新人教版高二暑期数学衔接第13讲直线与圆、圆与圆的位置关系讲义(学生版+解析)

第13讲直线与圆、圆与圆的位置关系【学习目标】1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆，圆与圆的位置关系2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题【基础知识】一、直线与圆的位置关系设圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),直线l:Ax+By+C=0,圆心C(a,b)到直线l的距离d= ,由 消去y(或x),得到关于x(或y)的一元二次方程,其判别式为Δ.位置关系相交相切相离公共点个数2

1

0

几何法

d<r

d=r

d>r

代数法Δ>0

Δ=0

Δ<0

二、圆的切线1.若点在圆外,则过此点可以作圆的两条切线;2.若点在圆上,则过此点只能作圆的一条切线,且此点是切点;3.若点在圆内,则过此点不能作圆的切线.4.过点P(x0,y0)的圆的切线方程的求法(1)若点P在圆上,求点P与圆心连线的斜率,若斜率存在且不为0,记为k,则切线斜率为- ;若斜率为0,则切线斜率不存在;若斜率不存在,则切线斜率为0.(2)若点P在圆外,设切线斜率为k,写出切线方程,利用圆心到切线的距离等于半径r,解出k即

可(若仅求出一个k值,则有一条斜率不存在的切线).5.过圆上一点的切线仅有一条,可熟记下列结论(1)若点P(x0,y0)在圆x2+y2=r2(r>0)上,则过点P的切线方程为x0x+y0y=r2;(2)若点P(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上,则过点P的切线方程为(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r2;(3)若点P(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)上,则过点P的切线方程为x0x+y0y+D·

+E·+F=0.三、圆的弦长的方法1.交点法:若直线与圆的交点坐标容易求出,则直接利用两点间的距离公式求解.2.弦长公式:设直线l:y=kx+b与圆的两个交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),将直线l的方程代入圆的方程,消元后利用根与系数的关系得弦长公式:|AB|=.(3)几何法:圆的半径r、圆心到弦的距离d、弦长l三者之间的关系为r2=d2+,即弦长l=四、利用圆的方程解决最大(小)值问题的方法1.由某些代数式的结构特征联想其几何意义,然后利用直线与圆的方程及解析几何的有关

知识并结合图形的直观性来分析解决问题,常涉及的几何量有:①关于x、y的一次分式形式常转化为直线的斜率;②关于x、y的一次式常转化为直线的截距;③关于x、y的二次式常转化为两点间的距离等.2.转化成函数解析式,利用函数的性质解决.3.利用三角代换,若点P(x,y)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上,则设 (θ为参数),代入目标函数,利用三角函数知识求最大(小)值.五、圆与圆的位置关系1.两圆的位置关系外离、外切、相交、内切和内含.2.两圆的位置关系的判定(1)代数法:设两圆的一般方程为C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(),C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(),联立得方程组 消元后得到一元二次方程(若得到的是一元一次方程,则要求出方程组的解进行判断),计算判别式Δ的值,按(2)的表中的标准进行判断.(2)几何法:两圆的半径分别为r1,r2,计算两圆连心线的长为d,按表中标准进行判断.位置关系外离外切相交内切内含图示     公共点个数01210位置关系外离外切相交内切内含Δ的值Δ<0Δ=0Δ>0Δ=0Δ<0d与的关系

公切线条数4

32

10

3.两圆的公共弦所在直线方程的求法设☉C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(),☉C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(),联立 ①-②,得(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0.③若两圆交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B的坐标适合方程①②,也适合方程③,因此方程③就是经过两圆交点的直线方程.故当两圆相交时,(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是经过两圆交点的直线方程,即公共弦所在直线的方程.当两圆外离时,(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是垂直于两圆圆心连线的一条直线方程.当两圆相切时,(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是两圆的一条公切线的方程.若两圆是等圆,则(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是以两圆圆心为端点的线段的垂直平分线的方程.【考点剖析】考点一：直线与圆位置关系的判断例1．(2022学年黑龙江省齐齐哈尔市恒昌中学校高二上学期期中)直线与圆的位置关系是(

)A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定考点二：求圆的切线方程例2．(2022学年新疆石河子第二中学高二上学期月考)在平面直角坐标系xOy中，点，直线，圆C：．(1)求b的取值范围，并求出圆心坐标(2)若圆C的半径为1，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(3)有一动圆M的半径为1，圆心在l上，若动圆M上存在点N，使，求圆心M的横坐标a的取值范围．考点三：与切线长有关的问题例3．(2022学年四川省巴中市南江中学高二上学期12月月考)直线上一点向圆引切线长的最小值为(

)A． B．1 C． D．3考点四：与弦长有关的问题例4．(2022学年辽宁省辽南协作校高二上学期期中)已知过点的直线与圆相交于，两点，若，则直线的方程为___________.考点五：与圆有关的最值问题例5．过圆内点作圆的两条互相垂直的弦和，则的最大值为__．考点六：两圆位置关系的判断例6．(2022学年湖南省株洲市炎陵县第一中学高二下学期3月月考)圆与圆的位置关系是(

)A．内切 B．相交 C．外切 D．相离考点七：两圆的公切线与公共弦问题例7．(2022学年四川省绵阳市绵阳南山中学高二上学期期中)已知点在直线上，过点作圆的两条切线，切点分别为，，点在圆上，则点到直线距离的最大值为(

)A．4 B．6 C． D．【真题演练】1.(2020年高考全国卷Ⅰ)已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为A．B． C． D．2．(2020年高考全国卷Ⅱ)若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为 A． B． C． D．3．(2018年高考全国卷Ⅲ)直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则面积的取值范围是 ()A． B． C． D．4．(2016高考全国卷Ⅱ)圆的圆心到直线的距离为1，则 ()A． B． C． D．5．(2021年新高考全国卷Ⅰ)已知点在圆上,点,,则A．点到直线的距离小于10 B．点到直线的距离大于2 C．当最小时, D．当最大时,6.(2021年新高考全国卷Ⅱ)已知直线与圆,点,则下列说法正确的是()A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切 B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离 D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切7.(2022年新高考全国卷Ⅱ)设点,若直线关于对称的直线与圆有公共点,则a的取值范围是_____．8.(2022年新高考全国卷Ⅰ)写出与圆和都相切的一条直线的方程_______．【过关检测】1.(2022学年四川省凉山州宁南中学高二下学期月考)已知圆和直线，则圆心C到直线l的最大距离为(

)A．1 B．2 C．3 D．2.(2022学年安徽省皖南地区高二下学期开学调研)过点作圆的切线，切点为B，则(

)A．2 B． C．3 D．3.(2022学年云南省保山市昌宁县高二下学期期中)若直线与圆有两个公共点，则点与圆的位置关系是(

)A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．以上都有可能4.(2022学年河南省安阳市高二下学期5月月考)已知圆：和圆：有且仅有4条公切线，则实数的取值范围是(

)A． B．C． D．5.(多选)(2022学年重庆市清华中学高二上学期第二次月考)对于定点和圆：，下列说法正确的是(

)A．点在圆内部B．过点有两条圆的切线C．过点被圆截得的弦长最大时的直线方程为D．过点被圆截得的弦长最小值为6.(多选)(2022学年广东省深圳市重点中学高二上学期期末)点P在圆上，点Q在圆上，则(

)A．两个圆心所在的直线斜率为B．两个圆相交弦所在直线的方程为C．两圆公切线有两条D．|PQ|的最小值为07.(2022学年黑龙江省哈尔滨市第六中学校高二上学期期末)过点作圆的切线，则切线方程为______.8.(2022学年江苏省南京市江宁区高二下学期期末)若点到直线l的距离分别为1和4，则这样的直线l共有___________条．9.(2022学年湖北省新高考协作体高二下学期期末)已知圆C：，直线l恒过点(1)若直线l与圆C相切，求l的方程；(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且时，求l的方程.10.(2022学年重庆市两江中学校(教育集团)高二上学期月考)已知圆.(1)若直线，证明:无论为何值，直线都与圆相交；(2)若过点的直线与圆相交于两点，求的面积的最大值，并求此时直线的方程.第13讲直线与圆、圆与圆的位置关系【学习目标】1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆，圆与圆的位置关系2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题【基础知识】一、直线与圆的位置关系设圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),直线l:Ax+By+C=0,圆心C(a,b)到直线l的距离d= ,由 消去y(或x),得到关于x(或y)的一元二次方程,其判别式为Δ.位置关系相交相切相离公共点个数2

1

0

几何法

d<r

d=r

d>r

代数法Δ>0

Δ=0

Δ<0

二、圆的切线1.若点在圆外,则过此点可以作圆的两条切线;2.若点在圆上,则过此点只能作圆的一条切线,且此点是切点;3.若点在圆内,则过此点不能作圆的切线.4.过点P(x0,y0)的圆的切线方程的求法(1)若点P在圆上,求点P与圆心连线的斜率,若斜率存在且不为0,记为k,则切线斜率为- ;若斜率为0,则切线斜率不存在;若斜率不存在,则切线斜率为0.(2)若点P在圆外,设切线斜率为k,写出切线方程,利用圆心到切线的距离等于半径r,解出k即

可(若仅求出一个k值,则有一条斜率不存在的切线).5.过圆上一点的切线仅有一条,可熟记下列结论(1)若点P(x0,y0)在圆x2+y2=r2(r>0)上,则过点P的切线方程为x0x+y0y=r2;(2)若点P(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上,则过点P的切线方程为(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r2;(3)若点P(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)上,则过点P的切线方程为x0x+y0y+D·

+E·+F=0.三、圆的弦长的方法1.交点法:若直线与圆的交点坐标容易求出,则直接利用两点间的距离公式求解.2.弦长公式:设直线l:y=kx+b与圆的两个交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),将直线l的方程代入圆的方程,消元后利用根与系数的关系得弦长公式:|AB|=.(3)几何法:圆的半径r、圆心到弦的距离d、弦长l三者之间的关系为r2=d2+,即弦长l=四、利用圆的方程解决最大(小)值问题的方法1.由某些代数式的结构特征联想其几何意义,然后利用直线与圆的方程及解析几何的有关

知识并结合图形的直观性来分析解决问题,常涉及的几何量有:①关于x、y的一次分式形式常转化为直线的斜率;②关于x、y的一次式常转化为直线的截距;③关于x、y的二次式常转化为两点间的距离等.2.转化成函数解析式,利用函数的性质解决.3.利用三角代换,若点P(x,y)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上,则设 (θ为参数),代入目标函数,利用三角函数知识求最大(小)值.五、圆与圆的位置关系1.两圆的位置关系外离、外切、相交、内切和内含.2.两圆的位置关系的判定(1)代数法:设两圆的一般方程为C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(),C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(),联立得方程组 消元后得到一元二次方程(若得到的是一元一次方程,则要求出方程组的解进行判断),计算判别式Δ的值,按(2)的表中的标准进行判断.(2)几何法:两圆的半径分别为r1,r2,计算两圆连心线的长为d,按表中标准进行判断.位置关系外离外切相交内切内含图示     公共点个数01210位置关系外离外切相交内切内含Δ的值Δ<0Δ=0Δ>0Δ=0Δ<0d与的关系

公切线条数4

32

10

3.两圆的公共弦所在直线方程的求法设☉C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(),☉C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(),联立 ①-②,得(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0.③若两圆交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B的坐标适合方程①②,也适合方程③,因此方程③就是经过两圆交点的直线方程.故当两圆相交时,(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是经过两圆交点的直线方程,即公共弦所在直线的方程.当两圆外离时,(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是垂直于两圆圆心连线的一条直线方程.当两圆相切时,(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是两圆的一条公切线的方程.若两圆是等圆,则(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是以两圆圆心为端点的线段的垂直平分线的方程.【考点剖析】考点一：直线与圆位置关系的判断例1．(2022学年黑龙江省齐齐哈尔市恒昌中学校高二上学期期中)直线与圆的位置关系是(

)A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定【答案】B【解析】圆心坐标为，半径为，圆心到直线的距离为，所以直线与圆相切．故选B考点二：求圆的切线方程例2．(2022学年新疆石河子第二中学高二上学期月考)在平面直角坐标系xOy中，点，直线，圆C：．(1)求b的取值范围，并求出圆心坐标(2)若圆C的半径为1，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(3)有一动圆M的半径为1，圆心在l上，若动圆M上存在点N，使，求圆心M的横坐标a的取值范围．【解析】(1)化为，由得，∴的取值范围为，圆心坐标为.(2)由(1)知圆心的坐标为，当半径为1时，圆的方程为：，将代入，得，∴在圆外，设所求圆的切线方程为，即，∴.∴，∴，∴或者，∴所求圆的切线方程为：或者，即或.(3)∵圆的圆心在直线：上，所以，设圆心，又半径为1，则圆的方程为：，又∵，∴点在的中垂线上，的中点得直线：，∴点应该既在圆上又在直线上，即圆和直线有公共点.∴，∴.综上所述，的取值范围为：.考点三：与切线长有关的问题例3．(2022学年四川省巴中市南江中学高二上学期12月月考)直线上一点向圆引切线长的最小值为(

)A． B．1 C． D．3【答案】B【解析】圆的圆心为，半径为，圆心到直线的距离为.所以切线长的最小值为.故选B考点四：与弦长有关的问题例4．(2022学年辽宁省辽南协作校高二上学期期中)已知过点的直线与圆相交于，两点，若，则直线的方程为___________.【答案】或【解析】圆的圆心，半径，直线截圆所得弦长，则弦心距，当过点的直线斜率不存在时，的方程为，圆心到直线的距离为1，符合题意要求；当过点的直线斜率存在时，的方程可设为，由，可得，此时的方程为综上，直线的方程为或考点五：与圆有关的最值问题例5．过圆内点作圆的两条互相垂直的弦和，则的最大值为__．【答案】【解析】取中点，中点，如图，则是矩形，，，同理，注意到时，由得，从而，当且仅当时取等号．所以，当且仅当，即时等号成立．所以的最大值是．考点六：两圆位置关系的判断例6．(2022学年湖南省株洲市炎陵县第一中学高二下学期3月月考)圆与圆的位置关系是(

)A．内切 B．相交 C．外切 D．相离【答案】B【解析】由得圆心坐标为，半径，由得圆心坐标为，半径，∴，，∴，即两圆相交.故选B.考点七：两圆的公切线与公共弦问题例7．(2022学年四川省绵阳市绵阳南山中学高二上学期期中)已知点在直线上，过点作圆的两条切线，切点分别为，，点在圆上，则点到直线距离的最大值为(

)A．4 B．6 C． D．【答案】B【解析】根据题意，设为直线上的一点，则，过点作圆的切线，切点分别为、，则有，，则点、在以为直径的圆上，以为直径的圆的圆心为C，，半径，则其方程为，变形可得，联立，可得圆C和圆O公共弦AB为：，又由，则有，变形可得，则有，解可得，故直线恒过定点，点在圆上，则点到直线距离的最大值为．故选B．【真题演练】1.(2020年高考全国卷Ⅰ)已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为A．B． C． D．【答案】D【解析】圆的方程可化为，点到直线的距离为，所以直线与圆相离．依圆的知识可知，四点四点共圆，且，所以，而，当直线时，，，此时最小．∴即，由解得，．所以以为直径的圆的方程为，即，两圆的方程相减可得：，即为直线的方程．故选D．2．(2020年高考全国卷Ⅱ)若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为 A． B． C． D．【答案】B【解析】由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，设圆心的坐标为，则圆的半径为，圆的标准方程为．由题意可得，可得，解得或，所以圆心的坐标为或，圆心到直线的距离均为；圆心到直线的距离均为，圆心到直线的距离均为；所以，圆心到直线的距离为．故选B．3．(2018年高考全国卷Ⅲ)直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则面积的取值范围是 ()A． B． C． D．【答案】A【解析】由直线易知，，故圆的圆心到直线的距离为，所以点到直线的距离的取值范围为即所以，故选A．4．(2016高考全国卷Ⅱ)圆的圆心到直线的距离为1，则 ()A． B． C． D．【答案】A【解析】由得：，所以圆心坐标为，所以圆心到直线的距离为：，所以，故选A．5．(2021年新高考全国卷Ⅰ)已知点在圆上,点,,则A．点到直线的距离小于10 B．点到直线的距离大于2 C．当最小时, D．当最大时,【答案】ACD【解析】,,过、的直线方程为,即,圆的圆心坐标为,圆心到直线的距离,点到直线的距离的范围为,,,,,点到直线的距离小于10,但不一定大于2,故正确,错误；如图,当过的直线与圆相切时,满足最小或最大点位于时最小,位于时最大),此时,,故正确．故选．6.(2021年新高考全国卷Ⅱ)已知直线与圆,点,则下列说法正确的是()A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切 B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离 D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切【答案】ABD【解析】圆心到直线l的距离,若点在圆C上,则,所以,则直线l与圆C相切,故A正确；若点在圆C内,则,所以,则直线l与圆C相离,故B正确；若点在圆C外,则,所以,则直线l与圆C相交,故C错误；若点在直线l上,则即,所以,直线l与圆C相切,故D正确.故选ABD.7.(2022年新高考全国卷Ⅱ)设点,若直线关于对称的直线与圆有公共点,则a的取值范围是_____．【答案】【解析】关于对称的点的坐标为,在直线上,所以所在直线即为直线,所以直线的方程为,即；圆,圆心,半径,由直线l与圆有公共点,得圆心到直线的距离,即,解得,即8.(2022年新高考全国卷Ⅰ)写出与圆和都相切的一条直线的方程_______．【答案】或或【解析】圆的圆心为,半径为,圆的圆心为,半径为,两圆圆心距为,等于两圆半径之和,故两圆外切,如图,当切线为l时,因为,所以,设方程为O到l的距离,解得,所以l的方程为,当切线为m时,设直线方程为,其中,,由题意,解得,当切线为n时,易知切线方程为,【点评】本题为开放性试题,只需写出其中一个方程,观察图象,确定直线是其中一条切线方程是最佳得分方案,另外当两圆相切时直接把两圆方程相减,也可以得出其中一条切线的方程,该法也能迅速实现得分,注意客观题在正确的前提条件下可以不择手段.

【过关检测】1.(2022学年四川省凉山州宁南中学高二下学期月考)已知圆和直线，则圆心C到直线l的最大距离为(

)A．1 B．2 C．3 D．【答案】A【解析】由直线l得：，则直线l恒过定点，由圆，则圆心，故圆心C到直线l的最大距离.故选A2.(2022学年安徽省皖南地区高二下学期开学调研)过点作圆的切线，切点为B，则(

)A．2 B． C．3 D．【答案】D【解析】，故圆的圆心为C，半径r＝2，故.故选D.3.(2022学年云南省保山市昌宁县高二下学期期中)若直线与圆有两个公共点，则点与圆的位置关系是(

)A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．以上都有可能【答案】B【解析】直线与圆有两个不同的交点，圆心到直线的距离小于半径，即，，故点在圆外，故选B．4.(2022学年河南省安阳市高二下学期5月月考)已知圆：和圆：有且仅有4条公切线，则实数的取值范围是(

)A． B．C． D．【答案】A【解析】圆：的圆心，半径，圆：的圆心，半径，根据题意可得，圆、相离，则，即∴，故选A．5.(多选)(2022学年重庆市清华中学高二上学期第二次月考)对于定点和圆：，下列说法正确的是(

)A．点在圆内部B．过点有两条圆的切线C．过点被圆截得的弦长最大时的直线方程为D．过点被圆截得的弦长最小值为【答案】ACD【解析】圆：的圆心为，半径，又，所以，所以在圆内，故A正确；因为点在圆内，所以过点不能作圆的切线，故B错误；过点被圆截得的弦长最大，故过点的直径，即直线经过圆心，此时，所以直线方程为，即，故C正确；当过点且与垂直时弦长最短，最短为，故D正确；故选ACD6.(多选)