2024辽宁协作校高三下学期三模数学试题及答案

姓名：__________________考生考号：__________________2023-2024学年度下学期高三第三次模拟考试试题数学命题人：旅顺中学沈阳二中时间：120分钟试卷满分：150分注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上。2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。8540分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.．若全集UR，Ax|x2A．AB．BA．已知复数z在复平面上对应的点为,1，By|yex,x，则下列关系正确的是（）．BUAD．UAB2，则实数m的值为（）A0．1．1D1或1．已知正实数a，b，则“ab2”是“a2b22）条件.A．充分不必要．必要不充分．充分必要D．既不充分也不必要．已知平面非零向量a，bab2a3bba,b（）A．．．D0643．在调查对某大型活动满意度比例为0.9的人员中抽取10人，设当中持有满意态度的人数为X，随机变量Y2X3Y的方差DY的值为（A21．6.6fx）．3.6D4.8xfx3a到函数gx的图象，再将gx的图象向上平移2个单位长度，所得图象恰好与函数fx的图象重合，则a的值是（）3233A．．．D．323x2y2点FF分别为椭圆C:1P是椭圆Cm121284成立的点P恰好有4个，则实数m的值可以是（A0．2．4．已知数列n中各项均为正数，且a2）D6n1an，给出下列四个结论：n1nnN*，都有n1a可能为常数列n0a2，则当n2aa211na2，则数列a为递减数列1n其中正确结论有（A1．2．3D43618分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.5．关于二项式3x1的展开式，下列说法正确的是（）A．第三项系数为270．x2的系数为9025D25．二项式系数和为x,x,,xx，x，，x这n个数中最大的数.abc，dR，12n12n,b,d,,,da，b，c，d．．．）A12，，4．3，1，75．，1，2，3D53，，1C:x2y1及直线l:y1l与CA，B两点，O△2的面积为2，则实数k的值可能为（）356A0．．D．222三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.．某同学将全班某次数学考试的成绩整理成频率分布直方图后，将每个小矩形上方线段的中点连接起来，并将小矩形擦去，得到频率分布折线图（如图所示）.已知该同学绘制频率分布直方图时确定的极差为60，组距为，据此估计此次考试成绩的平均数是___________.2xcos的图象关于xaa0a的值可以为.写fxsinx2出一个正确的值即可）．已知正四面体棱长为2P，P，P分别是△，△，内切圆上的动点，123现有下列四个命题：①对于任意点P，都存在点PPP02323P，P，使直线PP12122PPPPPP最小时，三棱锥APPP的体积为12233112362PPPPPP最大时，顶点A到平面PPP的距离的最大值为1223311236其中正确的有___________.（填选正确的序号即可）四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.13CDADC24AP2，CQ，AP2，CQ3，M为AB中点.1）证明：；2）证明：CD；3）求平面与平面DPQ夹角的余弦值.15分）△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bac2ac，222CB.31）求角B；12a2P，Q分别是边AB、△S.当取得最小△2值时，求点B到直线PQ的距离.axx1e，其在x1处的切线斜率为1e.15分）已知函数fx1a的值；2）若点,n在函数fx的图象上，求fmfn的取值范围.17分）为进一步培养高中生数学学科核心素养，提高创造性思维和解决实际问题的能力，某省举办高中生数学建模竞赛现某市从M，N两个学校选拔学生组队参赛，M，N两个学校学生总数分1989人、3012人.两校分别初选出46按照分层抽样从MN两个学校初选人中共选择55人中有参赛经验的人数为X.1）求随机变量X的分布列及数学期望EX；25人组队参赛，此次比赛规则是：小组内自行指定一名同学起稿建立模型，之后每轮进行两人单独交流.假设某队决定由A起稿建立模型，A从其他四名成员中选择一人B由B，然后B再从其他包括A在内的四个成员中选择一人进行交流……每一个环节只能是两名成员单独交20次交流机会，最后再进入评委打分环节.1甲、乙两人有参赛经验在每次交流中，甲、乙被同伴选为交流对象的概率均为，丙、丁、戊被同伴选为3交流对象的概率相等，比赛由甲同学起稿建立模型.①求该组第三次交流中甲被选择的概率；.n次交流中甲被选择的概率nnN17分）设抛物线C的方程为2上任意一点，过点M作y4x，M为直线l:xmm0抛物线C的两条切线，，切点分别为A，B（A点在第一象限）.321M的坐标为时，求过M，A，B三点的圆的方程；2）求证：直线AB恒过定点；3m变化时，试探究直线l上是否存在点M，使为直角三角形，若存在，有几个这样的点，说明理由；若不存在，也请说明理由.2023—2024学年度下学期高三第三次模拟考试试题数学参考答案一、1.D2.A3.B10.BC13.2π4.A5.C6.D7.B8.C二、9.ACD三、11.AD12.112.514.①②④四、15.CM∵AB∥CDAB=2CD=4M是AB中点∴AM∥CD且AM=CD∴四边形AMCD是平行四边形∴CM∥AD又∵QC∥APQC⋂MC=CAP⋂AD=A∴平面QMC∥平面PAD又∵QM⊂平面QMC∴QM∥平面PAD……3分∵QC∥APAP⊥平面ABCD∴QC⊥平面ABCD∵CD⊂平面ABCD∴QC⊥CDM是AB中点∴AM∥CD且AM=CDπ2又∵∠ADC=，∴平行四边形AMCD为正方形∴CD⊥MC又∵MC⋂QC=C∴CD⊥平面QCM∵QM⊂平面QCM∴CD⊥QM……7分QQzPPyDCDCxABAMMB∵AP⊥平面ABCDAMCD是正方形1∴ABADAP两两垂直A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴()()()()B4,0,0,Q2,2,3,P0,0,2,D0,2,0()设平面PQB的法向量=x,y,z111()()BP=-4,0,2,BQ=-2,2,3{-4x+2z=0{1=2x()11，1x=1=1,-2,2……9分-2x+2y+3z=01=-211111()设平面PQD的法向量=x,y,z222()()PD=0,2,-2,PQ=2,2,1y=z2{2y-2z=0ï2()z=2=-3,2,2……11分222í322x+2y+z=0ïx=-z222î22所以平面BPQ与平面DPQ夹角的余弦值为：|||||||||-3-4+4|nm||1+4+49+4+4|16.3b-a-c=2ac3b=a+c，由正弦定理得，3sinB=sinA+sinC.……2分|17|cos,m==|||=……13分||172222π3π3B2π3B22π3B2因为2C+B=以C=-A=π-C+)=π-[(-)+]=-2π3B2π3B2则3sinB=sin(-)+sin(-)……4分32B1B32B12B3sinB=cos--)sin+cos-sin22222B23sinB=3cosB2BB2即2sincos=cos2B2B212π()又因为B∈0,πcos≠0sin=B=.……6分3π3B2π62π3π6π2C=-=A=-=△ABC是直角三角形，又a=2c=1b=3.……8分12||||设BP=m，BQ=nS=SΔABC，ΔBPQ12123234所以mnsin60°=×()=mn=1.……11分在△BPQ22π22||2PQ=m+n-2mncos=m+n-1≥2mn-1=13||当且仅当m=n=1PQ取得最小值1.32此时，△BPQ是边长为1B到直线PQ的距离为.……15分()ax17.）f′x=1+e1分()()a()af′1=1-1+ae=1-2e1+ae=2e2分()()x()()x令gx=1+xe以′x=2+xe()()()所以当x<-2时，′x<0gxgx<0，2()()当x>-2时，′x>0gx单调递增，()-2()()又g-2=-e<0g-1=0g1=2e……6分()a所以关于a的方程1+ae=2ea=1.……7分()x()xfx=-e)f′x=1+e，()()x()令hx=1-1+xe=1-gx()()()进而可知hx在区间-∞,-2-2,+∞上单调递减()-2()()且h-2=1+e>0x<-2时，hx>0h0=0()()()所以x<0f′x>0fx在-∞,0上单调递增，()()()x>0f′x<0fx在0,+∞上单调递减，()()当x=0fx取得最大值f0=0()所以fx的值域为(-∞,0].……10分()()()()(n)n又由题意n=fmfm-fn=n-fn=n-n1-e=nen∈(-∞,0]令()=xex∈(-∞,0]x()x()所以)=1+xex=-1时，′-1=0()()当x∈(-∞,时，′x<0tx在区间(-∞,单调递减，()()当x∈(-1,0]时，′x>0tx区间(-1,0]单调递增，1所以当x=-1时，()取得最小值-13分e()()当x∈(-∞,时，tx<0x→-∞时，()→0t0=0，1所以()的值域为,0]，e1e()所以fm-f)的取值范围是,0].……15分18.X的所有可能取值为0,1,2,3,4.C02CC22C02CC341P(x==P(x==P(x==P(x==P(x==×××××=+++=243630C12C12C02C34C02C22C12CC247×××=+=24C36C243630CC02CC22C22CC14C12C12C12C24C22C02C02CC34715×=2436C24C36C2436C22C02C12C24C12C12C22C14730C24C36C24C36C22CC02C22CC14130……5分2436∴X的分布列为X01301730271537304130P1307307+2×+3×730130∴数学期望=0×+1×+4×=2.……7分15131.其他三名同学被选择的概率相等.比赛由.设A“第三次交313231323131323131362729P()=××+××+××==.……11分2第n次n≥2,n∈N)n-1次交流中甲未被选择.设第n次交流中∗甲被选择的概率为Pn131313则Pn=-Pn-)×=-P+……13分n111Pn-=-(P-)……15分43n-141=0.1414131413Pn-=(1-)×(-n-1=(-)(-n-11é13ù∴Pn=1--n-1……17分4ëû323219.M的坐标为(-1,)M点的切线方程为y-=(x+y2＝4x联y232k432y-=(+y2-y+k+=0，4k3212令Δ=1-4∙k+)=0k=-2或k=，41分别代入方程得y=-1和y=4(4,4)(,2分41212同时可求得直线MA的方程为y=x+2MB的方程为y=-2x-，进而可知kMA∙kMB=-1MA与直线MB互相垂直，则过MAB三点的圆的直径为线段AB，14设该圆上任一点P的坐标为(x,y)AP=(x-4,y-BP=(x-,y+æ1ö4ø()()所以BP=x-4x-+y-4y+1=0+y4分è174从而过MAB三点的圆的一般方程为x22-x-3y-3=0．1783262564:(x-)2+(y-)=2(xy)(xy)，1122()1过抛物线上点(xy)的切线方程为y-y=kx-x，111与y2＝4xy-y-kx+y=0，k4211k21Δ=1-4∙(-kx+y)=0k=6分411y421又因为12=4x(xy)的切线方程为y-y=(x-1)，1111即yy=x+x)(xy)的切线为yy=x+x)，112222又切线MAMB都过点M(xy)yy=x+x)yy=x+x)0010012002即点(xy)(xy)均满足