空间向量与空间角、距离问题讲义-2025届高三数学一轮复习

基础课41空间向量与空间角、距离问题考点考向课标要求真题印证考频热度核心素养空间向量求空间角掌握2023新高考Ⅰ卷T2023新高考Ⅱ卷T2023全国乙卷理T2022新高考Ⅰ卷T2022全国甲卷（理）T2021全国乙卷（理）T2021全国乙卷（文）T★★★直观想象逻辑推理数学运算空间向量求空间距离掌握2023年天津卷T2022年新高考Ⅰ卷T★★★直观想象逻辑推理数学运算命题分析预测从近几年高考的情况来看，空间角、距离问题是高考常考内容，一般以解答题的形式出现，试题难度中等.命题常以柱体、锥体为背景.在2025届的高考备考中，要掌握并运用向量法解空间角和距离问题，要特别重视坐标系的建立，同时要加强运算求解能力的训练一、空间向量与空间角在立体几何中常涉及三类空间角的求解：异面直线所成的角、直线与平面所成的角和两个平面的夹角.具体如表所示:空间角向量求法范围异面直线所成的角若异面直线l1,l2所成的角为θ，其方向向量分别是u,v，则cos③(直线与平面所成的角设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sinθ=|cos＜⑥[二面角平面α与平面β相交于直线l，平面α的法向量为n1，平面β的法向量为n2，⟨n1,n2⟩=θ，则二面角α−⑧[两个平面的夹角若平面α,β的法向量分别是n1,n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的⑨夹角或其⑩补角；设平面α与平面β的夹角为θ，则cosθ=|cos＜⑬[【提醒】关注三种角的易错点1.异面直线所成的角与其方向向量的夹角：当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；否则向量夹角的补角是该异面直线所成的角．2.直线与平面所成的角：在上述求法中要注意的是sinθ=u3.二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，若求出两个半平面α，β的法向量n1，n2，则需根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n1二、空间向量与距离直线外一点P到直线l的距离如图，直线l的单位方向向量为u，设AP=a，则向量AP在直线l上的投影向量AQ=⑭a⋅uu，则点P平面外一点P到平面α的距离如图，已知平面α的法向量为n，A为平面α内的定点，P是平面α外一点，过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，n是直线l的方向向量，则点P到平面α的距离PQ=AP⋅n题组1走出误区1.判一判.（对的打“√”，错的打“×”）（1）直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.(×)（2）两个平面的法向量所成的角就是这两个平面的夹角.(×)（3）若直线l平行于平面α，则直线l上各点到平面α的距离相等.(√)（4）若直线l上两点到平面α的距离相等，则l平行于平面α.(×)2.（易错题）在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB【易错点】未理解直线与平面所成的角的定义.[解析]建立如图所示的空间直角坐标系，由于AB=2，所以A11,0,1，所以A1C1=−设平面A1BCA1C令x=2，则y=1，z=2，则n=则sinθ题组2走进教材3.（人教A版选修①P35·T2改编）若正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，OA.32 B.24 C.12[解析]建立如图所示的空间直角坐标系，则D10,0,0，A1,0,1，B1,1,1，O(12,12，0)，C10,14.（人教A版选修①P43·T10改编）设M，N分别是正方体ABCD−A'B'C'D'的棱BB1[解析]建立如图所示的空间直角坐标系，设AB=则M2,2,1，N1,则MN=−1,0设平面A'BCD'故BA'→⋅n=−2y+2z所以MN与平面A'BCD'题组3走向高考5.[2023·新高考Ⅱ卷改编]如图，在三棱锥A−BCD中，DA=DB=DC，BD⊥CD，∠ADB=∠ADC=60[解析]设DA=由∠ADC=∠ADB=60所以AB=AC=所以BC=所以AB2+AC所以AE=2，AE又BC⊥AE，DE∩BC=E，DE⊂平面BCD,BC以E为坐标原点，ED,EB,EA所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图所示,则E0,0,0，D设Fx,y所以F−2,0,2，则m⋅DA→=0m⋅AB→所以m=又BF=−2,−2则n⋅即−2x2−2y2+2z2=02y2−考点一空间角［多维探究］异面直线所成的角典例1已知直三棱柱ABC−A1B1C1的所有棱长都相等，M为AA.153 B.53 C.64[解析]取线段AC的中点O，连接BO，则BO⊥AC，设直三棱柱以点O为原点，OB,OC,AA1的方向分别为x轴、y轴、则A0,−1,0，M所以AM=0,1,2，所以sin<AM故选C.用向量法求异面直线所成的角的一般步骤1.建立空间直角坐标系；2.用坐标表示两异面直线的方向向量；3.利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；4.注意两异面直线所成角的范围是(0，π直线与平面所成的角典例2[2022·全国甲卷]如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD//AB,AD（1）求证：BD⊥（2）求PD与平面PAB所成的角的正弦值.[解析]（1）如图1，在四边形ABCD中，作DE⊥AB于点E，CF⊥因为CD//AB,AD=CD=所以AE=BF=12，故DE=3因为PD⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PD⊥BD，又PD∩AD=D，PD⊂平面PAD,AD⊂平面PAD,所以（2）如图2，以点D为原点建立空间直角坐标系，BD=3，则A1,0,0,B0,设平面PAB的一个法向量为n=则n⋅AP→=−x+3z=则cos⟨n,DP⟩=n⋅DP利用空间向量求线面角的解题步骤平面与平面所成的角典例3[2023·新高考Ⅰ卷节选]如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB=2,AA1=4.点A2,B2,C2,D2分别在棱AA1,B[解析]以C为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A22,2,1,则A2C2=−设平面PA2C则n令z=2，得y=3−设平面A2C2则m令a=1，得b=1,∴cos⟨化简可得，λ2−4λ+3∴P0,2,（一题练透）如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，ADAD=DC=AP=2，（1）求异面直线PD与BC所成角的正切值；（2）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值;（3）若F为棱PC上一点,满足BF⊥AC,求二面角[解析]依题意，以点A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系（如图），可得B1,0,0,C2,2,0,（1）PD=0,2,−2=105，则sin＜PD,BC＞=1（2）BE=0,1,1,BD=−1,2,0，PB于是cos＜n,BE即直线BE与平面PBD所成角的正弦值为33（3）BC=1,2,0，由点F在棱PC上,设CF=λCP,0由BF⊥AC,得BF⋅解得λ=34，即BF=(−1设n1=a,b,不妨令c=1,可得取平面ABP的一个法向量为n2=0易知二面角F−AB−考点二空间距离［多维探究］点到直线的距离典例4[2024·徐州模拟]如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，各棱长均为4，N[解析]建立如图所示的空间直角坐标系，则A0,0,0，BAC1=0,4,设点C1到直线AB的距离为d则d=用向量法求点线距的三个步骤1.求出直线的单位方向向量a；2.求出所求点P到直线上一点P'的向量PP'及其在直线方向向量3.代入公式计算.点到平面、线到平面的距离典例5（1）（同源变式）将典例4中的设问“求点C1到直线AB的距离”改为“求点C1到平面（2）（同源变式）将典例4中的条件“N是CC1的中点”改为“M,N分别是AA1,CC[解析]（1）建立如图所示的空间直角坐标系，则A0,0,0，B由N是CC1的中点，则N0,4设平面ABN的一个法向量为n=x令z=2，则y=−1，x=33，得n设点C1到平面ABN的距离为d，则d（2）易知MC1//AN,则直线MC1到平面用向量法求点面距的四个步骤1.建系：建立恰当的空间直角坐标系；2.求点坐标：写出（求出）相关点的坐标；3.求向量：求出相关向量的坐标(AP,平面α内两个不共线的向量，平面α的法向量n4.求距离：d=【注意】用向量法求线面距，先利用平行转化为求点面距，再参照上述四个步骤.[2024·江苏模拟]（一题练透）如图，已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD=1，E，F分别为AB（1）求点D到平面