人教版A 高中数学必修第一册453函数模型的应用教学设计

人教版A高中数学必修第一册4.5.3函数模型的应用教学设计（1）

第五章函数的应用（二）

函数模型的应用

本节课选自《一般高中课程标准实验教科书数学必修1本（A版）》的第五章的

4.5.3函数模型的应用。函数模型及其应用是中学重要内容之一，又是数学与生活实

践互相连接的枢纽，特别在应企图识日趋加深的今日，函数模型的应用实质是揭露了

客观世界中量的互相依存有互有限制的关系，因此函数模型的应用举例有着不行代

替的重要地点又有重要的现实意义。

本节课要修业生利用给定的函数模型或成立函数模型解决实质问题,并对给定的函

数模型进行

简单的剖析评论,发展学生数学建模、数学直观、数学抽象、逻辑推理的核心修养。

课程目标学科修养

1.能成立函数模型解决实质问题、a.数学抽象：由实质问题成立函数模型；

b.逻辑推理:选择适合的函数模型；

2.认识拟合函数模型并解决实质问题、

c.数学运算:运用函数模型解决实质问题；

3.经过本节内容的学习,使学生认识函数模型

d.直观想象:运用函数图像剖析问题；

的作用，提升学生数学建模，数据剖析的能力、

e.数学建模住实质问题成立函模型；

f.数据剖析:经过数据剖析对应的函数模型；

教课重点:利用给定的函数模型或成立确立性函数模型解决实质问题、

教课难点：利用给定的函数模型或成立确立性函数模型解决实质问题,并对给定的

函数模型进行简单的剖析评论、

多媒体

教课过程设计企图

核心教课修养目

标

（一）创建问题情境

1、常有函数模型经过对常有函

（1）一次函数数模型的回首，

y=kx+b（k,b为常数,kH0]

模型提出新的问题，

常（2）二次函数提出运用函数模

y=ax2+bx+c（a,b,c为常数,a/0）

用模拟型剖析解决实质

函（3）指数函数问题培育和发

y=bax+c（a,b,c为常数,bH0,a>0且aHl）

数模型展数据剖析、数模（4）对数函数学建模和数学抽

型

y=mlogax+n（m,a,n为常数,mH0,a>0且aH1）

模型象、直观想象的

（5）塞函数模核心修养。

y=axn+b（a,b为常数,a*0]

型

2.成立函数模型解决问题的基本过程

（二）问题研究

我们知道,函数是描绘客观世界变化规律的数学模型,不一样的变化规律需要用不一

样的函数模型来刻画、面对一个实质问题，该怎样选择恰当的函数模型来刻画它呢？

典例分析

例3.人口问题是现在世界各国广泛关注的问题、认识人口数目的变化规律，能够为

拟订一系列有关政策供给依照、早在1978年,英国经济学家马尔萨斯

（T.R.Malthas,1766—1834）就提出了自然状态下的

人口增添模型？?=??????

0??，此中t表示经过的时间,??0表示t=0时

的人口数，r表示人口的年均匀增添率、下表是1950〜1959年我国的

人口数据资料经过对详细

问题的剖析建

模，解模的过程，

发展学生数学建

模、数据剖析、(1)假如以各年人口增添率的均匀值作为我国这一时期的人口增

添率逻辑推理，直观(精准到0.0001),想象、数学抽象、用马尔萨斯人口增添模

型成立我国在这一时期的详细人口增添模型,并数学运算等核心

查验所得模型与实修养；

际人口数据能否符合；

(2)假如按上表的增添趋向，那么大概在哪一年我国的人口数达到

13亿？

剖析：用马尔萨斯人口增添模型成立详细人口增添模型,就是要确立

此中的初始量

??0和年均匀增添率r、

解(:1)设1951〜1959年我国各年的人口增添率分别为??1,??,2,??9、

由55196(1+??1)=56300,

可得1951年的人口增添率?？

1-0,0200,

同理可得，？？

2«0.0210,??3«0,0229,??4«0.0250,??5«0,0197,

??«0,0223,??-0.0276,??-0.0222,??-0.0154s

6789

于是，1951、1959年时期，我国人口的年均匀增添率为:??=(??

1+??+

2

???)+970.0221令？?

1950~1959年时期的人口增

9,0=55196,则我国在

长模型为？?=55196??0.0221??,tGN、

依据表中的数据画出散点图,并画出函数？?=55196??0.0221??(t

GN)

的图象由图能够看出，所得模型与1950〜1959年的实质人口数据基

本符合、

事实上，我国1989年的人口数为11.27亿，直到2005年才打破13

亿、对由

函数模型所得的结果与实质状况不符

，你有何见解？

因为人口基数较大

，人口增添过快，与我国经济发展水平产生了

较大矛盾，所以我国从20世纪70年月逐渐实行了计划生育政策、所以这一

阶段的人口增添条件其实不切合马尔萨斯人口增添模型的条件，自然就出现了依模

型获得的结果与实质不符的状况

、

例4.2010年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑资料上提

经过对详细取的草茎遗存进行碳14年月学检测，检测出碳14的残留量约为初始量

问题的剖析建的55.2%,可否以此推测此水坝大体是什么年月建成的？

模，解模的过程，

剖析：因为死亡生物机体内碳

14的初始量按确立的衰减率衰减

>

发展学生数学建

属于指数衰减，所以应选择函数y=??

??>0,

k??（keR,且kw0；

模、数据剖析、且？?）成立数学模型、

逻辑推理，直观

解：设样本中碳14

的初始量为k,衰减率为p（0<??<1）,经

想象、数学抽象、过？?年后，剩余量为？?、依据问题的实质意义

/

数学运算等核心

可选择以下模型：y=k（1-

??

eR,且kH0；0<p

<1;

??）（k

修养；

??>0）、由碳

5730年，得k（l-

5730

1

14的半衰期为？?）

=2k,于是

57301

，所以？?=

5730

1

??(

V)

??

2

2

由样本中碳14的剩余量约为初始量的

55.2%可知，即0.552k=5730

1

，解得

??=??????57300.552

??会4912、

??(的

??

1、由计算工具得

2

V2

因为2010年以前的4912年是公元前2902年，

所以推测此水坝大体是公元前2902年建成的、

概括总结

［规律方法］已知函数模型解决实质问题，常常给出的函数分析式含有参

数，需要将题中的数据代入函数模型，求得函数模型中的参数，再将问题转变为

已知函数分析式求函数值或自变量的值

典例分析

例5.假定你有一笔资本用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种方案的回报以

下：

方案一：每日回报40元；

方案二：第一天回报10元，此后每日比前一天多回报10元；

方案三：第一天回报0.4元，此后每日的回报比前一天翻一番、

请问，你会选择哪一种投资方案？

①问题中波及哪些数目关系？

投资天数、回报金额

②怎样用函数描绘这些数目关系？

剖析：我们能够先成立三种投资方案所对应的函数模型,再经过比较

它们的增添状况，为选择投资方案供给依照

解：设第x天所得回报是V元，则方案一能够用函数V=40(??€??

?)进行描绘；

方案二能够用函数y=10x(??e???)进行描绘

方案三能够用函数y=0.4x2??-1[??£???)

进行描绘、三个模型中，第一个是常数函数，后两个都是增函数、要对三个方案作出

选择,就要对它们的增添状况进行剖析、

我们先用信息技术计算一下三种方案所得回报的增添状况

三种方案每日回报表

方案一的函数是常数函

数，方案二、方案三的函数都是增函数，但方案三的函数与

方案二的函数的增添状况很不同样、能够看到，只管方案一、方案二在第1天所得

回报分别是方案三的100倍和25

倍，但它们的增添量固定不变,而方案三是“指数增添"，

其“增添量”是成倍增添的，从第7天开始,方案三比其余两个方案增添得快得多,这

类增添速度是方案一、方案二所没法企及的、从每日所得回报看，

在第1~3天，方案一最多；

在第4天，方案一和方案二同样多,方案三最少；

在第5〜8天，方案二最多;第9天开始，方案三比其余两个方

案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超出2亿元、

下边再看累计的回报数、经过信息技术列表以下

投资投资投资投资

1〜6天，应选择方案一；

7天，应选择方案一或方案二；

8〜10天，应选择方案二；

11天（含11天）以上，应选择方案三。

若是某企业每日给你投资1万元，共投资30天。企业要求你给他的回

报是:第一天给企业1分钱，次日给企业2分钱，此后每日给的钱都是前一天的2倍,

共30天，你认为这样的交易对你有益吗？

解答以下:企业30天内为你的总投资为:30万元

你30天内给企业的回报

229

为:0.01+0,01x2+0,01x2++0.01x2=10737418.23~1074（万元）

上述例子不过一种设想状况，但从中能够看到,不一样的函数增添模

型，增添变化存在很大差别

例6.某企业为了实现1000万元收益的目标，准备拟订一个激励销售人

员的奖赏方案:在销售收益达到10万元时，按销售收益进行奖赏，且奖金y

（单位:万元）随销售收益x（单位:万元）的增添而增添，但奖金总数不超出

5万元，同时奖金不超出收益的25%o现有三个奖赏模型:y=0.25x,

X

y=logx+1,y=1.002,

7

此中哪个模型能切合企业的要求？

①例6波及了哪几类函数模型？

一次函数，对数型函数，指数函数。

②你能用数学语言描绘切合企业奖赏方案的条件吗？

剖析:本例供给了三个不一样增添方式的奖赏模型,按要求选择此中一

个函数作为刻画

奖金总数与销售收益的关系、因为企业总的收益目标为1000万元,所以销售人员

的销售收益一般不会超出企业总的收益、于是，只要在区间［10,1000］上，找寻

并考证所选函数能否知足两条要求:第一,奖金总数不超出5万元,即最大值不大于

5；

第二，奖金不超出收益的25%,即YV0.25X、不如先画出函数图

象，经过察看函数图象获得初步的结论,再经过详细计算,确认结果、

解：借助信息技术画出函数y=5,y=0.25x,y=log

x

x+1,y=1.002的7

图象、察看图象发现，在区间［10,1000］上，模型y=0.25x,

X

y=5的上方，只有模型

y=1.002的图象都有一部分在直线

y=logx+l的图象一直在y=5的下方，这说明只有按模型y=logx+l

77

进行奖赏时才切合企业的要求、

下边经过计算确认上述判断、

先计算哪个模型的奖金总数不超出5万元、

对于模型y=0.25x,它在区间［10,1000］上单一递加,并且当x=20时，y=5,

所以，当x>20时，y>5，所以该模型不切合要求；

x

对于模型，y=1.002,由函数图象，

并利用信息技术,可知在区间(805,806)

内有一个点??0知足1.002??0=5,因为它在区间

［10,1000］上单

调递加，

所以当x>??时，y>5，所以该模型也不切合要求；

对于模型y=logx+l,它在区间［10,1000］上单一递加,并且当x=7

1000时,y=log1000+174.55<5,所以它切合奖金总数不超出5万

7

元的要求、

再计算按模型y=logx+l奖赏时，奖金能否不超出收益的25%,

7

即当xe:10,1000］时，能否有y《0.25x,

即y=logx+l<0,25x成立、

7

令f(x)=y=logx+l-0.25x,xe［10,1000］，利用信息技术画出它

7

的图象

由图象可知函数f(x)在区间［10,1000］上单一递减，

所以f(x)<f(10)-0.3167«<0,

即y=logx+l<0,25x、所以，当xe［10,10001时，

7

yv0.25x,说明按模型y=logx+l奖赏,奖金不会超出收益的25%、综

7

上所述，模型y=logx+l的确能切合企业要求、

7

［规律方法］

自建模型时主要抓住四个重点:“求什么，设什么，列什么，限制什么”.

求什么就是弄清楚要解决什么问题，达成什么任务.

设什么就是弄清楚这个问题有哪些要素,谁是核心要素，往常设核心要素

为自变量.

列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来，能够是方程、函数、不

等式等.

限制什么主若是指自变量所应知足的限制条件，在实质问题中,除了要使函数式存心

义外，还要考虑变量的实质含义，如人不可以是半个等.

三、当堂达标

1.一辆汽车在某段行程中的行驶行程S对于时间t变化的图象以下图，那么图象所

对应的函数模型是0

A、分段函数B、二次函数C、指数函数D、对数函数

【答案】A［由图可知，该图象所对应的函数模型是分段函数模型、］2、若镭经过

100年后剩留本来质量的95.76%,设质量为1的镭经过x年后剩留量为y,则x,y的

函数关系是0经过练习稳固本节所学知识，巩固对函数模型的运用，加强学生的数学

建模、直观想象、数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心修养。

100

A、y=0.9576

x

0.9576

C、y=

100

【答案】A［由题意可知

B、y=(0.9576)100x

x

D、y=1-0,0424

100

xxy=(95.76%)

100100

，即y=0.9576.］

3.若一根蜡烛长20cm,点燃后每小时焚烧5cm,则焚烧剩下的高度h(cm)与焚烧

时间t(h)的函数关系用图象表示为0

【答案】B［由题意h=20—5t(0张4)淇图象为BJ

4、某工厂生产某种产品固定成本为2000万元，并且每生产一单位产品,

成本增添10万元、又知总收入K是单位产品数Q的函数,K(Q)=40Q-

120

Q2,则总收益L(Q)的最大值是万元.

【答案】2500「•每生产一单位产品，成本增添10万元，.•.单位产品数Q时的总成本

为2000+10Q万元、

•••K(Q)=40Q-201

Q2,

•••收益L(Q)=40Q-1

Q2-10Q-200020

1

Q2+30Q-2000=-

1

(Q-300J2+2500,2020

■•.Q=300时，收益L(Q)的最大值是2500万元、］

5、已知A,B两地相距150km,某人开汽车以60km/h的速度从A地抵达B

地，在B地逗留1小时后再以50km/h的速度返回A(1)把汽车走开A地的距离s

表示为时间t的函数(地、

从A地出发时开始)，

并画出函数的图象；

(2)把车速v(km/h)表示为时间t(h)的函数，并画出函数的图象、

【答案】(1)①汽车由A