等差数列讲义-2025届高三数学一轮复习

基础课32等差数列考点考向课标要求真题印证考频热度核心素养等差数列的通项公式与前n项和公式掌握2023年新高考Ⅰ卷T2023年新高考Ⅰ卷T2023年新高考Ⅱ卷T2023年全国甲卷（文）T2023年全国乙卷（理）T2023年北京卷T2023年天津卷T★★★逻辑推理数学运算等差数列的性质及其应用理解2023年北京卷T2022年新高考Ⅱ卷T★★☆逻辑推理数学运算命题分析预测从近几年高考的情况来看，属于中档题，命题热点是以递推式为载体或构建关系式.预计2025年高考命题热点是对实际应用问题的考查一、等差数列的有关概念定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于①同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列，即an−an−1通项公式设{an}是首项为a1，公差为d等差中项由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时，③A叫作a与b的等差中项，根据等差数列的定义可以知道，④2A二、等差数列的前n项和公式已知条件前n项和公式a1,anSn=a1,d,Sn=1.通项公式的推广：an2.若{an}为等差数列，且k3.若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak+m4.数列Sm，S2m−Sm5.若等差数列{an}的前n项和为S6.若数列{an}的通项公式是an=pn+q（其中7.在等差数列{an}中，若a1>0，d<0，则8.等差数列{an}的单调性：当d>0时，{an}是递增数列；当9.数列{an}是等差数列⇔Sn=A10.在等差数列{an}中，若项数为偶数2n,则S2n=若项数为奇数2n−1,则S2n−111.若数列{an}与{bn}均为等差数列，且前n项和分别为Sn与T题组1走出误区1.判一判.（对的打“√”,错的打“×”）（1）等差数列{an}的单调性是由公差d（2）“数列{an}为等差数列”的充要条件是“对任意n∈N（3）若数列{an}满足an+（4）“数列{an}为等差数列”的充要条件是“数列{an2.（多选题）（易错题）设{an}是等差数列，d为公差，Sn是其前n项和，且S5A.d<0 C.S9>S5 D.S6【易错点】本题容易对等差数列的公式理解不到位.[解析]S6=S5+a6>S5，则a6>0，S7=S6+a7=S6，则a7=0，则d=题组2走进教材3.（人教A版选修②P25⋅T7改编）已知Sn是等差数列{an}的前n项和，Tn为数列{S[解析]设数列{an}的首项为a1,公差为d,因为{an}是等差数列，所以Sn=na1+nn−12d4.（多选题）（人教A版选修②P23·例9改编）已知0<a<1，Sn是等差数列{an}的前A.a2SnC.a2S[解析]Sn+Sn+2−2Sn+1=Sn+2题组3走向高考5.[2023·新高考Ⅰ卷]记Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{aA.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件[解析]若{an}为等差数列，设其公差为d，则an=a1+n−1d，所以Sn=na1+nn−12d，Snn=a1+n−1⋅d考点一等差数列的基本量的计算［自主练透］1.[2023·全国甲卷]记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a2+aA.25 B.22 C.20 D.15[解析]设等差数列{an}的公差为da2+a又a4a8=a1+3da2.[2023·全国乙卷]已知等差数列{an}的公差为2π3，集合S={cosan|A.−1 B.−12 C.0[解析]依题意，在等差数列{an}中，an=a1+n−1⋅2π3=2π3n+当cosa1=cosa2≠cosa3或cosa1≠cosa2=cosa当cosa1=cos即θ+θ+4π3=2kπ综上，ab=−123.（双空题）（原创）已知{an}为等差数列，公差d≠0，其前n项和为Sn，若Sn[解析]考虑到等差数列的通项公式an=dn+a1−d是关于因为Sn也是以d为公差的等差数列，即Sn=d2n2+a1−d2n也是关于等差数列基本运算的常见类型及解题策略类型解题策略求公差d或项数n在求解时，一般要运用方程思想求通项公式确定两个基本量a1和求特定项利用等差数列的通项公式或性质求解求前n项和利用等差数列的前n项和公式直接求解或利用等差中项间接求解考点二等差数列的判定与证明［师生共研］典例1[2024·福建模拟]已知数列{an}的前n项积为bn，且[解析]由数列{an}的前n项积为b故2bn+bn−1bn=1等差数列的四种判定与证明方法定义法an−a等差中项法2an+通项公式法若数列{an}的通项公式满足an=pn+q(p,前n项和法若数列{an}的前n项和公式满足Sn=An2+Bn(（改编）已知递增数列{an}的首项a1>0，记数列{an}的前n[解析]设{Sn}的公差为d,因为S1=a1,a2=3a所以Sn=n2a1,则an=S考点三等差数列的性质及其应用［多维探究］等差数列项的性质典例2（1）已知数列{an}满足2an=an−A.6 B.7 C.8 D.9[解析]因为2an=an−1+an+1，所以{a（2）[2024·黑龙江模拟]已知等差数列{an}满足3a2A.26 B.39 C.52 D.104[解析]由等差数列的性质可得a2+a6=2a4，a6+a10+等差数列前n项和的性质典例3（1）[2024·渭南模拟]设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10=20A.20 B.30 C.40 D.50[解析]由等差数列{an}的前n项和的性质可得S10，S20−S10，S30（2）[改编]已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4A.16 B.13 C.512[解析]设S4=2x，则S8=5x，因为{an}是等差数列，所以S4,S8−S4,S12应用等差数列的性质解题的两个注意点1.如果{an}为等差数列，m+n=p+q,那么am+an=ap+aq2.要注意等差数列通项公式及前n项和公式的灵活运用，如an=am+n−等差数列前n项和的最值典例4已知等差数列{an}的前n项和Sn有最小值，且−1<aA.9 B.10 C.17 D.18[解析]由题意可知,d>0，所以数列{an}是递增数列，因为a9a10<0，所以a9<0,a10>0，所以1.函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn2.邻项变号法（1）当a1>0，d<0时，满足am≥（2）当a1<0，d>0时，满足am≤1.已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，TA.925 B.