函数的概念及其表示、分段函数（重难点突破）原卷版-教案课件-人教版高中数学必修第一册

专题05函数的概念及其表示'分段函数

一、知识结构思维导图

二、学法指导与考点梳理

【基础知识梳理】

一、函数的概念

1.函数与映射的相关概念

（1）函数与映射的概念

函数映射

两个集合

设4、2是两个非空数集设42是两个非空集合

/、B

按照某种确定的对应关系f,使对于按某一个确定的对应关系了,使对于集

对应关系集合/中的任意一个数X,在集合8合力中的任意一个元素X,在集合B中

中都有唯一确定的数加)和它对应都有唯一确定的元素y与之对应

称f：A-B为从集合A到集合B的一称/：/一8为从集合/到集合8的一

名称

个函数个映射

记法x^A/：4TB

注意：判断一个对应关系是否是函数关系，就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义

域内的任意一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点.

(2)函数的定义域、值域

在函数＞=/)，XGN中，X叫做自变量，X的取值范围N叫做函数的定义域，与X的值相

对应的y值叫做函数值，函数值的集合伏幻,6/｝叫做函数的值域.

(3)构成函数的三要素

函数的三要素为定义域、值域、对应关系.

(4)函数的表示方法

函数的表示方法有三种：解析法、列表法、图象法.

解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域；

列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；

图象法：注意定义域对图象的影响.

二、函数的三要素

1.函数的定义域

函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的

要求为：

(1)分式函数中分母不等于零.

(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.

(3)一次函数、二次函数的定义域均为R

(4)7=x°的定义域是｛x|#0｝.

2.函数的解析式

(1)函数的解析式是表示函数的一种方式，对于不是＞=/)的形式，可根据题目的条件转

化为该形式.

(2)求函数的解析式时，一定要注意函数定义域的变化，特别是利用换元法(或配凑法)求

出的解析式，不注明定义域往往导致错误.

3.函数的值域

函数的值域就是函数值构成的集合，熟练掌握以下四种常见初等函数的值域：

(1)一次函数了=履+6/为常数且以0)的值域为R

(2)反比例函数y=七伏为常数且厚0)的值域为(-00,0)U(0,+oo).

x

(3)二次函数＞="2+反十0(〃，b,c为常数且。邦)，

4-ctc—Z?2

当。＞0时，二次函数的值域为［,+oo)；

4〃

4-ctc—Z?2

当6Z＜0时，二次函数的值域为(-8,空.

4〃

求二次函数的值域时，应掌握配方法：y=ax2+bx+c^a(xH---)2H---------.

2a4a

三、分段函数

分段函数的概念

若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，则这

种函数称为分段函数.分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.

【知识拓展】

1.(1)相等函数一如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数相等.

①两个函数是否是相等函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数

的定义域和对应关系完全相同时，才表示相等函数.

②函数的自变量习惯上用x表示，但也可用其他字母表示，如：»=2x-l,g(f)=2/T,

从m)=2m-l均表示相等函数.

(2)映射的个数

若集合/中有机个元素，集合8中有"个元素，则从集合/到集合8的映射共有那个.

2.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集.

三、重难点题型突破

（一）、判断对应关系（图像）是否为函数.

1.判断对应关系是否为函数的2个条件

（1）48必须是非空实数集.

（2）4中任意一元素在8中有且只有一个元素与之对应.

对应关系是“一对一''或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系.

例1.（2020•全国高一课时练习）下列对应或关系式中是4到8的函数的序号为.

①AeRBeR,^+y2=1；

②4={1,2,3,4},5={0,1},对应关系如图:

③A=RB=R,于：xTy=----；

x-2

@A=Z,B=Z,=<2x—l.

【变式训练1】（2019•广东禅城佛山一中高一月考）（多选题）下列四个图形中可能是函

【变式训练2】下列四个图象中，是函数图象的是()

【变式训练3】.(2012•全国高一课时练习)设集合M={x|0<x<2},

N={y|0VyV2},那么下面的4个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有

(二卜求函数的定义域.

1.求函数定义域的三种常考类型及求解策略

(1)已知函数的解析式：构建使解析式有意义的不等式(组)求解.

(2)抽象函数：

①若已知函数启)的定义域为[“，b],则复合函数如(x))的定义域由。名㈤劭求出.

②若已知函数德(尤))的定义域为口，b],则於)的定义域为g(x)在切时的值域.

(3)实际问题：既要使构建的函数解析式有意义，又要考虑实际问题的要求.

2.求函数定义域的注意点

(1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域变化.

(2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各

个基本初等函数定义域的交集.

⑶定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用"或"连接，而应该用

并集符号"U"连接.

例2.(1)(2019•浙江南湖嘉兴一中高一月考)下列函数中，与函数>=下有相同定

\JX

义域的是()

A.y(x)=—B./(x)=-C./(x)=|x|D.于(X);五，

Xxyjx

(2)(2019秋•金山区校级期末)下列各组函数中表示同一函数的是()

A.y=2°^y=-B.y=±l与片拶

C.y=xx2+X与y=v'Txv-1D.y=x+l与y=rr♦:广

【变式训练1】求下列函数的定义域.

(1)/(x)=3x-4；(2)/(尤)=3尤2+4x-7；

(4)<(x)=Jl-x+Jx+3-l；

/(无)=,3尤-6+

例3.(2019•哈尔滨市第一中学校高三开学考试(文))已知f(x)的定义域为(-1,0),则

函数/(2x+l)的定义域为()

A.(-1,1)B.(-1,--)C.(-1,0)D.I]/)

【变式训练1】(1)已知/(>)的定义域为[-2,1],求函数/(3x-l)的定义域;

(2)已知/(2x+5)的定义域为[-1,4],求函数/(X)的定义域.

(3)已知函数y=/(x)的定义域为[-1,2],求函数y=〃l-d)的定义域.

(4)已知函数y=/(2x-3)的定义域为(-2,1],求函数y=/(x)的定义域.

(三卜判断函数为同一(相等)函数

判断函数相等的方法

(1)先看定义域，若定义域不同，则不相等；

(2)若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同.

例4.(2020•江苏省响水中学高一月考)下列选项中，表示的是同一函数的是()

A.“X)=7?,g(x)=(«)B./(x)=%2,g(%)=(%—2)2

羽尤N0____

C.f(X)=\c，g(')=WD-/(x)=yjx+1-yjx-l,g(x)=Jx2-1

—%,X<(J

【变式训练1】.(2019•江苏姑苏苏州中学高一期中)(多选题)下列各组函数中，两个

函数是同一函数的有()

I--丫2―1

A./(x)=l%Gg(x)=GB./(x)=x+l与g(x)=------

x-1

C./0)=W与8(%)=<；D./(©=&一1与g(x)=Jx+iJx—i

x-1,x<0J

(四卜求函数的解析式

求函数解析式常用的方法

1.换元法：

已知复合函数_Ag(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；

2.配凑法：

由已知条件/(g(x))=F(x),可将尸(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x),便得

段)的表达式；

3.待定系数法：

若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；

4.方程组法：

已知关于/W与y(-)或/(—x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方

X

程组，通过解方程求出了(X).

例5.(2020•全国高一)设函数/(x)=Ax+>(左>0),满足/(/(x))=16x+5,则

/（x）=（）

A.—4x—B.4x—C.4%-1D.4x+1

33

【变式训练1】.（2020•河北衡水中学调研）已知外）是二次函数，且黄0）=0,"+1）=

兀T）+尤+1,求兀。的解析式.

例6.（2017•全国高一课时练习）已知了■，则/（九）的解析式为（）

।L

A.y(x)=-^—B.f(x)=^-

-X+1X

0/W=T7ID./(%)=1+%

【变式训练1】.已知函数/（%）是一次函数，且/"（X）—2刃=3恒成立，则〃3）=

（）

A.1B.3

C.5D.7

例7.（2020•全国高一）若函数F。）满足/（x）+2/3x,则/⑵

【变式训练1】.（2020•全国高一）对的所有实数%,函数/（九）满足

上)-2/[2)=十3,求/(x)的解析式.

X\L-rXX~1

【变式训练2】.（2019秋•武汉期末）（1）已知〃,'）=我，求八？.|+"彳1；

（2）已知r（x）+2虺=3­2,求/（x）的解析式.

(五卜求函数值域

求函数值域的基本方法

1.观察法：

通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数图象的“最高

点”和“最低点”，观察求得函数的值域.

2.利用常见函数的值域：

一次函数的值域为R；反比例函数的值域为｛y|ywO｝；指数函数的值域为(0,+oo)；

对数函数的值域为R；正、余弦函数的值域为［-1,1］；正切函数的值域为R.

3.分离常数法：

将形如丁=三二2(〃/))的函数分离常数，变形过程为：

ax+b

c卜,be,be,be

cx+d_a」「工,再结合x的取值范围确定.一"的取值范围,

------=------------------=—।--------------

ax+bax+baax+b-------------------------------ax+b

从而确定函数的值域.

4.换元法：

对某些无理函数或其他函数，通过适当的换元，把它们化为我们熟悉的函数，再用有关

方法求值域.如：函数/(x)=ax+6+Jcx+d(ac丰0),可以令1=15+-(720),得

到x=-———，函数f(x)=ax+b+s/cx+d(ac丰0)可以化为y=————+t+b

cc

(仑0),接下来求解关于才的二次函数的值域问题，求解过程中要注意,的取值范围的限制.

5.配方法：

对二次函数型的解析式可以先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用

求二次函数的值域的方法求函数的值域.

6.数形结合法：

作出函数图象，找出自变量对应的范围或分析条件的几何意义，在图上找出值域.

7.单调性法：

函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其单调性，进而求

函数的最值和值域.

8.判别式法：

将函数转化为二次方程:若函数y=/(x)可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程a(y)x2

+b(y)x+c(y)=O,则在。(y)#0时，由于x,y为实数，故必须有4=按(0一4aM-c(y)20,由此

确定函数的值域.

利用判别式求函数值的范围，常用于一些"分式"函数、"无理”函数等，使用此法要特别注

意自变量的取值范围.

例8.(2019•东台创新高级中学高三月考)函数.=54一/的值域是.

例9.求下列函数的值域：

_______2

(1)=x2-4x+3,x€[-1,1]；(2)y=x--2x；(3)y----(x>1).

x-1

【变式训练1】•求下列函数的值域

(1)f(x)=x2-4x+l,XG(-2,3]；(2)f(x)=x-4yjx-1(x..1).

(3)y=3x2-x+2,XG[1,3]；(4)y=x+4y/T^x.

ii----r2-2

(5)y=.(6)y=x-y/l-2x(7)y=----.

yj—x2+5x+6x+3

/、x+2,%4—1

【变式训练2】.(2020•全国高一课时练习)(多选题)已知函数/(力=<2

关于函数“X)的结论正确的是()

A./(x)的定义域为RB.7(力的值域为(—8,4)

C./(1)=3D.若/(x)=3,则x的值是6

E"(x)<l的解集为(—1,1)

(六卜分段函数求值

分段函数是一类重要的函数，常作为考查函数知识的最佳载体，以其考查函数知识容

量大而成为高考的命题热点，多以选择题或填空题的形式呈现，重点考查求值、解方程、

零点、解不等式、函数图象及性质等问题，难度一般不大，多为容易题或中档题.分段函

数问题的常见类型及解题策略：

1.求函数值：

弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层

往外计算.

2.求函数最值：

分别求出每个区间上的最值，然后比较大小.

3.求参数：

“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程或不等式.

4.解不等式：

根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的

大前提.

/、fx2+1(%<0)

例10.(2019•浙江南湖嘉兴一中高一月考)已知/(%)=40八cJ,若

-2x(%>0)

/(/(a))=10,则。=.

/、1,x>0/、

例H.(2020•全国高一课时练习)已知y(x)=则不等式步■(x)+XW2的解集

U,Ji<U

是.

X2+］光00

【变式训练1】.(1)已知函数丁='一，若/(尤)=10,则*=____________

—2x,%>0

(2).(2020•四川省成都市郸都区第四中学高一期末)设函数

2x+l,x>l

f(x)=<J若f(Xo)>L则Xo的取值范围是()

x-2x-2,x<l

A.(-°°,-I)U(I,+8)B.(-°°,-I)U[I,+8)

C.(--3)U(l,+8)D.(--3)U[I,+8)

四、课堂定时训练（45分钟）

1.下列四个图象中，不是函数图象的是（）

0

A

2.（2020•重庆巴蜀中学高二期中）若函数/（%）满足/（3x+2）=9x+8,则/（%）的解

析式是（）

/（X）=9无+8B./（%）=3%-2

小）=一3%-4D.〃尤）=3%+2

3.（2020•全国高一课时练习）求下列函数的定义域.

（1）y=3——x；

（2）y=2y[x—Jl-7x;

'x+2

（4）尸j2%+3—

4.（2020•全国高一课时练习）根据下列条件，求段）的解析式.

（1）火工）是一次函数，且满足于（x+1）—危）=2工+9；

（2）火工+1）=/+4