处，折痕为；再次展平，延长交于点Q．有如下结论：①；②；③；④；⑤为线段上一动点，则的最小值是．其中正确结论的序号是．

【答案】①③④⑤【分析】①首先根据垂直平分，可得；然后根据折叠的性质，可得，据此判断出为等边三角形，即可判断出．②首先根据，，求出；然后在中，根据，求出的大小即可．③证明所以．④构造直角三角形，利用勾股定理即可得出结论．⑤首先过点作，在同一条直线上且时的值最小．【详解】解：如图，连接，

垂直平分，，根据折叠的性质，可得：，，为等边三角形，，即结论①正确；，，，，即结论②不正确．∵折叠，∴，∴∵∴∴∴，即结论③正确．设，则，∵，，∴，在中由，∴，解得：，即，即结论④正确．过点H作，是等边三角形，，∴，在同一条直线上且时的值最小，此时，的最小值是，即结论⑤正确．故答案为：①③④⑤．【点睛】此题主要考查了几何变换综合题，考查了分析推理能力，考查了空间想象能力，考查了数形结合方法的应用，要熟练掌握．13．（2023·吉林长春·统考一模）（1）【问题原型】如图①，在，，，求点到的距离．（2）【问题延伸】如图②，在，，．若点在边上，点在线段上，连结，过点作于，则的最小值为______．（3）【问题拓展】如图（3），在矩形中，．点在边上，点在边上，点在线段上，连结．若，则的最小值为______．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）过点作于，过点作于，根据等腰三角形的性质可得，再由勾股定理可得的长，再由，即可求解；（2）连接，过点作于，过点作于．根据题意可得的最小值等于的长，再由当时，的长最小，可得的最小值等于的长，再根据等腰三角形的性质可得，再由勾股定理可得的长，再由，即可求解；（3）过点F作于点H，连接，过点E作于点G，根据直角三角形的性质可得在，从而得到，继而得到的最小值等于，再由当时，的长最小，即的长最小，可得的最小值等于，即可求解．【详解】解：（1）如图，过点作于，过点作于．∵，∴．在中，．∵，∴．∴点到的距离为．（2）如图，连接，过点作于，过点作于．∵，∴的最小值等于的长，∵当时，的长最小，此时点Q与点H重合，∴的最小值等于的长，∵，∴．在中，．∵，∴．即的最小值为；故答案为：（3）如图，过点F作于点H，连接，过点E作于点G，在中，，∴，∴，∴的最小值等于，∵当时，的长最小，即的长最小，此时点H与点G重合，∴的最小值等于，∵四边形是矩形，∴，∴，∴，即的最小值等于．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，矩形的性质，直角三角形的性