2024辽宁省沈阳市高三下学期教学质量监测（三）数学试题及答案

{#{QQABaYqAggAIAJBAARhCUwGCCEMQkBACCAoGBAAEoAAAyRFABAA=}#}{#{QQABaYqAggAIAJBAARhCUwGCCEMQkBACCAoGBAAEoAAAyRFABAA=}#}{#{QQABaYqAggAIAJBAARhCUwGCCEMQkBACCAoGBAAEoAAAyRFABAA=}#}{#{QQABaYqAggAIAJBAARhCUwGCCEMQkBACCAoGBAAEoAAAyRFABAA=}#}2024年沈阳市高中三年级教学质量监测（三）数学参考答案及评分标准一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共分．1.B2.D3.D4.B5.A6.C7.C8.A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共分．9.ACD10.BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共分．3712.2513.14.1093【部分题目解析】8f(2xf(x)的图象关于直线x1f(x2)是奇函数，则f(x)的图象关于点(2,0)中心对称，故函数f(x)具有周期性，且周期为4，则f(7)f(f1．1f(x)3sinnxnxcosnxsin(2nx)，2．621对于A，当x[0,]时，2nx[,]，sin(2nx)[，f(x)0；2666621对于Bf(x)图象的对称中心的纵坐标应为；2对于C，2nx[2,]，6263622k214226解,kZ得到n[,2][,5]，所以n2,5；332k36211对于D，方程等价于sin(2nx)，函数g(x)sin(2nx)的图象和直线y的6464交点如图第1页共10页{#{QQABaYqAggAIAJBAARhCUwGCCEMQkBACCAoGBAAEoAAAyRFABAA=}#}函数g(x)的最小正周期T|AA|，设|AA，|AAD1d）1312231112因为0sin，所以由下图可知dD，26d36D446323因为在区间(x,x)内的解的个数m9]，所以区间长度应满足：0066(2DT(4dT，由T，则(2D)(4d)，6nn6n化简得126D246d，所以n26]．正整数的n值有1112．由(4ab)b4abb所以|2ab25．24，得|2ab|24a24abb242420，21113．由题意SSS|BD||AD|sin120|CD||AD|sin60，224又|CD2|BD|，|AD1，S3，故，在△ABD中，由余弦定理解，337373得|AB|2|BD|2|AD|22|BD||AD|cos120，则c．9plog2yqy，log2y2,2y2024，14．由题意得，设f(x)x2x，显然f(x)是增函数，从而y是方程f(x)2024的唯一解，2由1022048，且当x时，log2x4)第2页共10页{#{QQABaYqAggAIAJBAARhCUwGCCEMQkBACCAoGBAAEoAAAyRFABAA=}#}可得flog21010，flog22052)，从而y应略小于，需要判断y与10.9的大小关系，先估算的近似值。考虑函数y2x图象上两个点B之间的线段，1210.9yy20481024FG101204810002048100194810flog210.9419482024，所以n109注1：此题借鉴了人教B版课本中《导数的几何意义》一节所提到的“以直代曲”的方法。注2：线段位于y2x图象上方的直观结论，可以用导数的知识来证明。四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15分）a}的公差为（d0d（1）设等差数列a,a,a构成等比数列，所以a5n2a214，即4d)dd)，2因为2514解得d2，或d0…………3分…………5分a1(n22n1则．n（2）b2nn，且n0，所以nn，…………7分11n1n，则…………分nn1nn1Sn(2(32)(n1n)n11n1．…………分16分）设事件A为该题的正确答案是2A为该题的正确答案是3P()p，P()1p．第3页共10页{#{QQABaYqAggAIAJBAARhCUwGCCEMQkBACCAoGBAAEoAAAyRFABAA=}#}1112p得，P()，P()（1）由，22设事件B为甲同学既选出正确选项也选出错误选项，则C12C4C1223P(B|)P(B|)，…………2分2C13C1112，…………4分C422111P(B)P(B|)P()P(B|)P()7则；322212…………6分13得，P()123p，P()（2）由，3设X表示乙同学答题得分，则X的取值范围为，CC12141C111121则P(X0)P(X2)P(XP()P()，1423433C13212314P()，C43CC1214111P()，．…………9分2361113E(X)023所以…………分3262设Y表示乙同学答题得分，则Y的取值范围为，C22C2C421C12C13C4C121511211P()632318则PY0)PY4)PY6)P()，32C421213P()，23C22C42111P()，．…………分6318111153所以EY)04618…………分318即E(X)EY)，乙同学得分数学期望小于丙同学得分数学期望．…………分第4页共10页{#{QQABaYqAggAIAJBAARhCUwGCCEMQkBACCAoGBAAEoAAAyRFABAA=}#}17分）1ef(x)ex1f(x)ex1f(0)e1，则（1）当a0时，，，…………3分111ef(0)e1，所以切线方程为yf(0)f(0)(x0)yx而，即．ee…………6分f(x)g(x)，得ex1ax，即aex1x恒成立，（2）当x0时，由…………7分1h(x)ex1x（x0h(x)ex1设，x11设(x)ex1（x0(x)ex10，故h(x)在(0,)上单调递增，2xx…………9分h0xh(x)0，h(x)又因为，所以当时，单调递减，当x)时，h(x)0，h(x)单调递增，…………分…………分…………分则h(x)he01，0则a1a，即的取值范围为(18分）（1ACD1平面CDD1ACD1平面CDD1CD过D作CD于点H，11平面CDD1，CD，所以平面ACD，…………2分11又AC平面ACD，所以ACABCDABCD中，AA1，在四棱柱平面11111第5页共10页{#{QQABaYqAggAIAJBAARhCUwGCCEMQkBACCAoGBAAEoAAAyRFABAA=}#}ABCD，即平面ABCD，而平面ABCD，所以1AC，1DD1D，所以AC平面CDD，又CD平面CDD，所以ACCD又．11…………4分在底面四边形ABCD中，ADBC，AD，所以ABC90，又ABBC，则BACBCA45，即CAD45，且ACACCD，则在等腰2AB，又有直角ACD中，ADAD2AB，又ABAD6，则2，2AC，即…………6分AD4，4，又2，111183则VSDD42．…………8分1133（方法二）ABCDABCDAA1平面ABCD，AD由四棱柱中，AB,AD,分别11111为轴、轴、AB（0t6BCAA1t，xyzAD6t(0,0,0)Bt,0,0)Ct,t,0)D(0,6t,0)At)D6t,t)，，11ACt,t,0)AD6t,t)，设平面ACD的一个法向量为1在平面ACD中，，11nACtxty0n(x,y,z)，则1，1nAD(6t)ytz01令yt，则z6t，xt，即n…………2分t,t,6t)，1在平面CDD中，CD(t,6t,0)(0,t)，，11第6页共10页{#{QQABaYqAggAIAJBAARhCUwGCCEMQkBACCAoGBAAEoAAAyRFABAA=}#}nCDtx(6t)y0设平面CDD的一个法向量为n(x,y,z)，则2，12nDDtz021yt，z0n(6t,t,0)令x6t，则，即，…………4分2ACD1平面CDDnnt(6t)ttt0，…………6分ABBCAA12，AD4，又AD，DD1平面ABCD22因为平面，所以112又因为0t6，所以t2，即，1183所以VSDD42．…………8分1133ABCDABCDAA1平面ABCD，BAAD（2中，AB,AD,11111xy分别为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系，z设AB（0t6BCAAt6t，(0,0)Bt,0,0)Ct,t,0)，，，1tD(0,6t,0)，1t)16t,t)Et,,0)BDtt,0)，，，，(,62…………分t在平面AB1E中，ABt,0,t)AEt,,0)，，12nABtxtz01设平面AB1E的一个法向量为n(x,y,z)，则，tnAEtxy02令x1，则y2，z1，即n，…………分|t2(6t)||t|3sin60|cosBD,n则，(6t)26t2t3626t2…………分第7页共10页{#{QQABaYqAggAIAJBAARhCUwGCCEMQkBACCAoGBAAEoAAAyRFABAA=}#}即2|t123t2t36，整理得t2t90，………分3t，由t1，则t3解得t3，或．…………分419分）l:ykx4，（1）设(x,y),B(x,y)，设直线1122y42py联立，x与抛物线C:x2，x2pkx8p0，222pyx21x22xx8pyy16，，12122p2p，则xxyy0，168p0p2，解得：，…分31212xx8p16即12112|||xx|2|||x|12122323x2x3x23328612113232时等号成立，故△AOB2△AOF当且仅当x最大值为861………………6分E(x,y)（2）设，则33x21x321y31x3kAE44x3x1x3411x3l：yy(x3)3424yx与抛物线联立得把4)xx3y31xx34xx16xx①，113代入，整理得：3xx16又②，12xx16(xx)160将②代入①得.③………………9分2323第8页共10页{#{QQABaYqAggAIAJBAARhCUwGCCEMQkBACCAoGBAAEoAAAyRFABAA=}#}设直线BE:yk2xm，与抛物线联立2x4y整理得：x24kx4m02yk2xmxx4mxx4k，2，………………10分23234m64k16m16k4代入③得22ykx16k4(4).故，，恒过定点………………12分22（3（方法一）图1：几何体图2：几何体作底面半径为4、高为4的圆柱，并将内部切割去掉之后，上下翻转得到几何体．现做一平面，使其平行于和的底面，且被两几何体分别截得如图中阴影所示截面．B(x,y)x，ACy，AD4yx4y20在图1的几何体，，000000EJ40r214(4y)164y16x2则图2的几何体000Sπ(422r21)x20Sx20则图2中截面圆环面积1中截面圆面积111VR2hπ42432π．可得，和的体积相等，均为圆柱体积的一半，即（方法二）22………………17分第9页共10页{#{QQABaYqAggAIAJBAARhCUwGCCEMQkBACCAoGBAAEoAAAyRFABAA=}