空间直线、平面的垂直讲义-2025届高三数学一轮复习

基础课39空间直线、平面的垂直考点考向课标要求真题印证考频热度核心素养直线与平面垂直的判定与性质掌握2023年新高考Ⅱ卷T2023年全国甲卷（理）T2023年全国甲卷（文）T2023年全国乙卷（理）T2023年全国乙卷（理）T2023年北京卷T2023年北京卷T2023年天津卷T★★★直观想象逻辑推理平面与平面垂直的判定与性质掌握2023年全国甲卷（理）T2023年全国甲卷（文）T2023年全国乙卷（理）T2023年全国乙卷（理）T★★★直观想象逻辑推理命题分析预测从近几年高考的情况来看，本基础课是高考命题的热点，主要考查直线与平面以及平面与平面垂直的判定定理，题型有选择题、解答题，在解答题中常在第（1）问中出现，试题难度适中.在2025届的高考备考中，要特别注意应用判定定理与性质定理时条件的完整性一、直线与平面垂直1.直线和平面垂直的定义如果直线l与平面α内的①任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直.2.判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线与一个平面内的②两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直l⇒性质定理垂直于同一个平面的两条直线③平行a二、直线和平面所成的角1.定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角叫作这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面，则它们所成的角是90∘；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是02.取值范围：④[0，π三、二面角1.定义：从一条直线出发的⑤两个半平面所组成的图形叫作二面角.2.二面角的平面角若有①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；3.二面角的平面角α的取值范围：0∘四、平面与平面垂直1.平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是⑦直二面角，就说这两个平面互相垂直.2.判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面过另一个平面的⑧垂线，那么这两个平面垂直l性质定理两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的⑨交线，那么这条直线与另一个平面垂直α1.四个重要结论（1）若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.（2）若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线（证明线线垂直的一个重要方法）.（3）垂直于同一条直线的两个平面平行.（4）一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直.2.三种垂直关系的转化题组1走出误区1.判一判.（对的打“√”，错的打“×”）（1）已知直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则（2）直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.(（3）设m，n是两条不同的直线，α是一个平面，若m//n，m⊥α，则（4）若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线都垂直于另一个平面.(×)（5）若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.(2.（易错题）已知m,n为直线，α为平面，且m⊂α，则“n⊥m”是“【易错点】忽视直线与平面的特殊位置关系而致误.[解析]当直线m,n都在平面α内时，不能由n⊥m推出n⊥α；若n⊥α，由线面垂直的性质知题组2走进教材3.（人教A版必修②P158·例8改编）如图，AB是圆柱上底面的一条直径，C是上底面圆周上异于A，B的一点，D为下底面圆周上一点，且AD⊥圆柱的底面，则下列结论正确的是(BA.平面ABC⊥平面BCD B.平面BCD⊥C.平面ABD⊥平面ACD D.平面BCD⊥[解析]因为AB是圆柱上底面的一条直径，所以AC⊥又AD垂直于圆柱的底面，所以AD⊥因为AC∩AD=A，AC⊂平面ACD所以BC⊥平面ACD因为BC⊂平面BCD，所以平面BCD⊥平面ACD.故选4.（人教A版必修②P148·T3改编）在长方体ABCD−A′B′C′D′中，AB[解析]如图，连接CD′易知CD′=BA′则∠ACD′是直线BA′连接AD′，在△ACD′中，AC设AC的中点为O，连接D′O，则D′题组3走向高考5.[2023·全国甲卷改编]在三棱锥P−ABC中，△ABC是边长为2的等边三角形，PA=PB=2,PC[解析]连接PE,CE，如图，∵△ABC是边长为2的等边三角形，PA∴PE⊥AB,CE⊥AB，又PE⊂平面PEC,∴AB⊥平面PEC，又PE=CE=2×32考点一直线与平面垂直的判定与性质［师生共研］典例1[2023·北京卷节选]如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，PA=AB=BC[解析]因为PA⊥平面ABC,BC⊂平面所以PA⊥BC，同理PA⊥所以PB=PA2+所以PB2+BC又因为BC⊥PA，PA∩PB=证明线面垂直的四种方法[2023·新高考Ⅱ卷节选]如图，三棱锥A−BCD中，DA=DB=DC，BD⊥CD，[解析]连接AE,DE（图略），因为E为BC的中点，DB=所以DE⊥因为DA=DB=DC，所以AC=AB，从而由①②，AE∩DE=E，AE⊂平面ADE得BC⊥平面ADE，又AD⊂平面ADE，所以考点二平面与平面垂直的判定与性质［师生共研］典例2[2023·全国甲卷]如图，在三棱柱ABC−A1B1C1（1）证明：平面ACC1A（2）设AB=A1B,[解析]（1）因为A1C⊥平面ABC，BC所以A1又因为∠ACB=90A1C⊂平面ACC1A1所以BC⊥平面AC又因为BC⊂平面BB1C1（2）如图，过点A1作A1O因为平面ACC1A1⊥平面BB1C1所以A1O⊥所以四棱锥A1−B因为A1C⊥平面ABC，AC⊂平面ABC,所以A1C⊥又因为A1B=所以△ABC≌△A设A1C=所以O为CC1的中点，又因为A1C⊥即x2+x所以A1所以四棱锥A1平面与平面垂直的证明方法定义法利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直转化为证明平面角为直角定理法利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，进而把问题转化为证明线线垂直【注意】在已知面面垂直时，一般要用性质定理进行转化.在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后转化为面面垂直.[2023·全国甲卷节选]如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，A1C⊥底面ABC，[解析]如图，∵A1C⊥平面ABC，∴A1C⊥BC，又BC⊥AC，A1C∴BC⊥平面ACC1A∴平面ACC1A过点A1作A1O⊥CC1于点O，又平面ACC1A1∵点A1到平面BCC1在Rt△A1CC1设CO=x，则∵△A1OC,△A1OC1,△A∴1+x2+∴A考点三平行、垂直关系的综合应用［师生共研］典例3[2024·重庆校考]如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60∘，△PAB为正三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD,（1）求证：BP//平面ACM（2）在棱CD上是否存在点G，使得平面GAM⊥平面ABCD？若存在，请求出CG[解析]（1）如图1，连接BD交AC于点O.连接MO，因为四边形ABCD是菱形，所以O为BD的中点.又因为M为PD的中点，所以MO//又因为BP⊄平面ACM,MO⊂平面ACM，所以BP//（2）因为△PAB为正三角形，E是AB的中点，所以PE又侧面PAB⊥底面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，所以PE⊥平面ABCD如图2，连接DE，取DE的中点K，连接MK，则MK是△PDE的中位线，所以MK//PE，所以MK连接AK，并延长交CD于点G，连接AG,又MK⊂平面AMG，所以平面AMG⊥平面因为AE//GD，所以∠KAE又因为EK=KD，所以△AEK故棱CD上存在点G，使得平面GAM⊥平面ABCD，CG平行、垂直关系的综合应用的两点注意1.在求解垂直与平行的综合问题时，应注意平行、垂直性质及判定的综合应用；2.三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.[2024·赣州模拟]如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面AA1C1C是矩形，侧面BB1C（1）求证：AF//平面A[解析]如图，取A1C1的中点M，连接AM,EM因为AA1//BB1且AA因为D为AB的中点，所以AD//A1因为M，E分别为A1C1，B1C1的中点，所以EM//A1B1因为AM⊄平面A1DE，DE⊂平面A1因为M，F分别为A1C1，C因为FM⊄平面A1DE，A1E⊂平面因为AM∩FM=M，AM⊂平面AFM，FM⊂平面因为AF⊂平面AFM，所以AF//平面（2）在棱BB1上是否存在一点G，使平面ACG⊥平面B[解析]当G为BB1的中点时，平面ACG⊥平面B因为四边形AA1C1C为矩形，所以AC因为四边形BB1C因为∠B1BC因为G为BB1的中点，所以因为AC∩CG=C，AC⊂平面ACG，CG⊂平面因为BB1⊂平面BB1因此，当G为BB1的中点时，平面ACG⊥三余弦定理和三正弦定理1.三余弦定理：如图1，设A为平面α上一点，过点A的斜线AV在平面α上的射影为AO，AB为平面α上的一条直线，则cosθ【说明】线面角是斜线与平面内任意直线的所成角的最小值，即线面角是线线角的最小值.2.三正弦定理：如图2，设二面角m−AB−n的大小为α，在平面m上有一条射线AC，它和棱AB所成角为β，和平面n所成角为【说明】二面角是半平面内的一条直线与另一半平面所成线面角的最大值，即二面角是线面角的最大值.典例1如图，在Rt△ABC中，∠BAC=π2，PA是与平面ABC相交的斜线，∠PAB=∠[解析]依题意，斜线PA在平面ABC上的射影必在∠BAC的平分线上，设点P在平面ABC内的射影为O，连接AO，并延长与BC交于点D，如图，设∠PAO=θ，则θ为斜线PA与平面ABC所成角，所以由三余弦定理可得典例2在三棱锥P−ABC中，AB=BC=22，PA=PB=PC=4，AB⊥BC[解析]因为AB⊥BC，AB=BC=22，所以AC=4，所以∠CPA=60∘深度训练1已知∠ACB=90∘，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到∠ACB的两边AC，BC的距离均为3A.2 B.1 C.