新八年级数学讲义第8讲因式分解-满分班(学生版+解析)

第8讲因式分解1因式分解一、因式分解把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.要点诠释：（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式.（2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.（3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.【例题精选】例1(2023秋•唐县期末）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A．2a2﹣2a+1＝2a（a﹣1）+1 B．（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2 C．x2﹣6x+5＝（x﹣5）（x﹣1） D．x2+y2＝（x﹣y）2+2xy例2(2023•裕华区校级模拟）下列从左到右的变形，是因式分解的是（）A．（3﹣x）（3+x）＝9﹣x2 B．（y+1）（y﹣3）＝（3﹣y）（y+1） C．4yz﹣2y2z+z＝2y（2z﹣zy）+z D．﹣8x2+8x﹣2＝﹣2（2x﹣1）2【随堂练习】1．(2023春•大东区期中）下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是（）A．a（m+n）＝am+an B．a2﹣b2﹣c2＝（a+b）（a﹣b）﹣c2 C．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1） D．x﹣16+8x＝（x+4）（x﹣4）+8x2．(2023春•青岛期中）下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（）A．（3﹣x）（3+x）＝9﹣x2 B． C．m4﹣n4＝（m2+n2）（m+n）（m﹣n） D．4yz﹣2y2z+z＝2y（2z﹣yz）+z3．(2023春•新田县期中）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的有（）①25x2﹣4y2＝（5x+2y）（5x﹣2y）；②8x2y4﹣12xy2z＝4xy2（2xy2﹣3z）；③（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy；④x3y2﹣x5＝x3（y+x）（y﹣x）；⑤﹣（2x﹣3y）2＝﹣4x2+12xy﹣9y2．（）A．①②③⑤ B．②③④⑤ C．①②③④ D．①②③④⑤2.提公因式法多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.要点诠释：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.（2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式.（3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的.把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法．要点诠释：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，即.（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误.【例题精选】例1(2023•龙华区校级模拟）若x﹣y＝2，xy＝3，则x2y﹣xy2的值为（）A．1 B．﹣1 C．6 D．﹣6例2(2023•滨州模拟）因式分解：a3﹣9ab2＝________________．【随堂练习】1．(2023春•昌图县期末）多项式6a3b2﹣3a2b3因式分解时，应提取的公因式为（）A．3a2b2 B．3a3b2 C．3a2b3 D．3a3b32．(2023春•桂林期末）将多项式2a2﹣4ab因式分解应提取的公因式是（）A．a B．2a C．2ab D．4a2b3．(2023春•越城区期末）22018﹣22019的值是（）A． B．﹣ C．﹣22018 D．﹣23公式法一、公式法——平方差公式两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式.（2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.（3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.二、公式法——完全平方公式两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．即，.形如，的式子叫做完全平方式.要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.右边是两数的和（或差）的平方.（3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件.（4）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.【例题精选】例1(2023•余姚市模拟）分解因式：x2﹣4y2＝__________________．例2(2023•深圳模拟）若x2+2（3﹣m）x+25可以用完全平方式来分解因式，则m的值为________．【随堂练习】1．(2023•庐江县一模）因式分解：x2﹣2xy+y2＝__________________．2．(2023•嘉定区二模）分解因式4x2﹣4x+1＝__________________．3．(2023秋•东莞市期末）因式分解：2m（2m﹣3）+6m﹣1．3分组分解法对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.要点诠释：分组分解法分解因式常用的思路有：方法分类分组方法特点分组分解法四项二项、二项①按字母分组②按系数分组

③符合公式的两项分组三项、一项先完全平方公式后平方差公式五项三项、二项各组之间有公因式六项三项、三项

二项、二项、二项各组之间有公因式三项、二项、一项可化为二次三项式【例题精选】例1(2023•黄冈模拟）分解因式（1）x3+6x2+11x+6；（2）a2（b﹣c）+b2（c﹣a）+c2（a﹣b）．例2(2023•宜宾）分解因式：b2+c2+2bc﹣a2＝___________________．【随堂练习】1．(2023•邗江区校级模拟）把多项式a2﹣2ab+b2﹣1分解因式，结果是_________________．2．(2023•潍坊二模）因式分解：4x2﹣y2+2y﹣1＝_________________________．3．(2023秋•嘉善县期末）下列式子中，属于2x3+x2﹣13x+6的因式是（）A．x+2 B．x﹣3 C．2x﹣1 D．2x+1综合练习1．选择题（共3小题）1．多项式4x﹣x3分解因式的结果是（）A．x（4﹣x2） B．x（2﹣x）（2+x） C．x（x﹣2）（x+2） D．x（2﹣x）22．下列代数式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（）A．x2﹣1 B．x2+xy+y2 C．x2﹣2x+1 D．x2+2x﹣13．下列等式从左到石的变形，属于因式分解的是（）A．x2+2x+1＝x（x+2）+1 B．（x﹣1）（x+3）＝x2+2x﹣3 C．x2+4＝（x+2）2 D．x2+y2＝（x+y）（y﹣x）二．填空题（共3小题）4．分解因式4x2﹣（y﹣2）2＝．5．分解因式：m2n﹣n3＝．6．a与b互为相反数，则a3+2a2b+ab2＝．三．解答题（共3小题）7．分解因式：（1）x2y﹣9y；（2）﹣m2+4m﹣4．8．分解因式：x2﹣4y2+4﹣4x9．分解因式：（1）（a﹣b）（x﹣y）﹣（b﹣a）（x+y）（2）5m（2x﹣y）2﹣5mn2第8讲因式分解1因式分解一、因式分解把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.要点诠释：（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式.（2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.（3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.【例题精选】例1(2023秋•唐县期末）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A．2a2﹣2a+1＝2a（a﹣1）+1 B．（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2 C．x2﹣6x+5＝（x﹣5）（x﹣1） D．x2+y2＝（x﹣y）2+2xy分析：根据因式分解是将一个多项式转化为几个整式的乘积的形式，根据定义，逐项分析即可．【解答】解：A、2a2﹣2a+1＝2a（a﹣1）+1，等号的右边不是整式的积的形式，故此选项不符合题意；B、（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2，这是整式的乘法，故此选项不符合题意；C、x2﹣6x+5＝（x﹣5）（x﹣1），是因式分解，故此选项符合题意；D、x2+y2＝（x﹣y）2+2xy，等号的右边不是整式的积的形式，故此选项不符合题意；故选C．【点评】本题主要考查因式分解的意义，解决此类问题的关键是看是否是由一个多项式化为几个整式的乘积的形式．例2(2023•裕华区校级模拟）下列从左到右的变形，是因式分解的是（）A．（3﹣x）（3+x）＝9﹣x2 B．（y+1）（y﹣3）＝（3﹣y）（y+1） C．4yz﹣2y2z+z＝2y（2z﹣zy）+z D．﹣8x2+8x﹣2＝﹣2（2x﹣1）2分析：分别利用因式分解的定义分析得出答案．【解答】解：A、（3﹣x）（3+x）＝9﹣x2，是整式的乘法运算，故此选项错误；B、（y+1）（y﹣3）≠（3﹣y）（y+1），不符合因式分解的定义，故此选项错误；C、4yz﹣2y2z+z＝2y（2z﹣zy）+z，不符合因式分解的定义，故此选项错误；D、﹣8x2+8x﹣2＝﹣2（2x﹣1）2，正确．故选：D．【点评】此题主要考查了因式分解的定义，正确把握定义是解题关键．【随堂练习】1．(2023春•大东区期中）下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是（）A．a（m+n）＝am+an B．a2﹣b2﹣c2＝（a+b）（a﹣b）﹣c2 C．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1） D．x﹣16+8x＝（x+4）（x﹣4）+8x【解答】解：A、是整式的乘法，故此选项不符合题意；B、没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项不符合题意；C、把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项符合题意；D、没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项不符合题意；故选：C．2．(2023春•青岛期中）下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（）A．（3﹣x）（3+x）＝9﹣x2 B． C．m4﹣n4＝（m2+n2）（m+n）（m﹣n） D．4yz﹣2y2z+z＝2y（2z﹣yz）+z【解答】解：A、从左边到右边的变形，不属于因式分解，故本选项不符合题意；B、从左边到右边的变形，不属于因式分解，故本选项不符合题意；C、从左边到右边的变形，属于因式分解，故本选项符合题意；D、从左边到右边的变形，不属于因式分解，故本选项不符合题意；故选：C．3．(2023春•新田县期中）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的有（）①25x2﹣4y2＝（5x+2y）（5x﹣2y）；②8x2y4﹣12xy2z＝4xy2（2xy2﹣3z）；③（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy；④x3y2﹣x5＝x3（y+x）（y﹣x）；⑤﹣（2x﹣3y）2＝﹣4x2+12xy﹣9y2．（）A．①②③⑤ B．②③④⑤ C．①②③④ D．①②③④⑤【解答】解：因式分解是把一个多项式化成几个整式积的形式，这种式子的变形叫做这个多项式的因式分解，故①②③④符合定义，⑤不符合定义．故选：C．2.提公因式法多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.要点诠释：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.（2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式.（3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的.把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法．要点诠释：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，即.（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误.【例题精选】例1(2023•龙华区校级模拟）若x﹣y＝2，xy＝3，则x2y﹣xy2的值为（）A．1 B．﹣1 C．6 D．﹣6分析：直接利用提取公因式法分解因式，进而把已知代入求出答案．【解答】解：∵x﹣y＝2，xy＝3，∴x2y﹣xy2＝xy（x﹣y）＝3×2＝6．故选：C．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确分解因式是解题关键．例2(2023•滨州模拟）因式分解：a3﹣9ab2＝________________．分析：首先提取公因式a，进而利用平方差公式分解因式得出即可．【解答】解：a3﹣9ab2＝a（a2﹣9b2）＝a（a﹣3b）（a+3b）．故答案为：a（a﹣3b）（a+3b）．【点评】此题主要考查了提取公因式以及公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．【随堂练习】1．(2023春•昌图县期末）多项式6a3b2﹣3a2b3因式分解时，应提取的公因式为（）A．3a2b2 B．3a3b2 C．3a2b3 D．3a3b3【解答】解：多项式6a3b2﹣3a2b3因式分解时，6a3b2﹣3a2b3＝3a2b2（2a﹣b），故应提取的公因式为：3a2b2．故选：A．2．(2023春•桂林期末）将多项式2a2﹣4ab因式分解应提取的公因式是（）A．a B．2a C．2ab D．4a2b【解答】解：多项式2a2﹣4ab因式分解应提取的公因式是2a，故选：B．3．(2023春•越城区期末）22018﹣22019的值是（）A． B．﹣ C．﹣22018 D．﹣2【解答】解：22018﹣22019＝22018×（1﹣2）＝﹣22018．故选：C．3公式法一、公式法——平方差公式两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式.（2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.（3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.二、公式法——完全平方公式两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．即，.形如，的式子叫做完全平方式.要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.右边是两数的和（或差）的平方.（3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件.（4）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.【例题精选】例1(2023•余姚市模拟）分解因式：x2﹣4y2＝__________________．分析：直接利用平方差公式分解因式得出答案．【解答】解：x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y）．故答案为：（x+2y）（x﹣2y）．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．例2(2023•深圳模拟）若x2+2（3﹣m）x+25可以用完全平方式来分解因式，则m的值为________．分析：利用完全平方公式的特征判断即可求出m的值．【解答】解：∵x2+2（3﹣m）x+25可以用完全平方式来分解因式，∴2（3﹣m）＝±10解得：m＝﹣2或8．故答案为：﹣2或8．【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．【随堂练习】1．(2023•庐江县一模）因式分解：x2﹣2xy+y2＝__________________．【解答】解：原式＝（x﹣y）2．故答案为（x﹣y）2．2．(2023•嘉定区二模）分解因式4x2﹣4x+1＝__________________．【解答】解：4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2．3．(2023秋•东莞市期末）因式分解：2m（2m﹣3）+6m﹣1．【解答】解：原式＝4m2﹣6m+6m﹣1＝4m2﹣1＝（2m+1）（2m﹣1）．3分组分解法对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.要点诠释：分组分解法分解因式常用的思路有：方法分类分组方法特点分组分解法四项二项、二项①按字母分组②按系数分组

③符合公式的两项分组三项、一项先完全平方公式后平方差公式五项三项、二项各组之间有公因式六项三项、三项

二项、二项、二项各组之间有公因式三项、二项、一项可化为二次三项式【例题精选】例1(2023•黄冈模拟）分解因式（1）x3+6x2+11x+6；（2）a2（b﹣c）+b2（c﹣a）+c2（a﹣b）．分析：（1）利用分组分解法、提公因式法、十字相乘法，进行分解因式；（2）首先去括号进而重新分组，进而利用提取公因式法分解因式得出答案．【解答】解：（1）x3+6x2+11x+6＝x2（x+3）+3x（x+3）+2（x+3）＝（x2+3x+2）（x+3）＝（x+1）（x+2）（x+3）；（2）a2（b﹣c）+b2（c﹣a）+c2（a﹣b），＝a2b﹣ca2+c2a﹣b2a+b2c﹣c2b，＝（b﹣c）a2+（c2﹣b2）a+bc（b﹣c）＝（b﹣c）[a2﹣（b+c）a+bc]＝（b﹣c）（a2﹣ab﹣ac+bc）＝（b﹣c）[a（a﹣b）﹣c（a﹣b）]＝（b﹣c）（a﹣b）（a﹣c）．【点评】此题主要考查了分组分解法分解因式以及提取公因式法和十字相乘法分解因式，正确进行分组分解是解题关键．例2(2023•宜宾）分解因式：b2+c2+2bc﹣a2＝___________________．分析：当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．【解答】解：原式＝（b+c）2﹣a2＝（b+c+a）（b+c﹣a）．故答案为：（b+c+a）（b+c﹣a）【点评】本题考查了分组分解法分解因式，难点是采用两两分组还是三一分组．比如本题有a的二次项，a的一次项，有常数项，所以首要考虑的就是三一分组．【随堂练习】1．(2023•邗江区校级模拟）把多项式a2﹣2ab+b2﹣1分解因式，结果是_________________．【解答】解：a2﹣2ab+b2﹣1＝（a﹣b）2﹣1＝（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）．故答案为：（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）．2．(2023•潍坊二模）因式分解：4x2﹣y2+2y﹣1＝_________________________．【解答】解：4x2﹣y2+2y﹣1＝4x2﹣（y2﹣2y+1）＝（2x）2﹣（y﹣1）2＝（2x﹣y+1）（2x+y﹣1）故答案为：（2x+y﹣1）（2x﹣y+1）．3．(2023秋•嘉善县期末）下列式子中，属于2x3+x2﹣13x+6的因式是（）A．x+2 B．x﹣3 C．2x﹣1 D．2x+1【解答】解：∵2x3+x2﹣13x+6＝2x3+x2﹣10x﹣3x+6＝x（2x2+x﹣10）﹣3（x﹣2）＝x（2x+5）（x﹣2）﹣3（x﹣2）＝（x﹣2）（2x2+5x﹣3）＝（x﹣2）（2x﹣1）（x+3），∴2x3+x2﹣13x+6的因式是：（x﹣2），（2x﹣1），（x+3）．故选：C．综合练习1．选择题（共3小题）1．多项式4x﹣x3分解因式的结果是（）A．x（4﹣x2） B．x（2﹣x）（2+x） C．x（x﹣2）（x+2） D．x（2﹣x）2【解