立体几何中的综合应用讲义-2025届高三数学一轮复习

培优课16立体几何中的综合应用培优点一翻折问题典例1如图，在长方形ABCD中，AB=2，BC=1，E为DC的中点，F为线段EC（端点除外）上一动点，现将△AFD沿AF折起，使点D落在点D′的位置，且平面ABD′⊥平面ABC解题观摩[解析]如图，过D′作D′M⊥AF由平面ABD′⊥平面ABC，平面ABD′∩平面ABC=AB，D′K⊥AB，得D′K又D′M⊥AF,D′M∩D′K=D′,D即DK⊥AF.…………审题②（注意：本题的关键点是推出由翻折的性质得DAAK所以DF⋅由DF∈1,*另解（三余弦定理法）：由三余弦定理得cos∠D所以cos∠D′AK所以AK=解决与翻折相关问题的三点关键1.盯住量，即看翻折前后线面位置关系的变化情况，根据翻折过程，把翻折前后没有变化和发生变化的量准确找出来，因为它们反映了翻折后空间图形的特征；2.会转化，根据需要解决立体几何问题，确定转化的目标；3.得结论，对转化后的问题，用定义、判定定理、性质定理、基本事实、公式等解决.由求线段到求余弦值1.如图,在四边形ABCD中，AB=BD=DA=2，BC=CD=2.现将△ABD沿BDA.−28 B.−24 C.[解析]在四边形ABCD中，连接AC交BD于点O，如图1所示，AB=BD=又因为AC=AC，所以所以∠BAC=∠DAC，故AC⊥BD，即AO且AO=AB翻折后，对应地BD⊥AO，因为AO∩CO=O，所以以O为坐标原点，OC,OD,OA所在直线分别为x,y,z轴建立如图2所示的空间直角坐标系，则点A0,0,3，B所以AB=0,−cos⟨AB因此直线AB与CD所成角的余弦值是24.故选D由求线段到求线面角最值2.如图，在矩形ABCD中，BC=1，AB=2a，现将△ABD沿着对角线BD翻折成△A′BD，并且满足A.64 B.74 C.22[解析]如图1，设点A′在底面BCD中的射影为H，则∠A′CH是A′在翻折过程中，AH⊥∵点A′在底面BCD的射影为H,A′H⊥平面BCD,又AC⊂又A′B⊥AC，则BH⊥AC，即取A′B的中点E，连接∵OA′=OB，∴∴A′B⊥平面EOC，∴A′B⊥EC又BC=1，AB=2a，由在直角梯形BCHM中，CH=从而cos∠A′CH=CHBC≥培优点二探索性问题典例2如图，在四面体ABCD中，AD⊥CD，AD=CD，∠ADB=∠BDC（审题①证明三角形全等），E为AC的中点（审题②三线合一）.设AB=BD解题观摩[解析]如图，连接EF，因为AD=CD，E为AC的中点，所以在△ABD和△CBD中，因为AD=CD,∠ADB所以AB=CB，又因为E为AC的中点，又因为DE∩BE=E，DE⊂平面BED,BE⊂平面BED，所以AC⊥平面BED，因为EF当EF因为△ABD≌△CBD，所以CB=AB因为E为AC的中点，所以AE=EC=1，BE=在△DEB中，DE2+BE2=B则A1,0,0,B0,设平面ABD的一个法向量为n=x,y,z，则又因为C−1,0,0,设CF与平面ABD所成的角为θ0则sinθ所以CF与平面ABD所成的角的正弦值为431.解决线面关系中存在性问题的策略对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件.若满足，则肯定假设；若得出矛盾的结论，则否定假设.2.空间角存在性问题的解题策略借助空间直角坐标系，把几何对象上动态点的坐标用参数（变量）表示，将几何对象坐标化，这样根据题设要求得到相应的方程或方程组.若方程或方程组在题设范围内有解，则通过参数（变量）的值反过来确定几何对象的位置；若方程或方程组在题设范围内无解，则表示满足题设要求的几何对象不存在.探索面积最小变为探索点的位置如图,在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E（1）求证：F为B1[解析]如图，取B1C1的中点F′，连接由于ABCD−A1B1C1D1为正方体，E从而E,F′,C,D四点共面，即平面CDE即平面CDEF据此可得，直线B1C1交平面CDE直线与平面相交时只有唯一的交点，故点F与点F′重合，即F为B（2）在棱A1B1上是否存在点M，使得二面角M−FC[解析]存在.理由如下：以D为坐标原点，DA,DC,DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系D不妨设正方体的棱长为2，且A1MA1B1=λ0所以MC=−2,2设平面MC